橢圓的概念及基本性質(zhì)

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題說(shuō)法

目標(biāo)II橢圓的定義及應(yīng)用

例1(1)(2024?新高考II卷)已知曲線C：/+產(chǎn)=16。>0),從C上任意一點(diǎn)尸向x軸

作垂線段PP',P為垂足，則線段PP的中點(diǎn)M的軌跡方程為(A)

A.需+￡=1&>0)

72

B.Y^+^-=l(j>0)

C.汽+于=18>0)

D.7z+y=ity>0)

【解析】設(shè)點(diǎn)M(x,y),P(x,jo),PG0),因?yàn)镸為PP的中點(diǎn)，所以yo=2y,即

72

P(x,2y).又P在圓/+廿=16。>0)上，所以r+4丁=16(>>0),即言+]=l(y>0),即點(diǎn)

M的軌跡方程為^+?=l(y>0).

(2)(2019?全國(guó)乙卷)已知橢圓C的焦點(diǎn)為人(一1,0),F2(l,0),過(guò)后的直線與C交于

A,B兩點(diǎn).若|AB|=2舊2同，\AB\=\BFi\,則C的方程為(B)

A.y+y2=lB.全+]=1

C.f+^=lD.f+^=l

【解析】如圖，設(shè)|/2為=",則|46|=2〃，|加\|=|4同=3%由橢圓的定義有2a=|86|

+\BF2\=4n,所以|AR|=2a—14&|=2".

(例1⑵答)

4幾2+9/一9〃21

方法一：在中，由余弦定理推論得cosZFrAB=一打F——=耳.在尸1巳中，

由余弦定理得4層+4孔2—2?2及勿1：明解得〃=坐.從而2Q=4〃=2，§,則。=小，〃=/一

72

，=3—1=2.故橢圓。的方程為全+，=1.

4n2+4—2-2n-2-cosNAF2尸1=4層,

方法二：在△ABB和中,由余弦定理得，

n2+4—2-n-2-cosNBFzFi=9幾2,

又NABQ,/5尸2為互補(bǔ)，所以cosNA&B+cosNB&H=0,兩式消去cosNABB,cos

ZBF2F1,得3層+6=11/,解得〃=￥?從而2〃=4〃=2小，貝（］。=小，b2=a2—c2=3—l=

?2

2,故橢圓C的方程為p尹1.

〈總結(jié)提煉〉

(1)橢圓的定義具有雙向作用,即若1PBi+|PF2|=2a(2a>|B6|),則點(diǎn)P的軌跡是橢圓；

反之，橢圓上任意一點(diǎn)尸到兩焦點(diǎn)的距離之和必為2a

(2)橢圓的定義能夠?qū)σ恍┚嚯x進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化解題過(guò)程.因此，解題過(guò)程中遇到

涉及曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先考慮是否能夠利用橢圓的定義求解.

變式1(2021?新高考I卷)已知Fi，B是橢圓C：］+￡=l的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，

則的最大值為(C)

A.13B.12

C.9D.6

【解析】由橢圓C：^+9=l,得|"+|MB|=2X3=6,則產(chǎn)迫理"包|

2

=32=9,當(dāng)且僅當(dāng)|MFI|=|M&I=3時(shí)等號(hào)成立.

目標(biāo)舊橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

例2(1)已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，過(guò)點(diǎn)4(3,0),且以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，則

r222

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1+丫2=1或v留+于=：!..

【解析】方法一：若橢圓的焦點(diǎn)在X軸上，設(shè)方程為捻+*=1(">6>0),由題意得

2Q=3X2Z?,r_3Q

,9,0解得:一‘所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為卷+y2=i.若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)

［了+中=1,出=1，9

2a=3X2b,「_

77。=n9,

方程為5+本=1(。>6>0)?由題意得,0,9解得，.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

^+/=1,(b=3,

古■+*■=：!.綜上所述，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為卷+y2=l或芯■+］_=1.

7219.

