專題二函數(shù)專題歸納總結(jié)與測試

與題導(dǎo)囹

函數(shù)專題

.，…「具體函數(shù)的定義域

定乂域

L抽象法數(shù)的定義域

-解析式一恃定系數(shù)法一配湊法——帙元法I—解方程組

一債域——落本思路考慮函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的基本性質(zhì)

r性庾法

-定義法單調(diào)住、奇偶性、對舜性

單調(diào)性一

導(dǎo)致法基礎(chǔ)求法

復(fù)合函數(shù)同增異減解不等式

基本題型

定義法

奇偶性

圖像法求值域

對林軸

對琢性

對稱中。

周期性---f(x*a)=f(x)T=a

指觸、對致函數(shù)r函數(shù)三要點

,基本題一函數(shù)的郵百

指數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖像及定點41

賴及射

指數(shù)型、對敷型函敷的基本性質(zhì)L

------學(xué)點定理

零點區(qū)間

零點個數(shù)

零點和

零點取值值困

1

一.單選題：本題共8小題，每題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求的。

1.（2025?河南?模擬預(yù)測）已知/（無）=（2025+m）sinx-x4為偶函數(shù)，則實數(shù)〃?=（）

A.0B.1C.-2025D.-2024

【答案】C

【解析】易得函數(shù)/（無）的定義域為R，由/（無）是偶函數(shù)，得

=（2025+）sinx-x4-1^（2025+m）sin（-x）-（-x）4=0恒成立，

可得2025+%=0,故俏=-2025.

故選：C

2.（24-25高三上?貴州六盤水?階段練習(xí)）若a=log3：6=［1,c=^，則。,6,c的大小關(guān)系為（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【解析】因為P=log3X是（0,+e）上的增函數(shù),

所以0=log31<log3g<log33=1,即0<。<1,

又因為y=5,是增函數(shù)，所以6=［；,=5°」>5°=1,

又了=x?！故牵?,+8）上的增函數(shù),

所唱…電"丁,”—

綜上所述，a,b,。的大小關(guān)系為〃<c<6.

故選：A.

3.（2024?江西?模擬預(yù)測）下列關(guān)于幕函數(shù)〃x）=（e為+癡卜"-2的描述正確的是（）

A.函數(shù)〃x）為偶函數(shù)B.函數(shù)〃x）為奇函數(shù)

C.函數(shù)/（x）為R上的減函數(shù)D./（m）>/（-2）

【答案】A

2

【解析】因為/(無)=(e"'+4機(jī)卜2是幕函數(shù)，所以葭+4加=1,BPem+4rn-l=0

?；g(x)=e，+4x-1是R上的單調(diào)增函數(shù)，

?.?g(O)=e°+4xO-l=O,.?.g(x)=ex+4x-l有唯一的零點0,

因此，由e"+4m-1=0,得〃7=0,所以

函數(shù)”X)為偶函數(shù)，不是奇函數(shù)；在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增;

/(m)=/(0)</(-2),故A正確，B、C、D錯誤.

故選：A.

設(shè)函數(shù)/(x)=ln(l+x4)一號同，則不等式〃2x)>/(x+l)的解集為(

4.(2024?廣西?模擬預(yù)測)).

B.卜℃,一'0(1,+s)

D-1叫可咽，+?|

【答案】B

【解析】函數(shù)〃x)=ln(l+x4)-Wp的定義域為R,

且/(-x)=ln(l+/卜金N=/(立即"X)為偶函數(shù)，

當(dāng)x>0時了=1+苫4與y=lnx,y=--與y=l+3x均在(0,+(?)上單調(diào)遞增,

X

所以y=ln(l+x。與>=一用同均在(0,+功上單調(diào)遞增，

所以〃x)在(0,+向上單調(diào)遞增，則不等式〃2x)>〃龍+1)等價于12H>|x+l|,

即(2X)2>(X+1『，解得X>1或X<-；,

即不等式〃2x)>/(x+l)的解集為卜鞏-；2(1,+8).

故選：B.

