第頁4．5．3函數(shù)模型的應用【知識點梳理】知識點一、幾種常見的函數(shù)模型1、一次函數(shù)模型：（，為常數(shù)，）2、二次函數(shù)模型：（為常數(shù)，）3、指數(shù)函數(shù)模型：（為常數(shù)，，且）4、對數(shù)函數(shù)模型：（為常數(shù)，，且）5、冪函數(shù)模型：（為常數(shù)，）6、分段函數(shù)模型：知識點二、解答應用問題的基本思想和步驟1、解應用題的基本思想2、解答函數(shù)應用題的基本步驟求解函數(shù)應用題時一般按以下幾步進行：第一步：審題弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇模型．第二步：建模在細心閱讀與深入理解題意的基礎上，引進數(shù)學符號，將問題的非數(shù)學語言合理轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，然后根據(jù)題意，列出數(shù)量關系，建立函數(shù)模型．這時，要注意函數(shù)的定義域應符合實際問題的要求．第三步：求模運用數(shù)學方法及函數(shù)知識進行推理、運算，求解數(shù)學模型，得出結果．第四步：還原把數(shù)學結果轉(zhuǎn)譯成實際問題作出解答，對于解出的結果要代入原問題中進行檢驗、評判，使其符合實際背景．上述四步可概括為以下流程：實際問題（文字語言）數(shù)學問題（數(shù)量關系與函數(shù)模型）建模（數(shù)學語言）求模（求解數(shù)學問題）反饋（還原成實際問題的解答）．知識點三、解答函數(shù)應用題應注意的問題首先，要認真閱讀理解材料．應用題所用的數(shù)學語言多為“文字語言、符號語言、圖形語言”并用，往往篇幅較長，立意有創(chuàng)新脫俗之感．閱讀理解材料要達到的目標是讀懂題目所敘述的實際問題的意義，領悟其中的數(shù)學本質(zhì)，接受題目所約定的臨時性定義，理解題目中的量與量的位置關系、數(shù)量關系，確立解體思路和下一步的努力方向，對于有些數(shù)量關系較復雜、較模糊的問題，可以借助畫圖和列表來理清它．其次，建立函數(shù)關系．根據(jù)前面審題及分析，把實際問題“用字母符號、關系符號”表達出來，建立函數(shù)關系．其中，認真閱讀理解材料是建立函數(shù)模型的關鍵．在閱讀這一過程中應像解答語文和外語中的閱讀問題一樣，有“泛讀”與“精讀”之分．這是因為一般的應用問題，一方面為了描述的問題與客觀實際盡可能地相吻合，就必須用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有時為了思想教育方面的需要，也要用一些非數(shù)量關系的語言來敘述，而我們解決問題所關心的東西是數(shù)量關系，因此對那些敘述的部分只需要“泛讀”即可．反過來，對那些刻畫數(shù)量關系、位置關系、對應關系等與數(shù)學有關的問題的部分，則應“精讀”，一遍不行再來一遍，直到透徹地理解為止，此時切忌草率．【題型歸納目錄】題型一：一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應用題型二：分段函數(shù)模型的應用題型三：指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型的應用題型四：擬合函數(shù)模型的應用問題題型五：根據(jù)實際問題的增長率選擇合適的函數(shù)模型【典型例題】題型一：一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應用例1．黨的十九大報告明確要求繼續(xù)深化國有企業(yè)改革，發(fā)展混合所有制經(jīng)濟，培育具有全球競爭力的世界一流企業(yè)，這為我們深入推進公司改革發(fā)展指明了方向，提供了根本遵循．某企業(yè)抓住機遇推進生產(chǎn)改革，從單一產(chǎn)品轉(zhuǎn)為生產(chǎn)，兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與市場預測，產(chǎn)品的利潤與投資成正比，且當投資2萬元時，利潤為1萬元；產(chǎn)品的利潤與投資的算術平方根成正比，且當投資4萬元時，利潤為4萬元．(1)分別求出，兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關系式；(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入到，兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤是多少？【解析】（1）設投資為萬元，則產(chǎn)品的利潤，產(chǎn)品的利潤，由題意得，，，解得，，所以產(chǎn)品的利潤，產(chǎn)品的利潤．（2）設企業(yè)利潤為，分配給產(chǎn)品的投資為萬元，則分配給產(chǎn)品的投資為萬元，所以，故當，即時，企業(yè)利潤取得最大值，所以這10萬元資金中有6萬元投資給產(chǎn)品，4萬元投資給產(chǎn)品，可使企業(yè)獲得最大利潤，且最大利潤為7萬元．例2．