專題09投影與視圖（7個考點）

【知識梳理+解題方法】

一.簡單幾何體的三視圖

（1）畫物體的主視圖的口訣為：主、俯：長對正；主、左：高平齊；俯、左：寬相等.

（2）常見的幾何體的三視圖:

◎

圈臺的

視圖

圓柱的三視圖:

二.簡單組合體的三視圖

（I）畫簡單組合體的三視圖要循序漸進，通過仔細觀察和想象：再畫它的三視圖.

（2）視圖中每一個閉合的線框都表示物體上的一個平面，而相連的兩個閉合線框常不在一個平面上.

（3）畫物體的三視圖的口訣為：

主、俯：長對正；

主、左：IWJ平齊;

俯、左：寬相等.

三.由三視圖判斷幾何體

（1）由三視圖想象幾何體的形狀，首先，應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和

左側(cè)面的形狀，然后綜合起來考慮整體形狀.

（2）由物體的三視圖想象幾何體的形狀是有一定難度的，可以從以下途徑進行分析：

①根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，以及幾何體的長、寬、高；

②從實線和虛線想象幾何體看得見部分和看不見部分的輪廓線；

③熟記一些簡單的幾何體的三視圖對復(fù)雜幾何體的想象會有幫助；

④利用由三視圖畫幾何體與有幾何體畫三視圖的互逆過程，反復(fù)練習，不斷總結(jié)方法.

四.作圖三視圖

（1）畫立體圖形的三視圖要循序漸進，不妨從熟悉的圖形出發(fā)，對于一般的立體圖要通過仔細觀察和想象，

再畫它的三視圖.

（2）視圖中每一個閉合的線框都表示物體上的一個平面，而相連的兩個閉合線框常不在一個平面上.

（3）畫物體的三視圖的口訣為：主、俯：長對正；主、左：高平齊：俯、左：寬相等.

（4）具體畫法及步驟：

①確定主視圖位置，畫出主視圖；②在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長對止”；③在主視圖

的正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”、與俯視圖“寬相等”.

要注意幾何體看得見部分的輪廓線而成實線，被其他部分遮擋而看不見的部分的輪廓線化成虛線.

五.平行投影

（1）物體在光線的照射下，會在地面或墻壁上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象.一般地，用光線照射物體，

在某個平面（底面，墻壁等）上得到的影子叫做物體的投影，照時光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投

影面.

（2）平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子就是平行投影.

（3）平行投影中物體與投影面平行時的投影是全等的.

（4）判斷投影是平行投影的方法是看光線是否是平行的.如果光線是平行的，所得到的投影就是平行投影.

（5）正投影：在平行投影中，投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影.

六.中心投影

（1）中心投影：由同一點（點光源）發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影.如物體在燈光的照射下形成的

影子就是中心投影.

（2）中心投影的光線特點是從一點出發(fā)的投射線.物體與投影面平行時的投影是放大（即位似變換）的關(guān)

系.

（3）判斷投影是中心投影的方法是看光線是否相交于一點，如果光線是相交于一點，那么所得到的投影就

是中心投影.

七.視點、視角和盲區(qū)

（1）把觀察者所處的位置定為一點，叫視點.

（2）人眼到視平面的距離視固定的（視距），視平面左右兩個邊緣到人眼的連線得到的角度就是視角.

（3）盲區(qū)：視線到達不了的區(qū)域為盲區(qū).

【專題過關(guān)】

一.簡單幾何體的三視圖（共1小題）

1.（2022秋?龍崗區(qū)期中）下列幾何體中，從左面看到的形狀為三角形的是（）

【點評】本題考查了三視圖的知識，左視圖是從物體的左邊向右看得到的視圖.畫簡單組合體的三視圖

要循序漸進，通過仔細觀察和忠象，再畫它的三視圖.

三.由三視圖判斷幾何體（共6小題）

3.（2021秋?南宮市期末）如圖所示的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體的側(cè)面積為（）

A.4nB.8TTC.16nD.321T

【分析】俯視圖為圓的只有圓錐，圓柱，球，根據(jù)主視圖和左視圖都是三角形可得到此幾何體為圓錐，

那么側(cè)面積=底面周長X母線長+2,從而得出答案

【解答】解：根據(jù)三視圖可得：這個幾何體為圓錐，

???直徑為4°“，圓錐母線長為K。??，

，側(cè)面積=ITX4X8+2=16m2.