5.(23-24黑龍江大慶)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且若〃尤+y)+〃x)〃y)=4xy,則下列

結(jié)論錯誤的是()

D.函數(shù)/[+￡]是減函數(shù)

【答案】C

【解析】對于A,令x=g、y=o,則有⑼=/&「+/(o)]=o,

3

乂/g卜0,故1+7'⑼=0,即/■⑼=-1,

令x=；、kT，則有/（-]+/口《曰=4*—1

即〃0）+/1]/[-￡|=-1,由/'（o）=-i,可得/[￡kU=°'

X/Q^O,故/[￡|=0,故A正確；

對于c,令k[,貝U有/，一,

則-￡|=-2X,故函數(shù)是奇函數(shù)，故C錯誤；

對于D,有/[x+1—]]=-2（x+1）=—2x—2,即/（尤+—=—lx—2,

則函數(shù)+是減函數(shù)，故D正確；

對于B,由/[一g]=-2x,令x=l,有/gj=-2xl=_2,故B正確.

故選：C.

6.（2025?浙江紹興?二模）已知函數(shù)/（月=上不，則（）

A.當(dāng)2=1時，〃x）是偶函數(shù)，且在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增

B.當(dāng)2=1時，是奇函數(shù)，且在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減

C.當(dāng)4=-1時，〃x）是偶函數(shù)，且在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減

D.當(dāng)4=-1時，/（X）是奇函數(shù)，且在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增

【答案】D

【解析】對AB：當(dāng)4=1時，=其定義域為R,〃_》）=▲==上^=/1）,故/■（》）為偶函

-l+e"、/1+e1+e

數(shù)；

又/⑴二事二下、，當(dāng)尤武0,1）時，令"eZ（l,e）,

1+ee+e-

因為y=?+：在te（l,e）單調(diào)遞增，/=e，在xe（O,l）單調(diào)遞增，故〉=e，+1在（0,1）單調(diào)遞增，

故/（X）=-A"T在（0/）單調(diào)遞減，故AB都錯誤；

e+e

對CD：當(dāng)彳=-1時，/卜”上石，其定義域為R,”_X）=±M=/—=-/,），故〃x）為奇函數(shù)；

又〃x）=▲丁=」一，當(dāng)xe（o,l）時，y=eT）=-e，均為減函數(shù)，故y=尸-e*為（0,1）上的減函數(shù)，

1-exex-ex

故/（x）=—二為（°，1）上的增函數(shù)，故C錯誤，D正確?

e-e

4

故選：D.

7.(2024?重慶?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/3=］爛；，］<2,若0—3，/(^)=/(%2)=/(%3),則

當(dāng)工2一西=1時，2叼=()

log16

A.J5+lB.log^+116C.2D.log'16

2

【答案】A

【解析】設(shè)［(再)=/(馬)=/(七)=左，則直線夕=后與函數(shù)/(X)的圖象有三個交點，

由圖象可知，0<%<1<》2<2<%,

由/(占)=/(芍),則有-log2X1=log2X2=log?(1+玉),

則有，=1+再，解得玉=立三，有Z=且生，

匹222

又/(無2)=/@3),所以log,好土1=22』=&,

22巧

4

得八…"。一七】6

8.(2025?山西?二模)已知函數(shù)/(無)的定義域為RJ(-l)=0,函數(shù)了=獷(》+3)是奇函數(shù)，函數(shù)y=(x+l)/(x)

的圖象關(guān)于直線x=T對稱，則()

A./(x)是偶函數(shù)B./(x-l)是奇函數(shù)

C./(x+8)=/(x)D./(1)=0

【答案】B

【解析】因為了=#(x+3)是奇函數(shù)，所以/'(x+3)為偶函數(shù),

所以/(-x+3)=/(x+3),即/(-x)=/(x+6),故〃x)的圖象關(guān)于直線x=3對稱,

由了=(x+l)/(x)的圖象關(guān)于直線x=-l對稱得(x+l)/(x)=(-2-x+l)/(-2-x),

gp(x+l)/(x)=-(x+l)/(-2-x),

5

即/(力=一〃一X-2),所以/(X)關(guān)于(-1,0)對稱,

所以/(-x)=-/(x-2),所以,

故/卜-1)是奇函數(shù)，所以B選項正確；

因為/(_力-2),又/(-x)=/(尤+6),所以/(x+6)-2),

即/(尤+8)=-/()所以f(x+16)=(x+8)=f(x),故C選項錯誤；

不能得到/(x)的奇偶性與;'⑴的值，故A,D選項錯誤.