方法二：設(shè)橢圓的方程為n>0,m^n)9由題意知<或

23i=3義

m=9,:;所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為弓+丁=1或旨+得

<m解得〃=i或

2y]7i=3X2ylm9

=1.

72

（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：，+方=1（4>6>0）的左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)

為B,右焦點(diǎn)為R點(diǎn)尸修一鳴在橢圓上，|即|=冬則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為呼土￡

1_.

【解析】由8（0,b）,砥一鳴，\BP\=y,得（一|）2+{b+￥J=（野，解得b

=小.又點(diǎn)尸（I，一鳴在橢圓上，貝岑?=1,解得。=2,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方

22

程為X彳+V方=1.

〈總結(jié)提煉〉

求橢圓方程的兩個(gè)基本方法

（1）定義法：根據(jù)橢圓的定義確定“2,〃的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置求出橢圓方程.

（2）待定系數(shù)法：先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)

于a,6的方程組.如果焦點(diǎn)位置不確定，要考慮是否有兩解，有時(shí)為了解題方便，也可把

橢圓方程設(shè)為7加+〃>2=1（機(jī)>0,”>0,的形式.

目前i?橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

視角1離心率

例3-1（1）（2024?蘇錫常鎮(zhèn)二調(diào)）已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)。，焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)

E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線/交E于A,8兩點(diǎn)，且原點(diǎn)0到直線I的距離等于E的短軸

長(zhǎng)，則E的離心率為（A）

A空B逅

A.3D.3

C?坐D.|

22

【解析】設(shè)橢圓E的方程為5%+方V=1（。>心0）,右焦點(diǎn)為網(wǎng)c,0）,所以直線/的方

程為y=x—c.因?yàn)樵c(diǎn)。到直線/的距離等于E的短軸長(zhǎng)，所以上=26,得02=8〃,又/=

b2+c2,所以c2=8（層一°2）,即8a2=9d，所以e=§=^.

（2）（2024?湛江二模）已知Fi,尸2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若C上存在一點(diǎn)P滿足|尸入|2=

191PBi2,則C的離心率的取值范圍是一丐嗎

【解析】因?yàn)閨PF『=19|P6|2,所以|尸尸1|=遮尸外|,則2a=IPFil+\PF2\=(V19+1)|PF2|,

所以|力囹=班程過(guò)eg—c,，+c],則氣叵，又0<e<l,所以C的離心率的

取值范圍是若叵，1)

，總結(jié)提煉》

(1)求橢圓的離心率的方法：①求出Q,C,直接求出e;②借助a,b,c之間的關(guān)系，

構(gòu)造出〃，c的齊次式，通過(guò)兩邊除以次，進(jìn)而得到關(guān)于e的方程，通過(guò)解方程得出離心率

e的值.

(2)求橢圓離心率的取值范圍：關(guān)鍵在于找到含有〃與c的不等關(guān)系，得出不等式常見(jiàn)

72

的途徑有：①橢圓的幾何性質(zhì)，設(shè)尸(孫，yo)為橢圓上一點(diǎn)，貝“xo|W〃，a

-c^\PF^a+c等；②題目中給出的或能夠根據(jù)已知條件得出的不等關(guān)系式.

?2

變式3-1(2025?湖州、衢州、麗水期中)已知橢圓C：，+%=l(a>6>0),過(guò)左焦點(diǎn)尸

作直線/與圓M：/+產(chǎn)=￡相切于點(diǎn)E,與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為P,且|「囿=3|斯|,

則橢圓c的離心率為一痔與.