故選：C.

【點評】本題考查了由三視圖判斷幾何體，掌握圓錐的底面直徑和母線長是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?新華區(qū)校級四模）一個幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為正三角形，則該幾何體的左視圖

中。的值為（）

左視圖

俯視圖

A.1.8B.1.7C.V3D.2

【分析】根據(jù)三視圖的定義以及正三角形的性質(zhì)進行計算即可.

【解答】解：如圖，由圖形中所標識的數(shù)據(jù)可知，

在俯視圖中，AB=2,是正三角形，過點C作于M,

：.AM=BM=-AB=\,

2

/.CM=V3A?W=V3,

即左視圖中〃的值為

故選：C.

C

俯視圖

【點評】本題考查由三視圖判斷幾何體，簡單幾何體的三視圖，理解視圖的定義，掌握簡單幾何體三視

圖的形狀以及正三角形的性質(zhì)是解決問題的前提.

5.（2021秋?泗縣期末）已知如圖是從三個方向看到的一個幾何體的形狀.

（1）寫出這個幾何體的名稱：

（2）若從正面看到的高為10cm,從上面看到的三角形的三邊長都為4”?，求這個幾何體的側(cè)面積.

從正面看從左面看從上面看

【分析】（1）只有棱柱的主視圖和左視圖才能出現(xiàn)長方形，根據(jù)俯視圖是三角形，可得到此幾何體為三

棱柱；

（2）側(cè)面積為3個長方形，它的長和寬分別為10cm,4cm,計算出一個長方形的面積，乘3即可.

【解答】解：（1）三棱柱：

（2）3X10X4=120cw2.

【點評】本題考查了由三視圖判斷幾何體，掌握棱柱的側(cè)面都是長方形，上下底面是幾邊形就是兒棱柱

是關(guān)鍵.

6.（2022秋?武侯區(qū)校級期中）一兒何體的三視圖如圖所示，求該兒何體的體積.

“卜6材邛用心

正＜￡）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

【分析】由三視圖可判斷該幾何體由一個長方體和一個半圓柱組成.，長方體的長寬高分別為：10,4,5,

半圓柱的高為2,半徑為3,該幾何體的體積等于長方體與半圓柱體積之和.

【解答】解：由三視圖可判斷該幾何體由一個長方體和一個半圓柱組成，長方體的長寬高分別為：10,

4,5,半圓柱的高為2,半徑為3,

，長方體的體積為10X4X5=200,半圓柱的體積為LxnX32x2=9n,

2

???該幾何體的體積為：V=2（X）+9n.

【點評】本題考杳了學(xué)生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考

6.主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形.

7.（2022?中山市模擬）第24屆冬奧會吉祥物“冰墩墩”收獲無數(shù)“迷弟”“迷妹”而一“墩”難求；為了

滿足需求，其中一間正規(guī)授權(quán)生產(chǎn)廠通過技術(shù)改造來提高產(chǎn)能，兩次技術(shù)改造后，由日產(chǎn)量200（）個擴大

到日產(chǎn).最242（）個.

（1）求這兩次技術(shù)改造日產(chǎn)量的平均增長率；

（2）這生產(chǎn)廠家還設(shè)計了三視圖如圖所示的“冰墩墩”盲盒（單位：cm）,請計算此類盲盒的表面積.

?口口

'二C主視圖左視圖

俯視圖

【分析】（I）設(shè)這兩次技術(shù)改造日產(chǎn)量的平均增長率為X,利用經(jīng)過兩次技術(shù)改造后的日產(chǎn)量=原日產(chǎn)量

X（1+增長率）2,即可得出關(guān)于X的一元二次方程，解之取其正值即可得出兩次技術(shù)改造后日產(chǎn)量的平

均增長率為10%；

（2）根據(jù)半圓柱表面積的計算方法計算即可求解.