故選：B

二.多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每個小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選

對得6分，不分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.(2025?河北秦皇島?二模)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,若滿足“l(fā)-x)+/(x)=T,且函數(shù)/(x+1)是奇函

數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A./(0)=-1B./(2025)=2023

2025

c./(x+2024)=/(x)D.Z/(0--2025

z=-2024

【答案】AD

【解析】函數(shù)/(x)的定義域為R，由函數(shù)/(x+1)是奇函數(shù)，得〃f+l)=-〃x+l),

對于A,由/(-x+l)=-/(x+1),得/(1)=0,由/(I一x)+/(x)=T,

得/(1)+/(0)=-1,則/(。)=-1,A正確；

對于B,由/(一%+1)=-/(%+1),/(I-x)+/(x)=-1,得于l+1)-=

/(2025)=/⑴+/(2)-/(1)+/(3)-/(2)+…+/(2025)-/(2024)=2024,B錯誤;

對于C42025)=2024,而/⑴=0,即“2025)，/⑴，因此/(x+2024)w/(%),C錯誤;

對于D,由->+1)=+/(I-x)+/(I+%)=0,

2025

則￡/(0--/(2026)+/(-2024)+/(2026)+/(-2023)+/(2025：

i=—2024

+-??+/(-1)+/(3)+/(0)+/(2)=-/(2026)=-"(2025)+1]=-2025,D正確.

故選：AD

10.(2025?廣東佛山?二模)已知函數(shù)〃x)=Jsm：,則/(同()

A.最小正周期為兀B.是奇函數(shù)

C.在[0,可上單調(diào)遞增D.最大值為1

6

【答案】BD

/、2sin(兀+x)2sinx

【解析】由/兀+X——\=--———=-/^),顯然兀不是〃x)的周期，A錯；

3+cos2(7i+X)3+cos2x

由/(X)的定義域為R,且/(-xbjsin,：)、=[2sm;=一人力,所以/'(x)為奇函數(shù)，B對；

3+cos(-2x)3+cos2x

由解析式，易得/(0)=/(兀)=0,顯然在[0,可上不是單調(diào)遞增，C錯;

,X2sinxsinx

由/(x)=--------=....-^―，

3+cos2x2-sin2x

4*^=sinxG[-l,l],貝l]/(x)=〃0)=—二,且力(0)=0,

2—，

若ro,則'⑺=廠，又＞=2一在[-1,0)、(0,1]上都單調(diào)遞減，

-tt

t

在1,0)上了=，2一YT，A0)e[-l,0),在(0,1]上丁=^2721,的)e(0,l],

所以/(無)=〃(。的最大值為1，D對.

故選：BD

11.(2025?山西晉城?二模)設(shè)/(x),g(x)均是定義在R上的函數(shù)，且“1-3無)+g(x)=l,則下列說法正確的

是()

A.若g(x)是偶函數(shù)，則”無)的圖象關(guān)于直線x=-l對稱

B.若g(x)是最小正周期為1的函數(shù)，則/■(“是最小正周期為3的函數(shù)

