素養(yǎng)拓展03直線與圓中的距離最值（范圍）問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)01：常用距離公式

1、點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式：平面內(nèi)兩點(diǎn)耳（玉,X）,6（尤2,%）間的距離公式為：|用鳥|=J（X1■-龍2『+（%—%）2.

2、點(diǎn)到直線的距離公式：點(diǎn)尸伍,為）到直線/:Ar+By+C=O的距離△.

>/A2+B2

3、直線到直線的距離公式：兩條平行直線4:Ar+3y+C[=0,l2'.Ax+By+C2=0（G^C2）,它們之間的距

知識(shí)點(diǎn)02：三點(diǎn)共線最值問(wèn)題

1、點(diǎn)4B在直線1同側(cè)，點(diǎn)P在直線/上，貝!1G4P+BP）7nhi=48'（當(dāng)點(diǎn)4、P、8'共線時(shí)取到），點(diǎn)B'是點(diǎn)B關(guān)

于直線Z的對(duì)稱點(diǎn).

PP'

2、點(diǎn)4、B在直線/同側(cè)，點(diǎn)P在直線1上，則HP—BPImax=4B（當(dāng)點(diǎn)4P、B共線時(shí)取到）.

P

3、點(diǎn)A、B在直線I異側(cè)，點(diǎn)P在直線1上，則|4P—BPIaax=AB'（當(dāng)點(diǎn)4、P、B共線時(shí)取到），點(diǎn)8,是點(diǎn)B關(guān)

于直線1的對(duì)稱點(diǎn).

P'P

>B

知識(shí)點(diǎn)03：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系最值（范圍）問(wèn)題

1、若點(diǎn)M在圓內(nèi)，則MNmin=MN1=r-OM,MNmax=MN2=r+OM；

2、若點(diǎn)M在圓外，則加%譏="Ni=OM-r,MNmax=MN2=r+OM；

3、圓上一點(diǎn)到圓外一定直線的距離最值

若直線I與圓。。相離，圓上一點(diǎn)P到直線/的距離為PE,d為圓心。到直線/的距離，r

為圓半徑，則P/m=prF=d-r,PEmax=P2F=d+r.

知識(shí)點(diǎn)04：代數(shù)式的幾何意義最值（范圍）問(wèn)題

1、形如y=2二2,可以轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)（x,y）和點(diǎn)（a,。）的動(dòng)直線斜率；

x-a

2、形如z=（x—a）2+（y—6）2,可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)（羽y）和點(diǎn)5/）的距離的平方;

3、形如z=ax+"y,可以轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線縱截距

知識(shí)點(diǎn)05：直線與圓的位置關(guān)系最值（范圍）問(wèn)題

設(shè)點(diǎn)M是圓C內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作圓C的弦，則弦長(zhǎng)的最大值為直徑，最短的弦為與過(guò)該點(diǎn)的直徑垂垂直

的弦弦長(zhǎng)為2次一

【題型01：點(diǎn)到直線的距離】

一、單選題

1.（24-25高二下?浙江?月考）若尸為圓f+y=4內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A（-2,0）,3（2,0）,則|刻+|尸邳的最小

值為（）

A.2B.2A/2C.472D.4

【答案】D

【分析】根兩點(diǎn)之間線段最短可得線段和的最小值.

【詳解】由題意知48為圓的直徑，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，

.?.|咫+|尸_8以陰=4,』冏+|冏的最小值為4

故選:D.

2.（2025?北京?三模）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,0）,半徑為2的圓的圓心為A,則點(diǎn)A到直線x-y+2=0的距離最大值為

（）

A.72B.2+72

C.2-72D.3A/2

【答案】B

【分析】先確定圓心A的軌跡方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心A到直線尤->+2=0的距離最大

值.

【詳解】已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（。,。），半徑為2,設(shè)圓心A的坐標(biāo)為（x,y）,

可得圓心A到點(diǎn)（0,0）的距離為2,

即7（%-O）2+（y-O）2=2,化簡(jiǎn)可得f+丁=4,

所以圓心A的軌跡是以原點(diǎn)（0,0）為圓心，2為半徑的圓.

0+2

可得原點(diǎn)（0,0）到直線X-Y+2=0的距離為：為=1°-1=72

在+（心,

所以點(diǎn)A至I］直線尤->+2=0的距離最大值為原點(diǎn)到直線的距離加上圓的半徑，即鼠=0+2.

故選：B.

二、填空題

3.（24-25高二上?陜西寶雞?期末）已知點(diǎn)M,N在直線/：2尤-y-2=0上運(yùn)動(dòng)，且|MV|=2出，點(diǎn)尸在圓

。:（％+4丫+丁=5上，貝ij的面積的最大值為.

【答案】15

【分析】設(shè)圓心c到直線/：2尤-k2=0的距離為d,尸到直線/的距離為4,當(dāng)4最大時(shí)，則4=d+6,

最后由三角形的面積公式即可求解.

【詳解】設(shè)圓心C到直線/：2x-y-2=0的距離為d,尸到直線/的距離為4,

1-8-21l

又圓心坐標(biāo)為C（-4,0）,所以=

75

又半徑為石，則當(dāng)4最大時(shí)，4=d+6=26+石=3君，

此時(shí)的面積也最大，最大值為gx2君x3君=15.