【解答】解：（1）設(shè)這兩次技術(shù)改造H產(chǎn)量的平均增長率為，

依題意得：2（X）0（1+x）2=2420,

解得：xi=0.1=10%,X2=-2.1（不合題意，舍去）.

答：這兩次技術(shù)改造口產(chǎn)量的平均增長率為10%;

(2)ITX42+TTX4X8+8X8

=I6TT+32IT+64

=48TI+64.

故此類盲盒的表面積是48TT+64.

【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及由三視圖判斷匚何體，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系,

正確列出一元二次方程；（2）熟練掌握圓柱表面積的“算在實際問題中的運用.

8.（2022秋?細河區(qū)校級月考）如圖所示是一個幾何體的主視圖和俯視圖，求該幾何體的體積（不取近似值）

20cm

【分析】該幾何體是一個圓柱和一個長方體疊放在一起，因此體積是一個圓柱和一個長方體體積的和.

【解答】解：該幾何體的體積為：

TTX102X32+30X25X40

=（3200n+30000）cw3.

【點評】本題考杳了由三視圖判斷幾何體的知識，解題的關(guān)鍵是判斷該幾何體的形狀.

四.作圖三視圖（共2小題）

9.（2021秋?盤州市期末）在平整的地面上，有若干個形狀大小完全相同的小正方體堆成一個組合幾何體,

并固定在地面上，如圖所示.

（1）如果把堆成的幾何體的表面噴上黃色的漆，則所有的小正方體中，有1個正方體只有一個面是

黃色，有2個正方體只有兩個面是黃色,有3個正方體只有三個面是黃色.

（2）請畫出這個組合幾何體從三個方向看到的形狀圖.

（3）若現(xiàn)在你手頭還有一些形狀大小完全相同的小正方體，在保持從上面和從左面看到的形狀圖不變的

前提下，最多可以再添加幾個小正方體？

【分析】（1）從正面看有3歹IJ,每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為3,1,2,從左面看有3列，每列小正方形數(shù)

目分別為3,2,1,從上面有3歹ij,每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為3,2,1,據(jù)此可畫出圖形；

（2）保持從上面和左面看到的形狀圖不變，可往第二列前面的幾何體上放一個小正方體，后面的幾何體

上放3個小正方體；

（3）只有?個面是黃色的應(yīng)該是第例正方體中最底層中間那個，有2個面是黃色的應(yīng)是第?列最底層

最后面那個和第二列最后面那個，只有三個面是黃色的應(yīng)是第一列第二層最后面的那個，第二列最前面

那個，第三列最底層那個，據(jù)此分析解答.

【解答】解：（1）只有一個面是黃色的應(yīng)該是第一列正方體中最底層中間那個，共I個；

有2個面是黃色的應(yīng)是第一列最底層最后面那個和第二列最后面那個，共2個；

只有3個面是黃色的應(yīng)是第一列第二層最后面的那個，第二列最前面那個，第三列最底層那個，共3個.

故答案為：1,2,3：

（2）如圖所示:

（3）最多可以再添加4個小正方體.

【點評】本題考查三視圖、認設(shè)立體圖形等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考

常考題型.

10.（2022?龍崗區(qū)模擬）如圖所示是由若干個相同的小正方體組成的幾何體.

（1）該幾何體由個小正方體組成；

（2）在虛線網(wǎng)格中畫出該幾何體的三視圖.

正面

【分析】（1）根據(jù)幾何體的特征判斷即可；

（2）根據(jù)三視圖的定義畫出圖形即可.

【解答】解：（1）這個幾何體有8個小正方形組成.

故答案為：8；

（2）三視圖如圖所示.

主視圖左視圖俯視圖

【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，解題的關(guān)鍵是理解三視圖的定義，屬于中考?？碱}型.

五.平行投影（共3小題）

11.（2022?昭平縣二模）如圖，太陽光線與地面成60°的角，照射在地面上的一個皮球上，皮球在地面上

的投影長是10愿，則皮球的直徑是（）

60/

A.15B.8^3C.lCh/3D.10

【分析】根據(jù)題意畫出幾何圖形，利用NOEC=6()°可計算出。石=5近，則CD=15,所以A8=15,從

而得到皮球的直徑.

