人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊《14.3角的平分線》同步測試題（附答案）

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、選擇題

1.如圖，0P平分NMON,PA±ON,PB±OM,垂足分別為A、B,若PA=3,則PB=（）

A.2B.3C.1.5D.2.5

2.在Rt△力BC中，4=90°,/BAC的角平分線4D交BC于點(diǎn)0,BC=1,BD=4,則點(diǎn)D到AB的距離

是()

3.如圖在RtAABC中，ZC=90°,若8c=20,2D平分交BC于點(diǎn)D,且BD：CD=3：2,則點(diǎn)

D到線段48的距離DE的長為（）

4.如圖，BM是AABC的角平分線，D是BC邊上的一點(diǎn)，連接AD,使AD=DC,且NBAD=120°,則NAMB=

()

5.如圖，AABC的三邊4B、BC、以長分別是30、40、50,48C和4CB的角平分線交于0,則以的。：

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A.1：1：1B.1：2：3C.2：3：4D.3：4：5

6.如圖，在RtAABC中，已知NC=90°,AC=BC=1,AB=V2,/BAC的平分線與BC邊交于點(diǎn)D,

DE148于點(diǎn)E,則△OBE的周長為()

A.V2B.2C.1+V2D.無法計(jì)算

7.如圖，在△ABC中，4=90°，2。平分44C,若/B=30°,AC=W,AD=2,

則AABD的面積為（）

A.V3B.2C.2V3D.3

8.如圖，在銳角AABC中，AB=8,S4ABe=16,ZBAC的平分線交BC于點(diǎn)。，且2。1BC,

點(diǎn)M,N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是()

A.4B.5C.6D.8

二、填空題

9.如圖，在A/IBC中，NT=90。，AC=12cm,CD-.AD=1:3,BD平分/ABC,求D至ijAB的距離等于

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cm.

10.如圖，4D是等腰△ABC底邊BC上的中線，CE平分/4cB交4。于點(diǎn)E,若4B=8,DE=2,貝lUAEC的

面積為.

11.如圖，中，ZACB=90。，BE平分/4BC,DE1AB,垂足為D,如果AC=12cm,AE=8cm,

那么DE的長為；

12.如圖,AB〃CD,0是NBAC和ZACD的平分線的交點(diǎn)，0E，AC與E,0E=3，則AB與CD之間的距離為

13.如圖，在△/況■中，BO、CO分別平分//比■與N/6延長切交"1于點(diǎn)〃連接力，焊OE1BC,垂

足為也若AD：DC=\：2,0E=2,AB=6,則△皈'的面積為.

三、解答題

14.如圖，在AABC中，點(diǎn)。是NABC、NACB平分線的交點(diǎn)，AB+BC+AC=20,過。作OD_LBC于D點(diǎn),

且0D=3,求△ABC的面積.

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AD是高，BE是角平分線，AD,BE交于點(diǎn)F,ZC=30°/BFD

=70。，求ZBAC的度數(shù)

16.如圖,在△/比■中，點(diǎn)，是比1的中點(diǎn)，DELAB,DFLAC.￡、尸為垂足，BE=CF.求證:

(1)DE=DF；

(2)連接49,這時(shí)49平分/胡。嗎？請(qǐng)說明理由.

17.如圖，已知DE1AE,垂足為E,DF1AC,垂足為凡BD=CD,BE=CF.

(1)證明：AD平分NB4C；

(2)猜想4B+4C與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

18.如圖，CA=CB,CD=CE,NACB=/DCE=a,AD,BE交于點(diǎn)H,連CH.

C

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(1)求證：△4CD=ABCF；

(2)求證：HC平分/4HE；

(3)求47/E的度數(shù).(用含a的式子表示)

參考答案

1.【答案】B

【解析】【解答】解：；0P平分NMON,PA±ON,PB±OM,/.PB=PA=3,

故選：B.

【分析】角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，據(jù)此解答即可.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：過點(diǎn)D作DELAB于E,則DE的長是點(diǎn)D到AB的距離

：AD是/BAC的角平分線,ZC=90°,DEXAB

；.DE=DC(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)

VBC=7,BD=4

.\DC=BC-BD=3

.*.DE=CD=3

即點(diǎn)D至IJAB的距離是3.

故答案為：B.

【分析】過D作DEXAB于E,則DE的長度是D到AB邊的距離，由角平分線性質(zhì)得出ED=DC,利用DC=BC-BD,

求出CD的長，繼而得解.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：；BC=20,BD：CD=3：2,

CD="2B=8,

?.?力。平分/C=90°,DE為點(diǎn)D到線段4B的距離，

：.DE=CD=8,

故答案為：B.

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【分析】先利用線段的和差求出CD=|CB=8,再利用角平分線的性質(zhì)可得DE=CD=80

4.【答案】A

【解析】【解答】解：：BM平分NABC,

ZABM=ZCBM,

VAD=DC,

ZDAC=ZC,

在AABC中，ZABC+ZBAC+ZC=180°,

即2ZCBM+ZBAD+2ZC=180°,且NBAD=120°

/.ZCBM+ZC=30°,

：.ZAMB=ZCBM+ZC=30°,

故答案為：A.