故答案為：15.

4.（24-25高二下?云南西雙版納?期中）已知點(diǎn)跖N為圓C:/+y2_2y-3=0上兩點(diǎn)，且|MN|=2g,點(diǎn)

P在直線gx-y-5=0上，點(diǎn)。為線段肱V中點(diǎn)，則戶。|的最小值為

【答案】2

【分析】根據(jù)題意可得0在以C（0,l）為圓心，1為半徑的圓上，求|PQ|的最小值，轉(zhuǎn)化為求|尸。的最小值

即可.

【詳解】由題意，圓。：/+必一2y-3=0可化為/+（k1）2=4,

...圓C是以（0,1）為圓心，半徑r=2的圓，

'：\MN\=2>/3,點(diǎn)。為線段vN中點(diǎn)，

即0在以C（0,l）為圓心，1為半徑的圓上，

???求|尸。|的最小值，轉(zhuǎn)化為求歸。的最小值,

?.?圓心C（0,l）到直線距離d===3,

?」PCL=3，

?中。L=3-1=2，

故答案為：2.

5.（23-24高二上?重慶?期中）已知產(chǎn)（加,〃）在直線3x+4y+15=。上，則而左的最小值為.

【答案】3

【分析】根據(jù)而即表示直線3x+4y+15=0上的點(diǎn)尸到原點(diǎn)距離，由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算，即

可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)橄騘不表示點(diǎn)P到原點(diǎn)（。,0）的距離，而點(diǎn)P在直線3無(wú)+4y+15=0上,

3x0+4x0+15

所以而中的最小值即為原點(diǎn)（。,0）到直線3元+4y+15=0的距離，d=------，-^=3

A/32+42

所以Jn?+狂的最小值為3.

故答案為：3.

6.（24-25高二下?上海?期中）已知網(wǎng)題,為）為圓（x-廳+（y-2『=4上一動(dòng)點(diǎn)，則4%-3%的最大值為

【答案】8

【分析】設(shè)4%-3%=乙由題意直線4x-3y=f與圓(》一1)2+(、-2)2=4有公共點(diǎn)，通過(guò)圓心到直線的距離

與半徑的關(guān)系可以求解.

【詳解】設(shè)4%—3%=f,貝!)尸(為,%)在直線4x-3y=,上，

又因?yàn)槭?%%)在圓(x-iy+(y-2)2=4上,

所以直線4x-3y=t與圓(x_iy+(y_2)2=4有公共點(diǎn)，

所以圓心(1,2)到直線4x-3y=f的距離［=上?42,解得

所以4%-3%的最大值為8.

故答案為：8.

【題型02：兩點(diǎn)間的距離】

一、單選題

1.(24-25高二上?四川綿陽(yáng)?期末)Vx,yeR,函數(shù)〃x,y)=J(尤-1了+(y-4>+』3x+4y-5］的最小值為

()

A.2B.上C.好D.3

555

【答案】C

【分析】根據(jù)距離公式，利用/'(x,y)的幾何意義求最小值.

【詳解】+(y-4)表示的幾何意義為平面內(nèi)的點(diǎn)尸(％y)到定點(diǎn)4(1,4)的距離，

生W二W表示的幾何意義為平面內(nèi)的點(diǎn)P(x,y)到定直線3尤+4y-5=0的距離，

所以表示的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)尸(x，y)到定點(diǎn)4(1，4)和到定直線3》+4丫-5=。的距離和，

如圖，過(guò)點(diǎn)A作直線3x+4y-5=0的垂線，垂足為點(diǎn)B,當(dāng)點(diǎn)P在線段48時(shí)，最小，最小值為

故選:C

二、填空題

2.（23-24高二上?江蘇鹽城?期末）若實(shí)數(shù)蒼丁滿足Y+y2=i,則+葉一1了的最大值是

【答案】A/2+1/1+A/2

【分析】利用兩點(diǎn)間距離幾何意義求解最值.

【詳解】設(shè)點(diǎn)尸（X,y）,由實(shí)數(shù)滿足/+>2=1可得：

點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上，

設(shè)點(diǎn)A（l,l）,則7（x-l）2+（y-l）2的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)尸到定點(diǎn)A（l，l）的距離|AP|，

由F+F=2>1，則點(diǎn)A在圓x2+y2=1外，

結(jié)合圖形可知，|AP|max=QN+l=0+L

7（x-l）2+（y-l）2的最大值是A/2+I.

故答案為：V2+1.

3.（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）直線乙：x-〃沙-2=0與直線心如+'+2=0交于點(diǎn)Q,m是實(shí)數(shù)，O

為坐標(biāo)原點(diǎn)，貝的最大值是.

【答案】2A/2

【分析】利用兩點(diǎn)間距離公式求出|。。|,再分析得到最值即可.