【解答】解：如圖，A4為直徑，CE=1(M，

,??太陽光線與地面成60°的角，

/.ZDEC=60°,

在RtZkCDE中，

DE=—CE=5^/3,

2

CD=V3DE=V3X5V3=15,

?"B=15,

所以皮球的直徑是15.

故選：A.

【點評】本題考查了平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影

子就是平行投影.也考查了切線的性質(zhì).

12.（2022?朝陽區(qū)二模）在太陽光的照射下，一個矩形框在水平地面上形成的投影不可能是（）

A

D.

【分析】矩形木框在地面上形成的投影應(yīng)是長方形、平行四邊形或一條線段，即相對的邊平行或重合,

故不會是梯形，可得答案.

【解答】解：根據(jù)平行投影的特點，矩形木框在地面上形成的投影不可能是梯形.

故選：C.

【點評】本題考查了平行投影.解題的關(guān)鍵是掌握平行投影特點：在同一時刻，不同物體的物高和影長

成比例，平行物體的影子仍舊平行或重合.

13.（2022?上虞區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標系中，點（2,2）是一個光源，木桿4B兩端的坐標分別為

（0,1）,（3,1）,則木桿AB在x軸上的投影48長為（）

八y

3-

2-?(2,2)

]A______________B

-------------1----------1---------

0|123x

A.2A/3B.3V2C.5D.6

【分析】利用中心投影，延長布、分別交x軸于A'、B',作軸于￡交A3于。，如圖,

證明△以8s△以'*,然后利用相似比可求出Ab的長.

【解答】解：延長雨、分別交工軸于A'、B',作軸于必交A8于。，如圖，

?:P(2,2),4(0,1),B(3,1).

PD=1,PE=2,AB=3,

'：AB//A'Br,

???△必86△附'B',

.ABPDPH31

A'B'PEA'B'2

"B'=6.

故選Q.

【點評】本題考查了中心投影：中心投影的光線特點是從一點出發(fā)的投射線.物體與投影面平行時的投

影是放大（即位似變換）的關(guān)系.

六.中心投影（共6小題）

14.（2021秋?武功縣期末）下列各種現(xiàn)象屬于中心投影的是（）

A.晚上人走在路燈下的影子

B.中午用來乘涼的樹影

C.上午人走在路上的影子

D.陽光下旗桿的影子

【分析】根據(jù)中心投影的性質(zhì)，找到是燈光的光源即可.

【解答】解：中心投影的光源為燈光，平行投影的光源為陽光與月光，在各選項中只有A選項得到的投

影為中心投影.

故選：A.

【點評】此題主要考查了中心友影的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是理解中心投影的形成光源為點還是平行光

線.

15.（2021秋?龍崗區(qū)校級期末）晚上，人在馬路上走過一盞路燈的過程中，其影子長度的變化情況是（）

A.先變短后變長B.先變長后變短

C.逐漸變短D.逐漸變長

【分析】光沿直線傳播，當光遇到不透明的物體時將在物體的后方形成影子，影子的長短與光傳播的方

向有關(guān).

【解答】解：人從馬路邊向一盞路燈下靠近時，光與地面的夾角越來越大，人在地面上留下的影子越來

越短，

當人到達路燈的下方時，人在地面上的影子變成一個圓點，

當人再次遠離路燈時，光線與地面的夾角越來越小，人在地面上留下的影子越來越長,

所以人在走過一盞路燈的過程中，其影子的長度變化是先變短后變長.

故選：4.

【點評】本題主要考查中心投影，由同一點（點光源）發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影.如物體在

燈光的照射下形成的影子就是中心投影.

16.（2022?息烽縣二模）如圖，夜晚路燈下有一排同樣高的旗桿，離路燈越近，旗桿的影子（）

C.一樣長D.隨時間變化而變化

【分析】連接路燈和旗桿的頂端并延長交平面于一點，這點到旗桿的底端的距離是就是旗桿的影長，畫

出相應(yīng)圖形，比較即可.

