專題03三角形與圓

【題型歸納目錄】

題型一：三角形的“四心”

題型二：幾種特殊的三角形

題型三：直線與圓的位置關(guān)系

題型四：點的軌跡

【知識點梳理】

知識點1：三角形的“四心”

三角形是最重要的基本平面圖形，很多較復(fù)雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題.

三角形的三條中線相交于一點，這個交點稱為三角形的重心.三角形的重心在三角形的內(nèi)部，恰好是每

條中線的三等分點.

三角形的三條角平分線相交于一點，是三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，它到三角形的三

邊的距離相等.

三角形的三條高所在直線相交于一點，該點稱為三角形的垂心.銳角三角形的垂心一定在三角形的內(nèi)部,

直角三角形的垂心為他的直角頂點，鈍角三角形的垂心在三角形的外部.

過不共線的三點A、8、C有且只有一個圓，該圓是三角形ABC的外接圓，圓心。為三角形的外心.三

角形的外心到三個頂點的距離相等，是各邊的垂直平分線的交點.

知識點2：幾種特殊的三角形

結(jié)論一：等腰三角形底邊上三線（角平分線、中線、高線）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的

內(nèi)心/、重心G、垂心H必然在一條直線上.

結(jié)論二：正三角形三條邊長相等，三個角相等，且四心（內(nèi)心、重心、垂心、外心）合一，該點稱為正

三角形的中心.

知識點3：直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)有直線/和圓心為。且半徑為r的圓，怎樣判斷直線/和圓O的位置關(guān)系？

圖1

圖2

圖4

知識點4：點的軌跡

在幾何中，點的軌跡就是點按照某個條件運動形成的圖形，它是符合某個條件的所有點組成的.例如，

把長度為r的線段的一個端點固定，另一個端點繞這個定點旋轉(zhuǎn)一周就得到一個圓，這個圓上的每一個點

到定點的距離都等于，；同時，到定點的距離等于廠的所有點都在這個圓上.這個圓就叫做到定點的距離等

于定長r的點的軌跡.

我們把符合某一條件的所有的點組成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡.這里含有兩層意思：（1）

圖形是由符合條件的那些點組成的，就是說，圖形上的任何一點都滿足條件；（2）圖形包含了符合條件的

所有的點，就是說，符合條件的任何一點都在圖形上.

下面，我們討論一些常見的平面內(nèi)的點的軌跡.

從上面對圓的討論，可以得出：

到定點的距離等于定長的點的軌跡是以定點為圓心，定長為半徑的圓.

我們學(xué)過，線段垂直平分線上的每一點，和線段兩個端點的距離相等；反過來，和線段兩個端點的距

離相等的點，都在這條線段的垂直平分線上.所以有下面的軌跡：

和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是這條線段的垂直平分線.

由角平分線性質(zhì)定理和它的逆定理，同樣可以得到另一個軌跡:

到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線.

【題型歸納目錄】

題型一：三角形的“四心”

題型二：幾種特殊的三角形

題型三：直線與圓的位置關(guān)系

題型四：點的軌跡

【典例例題】

題型一：三角形的“四心”

(1)【問題提出】三角形的三條中線會相交于一點，這一點就叫做三角形的重心，重心有很多美妙的性質(zhì),

請大家探究以下問題

A

(1)用含/的代數(shù)式表示線段PE的長.

⑵當(dāng)點尸落在BC上時，求，的值.

例5.(2023?陜西西安?西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測)問題提出

問題解決

(2汝口圖2,過點I作直線交A2于點M,交AC于點N.

BC

例9.（2023?湖北武漢?校聯(lián)考二模）

【問題背景】

【問題探究】

【拓展運用】

例10.（2021?山西呂梁?統(tǒng)考二模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù)：

我們知道三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心.由于三角形的

三條高（或高所在的直線）相交于一點，因此我們把三角形三條高的交點叫做三角形的垂心.下面我們以

銳角三角形為例，證明三角形的三條高相交于一點.

如圖，在AABC中，AD,BE分別是BC,AC邊上的高，且AD與BE相交于點P.連接CP并延長，交

AB于點F.

求證：CFXAB.

證明：分別過點A,B,C作它們所對邊的平行線，三條平行線兩兩相交于點M,N,Q.分別連接PM,

PN,PQ.

VMN//BC,MQ//AB,NQ//AC,

四邊形MABC,四邊形ANBC,四邊形ABQC都是平行四邊形.

；.BC=AM=AN,AC=BN=BQ,AB=MC=CQ.

VADXBC,

AZMAD=ZADB=90°,即AD_LMN.

；.PM=PN.