2-2m-2-2m

【詳解】因?yàn)?：》一機(jī)V-2=。與直線?。簃+y+2=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為。

1+m21+m2

8（l+m2）_272

所以|。。|=

+m2

若I。。I最大，則Jl+m2最小,則1+1最小，

而1+療21,當(dāng)且僅當(dāng)〃7=。時(shí)取等，此時(shí)

所以|。。|的最大值是2血.

故答案為：20

4.（24-25高二上?河北石家莊?期末）已知0<x<2,0<y<2,貝。

22

舊+F+次+（25+J（2_X『+\2+^2-x）+（2-y）的最小值為.

【答案】4A/2

【分析】利用平面上兩點(diǎn)間線段最短和兩點(diǎn)間距離公式的幾何意義即可求解.

【詳解】4+9+信+(2_y)2+J(2_切2+丁+J(2_x)2+(2_y)2

=J(x_0/+(y-0)2++(y―2)2+J(X—2)2+y2+J(X_2/+(y-2/.

記點(diǎn)0(0,0)、點(diǎn)4(2,0)、點(diǎn)3(2,2)和點(diǎn)C(2,o),

因?yàn)?<x<2,0<y<2,

所以加+y2+*+（27『+7（2-x）2+y2+42-向+（2-?的幾何意義為：表示正方形OABC內(nèi)的點(diǎn)

尸（％，）到點(diǎn)。、點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C四點(diǎn)的距離之和.

因?yàn)榇?y+^/（2-x）2+（2-y）2=,J（x-0）2+（y-0）2+y/（x-2）2+（y-2）2的幾何意義為：正方形OABC內(nèi)

的點(diǎn)P到點(diǎn)。和點(diǎn)3的距離之和.

所以當(dāng)點(diǎn)尸在線段02（不包含點(diǎn)。和點(diǎn)B）上時(shí)，點(diǎn)尸到點(diǎn)。和點(diǎn)B的距離之和最小，即

舊+丁+“2-J+（2-?取得最小值,為［0,=J（2_0）2+（2_0）2=2夜.

因?yàn)樯?但一亓+gxRyZ=商+（y-2?+4-曠+仁的幾何意義為：正方形OABC內(nèi)的點(diǎn)尸到

點(diǎn)A和點(diǎn)C的距離之和.

所以當(dāng)點(diǎn)尸在線段AC（不包含點(diǎn)A和點(diǎn)C）上時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)C的距離之和最小，即

小一+（2-封2+J（2-x『+y2取得最小值,為|AC|=J（O-2『+（2一0『=2應(yīng).

綜上可得：當(dāng)點(diǎn)尸是線段AC與02的交點(diǎn)時(shí)，4+y+“2_療+僅_y）2和舊+（2-y）2+_療+/

同時(shí)取得最小值，均為20.

所以J7T7+#+（2_?+^-xf+y2+J（2-x『+（2_?的最小值為4金.

故答案為：4應(yīng).

【題型03:平行線間的距離】

一、單選題

1.(24-25高二上?江蘇徐州?月考)已知P,Q分別是直線3尤+4〉-5=0與6x+8y+5=0上的動(dòng)點(diǎn)，則|尸。|的

最小值為()

「V3

BX_z----------

A.3aD.百

-i2

【答案】B

【分析】由題意可得1尸。1的最小值即為兩平行直線3x+4y-5=0與6x+8y+5=。的距離，代公式計(jì)算可得.

【詳解】3x8-4x6=0,

直線3x+4y-5=0與6x+8y+5=。平行,

IP。I的最小值，即為兩平行直線3x+4y-5=0與6x+8y+5=0的距離,

化直線方程3x+4y—5=0為6x+8y-10=0,

|-10-5|3

由平行線間的距離公式可得"=

A/62+822

故選：B.

2.(23-24高二上?四川成都?期中)已知A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,0),(-1,2),若兩平行直線4，分別

過(guò)點(diǎn)A,B,則4，乙間的距離的最大值為(

A.1B.72C.2D.20

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線之間的距離轉(zhuǎn)化為一直線上的點(diǎn)到平行線之間的距離，可結(jié)合圖形分析4,4間的距離

的最大值為|A卻，即可求得.

【詳解】解：由題可知4(1,0),5(-1,2),如圖，兩平行直線乙，4分別過(guò)點(diǎn)A,B,

因?yàn)樗?，6間的距離即點(diǎn)A到直線的距離d,由圖可知，d<\AB\

當(dāng)4，。垂直時(shí)，4，4間的距離取最大值，即最大值為|AB|,

又由兩點(diǎn)間的距離公式可知，網(wǎng)/(1+1)2+22=20.

故選：D.

3.(24-25高二下?上海?月考)已知實(shí)數(shù)a,》,c,d滿足3。一4)+3=0,3c—4d—7=0,則(a-c)?+(6-d)?

的最小值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合兩平行直線距離公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得，（。,匕）是直線3x-4y+3=0上的點(diǎn)，

（c,d）是直線3彳-4、-7=。上的點(diǎn)，則兩直線平行，

（?-c）2+（b-d￥的最小值是平行直線之間的距離的平方，

可得最小值為J+71=4.

故選：D

二、填空題

4.（23-24高二上?云南臨滄?月考）設(shè)機(jī)eR,已知直線4：（m+2）x+2沖+2-m=。，過(guò)點(diǎn)（3,4）作直線4,

且4〃4,則直線4與4之間距離的最大值是.