某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本，據(jù)市場調(diào)查，雜志的單價每提高0.1元，銷售量就可能減少2000本，若提價后定價為x（單位：元），銷售總收入y（單位：萬元）(1)提價后如何定價才能使銷售總收入最大？銷售總收入最大值是多少？（精確到0.1）(2)如何定價才能使提價后的銷售總收入不低于20萬元？【解析】（1）由題意可得當（元）時，（萬元）.即定價為每本元可使銷售總收入最大，銷售總收入最大值約為萬元.（2）由題意可得所以，當每本雜志的定價不低于元且不超過4元時，提價后的銷售總收入不低于20萬元.例3．某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗得到下面有關生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x（百臺），其總成本為（萬元），其中固定成本為2.8萬元，并且每生產(chǎn)1百臺的生產(chǎn)成本為1萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本）．銷售收入（萬元）滿足：，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律，請完成下列問題．(1)寫出利潤函數(shù)的解析式（利潤=銷售收入-總成本）；(2)工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時，可使利潤最大，最大利潤為多少?【解析】（1）由題意可得：，，（2）當時，單調(diào)遞減，（萬元），當時，函數(shù)，當時，有最大值為（萬元），綜上：當工廠生產(chǎn)4百臺產(chǎn)品時，可使贏利最大為3.6萬元.變式1．某小型服裝廠生產(chǎn)一種風衣，日銷貨量件（）與貨價p元/件之間的關系為，生產(chǎn)件所需成本為元.(1)若該廠某日的銷貨量是30件，求該廠當日的獲利是多少元？(2)若該廠日獲利不少于1300元，求該廠日產(chǎn)量的取值范圍.【解析】（1）當時，，，所以該廠當日的獲利是(元)；（2）設該廠日獲利為，則由題意得，由，得，所以，即，解得，所以當日產(chǎn)量在20到45件之間（含20件和45件）時，日獲利不少于1300元.變式2．2022年8月9日，美國總統(tǒng)拜登簽署《2022年芯片與科學法案》．對中國的半導體產(chǎn)業(yè)來說，短期內(nèi)可能會受到“芯片法案”負面影響，但它不是決定性的，因為它將激發(fā)中國自主創(chuàng)新的更強爆發(fā)力和持久動力．某企業(yè)原有400名技術人員，年人均投入萬元，現(xiàn)為加大對研發(fā)工作的投入，該企業(yè)把原有技術人員分成技術人員和研發(fā)人員，其中技術人員名（且），調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加，技術人員的年人均投入調(diào)整為萬元．(1)若要使調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前400名技術人員的年總投入，求調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為多少人？(2)為了激勵研發(fā)人員的工作熱情和保持技術人員的工作積極性，企業(yè)決定在投入方面要同時滿足以下兩個條件：①研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術人員的年總投入；②技術人員的年人均投入始終不減少．請問是否存在這樣的實數(shù)，滿足以上兩個條件，若存在，求出的范圍；若不存在，說明理由．【解析】（1）依題意可得調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入為萬元，則，整理得，解得，因為且，所以，故，所以要使這名研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前400名技術人員的年總投入，調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為125人.（2）由條件①研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術人員的年總投入，得，上式兩邊同除以得，整理得；由條件②由技術人員年人均投入不減少，得，解得；假設存在這樣的實數(shù),使得技術人員在已知范圍內(nèi)調(diào)整后，滿足以上兩個條件，即恒成立，因為，當且僅當，即時等號成立,所以，又因為，當時，取得最大值，所以，所以，即，即存在這樣的滿足條件，其范圍為.【方法技巧與總結】1、一次函數(shù)模型的應用利用一次函數(shù)求最值，常轉(zhuǎn)化為求解不等式（或）．解答時，注意系數(shù)a的正負，也可以結合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來求最值．2、二次函數(shù)模型的應用構建二次函數(shù)模型解決最優(yōu)問題時，可以利用配方法、判別式法、換元法、討論函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值，也可以根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸與函數(shù)定義域的對應區(qū)間之間的位置關系討論求解，但一定要注意自變量的取值范圍．