C.若〃x)是偶函數(shù)，則g(x)的圖象關(guān)于直線x=g對稱

D.若是奇函數(shù)，則￡g佶]=9

z=i

【答案】BCD

【解析】對于A,因為g(x)是偶函數(shù)，所以〃l+3x)+g(r)=〃l+3x)+g(x)=l,

所以〃l+3x)=〃l-3x),即〃x)的圖象關(guān)于直線尤=1對稱，故A錯誤；

對于B,因為g(x)是最小正周期為1的函數(shù)，所以＞=1-/(1-3#是最小正周期為1的函數(shù)，

設(shè)〃x)的最小正周期為T,由(=1，得7=3,故B正確；

對于C由于l-3x)+g(x)=l,得/(c)+g[；_；x)=1,

乂/(x)是偶函數(shù)，所以/(-x)+g[；+；x]=/(x)+g]1-%]=1,

7

所以g[l一=+則g(x)的圖象關(guān)于直線X=g對稱，故c正確；

對于D,由C項可知，/(x)+g[§-丁;)=1,

因為〃x)是奇函數(shù)，所以/'(一到+8：+/)=1,BPgQ+^-/(x)=l,

貝*1++>8.-*卜2,所以++=

因此g(x)的圖象關(guān)于點g,1]對稱，且g[J=1,

所以ixm+g〔制+卜昌+81"+卜圖+8圖

+R曰+g周+g[計4X2+1=9,故D正確.

故選：BCD.

三.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(2025?江蘇?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(x)=log“(2x+4，)-x(a>0且"1)是偶函數(shù)，貝lJ/(0)=.

2

【答案】j

【解析】因為2、+4,>0對任意的xeR恒成立，可知函數(shù)7'(x)的定義域為R,

因為函數(shù)〃無)是偶函數(shù)，則/⑴=/(-1),即log〃6T=lo&：+l,

整理可得log“6-log?：3=bg.8=3log。2=2,即log02、2，

可得/村-/(川=1嗚(2，+4工6-腕，*+4-，H

2X+4X

=logq-—--2x=log。23A-2X=3jdogq2-2x=2x-2x=0，

o

即/(%)=/(-%)，可知是偶函數(shù)，log.2=H符合題意，

所以〃0)=1叫2=§.

2

故答案為：

13.(2025?廣東汕頭?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(力二?!設(shè)g(x)=|/(x)|-ax+a,若函數(shù)g(x)僅有一

\-x+l,x>1,

個零點，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(-*-1]O[0,2]

【解析】因為函數(shù)g(x)=|/(尤)卜。尤+。僅有一個零點，

8

所以函數(shù)y=7(x)1的圖象與函數(shù)y=的圖象只有一個交點.

函數(shù)y=ax-a恒過定點(1,0)」

IX—1,X>1

同一坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)圖象，如圖所示，

兩個函數(shù)圖象已經(jīng)有一個交點(1,0).

x>l時，^=|/(x)|=x2-l,其導(dǎo)函數(shù)了=2尤，

當(dāng)直線尸方一。與函數(shù)；；=，(刈=/_1在(1,0)處相切時，只有一個交點0,0),

\a=2xl=2

此時《八，解得。=2,則當(dāng)〃>2時，有兩個交點.

[a>0

時，y=|/(x)|=ln(2-x),其導(dǎo)函數(shù)/=-￡,

當(dāng)直線尸與函數(shù)y=|/(x)|=ln(2-x)在(1,0)處相切時，只有一個交點(1,0),

1I

a=--------=—]

此時12-1,解得Q=-1,則當(dāng)-1<4<0時，有兩個交點.

Q<0

綜上，要使函數(shù)g(x)僅有一個零點，則實數(shù)。的取值范圍是

故答案為：H，-l]U[0,2].

2-X2,X<1,

14.(2025?北京海淀?一模)已知函數(shù)/(x)=<logj|ox+3j,x>l（a>0且"1）.若/（x）的值域為（f,2],

則。的一個取值為；若的值域為R,則。的取值范圍是

【答案】y[2,+8)

【解析】第一空：當(dāng)X41時，易知y=2-/的值域為(f,2],

若〃x)的值域為(f2],則當(dāng)x>1時，J=log+3)的最大值需滿足小于或等于2,

9

0<6Z<1

因為丁=；辦+3在(l,+8)上單調(diào)遞增，故需滿足：<1+3)<2即0<Q<1

log2/-。-64。'解得：故。的

一個取值為:；

第二空：當(dāng)X41時，易知》=2--的值域為(—,2］,

若〃x)的值域為R,則需滿足當(dāng)尤>1時，了=log,+3)的最小值需滿足小于或等于2,

［a>\

又y=［ax+3在(1,+s)上單調(diào)遞增，則需滿足?(a八八即a>\

2/-”6之?！獾茫盒?所以”的取值

2logJ-+31<2

范圍是［2,+8).故答案為：1,［2,+?)