【答案】5

【分析】求出直線4恒過(guò)點(diǎn)從而得到兩平行線的最大距離為點(diǎn)（-U）與點(diǎn)（3,4）的距離，得到答案.

【詳解】由于直線?。C(jī)+2）x+2:改+2—m=0,整理得：（x+2y—1）機(jī)+（2x+2）=0,

rfx+2y—1=0,fx=-1

故。n，解得1"

\2x+2=0[y=i

即直線A恒過(guò)點(diǎn)（-1,1）,則過(guò)點(diǎn)（3,4）作直線,

且4〃/2,則最大距離為點(diǎn)（T1）與點(diǎn)（3,4）的距離，

即d=7（3+1）2+（4-1）2=5.

故答案為：5

三、解答題

5.（23-24高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知兩條平行直線4與。分別過(guò)點(diǎn)片（1，。）與點(diǎn)心（。，5）,入6之間的距

離為d,求，的最大值，并指出此時(shí)4、4的方程.

【答案】d的最大值為底，此時(shí)4：x-5y-l=0,l2:x-5y+25=0.

【分析】由兩直線平行且過(guò)定點(diǎn)，可知片耳，根據(jù)取等時(shí)直線乙、6與直線勺鳥的位置關(guān)系可得直線方

程.

【詳解】因?yàn)閮蓷l平行直線4與4分別過(guò)點(diǎn)片（1,0）與點(diǎn)￡（0,5）,

所以兩平行線間的距離dV由閭=V1Z25=V26,

當(dāng)且僅當(dāng)直線4、4均與直線48垂直時(shí)等號(hào)成立,

5-01

此時(shí)卜g=——=一5,所以勺=&=三，

U—1J

所以4：y=gq-l),也即x-5y-l=0；

4：y=gx+5,也即x-5y+25=O.

【題型04：三點(diǎn)共線最值(含將軍飲馬問(wèn)題)】

一、單選題

1.(24-25高二上?福建福州?期中)唐代詩(shī)人李頑的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏

飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處

出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置

為B(-2,0),若將軍從山腳下的點(diǎn)A(l,0)處出發(fā)，河岸線所在直線的方程為無(wú)+>=2,則“將軍飲馬”的最短總

路程為()

A.729B.5C.717D.岳

【答案】C

【分析】作點(diǎn)A(l,0)關(guān)于直線x+y=2的對(duì)稱點(diǎn)為尸(x,y),則最短路程為的.根據(jù)點(diǎn)關(guān)于

直線的對(duì)稱問(wèn)題，列方程組，可求得尸(2,1),再應(yīng)用兩點(diǎn)間的距離公式求忸升即可.

【詳解】如圖，作點(diǎn)A(L0)關(guān)于直線元+y=2的對(duì)稱點(diǎn)為尸(x,y),

2

1

所以P(2,l).

貝！將軍飲馬，，的最短總路程為忸尸|=J(2+2)2+(1-0)2=舊.

故選：C.

2.(24-25高二上?黑龍江大慶?月考)已知點(diǎn)A。,5),3(-2,10),直線/：y=x+l,在直線/上找一點(diǎn)p使得

|P4|+|P即最小，則這個(gè)最小值為（）

A.734B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】利用對(duì)稱求A關(guān)于直線/對(duì)稱點(diǎn)為結(jié)合將軍飲馬模型求|PA|+|P3|最小值.

n-5

----二—1

m-1—rzem=4

【詳解】令A(yù)關(guān)于直線/對(duì)稱點(diǎn)為貝!|:1，可得

n+5m+1,n=2

------=-------+1

[22

由IPA\=\PA'\,則|PA|+|PB|=\PA'\+\PB\>\A'B\=J(4+2)2+(2-10)2=1Q,

當(dāng)且僅當(dāng)民P,A’共線時(shí)取等號(hào)，故|PA|+|P8最小值為10.

3.（24-25高二E河南?月考）已知4（0,—3）,B（4,l）,點(diǎn)尸是直線，"7-2=0上的一點(diǎn)，則當(dāng)|網(wǎng)+|冏

取得最小值時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（）

j__33_j_4_25

A.2，-2B.2~2C.IWD.3，-3

【答案】B

【分析】求出點(diǎn)A關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)A,則P為直線A3與直線/的交點(diǎn)時(shí)，滿足條件，進(jìn)而可求得答案.

【詳解】設(shè)點(diǎn)人（0,-3）關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為A（a，。），

ab-3

則中點(diǎn)在直線/：x-y-2=。上，即］一_―2=0①,

AAC~i,~r

b+3

直線AV與直線/垂直，即心A，%=——xl=-1②,

a

解得a=-1,6=-2,即點(diǎn)4（0,-3）關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為,

_r)_13

又3(4,1),所以3B=1=￡,

—1—43

3

所以直線AB的方程為y-l=：（x-4）,即3x-5y-7=O,

j3x-5y-7=Q解得*31

y

[x—y—2=02

所以當(dāng)|尸A|+|P3|取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

故選:B.

