第一章勾股定理（單元測試）-2025—2026學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊一、選擇題1．一個(gè)直角三角形，若三邊的平方和為200，則斜邊長為（）A．8 B．9 C．10 D．112．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，A．10 B．485 C．125 3．如圖，有一個(gè)圓柱體，它的高為12，底面周長為10，如果一只螞蟻要從圓柱體下底面的A點(diǎn)，沿圓柱表面爬到與A相對的上底面的B點(diǎn)，則螞蟻的最短路線長為（）A．13 B．262 C．15 4．如圖所示的圖案是由兩個(gè)直角三角形和三個(gè)正方形組成的圖形，其中一直角三角形的斜邊和一直角邊長分別是13，12，則陰影部分的面積是（）A．50 B．41 C．25 D．165．如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的大正方形．若圖中的直角三角形的一條直角邊長為5，大正方形的邊長為13，則中間小正方形的面積是（）A．144 B．49 C．64 D．256．如圖，一個(gè)長為5m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端離地面的垂直距離為4m，則梯子的底端離墻的距離是（）A．3m B．4m C．5m D．41m7．如圖，在△ABC中，AB=2，BC=3，以AC為邊作正方形ACDE，若正方形A．3 B．6 C．10 D．168．如圖，D是Rt△ABC斜邊AB上一點(diǎn)，且BD=BC=AC=1，P為CD上任意一點(diǎn)，PF⊥BC于點(diǎn)F，PE⊥AB于點(diǎn)E，則PE+PF的值是（）A．22 B．12 C．32二、填空題9．若三角形的三邊之比為3:4:5，則此三角形為三角形．10．如圖，在△ABC中，AC=BC，BD⊥AC于點(diǎn)D，AD=1，BD=3，則BC的長為．11．如圖，一架2.5米長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AC上，這時(shí)梯足B到墻底端C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么梯足將外移米．12．如圖，在一棵樹的10米高的B處有兩只猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹跑到A處（離樹20米）的池塘邊，另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，若兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高米．13．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，點(diǎn)D在AC上，且AD=2，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE，點(diǎn)F，G分別是BC，DE的中點(diǎn)，連結(jié)AG，F(xiàn)G．當(dāng)AG=FG時(shí)，線段AG的長為．14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，BD是∠ABC是的平分線，E是線段BD上一點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC上一點(diǎn)，則CE+EF的最小值為．

??三、解答題15．如圖，等腰三角形ABC中AB=AC,（1）求AD的長；（2）求△ABC16．如圖，在四邊形ABED中，∠B=∠E=90°，C是BE邊上一點(diǎn)，AC⊥CD，CB=DE.（1）求證：△ABC≌△CED；（2）若AB=5，CB=2，求AD的長.17．如圖，有一個(gè)池塘，其底邊長為10尺，一根蘆葦AB生長在它的中央，高出水面部分BC為1尺．如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B'18．如圖，把一塊直角三角形ABC（其中∠ACB=90°）土地劃出一個(gè)三角形ADC后后，測得CD=3米，AD=4米，BC=12米，AB=13米.（1）判斷△ACD的形狀，并說明理由；（2）求圖中陰影部分土地的面積.19．在一條東西走向的河流一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中AB=AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)D(A、D、B在同一條直線上)，并新修一條路CD，測得CB=6.5千米，（1）求證：CD⊥AB；（2）求原來的路線AC的長；20．物理課上，老師帶著科技小組進(jìn)行物理實(shí)驗(yàn).同學(xué)們將一根不可拉伸的繩子繞過定滑輪A，一端拴在滑塊B上，另一端拴在物體C上，滑塊B放置在水平地面的直軌道上，通過滑塊B的左右滑動(dòng)來調(diào)節(jié)物體C的升降．實(shí)驗(yàn)初始狀態(tài)如圖1所示，物體C靜止在直軌道上，物體C到滑塊B的水平距離是6dm，物體C到定滑輪A的垂直距離是8dm．（實(shí)驗(yàn)過程中，繩子始終保持繃緊狀態(tài)，定滑輪、滑塊和物體的大小忽略不計(jì)）（1）求繩子的總長度；（2）如圖2，若物體C升高7dm，求滑塊B向左滑動(dòng)的距離．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，根據(jù)勾股定理得：a2+b2=c2，∵a2+b2+c2=200，∴2c2=200，∴c2=100，∴c=10.故答案為：C.【分析】設(shè)出直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，利用勾股定理得a2+b2=c2，再由三邊的平方和為200，得a2+b2+c2=200，根據(jù)兩式即可求出斜邊的長．2．【答案】D【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6；

∴AB=82+62=10

∴故答案為：D.

