專題03空間向量基本定理

店內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習三步曲

第一步：學

析教材學知識教材精講精析、全方位預(yù)習

練題型強知識5大核心考點精準練

第二步：記

思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學習目標復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升小試牛刀檢測預(yù)習效果、查漏補缺快速提升

8析教材學知識

知識點01：空間向量基本定理

1、空間向量基本定理

如果向量三個向量a,6,c,不共面，那么對空間任意向量p,存在有序?qū)崝?shù)組｛x,y,z｝,使得p=xa+yb+zc.

2、基底與基向量

如果向量三個向量a/,c,不共面，那么所有空間向量組成集合就是尤a+y&+zc,x,y,zeR）.這個集

合可看作是由向量￡*,c,生成的，我們把｛。,仇耳叫做空間的一個基底°,仇°,都叫做基向量.

對基底正確理解，有以下三個方面：

（1）空間中任意三個不共面的向量都可以作為空間的一個基底；

（2）因為0可視為與任意一個非零向量共線，與任意二個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著

它們都不是0；

（3）一個基底是由三個不共面的向量構(gòu)成的，它是一個向量組；而一個基向量是指基底中的某一個向量，

二者是不同的概念.

知識點02：空間向量的正交分解

1、單位正交基底：如果空間一個基底的三個向量兩兩互相垂直，那么這個基底叫作正交基底，特別地，當

Fr口

一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱這個基底為單位正交基底，通常用￥，/,左｝表示。

2、正交分解：由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量），均可以分解為三個向量++

使二=』+y'+zl像這樣，把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解。

【題型01：空間向量基底的概念及辨析】

一、單選題

1.（24-25高二上?遼寧?期末）已知4、〃eR,下列可使非零向量a，b，c組成的集合{。，瓦。}成為空間

的一組基底的條件是（）

A.b=AcB.a,b，c兩兩垂直

C.a=4b+RCD.a+b+c=0

2.（24-25高二下?河北保定?開學考試）若{a,仇可構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量可作為基底的是（）

A.a+b,b+cfc—aB.d—c9b—c,a—b

C.2a+b，ci—c,2c+bD.a—b，b+c,c—a

3.（24-25高二上?湖北?階段練習）在四棱臺ABC。-A耳￡2中，一定能作為空間向量的一個基底的是（）

A.[AB,AD,B,D^B.{AB.AVGA}c.{AB，AAA2}D.{AA，AC,CG}

4.（18-19高二上?吉林長春?期末）若〈4,6,c〉是空間的一組基，且向量加=〃+。,〃=〃-5，則可以與相，〃構(gòu)

成空間的另一組基的向量是（）

A.aB.bC.cD.2a

5.（24-25高二上?吉林?期中）若{a,b,c}構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（）