4.（24-25高二下?上海寶山?期中）已知圓￡:（x-3）2+（y-2）2=l,圓C2：（x—6『+（丫一5『=4,M、N分

別是圓C1、G上的動(dòng)點(diǎn)，P為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值為（）

A.3&B.1C.3710-3D.5辨

【答案】C

【分析】作出圓G關(guān)于y軸對(duì)稱的圓c0,利用對(duì)稱的性質(zhì)、圓的性質(zhì)及兩點(diǎn)間線段最短求出最小值.

【詳解】圓G的圓心￡（3,2）,半徑4=1,圓G的圓心a（6,5）,半徑弓=2,

作圓G關(guān)于y軸對(duì)稱的圓C。:(x+3)2+(y-2)2=1,其圓心C。(-3,2)

因此|PM|+1HPC]|-1+1PC21-2=|PQI+1PC21-3>|QC21-3=3710-3,

當(dāng)且僅當(dāng)尸是線段qc?與y軸的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào),

所以1PM+|PN|的最小值為3廂-3.

故選：C

5.（2025?遼寧?三模）函數(shù)〃同=,尤+&-8x+25（0<x<4）的最小值（）

772

A.4~rC.5

【答案】B

【分析】當(dāng)0VW4時(shí)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線尸3上點(diǎn)尸到直線x-y+3=0的距離與到點(diǎn)A（4,0）的距離之和,

作出圖象，結(jié)合圖象及點(diǎn)到線的距離公式求解即可.

【詳解】當(dāng)0VxW4時(shí),〃X)=*+&-8X+25=*+J(X-4)2+(3-())2,加1了+仃-。)?可視為

\x\|x-3+3|

A（4,0）與尸（尤,3）兩點(diǎn)間的距離，則P是直線y=3上的動(dòng)點(diǎn),,可視為點(diǎn)P（x，3）到直線

y/2~A/2

x-y+3=0的距離，設(shè)尤->+3=0與y軸交于點(diǎn)C（0,3）,過(guò)點(diǎn)P作出，CB,垂足為5,畫出示意圖如下:

yi

6

A5x

則待求為|PB|+|相|的最小值，當(dāng)AP,8三點(diǎn)共線，且轉(zhuǎn)，CB時(shí)，點(diǎn)4到直線x-y+3=0的距離為所求的

最小值，此時(shí)，d='—^17忘

故選：B.

6.(24-25高二下?湖南長(zhǎng)沙?開學(xué)考試)已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸在直線/：尤-y-1=0上，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)。是圓

(x-3)2+(y+l)2=l上的動(dòng)點(diǎn)，則歸。-「。的最大值為()

【答案】C

【分析】求出點(diǎn)C關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)C',把IP0I的最大值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)尸到圓心距離加半徑，再求出到兩個(gè)

定點(diǎn)距離差的最大值即可作答.

【詳解】點(diǎn)尸在直線-1=0上，

圓(x-3y+(y+l)2=l的圓心C(3,-l),半徑廠=1,而點(diǎn)。在圓C上，則|PQ1mx=|尸C|+r,

因此(|「。]一|尸°?皿x=，+(忸1一忸01)厘，令點(diǎn)C關(guān)于直線/對(duì)稱點(diǎn)C'(a,6),|PC|=|PC],

則有，解得。=0,6=2,即。(0,2),

--------------------------1=U

L22

因此|尸。-間|=附[-]尸0區(qū)oc[=2,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸,O,C'共線，且點(diǎn)。在線段PC'上時(shí)取等號(hào),

fx=0fx=0

直線OC方程為無(wú)=0,由J解得「即直線x=o與直線/交于點(diǎn)P(o,-1),

[y=-i

所以當(dāng)點(diǎn)尸與尸'重合時(shí),(|尸。］一|尸。|)厘=2,(|叫_|尸@)皿=1+2=3.

故選：C

【題型05：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系中的】

一、單選題

1.(24-25高二下?浙江?月考)若尸為圓犬+「=4內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A(-2,0),3(2,0),則|尸山+|尸目的最小

值為()

A.2B.20C.4應(yīng)D.4

【答案】D

【分析】根兩點(diǎn)之間線段最短可得線段和的最小值.

【詳解】由題意知48為圓的直徑，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，

：.\PA\+\PB\>\AB\^4,二|網(wǎng)+|陽(yáng)的最小值為4

故選:D.

2.(24-25高二下?貴州遵義?期中)已知點(diǎn)P(x,y)滿足y=總=7,點(diǎn)4(-2,3),則|尸4的最大值為()

A.3B.2逐C.3亞D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，分析出點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡，判斷線段最大值時(shí)點(diǎn)所在位置，求出長(zhǎng)度.

【詳解】

因?yàn)閥=變形得。-2)2+/=4(/0),所以尸軌跡是以(2,0)為圓心，以2為半徑的圓的上半部分,

如圖所示，則當(dāng)尸與點(diǎn)(4,0)重合時(shí)線段|PA|長(zhǎng)度最大，

可知當(dāng)戶與點(diǎn)(4,0)重合時(shí)，|=2,|尸Q=6，在△尸中根據(jù)勾股定理可知|PA|=歷拓=36.

