專題08橢圓及其方程

一、考情分析

二、考點(diǎn)梳理

知識(shí)點(diǎn)一橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)FltB的距離之和等于常數(shù)(大于IQBI)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的

焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.

集合+|M&|=2a},|尸I&l=2c,其中o>0,c>0,且a,。為常數(shù).

(1)若a>c,則集合戶為橢圓；

(2)若c,則集合。為線段；

(3)若a<c,則集合P為空集.

知識(shí)點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

92

標(biāo)注方程￡+》=\{a>b>0)京+力=13>方>0)

圖形偏，

B\T\()fi:

B.w

-a<x<a,-b<x<b,

范圍

-a<y<a

對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸,對(duì)稱中心：(0,0)

A|(-o,0),A2(O,0),4(0,-a),A2(0,a),

頂點(diǎn)

性質(zhì)BI(0,一-,%(0,b)小(-〃,())，B2s,0)

軸長(zhǎng)軸A]Az的長(zhǎng)為2a,短軸/力用的長(zhǎng)為2/?

焦距|FiB|=2c

離心率e吟e￡(0,l)

a.b,c

c1=a1-b2

的關(guān)系

【知識(shí)必備】

1.焦半徑：橢圓上的點(diǎn)、小仙丁。)與左(下)焦點(diǎn)為與右(上)焦總尸2之間的線段的長(zhǎng)度叫做橢圓的焦半徑，分

別記作門:儼氏|,，2=|尸&|.

(1)/+*=1(4>方>0),n=a+exo,n=a-exo；

(2)^5+^5=1(?>/?>0),r\=a+eyo,n=a-<yo；

(3)焦半徑中以長(zhǎng)軸為端點(diǎn)的焦半徑最大和最小(近日點(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn)).

2.焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(Myo)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△尸QF?叫做焦點(diǎn)三角形，NFFF2=B,△「凡尼的面

?2

積為S,則在橢圓l(a>沙>0)中

(1)當(dāng)夕為短軸端點(diǎn)時(shí)，。最大.

1C

習(xí)2當(dāng)1陽(yáng)=。時(shí)，即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取最大值，最大值為兒.

(3)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(d+<?).

3.焦點(diǎn)弦(過(guò)焦點(diǎn)的弦)：焦點(diǎn)弦中以通徑(垂直于長(zhǎng)軸的焦點(diǎn)弦:，最短，弦長(zhǎng)X”

，，2

4.A8為橢圓式+方=l（a>b>0）的弦,4（禮yi）,B（X2,yi）,弦中點(diǎn)M3）,和），則

⑴弦長(zhǎng)/=R1+婦ix-刈=-\yi+^lyi->,2l；

（2）直線人8的斜率心8=-然.

三、題型突破

重難點(diǎn)題型突破01橢圓的定義及其應(yīng)用

例1、⑴、（2021.全國(guó).高二專題練習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿方程而亍萬(wàn)+而百不了=10,則動(dòng)點(diǎn)

M的軌跡方程為（）

2、，?122

A*y.nry*ik廠y~i「y廣,

A.—+—=iB.—+—=ic.—+—=iD.—+—=i

251625212542516

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)橢圓的定義即可求解.

【詳解】

依題意，動(dòng)點(diǎn)M（xy）到兩定點(diǎn)到0）,（-2,0）的距離之和等于常數(shù)10,且10>4,

所以其軌跡為橢圓，且24=10,c=2,6=21,故方程為工+￡=1.

2521

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的定義求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，理解定義是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

（2）.（2021?全國(guó)高二專題練習(xí)）動(dòng)圓M過(guò)定點(diǎn)4（-3,0）,且內(nèi)切于定圓B：（x-3）2+/=100,動(dòng)圓圓心M

的軌跡方程為.