A.a,b,a+bB.a,b,2a-3b

C.c+b,c—b,aD.c+b,a+b+c,a

【題型02：用基底表示向量】

一、單選題

1.（24-25高二上?江蘇常州?期中）如圖,在平行六面體ABCD-ABCR中,M為4G與片口的交點.若AB=a,

AD=b，A4；=c,則下列向量中與相等的向量是（

A.——a——b+c

22

C.—QH—b+cD.——a+—b+c

2222

2.（24-25高二上?新疆昌吉?期末）已知四面體。4BC,M、N分別是0ABe的中點，且OA=a,OB=Zj,oc=c,

用a,b,c表示MN=（）

3.（24-25高二下?甘肅金昌?期中）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積

的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱.如圖，在塹堵ABC-A用G，中，M

是AC的中點，G是MB的中點，^AG=xAB+yAAt+xAC,則x+y+z=（）

35

A.1B.2C.—D.—

4.（24-25高二下?廣東?階段練習）在三棱錐ABC中，2E尸分別為線段AB,AC,3c的中點，G為VABC

的重心，貝！ISG=（）

A.-SD+-SE+-SF

333

B.-SD+-SE+-SF

222

C.-SD+-SE+-SF

323

D.-SD+-SE+-SF

332

5.（24-25高二上?福建南平?期末）如圖，在三棱錐S-ABC中，點G為底面VABC的重心，點M是線段SG

的中點，過點M的平面分別交&1,SB,SC于點。，E,F,若S￡）=ASA，SE=mSB，SF=nSC，則

kmn

【題型03：空間向量基本定理中的參數(shù)問題】

一、單選題

1.（24-25高二上?河南?期中）在四面體ABCD中，M為棱C。的中點，E為線段AM的中點，若

BE=aBC+bBD+cBA,則g=（）

a

A.；B.1C.2D.3

ULWuuuuuuuuu

2.（24-25高二下?甘肅白銀?期中）設(shè)q,4e?不共面，已知4^=義0+2e2+63,BC=3ex+2e2+jue3,

LlUUU11U

CD=3e1-2e2+e3,若A,C,。三點共線，則X-〃=（）

A.6B.12C.-6D.-12

3.（24-25高二上?陜西?階段練習）已知四面體OABC中，OA=”，OB=b-OC=c，OM=2M4（2>0）,

N為BC中點、,^MN=--a+-b+-c,則;1=（）

422

2-3

1I3

4.（24-25高二上?上海?課后作業(yè)）如圖，在四面體。48c中，BM=-BC,MN=-NO,AP=-AN,若

224

OQ=WB,且PQ〃平面48C,則實數(shù)力=()

o

2

D.

4

5.(24-25高二上?重慶?期中)在三棱錐A—5CD中，G為△58的重心，AD=AAE^AB=JLIAF，AC=3AH，

其中2,，e(l,+8),若AG交平面EFH于點M,且則的取值范圍為()

2Z—2

B.(-a?,l)kj(3,+oo)

-<?,1jo

D.

【題型04：利用空間向量基本定理證明線線平行、垂直位置關(guān)系】

一、解答題

1.(24-25高二上?廣東?階段練習)如圖所示，在三棱柱A8C-A用G中，CA=CB=CG，CA=a，CB=b，

27r

CC[=c,〈a,b〉=〈a?=—^,{b,c}=~,N是AB的中點.

(1)用a,b,c表示向量AN;

2

(2)在線段G^i上存在一點M，且求證：AM.

2.（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）己知O,A,B,C,D,E,F,G,X為空間的9個點（如圖所示）,

并且0E=^0A,OF=kOB.OH=kOD,AC=AD+mAB,EG=EH+mEF.求證:

(1)A,B,C,。四點共面，E,F,G,”四點共面;

(2)AC//EG;

O)OG=kOC.

3.（24-25高二上?廣東東莞?階段練習）如圖，在底面A8CD為菱形的平行六面體A3。-ABC?中，M,

N分別在棱M，CG上，S.A,M=^AAl,CN=^CCl,且/其人。=幺4臺=/加臺=60°.

⑴求證：綜N共面；

⑵當會為何值時,MN”

4.（24-25高二上?河南平頂山?階段練習）如圖.在平行六面體A3C。-ABC.中.

⑴如圖1,已知ZM=d,OC=6,OR=e,點G是側(cè)面用3CC1的中心，試用向量a/,c表示下列向量：DB?BA,.

（2）如圖2,點EEG分別是AR,RDRG的中點，請選擇恰當?shù)幕紫蛄浚C明：平面EFG〃平面

【題型05：空間向量的正交分解】

一、單選題

1.（23-24高二上?河北邯鄲?期末）已知SAJ_平面48C,AB1AC,SA=AB^\,BC=^5,則空間的一個

單位正交基底可以為（）

A.jAB,1-AC,A5jB.｛AB,AC,AS]

c.]AB,；AC,；AS｝D.^AS,AB,^-BC>

2.（24-25高二上?福建廈門?階段練習）在單位正交基底下，已知向量a=i+2J+3左，b=2i+3k,

則向量力=a+b在向量，上的投影向量為（）

A.3zB.2iC.6iD.4z

二、多選題

3.（23-24高二上.內(nèi)蒙古.期末）已知｛a,b,c｝是空間的一個單位正交基底，則（）

A.|a+6|=V2|c|B,｛a-6,6+c,a+c｝構(gòu)成空間的一個基底

C.（a+6）（a+c）=lD.｛a-b,6+c,a-c｝構(gòu)成空間的一個基底

三、填空題

4.（23-24高二上.河南鄭州?期中）己知｛a1,c｝是空間的一個單位正交基底，p=a-2b+3c,若

p=x（^a+b^+y（a-b^+zc,貝（]x+y+z=.

5.（24-25高二上?重慶?階段練習）已知｛a,6,4是空間的一個單位正交基底，向量p=a-2b-4c,

｛a+6,a-6,可是空間的另一個基底，用基底｛a+b,"6,c｝表示向量p=.