四.解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟；15題13分，16、17題各

15分，18、19題各17分

15.(2026高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)8(&)=辦2-2^+1+，伍>0)在區(qū)間［2,3］上有最大值4和最小值1.

(1)求。，6的值；

⑵若存在xe［3,4］,使g(x)<2療-加+7對任意的府［0,5］都成立,求實數(shù)加的取值范圍.

ci—\

【答案】⑴

b=0

(2)(-OO,1)UR,+OO

【解析】(1)因為g(x)=ax2-2ax+l+6=a(x-ij+l+b-a,且。＞0,

可知g(x)的圖象開口向上，對稱軸為X=l,可知g(x)在［2,3］上單調(diào)遞增,

g；⑵3；==19+”6=61,+1+1，解得a=\

則

b=0

(2)由(1)得g(無)=x~—2x+1,

因為存在xe［3,4］,使g(x)<2/-M+7對任意的/?0,5］都成立，

由⑴可知：g(x)在［3,4］內(nèi)單調(diào)遞增,則8⑺叱8⑶=4,

可得4<2加2一加+7,即/(。=一加+2療+3>0對任意的fe［0,5］都成立,

/(0)=2m2+3>03

可得［<<一:八，解得〃?<1或心彳，

f(5J=-5m+2m+3>02

10

故實數(shù)相的取值范圍為(-%1)。|，+m.

2X

16.(2025高三?全國?專題練習(xí))定義在R上的奇函數(shù)有最小正周期為2,且xe(0,l)時，/(%)=

4"+1

⑴求/(%)在［-1』上的解析式;

⑵4取何值時，方程/(%)=%在［-草］上有解.

2X

xe(O,l),

4、+1'

2X

【答案】⑴/(')=<xe(-l,O),

4x+r

0,X€{-1,0,11.

(2)Xe{0}U(|＞；2

U

5

2T2”

【解析】(1)xe(TO)時，-尤e(O,l),則〃-x)=

4114X+1

2%

因/(X)為奇函數(shù)，則〃X)=-/(T)=-

4X+1

因〃x)的最小正周期為2，則/(-1)=/(-1+2)=/(1),

又/(T)=一/(1)，則/(T)=/(1)=/(。)=0，

2X

xe(0,l),

4、+1'

2X

則/(%)=,xe(-l,0),

4x+r

0,xe{-1,0,1}.

(2)Vx1?x2e(O,l),且可＜%2，則

2』空2%(平+1)-2*2(4為+1)(2葉次_])(2%2-

/(再)-/(々)=

4A1+14*2+1-(4』+1)(4*+1)4項+。(4過+

因0〈不〈迎〈1，貝12?也>1,2也>2$，4*+1>0,4應(yīng)+1>0,

則/(占)-/(%)>0,即/(占)>/(尤2)，則/(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，則14)；

利用奇函數(shù)性質(zhì)可得，/(x)在(-1,0)上也單調(diào)遞減，且〃x)e,g,-|

畫出圖象如圖所示,

11

由圖象可知，則2=0或或時，y=2與y=/(x)的圖象有交點，

即方程/(力=力在[-川上有解,故法網(wǎng)嗚,泉(-；,-|).

17.(2026高三?全國?專題練習(xí))對于定義域為[0』的函數(shù)/"(x),如果同時滿足以下三個條件：①對任意的

xw[0,l],總有/（x）20；②/（1）=1；③若占20,x2>0,Xj+x2<1,都有/（再+三）2/（占）+/（工2）成立,

則稱函數(shù)/(X)為理想函數(shù).

(1)若函數(shù)/(X)為理想函數(shù)，求/(0)的值；

(2)判斷函數(shù)g(x)=2'-l(xe[0,1])是不是理想函數(shù)，并予以證明.