【答案】￡-+￡=1

2516

【分析】

由點(diǎn)A在圓區(qū)內(nèi)部可知?jiǎng)訄AM在圓B內(nèi)部，由兩圓內(nèi)切知圓心距|叫=/-弓，進(jìn)而得至“M4|+|M四>|A8|,

由此確定動(dòng)圓圓心軌跡為橢圓，由橢圓定義可計(jì)算求得軌跡方程.

【詳解】

由圓8方程知其圓心為H3,0）,半徑4=10.

y2

A+=1B--

fT59

c?…D/9

95

【答案】A

【分析】

根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得QM+QN=QP+QN=PN=6>MN=4,再由橢圓的定義可得出點(diǎn)。的軌跡是以

M.N為焦點(diǎn)的橢圓，由橢圓的方程可求得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程.

【詳解】

解：由題意，可知圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為"+2）2+），2=36,圓心為，（-2,0）,半徑為6.

???線段M尸的垂直平分線交NQ于點(diǎn)。，/.QP=QM,:.QM+QN=QP+QN=PN=6>MN=4、

???點(diǎn)。的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的橢圓，.??a=3,c=2,b=xla2-c2=751，其軌跡方程為.+《=1.

故選：A.

重難點(diǎn)題型突破02橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)

例2.（1）、（2022?江西吉安?高二期末（文））“〃0一3”是“方程上二+￡^=1表示橢圓”的（）

m+3nf+1

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)橢圓的定義和必要不充分條件定義可得答案.

【詳解】若方程上+，^=1表示橢圓，貝IJm+3>0.3,

m+3nr+1

是“方程上+上一=1表示橢圓”的必要條件；

m+3w+1

22

反過(guò)來(lái)，當(dāng)初>-3時(shí)，如〃?=-1,或帆=2,方程」一+—t—=1表示圓，

m+3nr+1

???“〃0-3”不是方程"上:+上>=1表示橢圓”的充分條件.

m+3>n~+1

綜上，是“方程工一十』一=l表示橢圓”的必要不充分條件.

m+3m"+1

故選：A.

⑵、（2。22?江蘇?高二）（多選題I已知橢圓。：小91的左、右焦點(diǎn)分別為6％過(guò)門的直線與。交

于A.8兩點(diǎn)，貝IJ（）

A..A8居的周長(zhǎng)為4

B..AB6的周長(zhǎng)為8

C.橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為1

D.橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為3

【答案】BC

【解析】

【分析】

根據(jù)橢圓的定義和橢圓的幾何性質(zhì)，即可求得三角形的周長(zhǎng)和最短距離，得到答案.

【詳解】

由題意，橢圓。:二+乙=1,可得4=2,〃=6,則c="2=],

43

則&人9行的周長(zhǎng)為/=|八即|八用I忸用=（|人用“人用）1（忸制I忸用）=2々I2々=8,

又由橢圓的幾何性質(zhì)，可得橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為=

故選：BC

【變式訓(xùn)練21】、（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）已知方程△-+上=]表示焦點(diǎn)在》軸上的橢圓，貝卜〃的

25-mm+9

取值范圍是（）

A.-9<〃？<25B.-8<m<25

C.9</〃<25D.8</zz<25

【答案】D

【分析】由題知m+9>25-相>0,再解不等式即可.

【詳解】解：方程一匚+上=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，

25-inin+9

.-.A?!+9>25-/AZ>0,解得：8</zz<25.

故選：D.

【變式訓(xùn)練22】、（2022?江蘇?高二）設(shè)石、工是橢圓工+￡=1的左右焦點(diǎn)，過(guò)￡的直線/交橢圓于A、B

6416

兩點(diǎn)，則M段+忸段的最大值為.