題型二：分段函數(shù)模型的應用例4．我國某企業(yè)自主研發(fā)了一款具有自主知識產(chǎn)權的平板電腦，并從2021年起全面發(fā)售.經(jīng)測算，生產(chǎn)該平板電腦每年需投入固定成本1350萬元，每生產(chǎn)（千臺）電腦需要另投成本萬元，且另外每臺平板電腦售價為0.6萬元，假設每年生產(chǎn)的平板電腦能夠全部售出.已知2021年共售出10000臺平板電腦，企業(yè)獲得年利潤為1650萬元.(1)求該企業(yè)獲得年利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（千臺）的函數(shù)關系式;(2)當年產(chǎn)量為多少千臺時，該企業(yè)所獲年利潤最大?并求最大年利潤.【解析】（1）10000臺=10千臺,則，根據(jù)題意得：，解得，當時，，當時，，綜上所述.（2）當時，當時，取得最大值；當時，，當且僅當時，因為，故當年產(chǎn)量為100千臺時,該企業(yè)所獲年利潤最大,最大年利潤為5900萬元.例5．某公司為使產(chǎn)品能在市場有更大的份額占比，制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案，當銷售利潤不超過10萬元時按銷售利潤的15%進行獎勵，當銷售利潤超過10萬元時，前10萬元按銷售利潤的15%進行獎勵，若超出部分為A萬元，則超出部分按進行獎勵．記獎金為y（單位：萬元），銷售利潤為x（單位：萬元）．(1)寫出獎金y關于銷售利潤x的關系式；(2)如果某業(yè)務員要得到7.5萬元的獎金，那么他的銷售利潤是多少萬元？【解析】（1）由題意知當時，，當時，，所以；（2）由題意，則，所以，解得，所以該業(yè)務員的銷售利潤為18萬元時，才可獲得7.5萬元獎金．例6．濟南市地鐵項目正在加火如荼的進行中，通車后將給市民出行帶來便利，已知某條線路通車后，列車的發(fā)車時間間隔t（單位：分鐘）滿足，經(jīng)市場調(diào)研測算，列車載客量與發(fā)車時間間隔t相關，當時列車為滿載狀態(tài)，載客量為500人，當時，載客量會減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為2分鐘時的載客量為372人，記列車載客量為.(1)求的表達式，并求當發(fā)車時間間隔為5分鐘時，列車的載客量；(2)若該線路每分鐘的凈收益為（元），問當發(fā)車時間間隔為多少時，該線路每分鐘的凈收益最大，并求出最大值.【解析】（1）由題設，當時，令，又發(fā)車時間間隔為2分鐘時的載客量為372人，∴，解得.∴，故時，，所以當發(fā)車時間間隔為5分鐘時，列車的載客量為人.（2）由（1）知：，∵時，當且僅當?shù)忍柍闪?，∴上，而上，單調(diào)遞減，則，綜上，時間間隔為4分鐘時，每分鐘的凈收益最大為132元.變式4．響應國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)萬眾創(chuàng)新”的號召，小王大學畢業(yè)后決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品，經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)該小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入波動成本萬元，已知在年產(chǎn)量不足萬件時，，在年產(chǎn)量不小于萬件時，，每件產(chǎn)品售價元，通過市場分析，小王生產(chǎn)的產(chǎn)品當年能全部售完.(1)寫出年利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)解析式（年利潤年銷售收入固定成本波動成本．）(2)年產(chǎn)量為多少萬件時，小王在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？【解析】（1）當時，，當時，，故年利潤關于的函數(shù)關系式為．（2）由（1）知，，當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當時，，當且僅當，即時，等號成立，故當年產(chǎn)量為萬件時，所獲利潤最大，最大利潤為萬元．變式5．麗水市某工廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品的年固定成本為200萬元，若甲產(chǎn)品的年產(chǎn)量為萬件，則需另投入成本萬元）．已知甲產(chǎn)品年產(chǎn)量不超過100萬件時，；甲產(chǎn)品年產(chǎn)量大于100萬件時，．因設備限制，甲產(chǎn)品年產(chǎn)量不超過200萬件．現(xiàn)已知甲產(chǎn)品的售價為50元/件，且年內(nèi)生產(chǎn)的甲產(chǎn)品能全部銷售完．設該廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品的年利潤為（萬元）．