故選：C.

3.(24-25高二上?北京西城?期末)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(-2,0),3(-2,2),若點(diǎn)尸為圓=1

上的動(dòng)點(diǎn)，則IAB+API的最大值為()

A.3B.屈C.5D.2啦+1

【答案】D

【分析】設(shè)玖羽田為圓C:尤2+好=1上任意一點(diǎn)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得|A8+AP|=J(x+2)2+(y+2)2,進(jìn)

而利用7(x+2)2+(y+2)2的幾何意義可求得IAB+AP|的最大值.

【詳解】設(shè)尸(MV)為圓。：必+y=1上任意一點(diǎn)，

因?yàn)锳(—2,0),B(-2,2),所以A3=(0,2),AP=(x+2,y),

所以AB+AP=(x+2,y+2),所以|A8+A尸|=J(x+2『+(y+2『,

J(x+2y+(y+2)2表示點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)￡>(-2,-2)的距離，

又C:必+y=1的圓心c(o,0)到點(diǎn)0(-2,-2)的距離為d=J(O+2)2+(0+2y=,

又圓C：f+y2=l的半徑為，=1,

所以次羽y)到點(diǎn)0(-2,-2)的距離的最大值為d+r=2應(yīng)+1,

所以|A8+API的最大值為20+1.

故選：D.

二、填空題

4.(23-24高二上.廣東東莞?月考)已知4(6,8)與圓(尤-3)2+(廣4)2=4上的動(dòng)點(diǎn)8,則AB兩點(diǎn)間距離的

取值范圍是.

【答案】[3,7]

【分析】根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)距離即可求解.4(6,8)到圓心(3,4)的距離，進(jìn)而結(jié)合圓的半徑即可求解.

【詳解】由于點(diǎn)4(6,8)在圓(了-3在+(y-③=4外,

所以4(6,8)到圓心(3,4)的距離為J(6-3)2+(8-盯=5,

而圓的半徑為r=2,所以5-+

故ABe[3,7],

故答案為：[3,7]

5.(24-25高二下?浙江?期中)已知圓C:(x-iy+(y-2)2=l,點(diǎn)A(7,6),8為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，。為了軸上

的動(dòng)點(diǎn)，則|。4|+|。5|的最小值為.

【答案】9

【分析】作出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A(7,-6),由圓的幾何性質(zhì)可得出|2A|+|Q同=|QA'|+|g|2|C4'|f,

即可得解.

【詳解】如下圖所示：

點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A（7,-6）,圓C的圓心為C（l,2）,半徑為r=l,

由于。為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，由對(duì)稱性知|。川=|。出，

所以|QA|+|Q8|=\QA!\+\QB\>\CA'\-r=J（7-l）2+（-6-2）2-1=9,

當(dāng)且僅當(dāng)3、。分別為線段AC與圓C、x軸的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立,

因此，|QA|+|QB|的最小值為9.

故答案為：9.

【題型06：直線（圓）與圓的位置關(guān)系中的】

一、單選題

1.（24-25高二下?四川南充?月考）記8（尸,￡）表示點(diǎn)尸到曲線￡上任意一點(diǎn)距離的最小值.已知圓

22

O1：X+（J-3）=1,圓&：（x-4）2+y2=4,若點(diǎn)M為圓。|上的一點(diǎn)，則的最大值為（）

A.4B.5C.8D.3

【答案】A

【分析】由圓心距與半徑的關(guān)系可得兩圓相離，再由題意與圓的相關(guān)知識(shí)即可求得.

【詳解】由圓。1：/+（”3）2=1,得圓心］（0,3）,半徑11,

由圓。2：（x-4）2+y2=4,得圓心Q（4,0）,半徑4=2,

因?yàn)榭偣?5>{+/所以兩圓外離,

因?yàn)辄c(diǎn)M為圓。上的動(dòng)點(diǎn)，所以“WHMQI-G

所以用MQ）的最大值為|。。|+廣々=5+1-2=4.

故選：A.

2.（24-25高二下?浙江衢州?期中）已知直線/:（3a+2）x-初一2=0（其中。為常數(shù)），圓

C:x2+2x+y2+2y-23=0,則直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)最小值為（）

A.V15B.V17C.275D.0T

【答案】C

【分析】確定直線/經(jīng)過(guò)定點(diǎn)尸已經(jīng)圓的圓心與半徑，根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式與直線與圓相交的性質(zhì)，算出直線

/被圓C截得的最短弦長(zhǎng)，即可得得答案.

【詳解】直線/：(3a+2)x-ay-2=0,整理可得(3x-y)a=2-2x,

(3x—y=0/、

令c0"，解得x=Ly=3,故直線/過(guò)定點(diǎn)p(l,3)，

[2Zx—U

又圓C:X?+2x+/+2y—23=0,則圓心C(—1,一1),半徑圓r=5,

根據(jù)圓的性質(zhì)，當(dāng)直線/與PC垂直時(shí)，直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)最短，

結(jié)合|PC|=V22+42=26，可得直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)等于2，合一|00|2=2>/25^20=275.