【答案】28

【分析】根據(jù)橢圓的定義，化簡(jiǎn)得|然|+忸閭+|前|+忸用=|/*|+怛圖+|陰=32,進(jìn)而得到

|A4+忸圖=32-卜用結(jié)合橢圓的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由題意，橢圓工+工=1,可得/=可力2=6即〃=&b=4,

6416

根據(jù)橢圓的定義,可得MM+k閭=16,忸制+忸周=16,

則|伍|+忸段+|做|+|%|=|伍|+忸閭+|鉆|=32,

所以|A瑪|+忸引=32-|A4

當(dāng)A8垂直于x軸時(shí)，|A8|取得最小值，此時(shí)|人用|十忸國(guó)取得最大值，

此時(shí)恒陽(yáng)=/=竿=4,所以以周+忸周的最大值為32-4=28.

故答案為：28.

重難點(diǎn)題型突破03求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

例3、（2022?陜西?定邊縣第四中學(xué)高二階段練習(xí)（文））求滿足r列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

⑴焦點(diǎn)在）,軸上，焦距是4,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)歷（3,2）;

（2）離心率為得，且橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為26.

【答案】（點(diǎn)+

⑵強(qiáng)+A144或169―144

【分析】（1）通過(guò)焦距可得到c=2,繼而得到焦點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)橢圓的定義可算出2〃=8,再結(jié)合〃2=/一°：

算出從,即可得到答案；

（2）通過(guò)定義算出結(jié)合離心率算出好再通過(guò)〃=/一/算出/，然后分焦點(diǎn)在x軸或在）軸的情況得

到橢圓的方程

(1)

由焦距是4可得。=2,又焦點(diǎn)在y軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為（。「2）,（0,2）,

由橢圓的定義可知2〃=業(yè)+（2+2『+,3?+（2-2『=8.

所以。=4,所以/=/一/=]6一4=12,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+鳥=1；

1612

⑵

Q5

由題意知為=26‘即"13,又“丁3所以。=5,

所以從=a2_c2=132_52=144,

當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在光軸上時(shí)，橢圓的方程為工+^.V—=1；

169144

當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在，軸上時(shí)，橢圓的方程為盍+擊八

所以橢圓的方程為高+卷=1或品+而=1

【變式訓(xùn)練31】、（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的方程為9/+4國(guó)=36.

⑴求它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）與該橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓有多少個(gè)？試寫出其中的兩個(gè)橢圓方程.

【答案】（1）該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,短軸長(zhǎng)為4,頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：

(0,3),(0,-3),(2,0),(-2,0),焦點(diǎn)坐標(biāo)為：(0,x/5),(0,-75)

⑵與該橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓有無(wú)窮多個(gè)，其中的兩個(gè)橢圓方程為《+/=1和《+《=1.

672

【解析】

【分析】

(1)把橢圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程形式，根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、頂點(diǎn)坐標(biāo)公式、坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)橢圓中44。之間的關(guān)系進(jìn)行判斷取特例即可.

(1)

22

S9x2+4y2=36=>—+—=1,

94

即4=3,b=2=〈='/_從=y/^=B

所以該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=6,短軸長(zhǎng)為給=4,

頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：(0,3),(0-3),(2,0),(-2,0),焦點(diǎn)坐標(biāo)為：(0,6),(0,-回

(2)

由(1)可知：該橢圓的焦點(diǎn)在縱軸，且°=逐，

設(shè)與該橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：￡=

所以有a,2-b,2=5(af>bf>0),該方程有無(wú)窮多組實(shí)數(shù)解，

當(dāng)/=6時(shí)，bf2=\,所以橢圓方程為：工+/=1,

6

當(dāng)/2=7時(shí)，^=2,所以橢圓方程為：f十二=1,所以與該橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓有無(wú)窮多個(gè)，其中的

72

兩個(gè)橢圓方程為《+/=1和f+￡=i.

672

例4.(1)、(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))雙曲線。：￡一a=1過(guò)點(diǎn)(夜詢，且離心率為2,則該雙曲線的

標(biāo)洼方程為.

【答案】/_1=]

3

【解析】

【分析】

根據(jù)離心率得出。力的關(guān)系，代入點(diǎn)(a，6)求解即可.