(1)寫出關于的函數(shù)解析式；(2)當年產(chǎn)量為多少時，該廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品所獲的利潤最大？【解析】（1）當時，，當時，，故.（2）①當時，，當時，.②當時，．當且僅當，即時等號成立，因為，所以．答：當年產(chǎn)量為72萬件時，該廠所獲利潤最大，最大利潤為1096【方法技巧與總結】1、分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏．2、分段函數(shù)的定義域為對應每一段自變量取值范圍的并集．3、分段函數(shù)的值域求法：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結論．題型三：指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型的應用例7．水葫蘆原產(chǎn)于巴西能凈化水質(zhì)蔓延速度極快，在巴西由于受生物天敵的鉗制，僅以一種觀賞性的植物分布于水體.某市2018年底，為了凈化某水庫的水質(zhì)引入了水葫蘆，這些水葫蘆在水中蔓延速度越來越快2019年一月底，水葫蘆覆蓋面積為，到了四月底測得水葫蘆覆蓋面積為，水葫蘆覆蓋面積（單位：），與時間（單位：月）的關系有兩個函數(shù)模型且與可供選擇.(1)分別求出兩個函數(shù)模型的解析式(2)今測得2019年5月底水葫蘆的覆蓋面積約為，從上述兩個函數(shù)模型中選擇更合適的一個模型求水葫蘆覆蓋面積達到的最小月份.參考數(shù)據(jù)：，【解析】（1）依題意函數(shù)過點和，若選擇模型，則，解得，，故函數(shù)模型為．若選擇模型，則，解得，，故函數(shù)模型為．（2）若選擇模型，即，當時，若選擇模型，即，當時，因為，所以更合適，令，則，兩邊取對數(shù)可得，則，所以水葫蘆覆蓋面積達到的最小月份是月份.例8．美國對中國芯片的技術封鎖激發(fā)了中國“芯”的研究熱潮．某公司研發(fā)的兩種芯片都已經(jīng)獲得成功．該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費資金千萬元，現(xiàn)在準備投入資金進行生產(chǎn)．經(jīng)市場調(diào)查與預測，生產(chǎn)芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入千萬元，公司獲得毛收入千萬元；生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬元）與投入的資金（千萬元）的函數(shù)關系為，其圖象如圖所示．(1)試分別求出生產(chǎn)兩種芯片的毛收入（千萬元）與投入的資金（千萬元）的函數(shù)關系式；(2)現(xiàn)在公司準備投入億元資金同時生產(chǎn)兩種芯片，求分別對兩種芯片投入多少資金時，該公司可以獲得最大凈利潤，并求出最大凈利潤．（凈利潤芯片的毛收入芯片的毛收入研發(fā)耗費資金）【解析】（1）生產(chǎn)芯片的毛收入與投入的資金成正比，可設，每投入千萬元，公司獲得毛收入千萬元，，生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬元）與投入的資金（千萬元）的函數(shù)關系式為：；由圖象可知：，解得：，生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬元）與投入的資金（千萬元）的函數(shù)關系式為：.（2）設對芯片投入的資金為千萬元，則對芯片投入的資金為千萬元，設凈利潤為千萬元，則，令，則，則當，即時，，當對芯片投入億元，對芯片投入億元時，該公司可以獲得最大的凈利潤，最大凈利潤為千萬元.例9．中國茶文化博大精深．茶水的口感與茶葉的類型和水的溫度有關．經(jīng)驗表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，在25℃室溫下，設茶水溫度從85℃開始，經(jīng)過x分鐘后的溫度為y℃，則滿足（，，）．(1)求實數(shù)k的值；(2)經(jīng)過測試知，求在25℃室溫下，剛泡好的85℃的茶水大約需要放置多長時間才能產(chǎn)生最佳飲用口感（結果精確到1分鐘）．（參考數(shù)據(jù)：，，）【解析】（1）依題意，當時，，所以，解得，所以實數(shù)k的值是60．（2）由（1）知，當時，，當時，，即，兩邊取對數(shù)，得，所以．所以剛泡好的85℃的茶水大約需要放置7分鐘才能產(chǎn)生最佳飲用口感．變式7．某同學對航天知識有著濃厚的興趣，通過查閱資料，他發(fā)現(xiàn)在不考慮氣動阻力和地球引力等造成的影響時，火箭是目前唯一能使物體達到宇宙速度，克服或擺脫地球引力，進入宇宙空間的運載工具．早在1903年齊奧爾科夫斯基就推導出火箭的最大理想速度公式：，被稱為齊奧爾科夫斯基公式，其中為噴流相對火箭的速度，和分別是火箭的初始質(zhì)量和發(fā)動機熄火（推進劑用完）時的質(zhì)量，被稱為火箭的質(zhì)量比．