C1

【解析】如圖，設(shè)橢圓。的右焦點(diǎn)為連接尸ME,由圓M：，+、2=全可知圓

6C1

心M(0,0),半徑r='.顯然|EM=],|MFl=c,且EM_LEF,因此可得sinNEFM=],所以

ZEFM=30°,可得|所|=坐。，|「￡|=3|所|=平以從而|尸引=2小c.又易知|"i|=2c.由余弦

定理可得|PQ|2=|PF|2+|ai|2一2|P/q|FFi|cos30o=12c2+4c2—2X2ScX2c><T'=4c2,解得

|PR|=2c.由橢圓定義可得|尸尸i|+|P尸|=2c+2$c=2a,即a=C\「+l)c,因此離心率e=：=

1_^3-1

^3+12-

(變式3-1答)

視角2橢圓中最值與范圍

72

例3-2(1)若。和P分別為橢圓5+看=1的中心和左焦點(diǎn)，P為橢圓上的任意一點(diǎn),

則OPF尸的最大值為(C)

A.2B.3

C.6D.8

72_

【解析】由橢圓，+全=1可得/T,0).設(shè)尸(x,y)(—2WxW2),則蘇麗=/+式+尸

=f+x+3(l—京=52+X+3=：(X+2)2+2,又一2WXW2,所以當(dāng)x=2時(shí)，浜?方(取得最

大值6.

(2)已知西，6分別為橢圓小經(jīng)=1的左、右焦點(diǎn)，M為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)破，￡),

則|MA|十|M尸2|的最小值為(A)

A.4—千B.2—邛

C.4+乎D.2+手

【解析】由題得西(一1,0),F2(l,0),如圖，連接MF1,由于IMF1I+IM尸2l=2a=4,

所以幽22|=4一|MB|,所以|MA|+|MP2|=|MA|+4一|ME|=4+|MA|—|MB|,因?yàn)閨|MA|一

IWIIKIAFII，當(dāng)且僅當(dāng)M,A,B三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立,所以一|AH|W|MA|—

所以|AM|+|M&|》4一|AB|=4一千.

(例3-2(2)答)

變式3-2已知點(diǎn)4(1,1),B是橢圓:+弓=1的左焦點(diǎn)，尸是橢圓上任意一點(diǎn)，貝”PRI

十|9|的取值范圍是(A)

A.[3,5]B.[3,+8)

C.[3,小]D.(小，+8)

【解析】設(shè)巳是橢圓f+三=1的右焦點(diǎn)，則嗎十|B4|=2a+|B4|一|尸尸2|.因?yàn)橐?/p>

22

\AF^\R\\~\PF2\^\AF2\,\AF2\=^/(1-1)+(1-0)=1,a=2,所以3W2a+|B4|一|P&|W5,

則解|+|PR|G[3,5],

新視角|圓錐曲線的第二定義

到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡為圓錐曲線.當(dāng)0<e<l時(shí)為

橢圓，當(dāng)e=l為拋物線，當(dāng)e>l時(shí)為雙曲線.定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線，常數(shù)e

為圓錐曲線的離心率.

例4已知尸是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，2是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段8尸的延長(zhǎng)線交C于點(diǎn)

D,且泳=2彷，則C的離心率為第1.

72

【解析】方法一:不妨設(shè)橢圓。的方程為a+3=i(〃>QO)，如圖，過(guò)點(diǎn)。作。

軸，垂足為E因?yàn)椤?0尸s2\3￡D,所以則1。同=玄.設(shè)。(初，汕，則切=

|c.根據(jù)橢圓的第二定義，有|QF|=e華一|c)=〃一若.根據(jù)橢圓性質(zhì)，有|3F|=〃，|￡)F|=^,

所以a—若巖，整理得。2=3C2,所以離心率《=坐

?2

方法二：不妨設(shè)橢圓C的方程為u+5=l(a>b>0),則He,0),2(0,b),設(shè)。(尤0,

____Q1

y?),則赤=(c,一b),FD=(XD-C,y").由/=2彷，解得切=呼，處=一/.把點(diǎn)。的坐標(biāo)

/1\[3

代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得，=點(diǎn)所以0=竽

(例4答)

變式4過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)尸作直線交橢圓于A,8兩點(diǎn)，若[4下|：|2月|=2:3,且直線與

長(zhǎng)軸的夾角為去則橢圓的離心率為(B)

A.|B.(

C0D2

。5u-5

【解析】如圖，設(shè)左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為〃，過(guò)點(diǎn)A,8分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分

別為C,D,過(guò)點(diǎn)A作垂足為H,交無(wú)軸于點(diǎn)E設(shè)|A8|=5t,因?yàn)閨4月|：18n=2:3,

所以四|=2f,防=3/.又因?yàn)橹本€與長(zhǎng)軸的夾角為會(huì)所以/孫出=?則砥=坐網(wǎng)=乎

/.由橢圓的第二定義，得|明=即一|AC|=用一”1=學(xué)一所以公平r,解得e=號(hào).