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得NABM=/CBM,再由等腰三角形性質(zhì)得出NDAC=NC,利用三角形外角性

質(zhì)和三角形內(nèi)角和，結(jié)合角的運(yùn)算得出結(jié)論

5.【答案】D

【解析】【解答】解：過。分別作。E14B,F01CB,0D1AC,

「BO是/4BC平分線，

E0=F0,

??,CO是上4cB平分線，

E0=DO,

E0—DO—FO,

111

???S-B。=-EO,SABC。=-CB-FO,ShCA0=-AC-DO,

S—Bo：^ABCO:^ACAO~30：40：50=3：4：5.

故答案為：D.

【分析】過0分別作E01AB,F01CB,0D1AC,由角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得EO=FO=DO,于

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是根據(jù)SABO：SABCO：SACAO=-ABXEO:-CBXFO:5ACXDO可求解.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：???DE148,4=90°,是NB4C的平分線，

：.DC=DE,

：.DE+BD=DC+BD=BC=1,

在Rt△ADC^Rt△ZDE中，

(AD=AD

[DC=DE9

：.Rt△ADC三Rt△ADE(HL),

*.AE=AC=1,

:?BE=AB—AE=V2—1,

△OBE的周長=BE+DE+BD=y/2-l+l^42,

故答案為：A.

【分析】由角平分線的性質(zhì)可得DC=DE,從而得出DE+BD=DC+BD=BC=1,根據(jù)HL證明RtAADC

^RtAADE,可得AE=AC=1,從而得出BE=AB-2E=/一1,由于△OBE的周長=BE+DE+BD,代入

數(shù)據(jù)即可求解.

7.【答案】A

【解析】【解答】解：：〃=30。，4=90。，

.,.ZBAC=90°-30°=60°

'."AD平分ZBAC,

-1

???ZBAD=ZCAD=-NBAC=30°

2

在Rt^ACD中，由AD=2

.\CD=1；

過點(diǎn)D作DELAB,如圖，

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VXD平分ZBAC，/C=90°,

/.DE=DC=1

又AD=AD

/.RtAACD^RtAAED,

.\AE=AC=V3

在RtAADE和RtABDE中

(ZDAE=/DBE

jZAED=/BED

(DE=DE

Z.RtABED^RtAAED

.\BE=AE=V3

；.AB=AE+BE=2遮

；?SZABO=|.-4BXDE=|X1X2V3=V3

故答案為：A.

【分析】由角平分線的性質(zhì)“角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等"可得DE=DC,結(jié)合圖形用HL定理可

證RtZ^ACD絲RtZ^AED,由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=AC,在RtAADE和RtZkBDE中，用角角邊可證

RtABED^RtAAED,由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=AE,由線段的構(gòu)成可得AB=AE+BE,然后根據(jù)

ABD=|ABXDE可求解.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：如圖，作BHLAC,垂足為H,交AD于/點(diǎn)，過W點(diǎn)作WN'±AB,垂足為M,

YAD是NBAC的平分線，

.\M,H=MZM,

貝l|BM'+M'N'=BM,+M'H=BH,

ABH是點(diǎn)B到直線AC上各個(gè)點(diǎn)的最短距離，

J.BM+MN的最小值=BH,

,/ZBAC的平分線交BC于點(diǎn)。，且4。1BC,

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ZBAD=ZCAD,ZADC=ZADB=90°,AD=AD,

.*.Z!BAD=ACAD,

；.AC=AB=8,

AC-BH=S4ABe=16，

.\BH=4,即BM+MN的最小值是4.

故答案為：A.

【分析】作BH,AC,垂足為H,交AD于點(diǎn)，過點(diǎn)作M'N'XAB,垂足為W,根據(jù)AD是NBAC的

平分線可知H=M，N',貝IBM，+M'W為所求的最小值，最小值為BH的長，進(jìn)而即可求解.

9.【答案】3

【解析】【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作?！?4B,垂足為H,

B

：.CD:AC=1:4,

.'.DC=-AC=3cm,

4

平分4BC,4=90°，DH1AB,

CD=DH=3cm,

...點(diǎn)。到4B的距離等于3czn,

故答案為：3.

【分析】本題考查角平分線的性質(zhì).過點(diǎn)D作。H14B,垂足為H,根據(jù)AC=12cm,CD-.AD=1:3,利

用比例的性質(zhì)可求出DC的長度，再根據(jù)BD平分NNBC,4=90°,DH1AB,利用角平分線的性質(zhì)

可得：DH=CD,進(jìn)而可求出點(diǎn)。到的距離.

10.【答案】8

【解析】【解答】解：過點(diǎn)E作EM147于點(diǎn)M,

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A

???AD是等腰△ABC底邊BC上的中線，

AB=AC—8,AD±BC9

???CE平分/4WEMLAC,

??.DE=ME=2,

-1-i

.-.A4EC的面積=|XC-ME=|x8x2=8,

故答案為：8.