(1)某火箭的初始質(zhì)量為160噸，噴流相對火箭的速度為2千米/秒，發(fā)動機熄火時的火箭質(zhì)量為40噸，求該火箭的最大理想速度（保留2位有效數(shù)字）；(2)根據(jù)現(xiàn)在的科學水平，通常火箭的質(zhì)量比不超過10．如果噴流相對火箭的速度為2千米/秒，請判斷該火箭的最大理想速度能否超過第一宇宙速度7.9千米/秒，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）由題意，，，，∴，∴該火箭的最大理想速度為2.8千米/秒．（2）∵，，∴．∵，∴，即．∴該火箭的最大理想速度不能超過第一宇宙速度7.9千米/秒．變式8．某集團公司為鼓勵下屬企業(yè)創(chuàng)業(yè)，擬對年產(chǎn)值在50萬元到500萬元的新增小微企業(yè)進行獎勵，獎勵方案遵循以下原則：獎金（單位：萬元）隨年產(chǎn)值（單位：萬元）的增加而增加，但獎金不低于7萬元，且不超過年產(chǎn)值的.(1)若某下屬企業(yè)年產(chǎn)值100萬元，核定可得9萬元獎金.試分析函數(shù)模型（為常數(shù)）是否為符合集團的獎勵原則，并說明原因；(2)設，若函數(shù)模型符合獎勵原則，試求的取值范圍.參考數(shù)據(jù)：.【解析】(1)對于函數(shù)模型（為常數(shù)），當時，，代入模型解得，所以，獎勵原則為：①在區(qū)間上遞增；②恒成立，當時，模型是增函數(shù)，符合獎勵原則①；當時，；，所以，模型不符合獎勵原則②，故該函數(shù)模型不符合獎勵原則.(2)對于函數(shù)模型，可得，因為，故函數(shù)在遞增，則在遞增，符合獎勵原則①；由獎勵原則②得，即，解得；又由獎勵原則②得，即在恒成立，即，，設，則拋物線開口向下，對稱軸為，所以當時，，由得，綜上，.所以的取值范圍是.【方法技巧與總結】1、涉及平均增長率的問題，求解可用指數(shù)型函數(shù)模型表示，通?？梢员硎緸椋ㄆ渲蠳為原來的基礎數(shù)，p為增長率，x為時間）的形式．2、在實際問題中，有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題，都常用到指數(shù)型函數(shù)模型．題型四：擬合函數(shù)模型的應用問題例10．自2014年9月25日起，三峽大壩旅游景點對中國游客（含港、澳、臺同胞、海外僑胞）施行門票免費，去三峽大壩旅游的游客人數(shù)增長越來越快，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)2017年三峽大壩游客總量約為200萬人，2018年約為240萬人，2019年約為288萬人，三峽大壩的年游客人數(shù)y與年份代碼x（記2017年的年份代碼為，2018年年份代碼為，依此類推）有兩個函數(shù)模型與可供選擇．(1)試判斷哪個函數(shù)模型更合適（不需計算，簡述理由即可），并求出該模型的函數(shù)解析式；(2)問大約在哪一年，三峽大壩旅客年游覽人數(shù)約是2018年的2倍．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【解析】（1）因為函數(shù)中，隨的增長而增長的速度越來越快，而函數(shù)，隨的增長而增長的速度越來越慢，故由題意應選；則有，解得，∴；（2）設經(jīng)過年，三峽大壩旅客年游覽人數(shù)約是2018年的2倍，則，即，∴，∴，故大約在2022年三峽大壩旅客年游覽人數(shù)約是2018年的2倍．變式9．2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多國家肆虐，并且出現(xiàn)了傳染性更強的“德爾塔”、“拉姆達”、“奧密克戎”變異毒株，盡管我國抗疫取得了很大的成績，疫情也得到了很好的遏制，但由于整個國際環(huán)境的影響，時而也會出現(xiàn)一些散發(fā)病例，故而抗疫形勢依然艱巨，日常防護依然不能有絲毫放松．某科研機構對變異毒株在一特定環(huán)境下進行觀測，每隔單位時間T進行一次記錄，用x表示經(jīng)過單位時間的個數(shù)，用y表示此變異毒株的數(shù)量，單位為萬個，得到如下觀測數(shù)據(jù)：123456…y(萬個)…10…50…150…若該變異毒株的數(shù)量y(單位：萬個)與經(jīng)過個單位時間T的關系有兩個函數(shù)模型與可供選擇．(1)判斷哪個函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；(2)求至少經(jīng)過多少個單位時間該病毒的數(shù)量不少于1億個．(參考數(shù)據(jù)：，)【解析】（1）若選，將，和，代入可得，，解得，故，將代入，；若選，將，和，代入可得，，解得，故，將代入可得，；所以選擇函數(shù)更合適，解析式為．（2）設至少需要個單位時間，則，即，兩邊同時取對數(shù)可得，，則，，的最小值為11，故至少經(jīng)過11個單位時間該病毒的數(shù)量不少于1億個．變式10．某商人計劃經(jīng)銷A，B兩種商品，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，當投資額為萬元時，在經(jīng)銷A，B商品中所獲得的收益分別是，，已知投資額為0時，收益為0.