【答案】⑴/(。)=0

(2)g(x)為理想函數(shù)，證明見解析

【解析】(1)若函數(shù)/(x)為理想函數(shù)，取再=%=0,由條件③可得〃0"/(0)+/(0),即/'(o)wo.

由條件①對任意的xe[0,l],總有〃0"0,得"0)=0.

(2)函數(shù)8卜)=2'-1(無40,1])為理想函數(shù)，證明如下：

函數(shù)g(x)=2-l在[0』上滿足g(x)N0,即滿足條件①.

?.?g(l)=2-l=l,;.g(x)滿足條件②.

若石20,x2>0,+x2<1,

則g(%+X2Hg(再)+g(%)]=2-1-[(2^-1)+(2^-1)]

=2近一2國一29+1=(2^-1)(2':'-1)>0,即滿足條件③.

綜上所述，g(x)同時滿足理想函數(shù)的三個條件，故g(x)為理想函數(shù).

18.(2025?上海青浦?模擬預(yù)測)對于函數(shù)y=/(x),其中/'(x)=b&x(a>0,aWl).

12

(1)若函數(shù)了=/(尤)的圖像過點(4,2),求〃2x-2)</(x)的解集；

⑵求證：當(dāng).=拒時，存在x使得/■(尤+1)J(辦)J(x+2)成等差數(shù)列.

【答案】(1)(1,2)

⑵證明見解析

【解析】(1)已知函數(shù)y=/(x)=log”X的圖像過點(4,2),

所以k)g〃4=2,即/=4,因為。>0,awl,所以。=2,

則〃x)=log2X.

函數(shù)〃x)=log2X的定義域為(0,討)，且在定義域上單調(diào)遞增.

2x-2>0

由〃2x-2)</(x)可得x>0,

2x-2<x

解得l<x<2,所以不等式的解集為(1,2).

(2)當(dāng)°=血時，/(x)=log^gx,f{x+1)=log^(x+1),

f(ox)=log四(缶)=logaV2+log皿X=1+log^x,f(x+2)=log正(X+2).

若/(x+1)、f(ax)、f(x+2)成等差數(shù)列,則2〃辦)=f(x+1)+f(x+2),

即2(l+k>g0X)=logHx+l)+log/尤+2).

所以2+2log0x=log應(yīng)［(x+l)(x+2)］,

即log/(VI)2+log四尤2=log^(尤2+3苫+2),

即log及(2x2)=log,(x2+3x+2),貝！|2/=尤2+3》+2,移項可得--3尤-2=0.

對于一■兀二次方程x2-3x-2=0,A=(—3)"—4x(—2)=9+8=17>0,

所以方程有實數(shù)解，即存在x使得/(尤+1)、”女)、/(》+2)成等差數(shù)列.

19.(24-25高三上?云南?階段練習(xí))對于定義域。的函數(shù)y=/(x),若存在區(qū)間吊，"仁使得當(dāng)時,

函數(shù)/'(x)的值域恰為［加，利化>0),則稱函數(shù)〃x)是在"，句上的"左倍值函數(shù)",區(qū)間/,〃］叫做域倍值區(qū)間”.

(1)已知函數(shù)〃x)=/是［1,同上的"2倍值函數(shù)"，求。的值；

(2)若函數(shù)g(無)-3x+4是年倍值函數(shù)"，求左的取值范圍；

⑶設(shè)函數(shù)%("=-/+機(jī)是"3倍值函數(shù)"，且存在唯一的"3倍值區(qū)間"，求加的值.

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【答案】⑴2

⑵口，3）

（3）1

【解析】（1）因為函數(shù)/（"=/在［1,可上單調(diào)遞增，且是"2倍值函數(shù)”.

所以〃1）=F=1,/⑷=.2,其值域為［2xl,2xa］=［2,2“］.

則/=2〃，又?！?,解得a=2.

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（2）函數(shù)g（x）=5x2—3x+4=］（x—3）9對稱軸為x=3.

設(shè)g（x）的"左倍值區(qū)間〃為