統(tǒng)計與概率：條件概率、全概率公式與貝葉斯公式、全概率公式與數(shù)列遞推問題

專項訓練

考點一條件概率

1.（24-25高二下?山東荷澤?期末）假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)隨機選擇一個有兩個小孩的家庭，已知該

家庭有女孩，則兩個小孩都是女孩的概率是（）

2.（24-25高二下?貴州安順?期末）某班級組織抽獎活動，共有10個外觀相同的抽獎盒，其中3個盒子有獎品，7

個盒子為空盒.現(xiàn)甲、乙兩名同學依次抽獎（甲抽完后不放回），則在甲沒有抽到獎品的情況下，乙抽到獎品的概

率是（）

A.-B.—C.-D.-

31049

3.（24-25高二下?福建?期末）從編號1~10的10張卡片中依次不放回地抽出兩張，記事件A：“第一次抽到的卡片

編號數(shù)字為5的倍數(shù)”，事件8：“第二次抽到的卡片編號數(shù)字小于第一次"，則P（B|A）=（）

4.（24-25高二下?天津西青?期末）經(jīng)統(tǒng)計，某射擊運動員進行兩次射擊時，第一次擊中9環(huán)的概率為0.7,此運動

員兩次均擊中9環(huán)的概率為0.56,則在第一次擊中9環(huán)的條件下，第二次也擊中9環(huán)的概率，（）

A.0.392B.0.56C.0.8D.0.9

5.（24-25高二下?福建三明?期末?多選）設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件，且P（A）=g,P（AB）=^,

僅同=：,則（）

P

A.尸（則=|B.尸的,

C.P（B）=|D.2（叫A）=）

1_3

6.(24-25高二下?福建?期末?多選)若48是一次隨機試驗中的兩個事件，尸(A)=］，P(B)=%,

2尸(A+8)=5尸(AB),則下列結(jié)論正確的有()

_1

A.A與B相互獨立B.P(AB)=—

12

1Q

C.P(B|A)=-D.P(B|(A+B))=-

7.(24-25高二下?山東荷澤?期末)在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字。和1組成的序列.由于隨機因素的干擾，發(fā)送

的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號0時，接收為0和1的概率分別為0.8和0.2；發(fā)送信

號1時，接收為1和0的概率分別為0.9和0.1.假設發(fā)送信號。和1是等可能的，則接收信號為1的概率

是.

8.(24-25高二下?江蘇南京?期末)設A,8是一個隨機試驗中的兩個隨機事件，且P(A)=；,P(B)=1,

_3_

P(A+B)=-,則尸(回A)=_____.

4

9.(24-25高二下?福建福州?期末)福州一中舉行數(shù)學文化知識競賽，比賽規(guī)定：主持人每公布一題，甲、乙兩人

就立刻搶答，先搶答者，若答對，可得1分；若答錯，則對手得1分；誰先得3分，誰就勝出，比賽結(jié)束.假設

兩人每一次搶到題的概率均為;，甲、乙兩人答對每道題的概率分別為：，；，且兩人答題正確與否互不影響.

(1)在某次搶答中，求甲得1分的概率；

⑵在某次搶答中，在乙得1分的條件下，求乙答對這個題的概率；

(3)比賽進行中，若甲、乙暫時各得1分，兩人繼續(xù)搶答了X題后比賽結(jié)束，求X的分布列及數(shù)學期望.

10.(24-25高二下?山東臨沂?期末)某選手參加一項人工智能機器人PK比賽，規(guī)則如下：該選手的初始分為20

分，每局比賽，該選手勝加10分；平局不得分；負減10分.當選手總分為。分時，挑戰(zhàn)失敗，比賽終止；當選

手總分為30分時，挑戰(zhàn)成功，比賽終止；否則比賽繼續(xù).已知每局比賽選手勝、平、負的概率分別為

且各局比賽相互獨立.

(1)求兩局后比賽終止的概率；

(2)在3局后比賽終止的條件下，求選手挑戰(zhàn)成功的概率；

(3)在挑戰(zhàn)過程中，選手每勝1局，獲獎5千元.記祖〃21。)局后比賽終止且選手獲獎1萬元的概率為尸(")，求

尸(〃)的最大值.

11.(24-25高二下?河南駐馬店?期末)某人工智能芯片需經(jīng)過兩道獨立的性能測試.首次測試(測試I)通過率為

p(。<〃<1),未通過測試I的芯片進入第二次測試(測試H),通過率為q(0<q<l).通過任意一次測試即為合

格芯片，否則報廢.