(1)求a，b的值;(2)若該商人投入萬元經(jīng)營這兩種商品，試建立該商人所獲收益的函數(shù)模型；(3)如果該商人準備投入5萬元經(jīng)營這兩種商品，請你幫他制定一個資金投入方案，使他能獲得最大收益，并求出其收益的最大值.【解析】（1）由題可知：（2）由（1）可知：，設投入商品投入萬元，投入商品萬元，則收益為：（3）由題可知：令，則所以所以當，即時，（萬元）所以投入A商品4萬元，B商品1萬元，最大收益12萬元變式13．學校鼓勵學生課余時間積極參加體育鍛煉，每天能用于鍛煉的課余時間有90分鐘，現(xiàn)需要制定一個課余鍛煉考核評分制度，建立一個每天得分與當天鍛煉時間（單位：分）的函數(shù)關系，要求及圖示如下：（1）函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)；（2）每天運動時間為0分鐘時，當天得分為0分；（3）每天運動時間為30分鐘時，當天得分為3分；（4）每天最多得分不超過6分.現(xiàn)有三個函數(shù)模型①，②，③供選擇.(1)請你從中選擇一個合適的函數(shù)模型并說明理由，再根據(jù)所給信息求出函數(shù)的解析式；(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要鍛煉多少分鐘.（注：，結果保留整數(shù)）【解析】（1）第一步：分析題中每個模型的特點對于模型一，當時，勻速增長；對于模型二，當時，先慢后快增長；對于模型三，當時，先快后慢增長.第二步：根據(jù)題中材料和題圖選擇合適的函數(shù)模型從題圖看應選擇先快后慢增長的函數(shù)模型，故選.第三步：把題圖中的兩點代入選好的模型中，得到函數(shù)解析式將（0，0），（30，3）代入解析式得到，即，解得，即.第四步：驗證模型是否合適當時，，滿足每天得分最高不超過6分的條件.所以函數(shù)的解析式為.（2）由，得，得，得，所以每天得分不少于4.5分，至少需要運動55分鐘.【方法技巧與總結】在沒有給出具體模型的問題中，首先要由已知數(shù)據(jù)描繪出函數(shù)草圖，然后聯(lián)想熟悉的函數(shù)圖象，通過檢測所求函數(shù)模型與實際誤差的大小，探求相近的數(shù)學關系，預測函數(shù)的可能模型．題型五：根據(jù)實際問題的增長率選擇合適的函數(shù)模型例13．某地西紅柿從2月1日起開始上市.通過市場調(diào)查，得到西紅柿種植成本單位：元與上市時間（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表：時間50120150種植成本26005002600由表知，體現(xiàn)與數(shù)據(jù)關系的最佳函數(shù)模型是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由提供的數(shù)據(jù)知，描述西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關系函數(shù)不可能是常數(shù)函數(shù)，也不是單調(diào)函數(shù)；而A，C，D對應的函數(shù)，在時，均為單調(diào)函數(shù)，這與表格提供的數(shù)據(jù)不吻合，所以，選取B，故選：B．例15．在一次數(shù)學實驗中，采集到如下一組數(shù)據(jù)：－2－101230.240.5112.023.988.02則，的函數(shù)關系與下列各類函數(shù)最接近的是（其中，為待定系數(shù)）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題表中的數(shù)據(jù)描點如圖所示．∵對應數(shù)據(jù)顯示該函數(shù)是增函數(shù)，且增幅越來越快，∴A不成立；∵C是偶函數(shù)，∴的函數(shù)值應該相等，∴C不成立；∵時，無意義，∴D不成立；對于B，當時，，當時，，經(jīng)驗證它與各數(shù)據(jù)比較接近.故選：B.變式14．在密閉培養(yǎng)環(huán)境中，某類細菌的繁殖在初期會較快，隨著單位體積內(nèi)細菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會減慢．在一次實驗中，檢測到這類細菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量（單位：百萬個）與培養(yǎng)時間（單位：時）的關系如下表，為了描述從第2小時開始細菌數(shù)量隨時間變化的關系，現(xiàn)有以下四種模型供選擇，則最符合實際的函數(shù)模型為（