(變式4答)

隨堂內(nèi)化

1.（2024?濰坊二模）（多選）已知橢圓C：5+3=1的焦點(diǎn)分別為尸i，尸2,尸為C上一點(diǎn)，

則（ABD）

A.C的焦距為2鄧

B.C的禺心率為為一

C.的周長(zhǎng)為3+小

D.面積的最大值為2小

【解析】設(shè)橢圓C：吉+9=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,短軸長(zhǎng)為26,焦距為2c,則/=%b2

=4,<?=9—4=5,故a=3,b=2,。=小，所以C的焦距為2小，故A正確；C的離心率

為2=9,故B正確；△HPB的周長(zhǎng)為IPAI+IP尸2|十|人尸2l=2a+2c=6+2小，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)點(diǎn)P位于橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，△入P6的面積最大，最大值為3*2X2小=2小，

故D正確.

2.（2025?寧波期中）已知橢圓。的左、右焦點(diǎn)分別為尸1，尸2，過(guò)上頂點(diǎn)A作直線A尸2交

橢圓于另一點(diǎn)A若|A8|=|H3|,則橢圓。的離心率為（C）

11

A.B.2

C.當(dāng)D,半

【解析】如圖，因?yàn)椤鰽BB的周長(zhǎng)為4a,以冏=3凡|=°,|AB|=|尸iB|,所以|AB|=|RB|

3-a-――,c（3+（2c>-⑶……,

=5",|3%|=5.又以）5/24772/1+85/8b2尸1=0,所以一+---------------=0,化簡(jiǎn)得3c2

a2X1X2C

=/,則￡=*=e,所以橢圓C的離心率為坐.

（第2題答）

3.（2023?全國(guó)甲卷）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)i，&為橢圓C：5+*=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在

3

C上，cosZFIPF2=5,則|OP|=(B)

A13B.f

A-T

-14D.華

c?亍

【解析】方法一：因?yàn)?PBi+|P3|=2a=6①，|PBF+|PF2|2—2|尸F(xiàn)i||P3|cos/RP&=

2

|FIF2|,即|P"+|尸尸2『一?PR||PB|=12②.聯(lián)立①②，解得附1|『6|=?|PFIF+|P3F=

~A1―?―?L

而尸。=手尸為+尸&）,2=

21,2ll

01+2X號(hào)火|=孥

方法二：因?yàn)镮PRI+I尸尸2l=2a=6①，IPFIF+IPBF—ZIPRIIPEICOS/RPBTQEF，即

|PBF+|pp2|2—?PE||PF2|=12②,聯(lián)立①②解得|PHF+|PBF=21.由中線定理可知(2］。尸|>+

222

|FIF2|=2(|PFI|+|PF2|)=42,易知尸IB|=2小，解得|。n=等.

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配套精練

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一、單項(xiàng)選擇題

/丫21

1.（2024?紹興二模）已知橢圓薩+方=l（a>b>0）的離心率為5，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,則該橢圓的

短軸長(zhǎng)為（B）

A.小B.2小

C.4^3D.6^3

【解析】由、=3可得/=4°2=4（/—/）（*）,因2a=4,即a=2,代入（*）解得b=小，

故短軸長(zhǎng)為2b=2小.

2.（2023?全國(guó)甲卷）設(shè)尸1，/2為橢圓C1+y2=l的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在。上，若麗.麗

=0,貝U|尸Q|?|PB|=（B）

A.1B.2

C.4D.5

【解析】因?yàn)槎??麗=0,所以二尸1尸尸2=90。，從而SAF1PF2=b2tm45°=1=

X\PF^\PF2\=1,所以|「為卜|尸局=2.