【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì).過點(diǎn)E作EM14C于點(diǎn)M,根據(jù)2D是等腰A/IBC底

邊8c上的中線，利用等腰三角形的性質(zhì)可得4B=AC=8,4D18C,根據(jù)角平分線的性質(zhì)推出。E=

ME=2,再利用三角形面積公式可得：AAEC的面積=[aC-ME,代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算可求出答案.

11.【答案】4cm

【解析】【解答】解：=12cm,

',EC+AE=12cm,

\*AE-8cm,

J.EC=4cm,

平分4BC,ZACB=90°,DE1AB,

.\EC=ED=4cm.

故答案為：4cm.

【分析】首先根據(jù)線段的和差得到EC=4cm,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理求解即可.

12.【答案】6

【解析】【解答】如圖，過點(diǎn)0作0FJ_AB于點(diǎn)F,延長FO交CD于點(diǎn)G,

VAB/7CD,

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Z.OGXCD,

又,.,A0平分NBAC,CO平分NACD,

A0E=0F=0G=3,

AFG=6,

故答案為：6.

【分析】過點(diǎn)。作OFLAB于點(diǎn)F,延長F0交CD于點(diǎn)G,由AB〃CD知OGLCD,根據(jù)A0平分NBAC,CO平

分NACD可得OE=OF=0G=3,即可得答案.

13.【答案】12

【解析】【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DF〃AB,交BC于點(diǎn)F,

AABC^ADFC,

,CD_CF_DF

**CA~CB-AB9

VAD：DC=1：2,

ACD：CA=2：3,

VAB=6,

2

.\DF=-X6=4,

3

VDF/7AB,

AZABD=ZBDF,

VBO平分NABC,

.??ZABD=ZFBD,

ZFBD=ZBDF,

???BF=DF=4,

.\BC=BF+CF=3BF=12,

???SAOBC=iBCX0E=ix12X2=12.

22

故答案為：12.

【分析】過點(diǎn)D作DF〃AB,交BC于點(diǎn)F,根據(jù)平行與三角形一邊的直線（或兩邊的延長線）和其他兩邊相

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交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似可得△ABCs/^DFC,然后由相似三角形的性質(zhì)可得比例式/=￡=?,

Gx?/\,D

結(jié)合已知可求得DF的值，由角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得NFBD=/BDF,根據(jù)等角對(duì)等邊可得BF=DF,

由線段的構(gòu)成可求得BC的的值，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

11

AC?OF=-X3X(AB+BC+AC)=-X3X20=30.

22

【解析】【分析】作OELAB于E,OFLAC于F,連結(jié)0A,如圖，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等

得出OE=OD,OF=OD,故OE=OF=OD=3,然后根據(jù)SAAK-SAAM+SABCO+SAAC。使用乘法分配律的逆用及整體代入即

可算出答案。

15.【答案】'：AD是高線,

/.ZADB=90。，

:/BFD=70",

NFBD=90°-70°=20。,

,:BE是角平分線，

?*.ZABD=2/FBD=40°,

在AABC中，ZBAC=180°-ZABD-ZC=180°-40°-30°=110°.

【解析】【分析】根據(jù)高線的定義可得^ADB=90。，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出/FBD,

再根據(jù)角平分線的定義求出ZABD,然后利用三角形的內(nèi)角和等于180。列式計(jì)算即可得解.

16.【答案】(1)解：：D是BC的中點(diǎn)，

；.BD=CD,

VDE±AB,DF±AC,

/.△BED和ACFD都是直角三角形，

在RtZkBED與RtZkCFD中，

(BE=CF

VBD=CD'

.".RtABED^RtACFD(HL),

.*.DE=DF；

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(2)解：AD平分NBAC.

理由如下：VDE=DF,DE±AB,DF1AC,

AAD是AABC的角平分線.

【解析】【分析】(1)先利用中點(diǎn)的性質(zhì)可得BD=CD,再利用“HL”證出Rt^BED絲RtZ\CFD,可得DE=DF；

(2)利用角平分線的判定方法分析求解即可.

17.【答案】(1)證明：???DELAB^-E,DF14C于F,NE=/DFC=90°,

在RtABDE與Rt△CDF中，吧=,

IBE=CF

??△BDEz〉CDF(HL),

DE=DF,

???AD^^BAC；

(2)解：AB+AC=2AE,

理由：???AO平分以人。，???ZEAD=ZFAD,

???DE1AB^E,DF1ZC于F,.??/E=ZAFD=90°,

'ZAED=ZAFD

在△AED與△川。中，,4?ZDudZD,

[AD=AD

AED=△AFD(AAS),??.AE=AF,

???△BDE=△CDF,???BE=CF,

ABAC=AE-BE+AF-^rCF=AE+AF=2AE.

【解析】【分析】(1)由直角三角形的全等判定方法(HL),即可證明ABDE三ACDF,可得DE=DF,再

根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等即可判定4。平分NB2C;

(2)由全等三角形