）2345683.53.844.164.34.5A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)條件畫出散點圖，依題意，所選函數(shù)必須滿足三個條件：①定義域包含；②是增函數(shù)；③隨著自變量的增加，函數(shù)值的增長速度變?。驗楹瘮?shù)的定義域為，當時無意義，故排除B；函數(shù)隨著自變量的增加，函數(shù)值的增長速度變大，故排除C；在上隨著自變量的增加，函數(shù)值的增長速度變大，故排除D．函數(shù)可以同時符合上述條件.故選：A．變式15．今有一組實驗數(shù)據(jù)如下：x23456y1.52.012.985.028.98現(xiàn)準備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)所滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，作出散點圖，如圖所示，根據(jù)散點圖可知，隨著的增大，的值增大，并且增長速度越來越快，結合選項：函數(shù)增長速度越來越緩慢，不符合題意；函數(shù)增長速度越來越快，符合題意；函數(shù)，增長速度不變，不符合題意；而函數(shù)，當時，可得；當時，可得，此時與真實數(shù)據(jù)誤差較大，所以最接近的一個函數(shù)是.故選：B.【同步練習】一、單選題1．某小型服裝廠生產(chǎn)一種風衣，日銷售量x（件）與單價P（元）之間的關系為，生產(chǎn)x件所需成本為C（元），其中，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷量x的取值范圍是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】由題意日銷量x件時，利潤是，，，．故選：B．2．牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：，（為時間，單位分鐘，為環(huán)境溫度，為物體初始溫度，為冷卻后溫度），假設一杯開水溫度℃，環(huán)境溫度℃，常數(shù)，大約經(jīng)過多少分鐘水溫降為40℃（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）（

）A．9 B．8 C．7 D．5【答案】C【解析】由題意可知所以所以故選：C3．在型病毒疫情初始階段，可以用指數(shù)函數(shù)模型描述累計感染病例數(shù)隨時間（單位：天）的變化規(guī)律.指數(shù)增長率與、近似滿足，其中為病毒基本再生數(shù)，為兩代間傳染所需的平均時間，有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出，.據(jù)此，在型病毒疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加至的4倍，至少需要（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．6天 B．7天 C．8天 D．9天【答案】B【解析】由，，可得，所以，則，設題中所求病例增加至倍所需天數(shù)為天，所以，，即，所以，所以累計感染病例數(shù)增加至的4倍，至少需要天；故選：B．4．考古科學家在測定良渚古城遺址年齡的過程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律.已知樣本中碳14的質(zhì)量隨時間（單位：年）的衰變規(guī)律滿足（表示碳14原有的質(zhì)量）.經(jīng)過測定，良渚古城遺址文物樣本中碳14的質(zhì)量是原來的至，據(jù)此推測良渚古城存在的時期距今約在______年到5730年之間，則“______”為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．4011 B．3438 C．2865 D．2292【答案】A【解析】由題可得，兩邊同取以2為底的對數(shù)，得，所以，則推測良渚古城存在的時期距今約在4011年到5730年之間.故選：A.5．火箭在發(fā)射時會產(chǎn)生巨大的噪音，假設所有聲音的聲強級（單位：）與聲強（單位：）滿足，若火箭發(fā)射時的聲強級約為，人交談時的聲強級約為，則火箭發(fā)射時的聲強與人交談時的聲強的比值約為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，得．因為火箭發(fā)射時的聲強級約為，人交談時的聲強級約為，所以火箭發(fā)射時的聲強約為，人交談時的聲強約為，所以火箭發(fā)射時的聲強與人交談時的聲強的比值約為．故選：A.6．食品安全問題越來越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用給人民群眾的健康帶來了一定的危害．為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入資金200萬元，搭建甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入資金40萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜．根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P（單位：萬元）、種黃瓜的年收入Q（單位：萬元）與各自的投入資金，（單位：萬元）滿足，．設甲大棚的投入資金為x（單位：萬元），每年兩個大棚的總收入為（單位：萬元），則總收入的最大值為（