【分析】根據(jù)勾股定理，可得AB的值；根據(jù)三角形面積相等的原則，列代數(shù)式，可直接求出CD的值.3．【答案】A【解析】【解答】解：將圓柱體側(cè)面沿A點(diǎn)所在直線展開，點(diǎn)A，B的最短距離為線段AB的長，由圖可知：AC=102=5∴AB為最短路徑為：52則螞蟻爬的最短路線長為13，故答案為：A．

【分析】先將立體幾何轉(zhuǎn)換為平面幾何，再利用勾股定理求出最短路徑即可.4．【答案】A【解析】【解答】解：如圖，根據(jù)勾股定理得出：AC=∴EC=AC=5，∵CE∴陰影部分的面積是5故答案為：A.

【分析】根據(jù)勾股定理求出AC=5即可得出答案.5．【答案】B【解析】【解答】解：根據(jù)勾股定理得：直角三角形的另一個(gè)直角邊=132?52=12，

∴小正方形的邊長=12-5=7，

∴中間小正方形的面積=72=49.

6．【答案】A【解析】【解答】解：梯子的底端離墻的距離為52故答案為：A.

【分析】本題考查勾股定理實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)勾股定理的變形可得直角邊=7．【答案】C【解析】【解答】解：∵正方形ACDE的面積為13，∴AC=13在△ABC中，AB=2，BC=3.，

根據(jù)勾股定理得：根據(jù)勾股定理逆定理得∠ABC=90°，∴S陰影故答案為：C

【分析】由正方形面積求得AC=13，利用勾股定理的逆定理證明∠ABC=90°8．【答案】A【解析】【解答】解：過點(diǎn)C作CH⊥AB，如圖，

∵Rt△ABC中AC=BC=1，

∴AB=2，

∴S△ABC=12AC·AB=12AB·CH，

∴CH=22，

∵PF⊥BC，PE⊥AB，

∴S△BCD=S△BCP+S△BDP，即12BD·CH=12BC·PF+12BD·PE，

∴PE+PF=22.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)勾股定理得AB的長，再根據(jù)等面積法求得CH的長，根據(jù)S9．【答案】直角【解析】【解答】解：∵三角形的三邊之比為3:4:5，設(shè)三角形三邊分別是3x、4x、5x。3x2∴此三角形是直角三角形，故答案為：直角．【分析】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用?？梢愿鶕?jù)三邊比假設(shè)出三邊的長度，然后列示計(jì)算即可得出該三角形是直角三角形。10．【答案】5【解析】【解答】解：設(shè)BC為x，則CD為x-1，

∵BD⊥AC，

∴x2=x?12+9，

解得：x=5，

11．【答案】0.8【解析】【解答】解；在直角△ABC中，已知AB=2.5m，BC=0.7m，則AC=2.52?0.72=2.4m，

∵AC=AA1+CA1

∴CA1=2m，

∵在直角△A故答案為：0.8．【分析】在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理求出AC長，即可求除CA1長，然后在直角三角形A1B112．【答案】15【解析】【解答】解：如圖，設(shè)樹的高度為x米，因?yàn)閮芍缓镒铀?jīng)過的距離相等，即都為30米，