故選：C.

3.(24-25高二上?浙江杭州?期末)已知圓C:(x-3)2+“一4>=8,直線/:於+>-7-3=0,若直線/被圓

C截得的弦長(zhǎng)的最大值為。，最小值為6,則”+匕=()

A.4忘+2月B.4&+括C.2立+2月D.2返+百

【答案】A

【分析】先求出直線/過(guò)定點(diǎn)4(1,3),再根據(jù)點(diǎn)在圓內(nèi)結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系求出最長(zhǎng)弦長(zhǎng)和最短弦長(zhǎng)即

可得解.

【詳解】由題意直線/可化為機(jī)(x-l)+y-3=0,則直線過(guò)定點(diǎn)4(1,3),

點(diǎn)A(l,3)代入圓C:(x-3)2+(y-4)2=8可得(l-3)2+(3-4)2<8,所以點(diǎn)A在圓C內(nèi)，

又圓C半徑廠=20，圓心C(3,4),AC=7(3-1)2+(4-3)2=75

所以當(dāng)AC-時(shí)，直線/被圓C截得弦長(zhǎng)最短，即6=2“_AC2=2石，

當(dāng)/過(guò)圓心C時(shí)，直線/被圓C截得弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，即.=2/'=4應(yīng)，

所以a+b=4夜+2若，

故選：A

4.(2025?安徽?模擬預(yù)測(cè))已知點(diǎn)A,B為圓(x-6)2+y2=i6上兩點(diǎn)，|陰=4石，點(diǎn)尸為線段48的中點(diǎn),

點(diǎn)。為直線x-也y+4=0上的動(dòng)點(diǎn)，則|尸0的最小值為()

A.3B.4C.5D.373

【答案】A

【分析】先根據(jù)垂徑定理得出|c4=2,即可得出點(diǎn)尸的軌跡為圓，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求圓上的動(dòng)點(diǎn)到定直線的

距離的最小值.

【詳解】圓（尤-6）2+丫2=16的圓心坐標(biāo)為。（6,0）,半徑尺=4,

因?yàn)辄c(diǎn)P為線段A3的中點(diǎn)，|鉆|=46，

貝！J|C尸卜/斤一=J16-（26Y=2，

所以點(diǎn)P的軌跡是以C（6,0）為圓心，半徑為廠=2的圓，

點(diǎn)Q在直線x—y/3y+4=0上，

可得圓心C（6,0）到直線x-6y+4=0的距離d=J|j=5,

所以|PQ|的最小值為d-r=5-2=3.

故選：A

二、填空題

5.（24-25高二上?陜西寶雞?期末）已知點(diǎn)M,N在直線/：2x-y-2=0上運(yùn)動(dòng)，且囚四=26,點(diǎn)P在圓

C:（x+4）2+y2=5±,則PMN的面積的最大值為.

【答案】15

【分析】設(shè)圓心C到直線/：2x-y-2=0的距離為乙尸到直線/的距離為4,當(dāng)4最大時(shí)，貝!I4=d+石，

最后由三角形的面積公式即可求解.

【詳解】設(shè)圓心C到直線/：2x-y-2=0的距離為乙尸到直線/的距離為4，

1-8-21l

又圓心坐標(biāo)為C（TO）,所以d='」=2逐，

又半徑為百，則當(dāng)4最大時(shí)，4=d+芯=2#+非=35

此時(shí)PAW的面積也最大，最大值為:x2若x3君=15.

故答案為：15.

6.（23-24高二上.江蘇南京?開學(xué)考試）已知圓C：（x-3）2+（y-4）2=l,直線2x—y—12=0上點(diǎn)p,過(guò)點(diǎn)尸

作圓C的兩條切線上4,PB（其中A,3為切點(diǎn)），則四邊形PAC3面積的最小值為

【答案】曬

【分析】根據(jù)勾股定理可得\PB\^=720^1=V19,即可根據(jù)面積公式即可求解.

四邊形PACB的面積S=CBPB=PB,

5|6-4-12|=2卮「

當(dāng)CP與直線垂直時(shí)，此時(shí)CP取最小值，故最小值為

又半徑r=l,所以=則四邊形PACB面積的最小值為曬.

故答案為：曬

7.（24-25高二上?安徽合肥?期末）過(guò)動(dòng)點(diǎn)尸作圓。:（》-4）2+（了-3）2=3的切線尸。，點(diǎn)。為切點(diǎn),若戶。|=|尸0|

（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則|尸0的最小值是

【答案】y

【分析】設(shè)尸的坐標(biāo)為（孫耳，由題意結(jié)合圓的切線的幾何性質(zhì)推出P在直線8x+6y=22上，繼而將|尸。|的

最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)0至!）直線8x+6y=22的距離，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)P的坐標(biāo)為（九〃），圓（％-4『+（k3）2=3的圓心為"，則N（4,3）.