27

3.(2024.廣州一模)設(shè)8,B分別是橢圓C：力+聲=13>6>0)的右頂點(diǎn)和上焦點(diǎn)，點(diǎn)P

在C上，且就2=2幣，則C的離心率為(A)

A亞B通

A.3013

C.|D.坐

【解析】如圖，令橢圓半焦距為c,依題意，B(b,0),F2(0,C),由前2=2另P,得兩P

zb&7

/H

-則-c

-l---19

\T2,而點(diǎn)尸在橢圓上，所以a+了'膜=1，解得e=￡=

坐，所以C的離心率為害.

4.(2024.南平三檢)已知橢圓C的焦點(diǎn)為尸1(—1,0),F2(l,0),點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y

22

【解析】因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F2(l,0),所以設(shè)橢圓C的方程為樂(lè)+滔匕

-*--?―?2-*■

=1,設(shè)8(0,州)，A(m,n),則”A=(機(jī)一1,n),F2B=(-1,刃)，因?yàn)?4=一所以

-?戶由=(1,yo),所以,一|_話=0,所以泗=±2,所以A8,§或嚕,一§.因?yàn)辄c(diǎn)

2516

~9~95

A在C上，所以m=1,即9/—50/+25=0,解得片=5或.因?yàn)闄E圓c的焦

72

點(diǎn)在無(wú)軸上，所以。2=5,故橢圓C的方程為方+彳=1.

（第4題答）

二、多項(xiàng)選擇題

5.（2025?溫州一模）已知點(diǎn)A（—a,0）,B（a,0）,Zi：ax—y—0,h：ax+y—Q,其中a>

l.P為平面內(nèi)一點(diǎn)，記點(diǎn)尸到3L的距離分別為4,d2,則下列條件中能使點(diǎn)尸的軌跡為

橢圓的是（AD）

A.\PA\+\PB\=^a

B.\PA^+\PB\2^4a2

C.di+d2=4a

D.%+展=4/

【解析】對(duì)于A,根據(jù)橢圓的定義，|E4|+|PB|=4a>|A3],所以點(diǎn)尸的軌跡為橢圓，

故A正確；對(duì)于B,設(shè)尸（x,y）,則有（x+ap+V+Q—所以點(diǎn)P

的軌跡為圓，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,由0+\ax+y\=4a\]a2+1,分

情況去掉絕對(duì)值符號(hào)，可知點(diǎn)P的軌跡為4條線段，不是橢圓，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,由

=4a2=>a2x2+/=2a\a2+1）,因?yàn)閍>l,所以點(diǎn)P的軌跡為橢圓,故

D正確.

6.（2024?阜陽(yáng)一測(cè)）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：>5=1的左、右焦點(diǎn)分別為八，F(xiàn)2.

若A,8兩點(diǎn)都在C上，A,O,8三點(diǎn)共線，P（不與A,8重合）為上頂點(diǎn)，貝U（BCD）

A.|AB|的最小值為4

B.IABI+IBBI為定值

C.存在點(diǎn)A,使得

D.kpA,kpB——g

【解析】對(duì)于A,由橢圓的方程可知。=加，b=?c='a2T2=2,所以焦點(diǎn)尸i（一

2,0）,B（2,0）,設(shè)A（xi,?）,則8（一制，一%）,P（0,啦）.因?yàn)辄c(diǎn)A（xi,竺）在橢圓上，所

以貫=2(1一意,[42|=2|40|=2＜京+比=2\/看+2|

故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,由橢圓的對(duì)稱性可知，以碎+|8尸i|=|AB|+|A&|=29，故B正確；對(duì)

于C,因?yàn)閏>6,所以以后巳為直徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，則存在點(diǎn)A,使得ABLAB,故

C正確；對(duì)于D,設(shè)A（尤1,yi）,則8（—xi,-ji）,P（0,也），則以也B=

-X1

(第6題答)

三、填空題

7.(2024?武漢4月調(diào)研)設(shè)橢圓會(huì)+為=1的左、右焦點(diǎn)分別為尸2,橢圓上點(diǎn)P滿足

IPRI：|PBI=2：3,則△PER的面積為12.