由勾股定理得：x2+202=[30?(x?10)]2，

13．【答案】13【解析】【解答】解：連接DF、AF、EF，如圖，

在△ABC中，AB=AC=5，∠CAB=90°，

∴∠B=∠C=45°，

∵點(diǎn)F，G分別是BC，DE的中點(diǎn)，

∴AG=DG=EG，AF=BF，AF⊥BC，∠DAF=45°，

∴∠DAF=∠B=45°，

∵FG=AG，

∴FG=DG=EG，

∴△DFE為直角三角形，且∠DFE=90°，

∵∠DFA+∠AFE=∠BFE+∠AFE=90°，

∴∠DFA=∠EFB，

在△AFD和△BFE中

∠DAF=∠BAF=BF∠DFA=∠EFB

∴△AFD?△BFEASA，

∴AD=BE=2，

∴AE=5?2=3，

∴DE=AD2+AE2=13，

14．【答案】125【解析】【解答】解：在AB上取一點(diǎn)F'，使BF'＝BF，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，如圖所示：

∵BD是∠ABC的平分線，

∴∠EBF＝∠EBF'，

又∵BE＝BE，

∴△EBF≌△EBF'（SAS），

∴EF＝EF'，

∴CE＋EF＝CE＋EF'≥CH，

∴CE＋EF的最小值為CH的長，

在Rt△ACB中，

∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，

由勾股定理，得AB=AC2+BC2=32+42=5，

∵S△ABC＝12AB?CH＝12AC×BC，15．【答案】（1）解：設(shè)AD=xcm，∵是在等腰三角形ABC中，∴AB=AC，

則列示為（x+3）2=x2+42

解得x=76

∴AD的長為7（2）解：△ABC的面積=AB×CD×12=（3+76）×4×12=253cm2

∴△【解析】【分析】（1）題可以放到直角三角形ACD中，因?yàn)锳B=AC，所以利用勾股定理列式求解即可；

（2）題根據(jù)（1）題的結(jié)果計(jì)算出AB的長度，然后以AB為底、CD為高即可計(jì)算出三角形的面積。16．【答案】（1）證明：如圖.∵∠B=∠E=90∴∠BAC+∠1=90∵AC⊥CD，∴∠1+∠2=90∴∠BAC=∠2.在△ABC和△CED中，∵∴△ABC≌△CED(AAS).（2）解：∵△ABC≌△CED，∴AC=CD.∵AB=5，BC=2，∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=A∴CD=AC=29∴在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=A【解析】【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得∠BAC=∠2，根據(jù)AAS判定△ABC≌△CED；

（2）根據(jù)勾股定理求得AC，再利用全等三角形的性質(zhì)得CD=AC，再根據(jù)勾股定理求得AD.17．【答案】解：設(shè)池塘水深x尺，則蘆葦高(x+1)尺．根據(jù)題意，可列方程5解方程，得x=12∴12+1=13尺答：池塘水深12尺，蘆葦高13尺.【解析】【分析】設(shè)池塘水深x尺，則蘆葦高(x+1)尺，根據(jù)題意列出方程5218．【答案】（1）解：△ACD是直角三角形，理由：在Rt△ACP中，∠ACB=90°，由勾股定理得，AB2=A在△ACD中，∵A∴△ACD是直角三角形，∠ADC=90°（2）解：圖中陰影部分土地的面積=1【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由勾股定理求出AC=5，繼而由勾股定理逆定理求出∠ADC=90°；

（2）根據(jù)三角形的面積公式求出答案即可。19．【答案】（1）證明：∵CB=6.5千米，CD=6千米，BD=2.5千米，

62+2.52=6（2）解：設(shè)AC=x千米，則AD=(x?2.5)千米．

∵CD⊥AB，∠ADC=90°，

∴CD2+AD2=AC2，即62【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理證明△CDB為直角三角形，即可得證；

（2）設(shè)AC=x千米，則AD=(x?2.20．【答案】（1）解：根據(jù)題意得AC=8dm，BC=6dm，∠ACB=90°，∴AB=A∴AB+AC=10+8=18dm，答：繩子的總長度為18dm；（2）解：如下圖所示，：根據(jù)題意得∠ADB=90°，AD=8dm，CD=7dm，AB=10+7∴BD=A∴BE=BD?DE=15?6=9dm，答：滑塊B向左滑動(dòng)的距離為9dm．【解析】【分析】1根據(jù)Rt△ABC中直角邊AC的長度是8dm，BC的長度是6dm，利用勾股定理求出斜邊AB的長度，