尸。為圓（Ip+（y-3）2=3的切線,則有|尸甘=|尸+|NQ「=|尸+3,

2222

又由|「目=|即,則有|PN「=|PO『+3,gp（m-4）+（n-3）=/n+n+3,

變形可得：8m+6M=22,即P在直線8x+6y=22上，

則|尸。|的最小值即為點(diǎn)0到直線8x+6y=22的距離，

8x0+6x0-22

日-d二----/y,即|尸0的最小值是g;

A/82+62

故答案為：

8.（24-25高二上?江蘇鹽城?月考）已知圓"：（％-/丫+仆-%y=4,從點(diǎn)N（3,4）向圓加作兩條切線NRNQ,

TT

切點(diǎn)分別為P,Q,若NPNQ=3,則點(diǎn)M的軌跡方程為；點(diǎn)加到直線3x+4y+25=0的最大距離

為.

【答案】（x—3）2+（y—4）2=1614

【分析】在中，求得MN=4,所以點(diǎn)聞的軌跡是以N（3,4）為圓心，4為半徑的圓，求解方程即

可，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得M到直線3尤+4y+25=。的最大距離.

【詳解】

從點(diǎn)N（3,4）向圓“作兩條切線NRNQ,且NPNQ=5,

TT

所以在RtZkMPN中，/PNM=—,PM=2,所以MV=4,

6

所以點(diǎn)M的軌跡是以N（3,4）為圓心，4為半徑的圓,

故M的軌跡方程為：（尤-3）2+（了-4）2=16,

|3X3+4X4+25|

因?yàn)辄c(diǎn)N（3,4）到直線3尤+4y+25=。的距離為d=10,

"+42

所以點(diǎn)M到直線3x+4y+25=0的最大距離為10+4=14.

故答案為：（x—3）2+（y—4）2=16；14

【題型07:代數(shù)式的幾何意義】

一、填空題

1.（2025高二?全國(guó)?專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)羽〉滿足方程/+必一2工-分+1=0,則代數(shù)式上的取值范圍

x+2

為.

-12-

【答案】0,y

【分析】設(shè)備=左，轉(zhuǎn)化可得一公GT+lQ—2）=3左-2,構(gòu)造向量加=（x-l,y-2）,"=（",l）,結(jié)合

＜同2.問(wèn)-求解即可.

【詳解】設(shè)上；=左，貝!|y=履+2左，①

x+2

方程/+9一2Iy+l=。，可化為（I）?+（-4.

故可將①式寫成-%口-1）+1外-2）=3左-2.

構(gòu)造向量旭=（xT,y-2）,"=（Fl）,

貝!）=-^（x-l）2+（y-2）2=2,網(wǎng)=yjk2+1,m-n=3k-2,

由（利㈤匕晡.時(shí)，得（3"2）七4化2+1）,解得04%4葭，

故所求T的取值范圍是「。日.

x+2L5」

12

故答案為：0,y.

91

2.（23-24高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知x和y滿足（x+1）+/=-,則Y+V的最大值為,最小值

為

91

4-4-

【分析】由題意知Y+V表示圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方，先求出原點(diǎn)（0,0）到圓心（-1,0）的距離為d,

圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最大、小距離為d+r,d-r,求解即可.

11

【詳解】（龍+1）9+產(chǎn)=；的圓心為（一1,0）,r=

由題意知x2+V表示圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方，

顯然當(dāng)圓上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離取最大值和最小值時(shí)，其平方也相應(yīng)取得最大值和最小值.

原點(diǎn)（0,0）到圓心（T，。）的距離為"=1,

故圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最大距離為1+：=],最小距離為

Q1

因此/+V的最大值和最小值分別為:和5

91

4-4-

二、解答題

3.（2024高二?全國(guó)?專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y=8,且24x43.

(1)求上的取值范圍；

X

(2)求上】的取值范圍.

X+1

~2~

【答案】(1)-,2

⑵一3小5一

【分析】(D由題意畫出圖形，再由號(hào)的幾何意義為線段A3上的點(diǎn)與定點(diǎn)0(0,0)連線的斜率，即可求出

上的取值范圍；

X

(2)由題意畫出圖形，再由空的幾何意義為線段上的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，即可求出空

X+1X+1

的取值范圍.

【詳解】(1)

如圖，由于點(diǎn)P(x,y)滿足關(guān)系式2x+y=8,且2W3,

所以點(diǎn)尸在線段A3上移動(dòng)，且A8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(2,4),B(3,2).

由于上的幾何意義是直線。尸的斜率，且左3=2,kOB=l，

x3

所以上的取值范圍是已2.

因?yàn)椤?的幾何意義是過(guò)P(x,y),M-1,-1)兩點(diǎn)的直線的斜率，

x+1x-(-l)

由題意可知點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)，且A8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(2,4),B(3,2).

則發(fā)膽=；，勺$=；，所以

344x+13

所以江I的取值范圍為m.

x+1|_43_

4.(2024高二.全國(guó).專題練習(xí))已知點(diǎn)(x,y)在圓(x—2)2+。+3)2=1上.

(I)求上的最大值和最小值；

x

(2)求x+y的最大值和最小值；

(3)求正+/+2%—4y+5的最大值和最小值.

【答案】⑴最大值為-2+氈，最小值為一2一亞

33

(2)最大值為&-1,最小值為一近一1

(3)最大值為庖+1,最小值為庖一