(1)若某批次生產(chǎn)了"枚芯片，合格數(shù)為隨機變量X.當。=0.8,q=0.5時，求X的期望與方差；

(2)已知一枚芯片合格，求這枚芯片是通過測試I的概率.

12.(24-25高二下?山東濟寧?期末)某校航空航天社團學生利用AI訓練平臺對無人機完成飛行任務進行訓練.無

人機每輪訓練有以下規(guī)律：若上一輪成功，本輪成功概率為。；若上一輪失敗，本輪成功概率為4.已知首輪成

2

24

功概率為§，且前兩輪都成功的概率為§.

⑴求P;

(2)在三輪訓練中，求第一輪失敗的條件下，第二輪、第三輪都成功的概率；

(3)設隨機變量X表示三輪訓練中成功的次數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.

13.（24-25高二下?廣東廣州?期末）一批筆記本電腦共有10臺，其中A品牌3臺，3品牌7臺.

（1）若每次從中隨機抽取1臺，抽取后不再放回，則在第一次抽到A品牌的條件下，第二次抽到B品牌的概率;

（2）若從中隨機抽取2臺，求這2臺電腦中A品牌臺數(shù)的分布列和期望.

14.（24-25高二下?河北石家莊?期末）在學校趣味運動會上，有一個限時通過障礙的項目，闖關(guān)者在規(guī)定的時間內(nèi)

到達終點視為闖關(guān)成功，否則視為闖關(guān)失敗.甲、乙兩班各有3人參加此項目，已知甲班3名隊員闖關(guān)成功的概率

分別為:，乙班每名隊員闖關(guān)成功的概率均為g,且各個隊員闖關(guān)是否成功互不影響.

（1）若P=；，求在甲、乙兩班共有4人闖關(guān)成功的條件下，甲、乙兩班闖關(guān)成功的人數(shù)相同的概率；

（2）記甲、乙兩班闖關(guān)成功的人數(shù)分別是X,Y,若E（X）＞E（F）,求P的取值范圍.

考點二全概率公式與貝葉斯公式

1.（24-25高二下?山東濟寧?期末）某公司升級了智能客服系統(tǒng)，當輸入的問題表達清晰時，智能客服的回答被采

Q1

納的概率為當輸入的問題表達不清晰時，智能客服的回答被采納的概率為2.已知輸入的問題表達不清晰的

概率為1.則智能客服的回答被采納的概率為（）

4

2.（24-25高二下?貴州黔西?期末）某班級學生男生占60%,女生占40%,男生近視率為30%,女生近視率為25%.

隨機選一人發(fā)現(xiàn)近視，則此人是男生的概率為（）

A.1B.3C.2D.3

25144

3.（24-25高二下?海南?階段練習）王剛是校足球隊的替補球員，已知每場比賽王剛上場的概率為g,校足球隊獲

勝的概率為:，若王剛上場的情況下校足球隊獲勝的概率為。，則校足球隊獲勝的比賽中王剛上場的概率為

（）

4.（24-25高二下?福建泉州?期末）某倉庫里混放著來自第一、第二兩個車間的同型號的電器，第一、二車間生產(chǎn)

電器的產(chǎn)品比例為2:3,已知第一車間的電器次品率為3%,第二車間的電器次品率為8%.今有一客戶從電器倉

庫中隨機提一臺產(chǎn)品，設此產(chǎn)品是次品的概率為Pi；若此產(chǎn)品是次品，則此次品來自第一車間的概率為P2,那么

（）

113「33

A.Pi=-,Py———B.Pi=-，p2=—

1100211150211

-111c31

C.P1=，-22=二D.Pi=—，"2=二

110051505

5.（24-25高二下?黑龍江哈爾濱?期末?多選）有三個相同的箱子，分別編號1,2,3,其中1號箱內(nèi)裝有4個綠

球、1個紅球，2號箱內(nèi)裝有2個綠球、3個紅球，3號箱內(nèi)裝有5個綠球，這些球除顏色外完全相同.某人等可能

從三個箱子中任取一箱并從中摸出一個球，事件A,表示“取到i號箱（i=l,2,3）”，事件8表示“摸到綠球”，事件C表

示“摸到紅球”，則（）

A.P（B|4）=|B.尸（B|A）+P（C|4）=P（4）

C.D.尸（4忸）*

6.（24-25高二下?河北承德?期末?多選）某商場的抽獎區(qū)有紅、黃、綠三個不透明的盒子，其中紅盒內(nèi)有3個紅

球、2個黃球和1個綠球，黃盒內(nèi)有2個紅球、1個綠球，綠盒內(nèi)有1個紅球、2個黃球.規(guī)定第一次先從紅盒內(nèi)