【解答】解：由圖易得48VCD,那么離路燈越近，它的影子越短，

故選：B.

【點評】此題主要考查了中心我影，用到的知識點為：影長是點光源與物高的連線形成的在地面的陰影

部分的長度.

17.（2022?湖里區(qū)二模）如圖，在直角坐標系中，點P（3,2）是一個點光源.木桿A8兩端的坐標分別為

（2,1）,（5,1）.則木桿48在工軸上的投影長為6

八y

■p

■

-A?------------

_____iiIIIII?

°X

【分析】由點A、點3的坐標可得A8=3,A3〃工軸，再由點夕的坐標可知PN、PM的長，由“相似三

角形的相似比等于對應(yīng)高的比”可求出A'8’的長即可.

【解答】解：如圖，延長辦P8交x軸分別于點A'、點*,過點。作PN_Lx軸，交于點M,垂足

為N,

???點A(2,1),點B(5,I),

???八8=|2-5|=3,人A〃x軸，

:.PNIAB,

又???點/(3,2),

:?PN=2,PM=MN=1,

???/W〃x軸，

；?△氏8s△力'B',

?AB_PM_1

,,NB，PN~2

???A'B'=2AB=6,

即AB在x軸上的影長為6,

故答案為：6.

【點評】本題考查中心投影.位置的確定，理解坐標的定義,掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是之前解答

的前提.

18.（2022春?連山區(qū)月考）如圖，身高16〃的小王晚上沿箭頭方向散步至一路燈下，他想通過測量自己的

影長來估計路燈的高度，具體做法如下：先從路燈底部向東走20步到M處，發(fā)現(xiàn)自己的影子端點剛好

在兩盞路燈的中間點P處，繼瀆沿剛才自己的影子走5步到。處，此時影子的端點在Q處.

（1）找出路燈的位置.

（2）估計路燈的高，并求影長PQ.

—」」「

MPQ

【分析】（1）設(shè)小王在M處的頭頂位置為點M在P處的頭頂位置為點小則延長PMQB,它們相交

于點O,則點。為路燈的位置.

（2）作。4垂直地面，如圖，AM=20步，MP=5步，MN=PB=16n,先證明△尸MNs△附O,利用相

似比可求出。4,然后證明△QPHS^QAO,則利用相似比可計算出PQ.

【解答】解：（I）如圖，點。為路燈的位置；

0

（2）作。4垂直地面，如圖，AM=20步，MP=5步，MN=PB=\.6m,

,:MN〃OA,

:APMNS/\PM),

.MNPMl.6_5

=fl[l解得04=8(m),

**0APA*.~0K5+20

???PB//OA,

：.4QPBs叢QAO,

.PB=PQtl[l1.6_PQ

*'0AQA''8PQ+25'

解得PQ=^-.

4

答：路燈的高8加，影長PQ為空步.

4

【點評】本題考查了中心投影：由同一點（點光源）發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影.如物體在燈

光的照射下形成的影子就是中心投影.也考查了相似三角形的判定與性質(zhì).

19.（2021秋?衡陽期末）如圖，王華晚上由路燈4下的B處走到C處時，測得影子C。的長為1米，繼續(xù)

往前走3米到達七處時，測得影子石尸的長為2米，已知王華的身高是1.5米，那么路燈人的高度八8是

多少？

【分析】通過相似三角形的性質(zhì)可得空=生，里=旦且="，可得型=驗，即可求解.

BDABBFABABBDBF

【解答】解：..?王華照的影夏長飄路燈曾的已影娶長'

當王華在CG處時，RtADCG^RtADBA,即空=&色，

BDAB

當王華在￡”處時，RtAFEHsRtAFBA,即旦工=上旦=%

BFABAB

.CD=EF

**BDW

?；CG=￡77=1.5米，C￡)=l米，CE=3米，E尸=2米，

設(shè)AB=x,BC=yf

???，=2,解得：),=3,經(jīng)檢驗y=3是原方程的根.

y+1y+5

..CD=CG

,BDAB,

解得x=6米.

即路燈A的高度A8=6米.

【點評】本題綜合考杏了中