串知識識框架

定理概念

基底與基向量

一、空間向量基本定理

用基底表示向量

證明線線位置關(guān)系

應(yīng)用

求長度、夾角

空間向量基本定理

過關(guān)測穩(wěn)提升

一、單選題

1.（24-25高二上?新疆巴音郭楞?期末）如圖，在四面體Q4BC中，N是的中點.設(shè)O4=a,0B=b，0C=c，

則AN=（）

A.B.—Q+Z7+c

222

-J+L

C.D.-a+-b+c

222

2.（23-24高二上?河北?期中）已知平面ABC,AB±BC,BD=1,AB=2,BC=3,則空間的一個

單位正交基底可以為（）

B.[^BC,BD,^BA

A.

35

，BCBD，BC,BD,；BA

c.,3AD\D.

3.（24-25高二上?山東濰坊?期末）如圖,空間四邊形O48C中,。4=0,02=6,。7=。,0是8。的中點,

AP=gPD,則。尸=()

2

211

+L+LC.-a+-b+-cD.—a+—b7+—c

366366333333

4.（24-25高二上?山西晉中?期末）在三棱柱ABC-Age中，AB=a,AC=b，AA,=c,。為平行四邊形

5CG4對角線的交點，則AD=（）

11111C.4+4+LD-

A.一—b7—cB.ciH—b7H—c

2222222222

5.（24-25高二上?河南許昌?階段練習）已知｛a,6,c｝是空間的一個單位正交基底，1n=a-b+2c，則空間

向量4在加方向上的投影向量為（）

A.—aB.y/6mC.D.—m

666

6.（24-25高二上?貴州黔東南?階段練習）如圖，已知空間四邊形tMBC,其對角線為02、AC,M.N

分別是對邊Q4、的中點，點G在線段"N上，且分所成的定比為2,現(xiàn)用基向量0A、OB、0C表

示向量0G,^OG=xOA+yOB+zOC,則了、八z的值分別為（）

11

B.x=-y=一z=—

336

11111

C.x=-,y=-z=—D.x=—y=-z=-

363633

7.（2025?上海黃浦?二模）如圖，在平行六面體ABCD-ABCIR中，設(shè)4=朋，b=DB｛,若a、b、e組

成空間向量的一個基底，貝！Jc可以是（）

A.BB]B.BQC.BDD.BD{

8.（23-24高二上?河南?階段練習）已知a,b,c是不共面的三個向量，則下列能構(gòu)成空間的一個基底的

一組向量是（）

A.14。，a—3b，4a+2bB,-13b>4a—3b，2a+5b

C.a,2b>b-cD.2c,2c-3b，2c-4b

9.（23-24高二上?河北保定?期中）如圖，在平行六面體ABCD-A耳G2中，E為CQ的中點，點下滿足

AF=mAE.若反方，4,B四點在同一個平面上，則優(yōu)=（）

二、多選題

10.（24-25高二下?陜西渭南?開學考試）若6,c}是空間向量的一組基，則下列各組中能構(gòu)成空間向量的

一組基的是（）

11.（24-25高二上?廣東?期末）已知點瓦廠分別為正方體ABCD-A'8'CZ）'中平面A'3'CZ）'和平面C'CDD的

中心，則（）

A.對于任意的羽兒均有4尸,4￡>,了48'+%4（7共面

B.對于任意的尤,V,使得AE=AA，+xAB+yAZ>

C.存在使得A￡A￡>,xAC'+yAW共面

D.不存在x使得AC=x(A2+BC+CC)

三、填空題

12.（24-25高二上?陜西西安?期末）若卜,e；｝是空間的一個基底，且向量。=ex+e2,b=e2+e3,c-el+te3

不能構(gòu)成空間的一個基底，則實數(shù)7=.

13.（24-25高二上?上海?課后作業(yè)）在正三棱錐A-BCD中，點。為三角形BCD的中心，

AO=xAB+yAC+zAD,貝!|孫z=.

14.（23-24高二上?湖北武漢?期中）設(shè)他力,。｝是空間的一個單位正交基底，且向量/=3“+b+c,若

m=a+b,n=a-c，則用基底｛^,n,c｝表示向量p=.

15.（24-25高二上?廣東佛山?階段練習）兩條異面直線。，6所成的角為。，在直線。，6上分別取點A、

E和點A、F,