任取1個球，再將取出的球放入與球同色的盒子中，第二次從被放入球的盒子中任取1個球.規(guī)定每次抽球均能

獲得優(yōu)惠券，抽到紅球獲得1張優(yōu)惠券，抽到黃球獲得2張優(yōu)惠券，抽到綠球獲得3張優(yōu)惠券，每張優(yōu)惠券的金

額相同，顧客最終獲得的優(yōu)惠券張數(shù)為兩次抽球所得的優(yōu)惠券張數(shù)的和，則下列說法正確的是（）

A.在第一次抽到黃球的條件下，第二次仍抽到黃球的概率是:

B.顧客最終獲得6張優(yōu)惠券的概率是5

C.第二次抽到紅球的概率是三

D.若第二次抽到紅球，則它來自綠盒的概率為

7.（24-25高二下?北京豐臺?期末）某手機銷售店只銷售甲、乙兩個品牌的手機，其中甲品牌的銷售量占本店手機

銷售量的40%,優(yōu)質(zhì)率為80%,乙品牌的優(yōu)質(zhì)率為90%.從該店中隨機買一部手機，貝『'買到的是優(yōu)質(zhì)品”的概率

為_________

8.（24-25高二下?山東荷澤?期末）在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機因素的干擾，發(fā)送

的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號0時，接收為0和1的概率分別為0.8和0.2；發(fā)送信

號1時，接收為1和0的概率分別為0.9和0.1.假設發(fā)送信號0和1是等可能的，則接收信號為1的概率

是.

9.（24-25高二下?北京海淀?期末）AI幻覺，是指AI模型生成看似合理但實際不正確或毫無事實依據(jù)的信息的現(xiàn)

象.AI幻覺率是指AI模型產(chǎn)生AI幻覺的概率.現(xiàn)抽取了由甲、乙、丙、丁四個公司研發(fā)的14個使用率較高的AI

模型，其幻覺率如下表所示：

公司甲乙丙T

AI模型1234567891011121314

幻覺率1.3%1.8%2.9%1.5%1.9%2.9%0.7%0.9%1.6%2.4%0.8%1.6%2.4%2.8%

⑴從表中提供的AI模型中任取一個，求該模型幻覺率低于2%的概率；

（2）從表中提供的幻覺率低于2%的AI模型中任取3個，用隨機變量X表示其中幻覺率低于1.3%的模型個數(shù)，求隨

機變量X的分布列和數(shù)學期望；

⑶已知某同學向表中乙或丙公司的某個AI模型進行了一次提問，經(jīng)查證，該模型產(chǎn)生了AI幻覺，則該模型來自

哪個公司的可能性更大？（結(jié)論不要求證明）

10.（2025?四川成都?一模）以，“智’在必得”為主題的人工智能知識挑戰(zhàn)賽預賽由6道正誤判斷題組成，每位選手從

中隨機抽取3道，若能全部回答正確，則通過預賽.已知選手甲會做其中的4道題.

⑴設X表示選手甲抽到會做題目的道數(shù)，求隨機變量X的分布列和方差；

（2）假設選手甲會做的題全部答對；不會做的題隨機判斷，答對的概率為，若各題作答結(jié)果互不影響，求他通過預

賽的概率.

11.(24-25高二下?河北石家莊?期末)有甲乙兩個袋子，袋子里有形狀大小完全相同的球.其中甲袋中有3個紅球7

個白球，乙袋中有4個紅球6個白球.從兩袋中等可能的選一個袋子，再從該袋中隨機摸出一球，稱為一次摸球試

驗，多次做摸球試驗直到摸出白球，試驗結(jié)束.

(1)求首次摸球后試驗就結(jié)束的概率；

⑵在首次摸出紅球的條件下，求選到的袋子是乙袋的概率；

(3)在首次摸出紅球的條件下，將紅球放回原袋中，繼續(xù)第二次摸球試驗，有如下兩個方案：方案一：從原袋中摸

球；

方案二：從另外一個袋子中摸球.

請通過計算，說明哪個方案能使第二次摸球后試驗結(jié)束的概率更大.