）A．282萬元 B．228萬元 C．283萬元 D．229萬元【答案】A【解析】由題意可知甲大棚的投入資金為x（單位：萬元），乙大棚的投入資金為200-x（單位：萬元），所以，由可得，令，則，，所以當，即時總收人最大，最大收入為282萬元．故選：A．7．把長為的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設兩段長分別為，，其中，兩個正三角形的面積之和為，則這兩個正三角形的邊長分別為，，面積之和為，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當，時，取得最小值，所以．故選：D.8．每年紅嘴鷗都從西伯利亞飛越千山萬水來到美麗的昆明過冬，科學家經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度可以表示為函數(shù)（單位：），其中表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數(shù)，常數(shù)表示測量過程中候鳥每分鐘的耗氧偏差．若雄鳥的飛行速度為，雌鳥的飛行速度為，則此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的（

）A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍【答案】B【解析】設雄鳥每分鐘的耗氧量為，雌鳥每分鐘的耗氧量為，由題意可得，兩式相減可得，所以，即，故此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的3倍．故選：B．二、多選題9．如圖，建立平面直角坐標系軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標原點，已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中與發(fā)射方向有關，炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標.設在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為千米，它的橫坐標為.則下列結論正確的是（

）A．炮的最大射程為10千米B．炮的最大射程為20千米C．當飛行物的橫坐標超過6時，炮彈可以擊中飛行物D．當飛行物的橫坐標不超過6時，炮彈可以擊中飛行物【答案】AD【解析】在中，令，可得，顯然，因此，當且僅當，即時等號成立，即炮的最大射程為10千米，A正確，B錯誤；依題意，炮彈擊中飛行物，即直線與炮彈軌跡有公共點，而，，于是得關于的方程，即有正根，當，即時，方程兩根之和為正，兩根之積為正，因此當時，關于的方程有正根，即當不超過6千米時，炮彈可以擊中目標，C錯誤，D正確.故選：AD11．如圖，某池塘里浮萍的面積（單位）與時間（單位：月）的關系為，下列說法正確的是（

）A．浮萍每月的增長率均相等B．第5個月時，浮萍面積就會超過C．浮萍從蔓延到需經(jīng)過1.5個月D．若浮萍蔓延到，，所經(jīng)過的時間分別是，，，則【答案】ABD【解析】浮萍的面積（單位：與時間（單位：月）的關系為，由圖可得，函數(shù)過點，故，對于A，，每月的增長率為2，故A正確，對于B，第5個月時浮萍的面積為，超過了，故B正確，對于，第2個月時浮萍的面積為，第個月時浮萍的面積為，故錯誤，對于，浮萍面積為，，時所對應的時間分別是，，，，，，，故D正確．故選：ABD．12．甲、乙兩位股民以相同的資金進行股票投資，在接下來的交易時間內(nèi)，甲購買的股票先經(jīng)歷了一次漲停（上漲10%），又經(jīng)歷了一次跌停（下跌10%），乙購買的股票先經(jīng)歷了一次跌停（下跌10%），又經(jīng)歷了一次漲停（上漲10%），則甲，乙的盈虧情況（不考慮其他費用）為（

）A．甲、乙都虧損 B．甲盈利，乙虧損 C．甲虧損，乙盈利 D．甲、乙虧損的一樣多【答案】AD【解析】設投資總額為a元，甲先經(jīng)歷一次漲停，再經(jīng)歷一次跌停后的資金為：元，乙先經(jīng)歷一次跌停，再經(jīng)歷一次漲停后的資金為：元，故選：AD.三、填空題13．20世紀30年代，里克特制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里氏震級.震級計算公式為，其中是被測地震的最大振幅，是標準地震的振幅，5級地震給人的震感已經(jīng)比較明顯，8級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的___________倍.【答案】1000【解析】由題意可得：，所以，解得：.所以8級地震的最大振幅，5級地震的最大振幅.因為，所以8級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的1000倍.故答案為：1000.14．牛奶中細菌的標準新國標將最低門檻（允許的最大值）調(diào)整為200萬個/毫升，牛奶中的細菌常溫狀態(tài)下大約20分鐘就會繁殖一代，現(xiàn)將一袋細菌含量為3000個/毫升的牛奶常溫放置于空氣中，經(jīng)過________分鐘就不宜再飲用．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】188【解析】設經(jīng)過個周期后細菌含量超標，即，即，所以，而，因此經(jīng)過188分鐘就不宜再飲用．故答案為：188.16．2021年8月30日第九屆未來信息通信技術國際研討會在北京開幕．研討