【解析】由橢圓定義可得|吶+|叫=2a=10,則有耨即I嗎=4,

-

|卜。2|1U|rri|J

1PBi=6.由向Bl=2c=2K25—12=2行,知1PBi2+|PB|2=E&|2,得/人尸尸2=90。，故

為尸2=；X4X6=12.

8.(2024?唐山一模)己知橢圓及a+g=l(a>b>°)的左、右焦點(diǎn)分別為為，尸2，過(guò)&

的直線交E于A,8兩點(diǎn)，C(0,—1)是線段8月的中點(diǎn)，且贏?元=族H則E的方程為

【解析】由于C(0,—1)是線段BFi的中點(diǎn)，0(0,0)是線段F?Fi的中點(diǎn)，所以O(shè)C〃FiB,

22

故加」A8設(shè)橢圓焦距為2c,則&(c,0),Fi(-c,0),將x=c代入橢圓方程可得￡+京

=1,故國(guó)=§，因此A(c，勺，B(c,一勺，C(0,—1)是線段BPi的中點(diǎn)，所以|8/2|=2=

—,故尻=2小AB=(0,-4),AC=(-c,-3),由贏?啟=啟得12=02+9,解得C?=3.

72

由廬=2。=/—。2,得〃2=9,廬=6,故橢圓E的方程為］+V=l.

(第8題答)

9.(2024?青島一模)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為橢圓C：牙+胃=13>6>0)的右焦點(diǎn)，點(diǎn)

A,B在C上，AB的中點(diǎn)為ROALOB,則C的離心率為_、￡

【解析】由橢圓的對(duì)稱性可知,48垂直于無(wú)軸，不妨設(shè)A在第一象限，如圖，又。

兀0202

所以/A。尸=1，所以△AOF為等腰直角三角形，故A(c,C),所以薩+7=1,即。2f2+b2c2

=a2b2,所以?2(?+(a2—c2)^=a2(a2—c2),整理得e4—3e2+l=0,解得J或e2=

木一1

(第9題答)

四、解答題

10.(2024.開封二模)已知橢圓C：胃+^=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為R,F2,上頂

點(diǎn)為A,且成「#2=0.

(1)求橢圓C的離心率；

【解答】依題意可得上頂點(diǎn)A(0,b),左、右焦點(diǎn)分別為Q(—c,0),F2(C,0),所以

AF1=(—C,—/?),AF2=(C9一。).又A/1/b2=0,所以人/1/b2=—，+(一份2=0,即廬=，，

即/—，=。2,所以〃2=2。2,所以離心率0=\=乎.

Q

(2)若射線與C交于點(diǎn)8,且［42|=§,求aAB尸2的周長(zhǎng).

r2人

【解答】由(1)可得6=c,a=",則橢圓方程為於+%=1,射線AQ的方程為

y=%+c

94

x+Z?=x+c,聯(lián)立J%2/整理可得3f+4cx=0,解得x=0或切=一?;，則刈

2?+?=1)

斗熊=寺，解得C=啦，貝I4=2,所

一gc),所以|A8|=+?+費(fèi)

以AABF2的周長(zhǎng)CAABF2=\AB\+\AF，\+\BF^\AFX|+|BFi|+|4刑十/2I=4a=8.

(第10題答)

11.已知橢圓的兩焦點(diǎn)為尸1(—1,0),6(1,0),直線x=4是橢圓的一條準(zhǔn)線.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

【解答】根據(jù)題意知，橢圓的焦點(diǎn)在X軸上，且c=l,f=4,則/=4,〃=層_02=

y2y2

3,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是5+5=1.

（2）設(shè)點(diǎn)尸在橢圓上，且IPPiF—|P3|2=4,求cos/BP&的值；

【解答】因?yàn)镮PBI+IP尸2|=4,|尸尸i