12.(24-25高二下?福建廈門?期末)某工廠共有甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一型號的產(chǎn)品，其中甲生產(chǎn)線每天產(chǎn)量為

20000件，乙生產(chǎn)線每天產(chǎn)量為10000件.其中甲生產(chǎn)線的一等品率為0.2,二等品率為0.8；乙生產(chǎn)線的一等品率

為0.6,二等品率為0.4.將甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品均勻混合后隨機裝箱.

(1)質(zhì)檢人員從混合后的產(chǎn)品中隨機抽取一件，求抽取到的產(chǎn)品為一等品的概率；

(2)已知每箱中有3件產(chǎn)品，其中二等品的定價為100元/件，若要使得每箱產(chǎn)品銷售額的期望不低于400元，一

等品應該如何定價.

13.(24-25高三下?云南麗江?階段練習)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下:若命中，則此人繼續(xù)

投籃，若未命中，則換對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為乙每次投籃的命中率均為

由抽簽決定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率均為1

(1)求第2次投籃的人是甲的概率.

(2)記X為前3次投籃中，甲總共投籃的次數(shù)，求X的分布列與期望.

14.(24-25高二下?海南?？?期末)高中數(shù)學試題多選題給出的四個選項中有2個或3個選項符合題目要求.全部

選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分(答案為3個選項每個得2分，答案為2個選項每個得3

分).

⑴若一道多選題只有2個選項符合題目要求，求隨機選擇2個選項能得6分的概率；

(2)假定四個選項中有2個或3個選項符合題目要求的概率均為g.

(i)求一道多選題隨機選擇1個選項時得。分的概率；

(ii)一道多選題在能確定A選項錯誤的前提下隨機作答(選擇1至3個選項)，從得分期望角度分析，建議作答

時選擇幾個選項？

考點三全概率公式與數(shù)列遞推問題

1.(24-25高二下?四川涼山?期末)某學校食堂每天中午提供A,B兩種套餐，同學小李第一天午餐時隨機選擇一

種套餐，如果前一天選擇A套餐，那么第二天選擇A套餐的概率為如果前一天選擇B套餐，那么第二天選擇

A套餐的概率為g.

(1)該食堂對A套餐的菜品種類與品質(zhì)等方面進行了改善后，調(diào)查了學生對A套餐的滿意程度情況，統(tǒng)計了100名

學生的數(shù)據(jù)，如下表(單位：人)

A套餐滿意度情況A套餐改善前A套餐改善后合計

滿意354075

不滿意151025

合計5050100

根據(jù)小概率值以=0.001的獨立性檢驗，能否認為學生對A套餐的滿意程度與套餐的改善有關(guān)？

(2)若A套餐擬提供2種品類的素菜，〃(〃23,〃eN*)種品類的葷菜，同學小李從這些菜品中隨機選擇4種菜

品，記選擇素菜的種數(shù)為X,求尸(X=2)的最大值，并求此時〃的值.

(3)設同學小李第〃天選擇3套餐的概率為匕，求以

參考數(shù)據(jù)：X2:逅黑荔E其中…+"c+d

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

2.(24-25高二下?安徽?期末)某工廠員工每天選擇坐班車或開私家車去上班.統(tǒng)計可知，該工廠員工若前一天坐班

車，則第二天仍坐班車的概率為：，第二天改開私家車的概率為：；若前一天開私家車，則第二天仍開私家車的

概率為第二天改坐班車的概率為若該工廠員工上班第一天坐班車和開私家車的概率均為該工廠某員工

第〃天坐班車的概率為匕.

(1)設該工廠某3位員工中第二天坐班車的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學期望；

⑵求匕；

(3)為緩解交通壓力，工廠決定每天抽調(diào)10人到班車停車場和私家車停車場參加安保工作，請合理分配每天去班車

停車場和私家車停車場參加安保工作的人數(shù)，并說明理由.

3.(24-25高二下?四川廣元?期末)已知甲乙兩個盒中均有3個除顏色外完全相同的小球，其中2個白球和1個紅

球.從甲乙兩個盒中各任取一個小球交換，重復進行”(〃eN*)次操作后，記甲盒中紅球的個數(shù)為x“，甲盒中恰有

1個紅球的概率為%,恰有2個紅球的概率為〃.

(1)求百的數(shù)學期望；

(2)找出與%的關(guān)系，并求｛%｝的通項公式；

(3)證明：an+2bn=1.

4.(24-25高二下?山東東營?期末)某無人機操作員進行定點精準降落訓練.據(jù)以往訓練經(jīng)驗，第一次降落成功的概

率為;3.若第i次降落成功，則第，+1次降落成功的概率為4三；若