學(xué)習(xí)任務(wù)：

（1）請將上面剩余的證明過程補充完整；

（2）點P是aNINQ的.（填出字母代號即可）

A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心

（3）若/CAB=40。，則/MPN=。.

例11.（2022秋?江蘇?九年級專題練習(xí)）在學(xué)習(xí)三角形高線時，發(fā)現(xiàn)三角形三條高線交于一點，我們把這

個交點叫做三角形的垂心.課后小明同學(xué)繼續(xù)探究，上網(wǎng)搜索得到了三角形重心的一條性質(zhì)，制作了如下

表格進行探究.

三角形關(guān)型直角三角形銳角三角形鈍角三角形

垂心的位置直角頂點①在三角形外部

垂心的性質(zhì)三角形任意頂點到垂心的距離等于外心到對邊的距離的兩倍.

⑴表格中①處應(yīng)填:

(2)小明先選擇了直角三角形來探究重心的性質(zhì)，寫出了己知求證，請完成證明.

例12.(2017秋?湖北武漢?九年級階段練習(xí))如圖①，小聰在學(xué)習(xí)圓的性質(zhì)時發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論，AABC內(nèi)接

于00,ADJ_BC,則NBAD=/OAC.

(1)請你幫小聰證明這個結(jié)論；

(2)運用以上結(jié)論解決問題：如圖②，H為AABC的垂心，若NABC的平分線BELHO,。。的半徑為

10,求弦AC的長.

⑴求直線1的表達式;

題型二：幾種特殊的三角形

(2)設(shè)上交對角線AC于點斜邊￡＞產(chǎn)交對角線AC于點N,交邊8C于點G.

AF

②如圖3,若E為A3中點，求代的值.

(1)【嘗試初探】

如圖1,當(dāng)點。在線段A3上運動時，AC與OE相交于點在運動過程中發(fā)現(xiàn)有兩個三角形始終保持全

等，請你找出這對全等三角形，并說明理由.

(2)【深入探究】

(3)【拓展延伸】

題型三：直線與圓的位置關(guān)系

(3)在整個運動過程中，

例22.(2023?河南新鄉(xiāng)?統(tǒng)考三模)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)學(xué)習(xí)任務(wù):

我們知道，圓內(nèi)接四邊形的對角互補，那么過對角互補的四邊形的四個頂點能作一個圓嗎？學(xué)習(xí)小組經(jīng)過

探究發(fā)現(xiàn)：過對角互補的四邊形的四個頂點能作一個圓.下面是學(xué)習(xí)小組的證明過程:

求證：過點A、B、C、?？勺饕粋€圓.

證明：假設(shè)過點A、B、C、。四點不能作一個圓，設(shè)過點A、B、。三點作出的圓為O.分兩種情況

討論.

①如圖(1),若點C在。內(nèi).延長DC交；。于點E,連接BE.

②如圖(2),若點C在。外.設(shè)CO交。于點E,連接3E.

綜上可知，假設(shè)不成立,故過點A、B、C、?？勺饕粋€圓.

學(xué)習(xí)任務(wù):

(1)在以上應(yīng)用反證法的證明過程中主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是

⑵應(yīng)用上述結(jié)論，解決以下問題:

⑴在圖1中用尺規(guī)作出弦8與點H(不寫作法，保留作圖痕跡).

⑵連結(jié)AD,猜想，當(dāng)弦的長度發(fā)生變化時，線段AD的長度是否變化？若發(fā)生變化，說明理由：若

不變，求出AD的長度;

p

⑴判斷直線。尸和。位置關(guān)系;

請根據(jù)圖解答下列問題:

題型四：點的軌跡

例28.(2023?河南鄭州?河南省實驗中學(xué)?？既?綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形與垂直”為主

題開展數(shù)學(xué)活動.

⑴操作判斷

根據(jù)以上操作，請直接寫出圖1中仍與CF的數(shù)量關(guān)系：.

(2)遷移探究

小華將正方形紙片換成矩形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：

(3)拓展應(yīng)用

例29.(2023?河南?河南省實驗中學(xué)?？既?綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形與垂直”為主題開

展數(shù)學(xué)活動.

(1)操作判斷

圖1

(2)遷移探究

小華將正方形紙片換成矩形紙片，繼續(xù)探究，過程如下:

圖2

(3)拓展應(yīng)用

⑶在(2)的條件下，當(dāng)點P沿半圓從點B運動至點A時，點Q的運動軌跡是什么，試求出它的路徑

長.

【過關(guān)測試】

一、單選題

D

C.4D.6

C.35°D.40°

C.14D.16

EF

C

D

國

A

B

oc5D55o

A.40°450°

C/?

o