【詳解】

因?yàn)殡p曲線離心率為2,所以。=%,所以/=4/=/+〃，即從=3上

點(diǎn)("6)代入雙曲線方程得：蛾一熹=1,解得/=—,

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為C:/—21=1.

故答案為：/_《=]

3

(2)、(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別為8和6,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

方程為_______.

【答案】巨小

【分析】由長(zhǎng)短軸長(zhǎng)得。力，由焦點(diǎn)所在軸得標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】由已知為=8,2/?=6,即。=42=3,

又焦點(diǎn)在x軸上，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為寸+￡=1.

故答案為：^4=1?

【變式訓(xùn)練41】、(2022?上海?同濟(jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)高二階段練習(xí))與橢圓《+￡=1有相等的焦距，且過(guò)

6338

圓/+9-6x-8y=0的圓心的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

【答案】

【解析】

【分析】

先求出橢圓工+f=1的焦距，再設(shè)出橢圓方程，求出/+)，2一8-8y=0的圓心坐標(biāo)，列方程組可求得答

6338

案

【詳解】

由￡+工=1，^c2=63-38=25,得c=5,

6338

圓x2+y2-6r-8v=0的圓心坐標(biāo)為(3,4),

當(dāng)所求橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓方程為￡+￡=1(”>/,>0),則

a'b~

『9正16印?解得

[八*25廿=20

所以橢圓方程為工+￡=1,

4520

當(dāng)所求橢圓的焦點(diǎn)在）'軸上時(shí)，設(shè)橢圓方程為￡+￡=1（。＞》＞0）,則

a~b-

區(qū)+2=1年=40

/b2解得匕；

a2=25I”』

所以橢圓方程為工+《=1,

4015

綜上，所求橢圓方程為工+《=1或￡+工=1,

45204015

故答案為4+余1或余Q

【變式訓(xùn)練42】、（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)點(diǎn)（。,而），且離心率為且的

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

【答案】《+[=1

1510

【分析】設(shè)出橢圓的方程,由所過(guò)宇點(diǎn)求出〃2再根據(jù)〃=〃2—尸結(jié)合離心率求出〃2,可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程.

【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為J+g-lgb＞。），橢圓過(guò)點(diǎn)（0響，."'IO,則從=/一。2=10,

又￡=正，解得片二15,因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+^=1

a31510

故答案為：工+￡=1

1510

重難點(diǎn)題型突破04橢圓的范圍與最值問(wèn)題

例5.(1)、(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))已知戶是橢圓二+t=1上的一點(diǎn)，耳、鳥為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).

259

⑴若〃尸g=90。，求產(chǎn)/花的面積；

⑵求|巴訃|尸國(guó)的最大值.

【答案】(D9

⑵25

【分析】(1)根據(jù)橢圓的定義以及，⑦,c的關(guān)系，結(jié)合余弦定理和面積公式即可求得；

(2)由橢圓的定義結(jié)合基本不等式即可求得答案.

(1)

22

在橢圓上+21=1中，a=5,b=3,則0=后萬(wàn)=4.

259

則|P制+|尸周=為=10.2c=8,

在向書;空中，|尸用2+歸圖2=年周二即有(歸用+歸段『一2|所|廳用=|母咪，

即100-2|尸周尸闖=64,所以|刊訃歸同=18,

則△￡。鳥的面積為［尸用忖瑞|=；xl8=9.

(2)

設(shè)仔周=陽(yáng)，|P闖=凡Mm+n=10,

所以1()?2/荷，即"?〃W25,當(dāng)且僅當(dāng)〃z=〃=5時(shí)取等號(hào).

所以1MHp周的最大值為25.

【變式訓(xùn)練51】、(2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))已知橢圓「的中心在原點(diǎn)。，焦點(diǎn)B,B在x軸上，離心率

為亞，過(guò)左焦點(diǎn)B的直線"交「于4〃兩點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)心的直線A交「于C。兩點(diǎn)，且點(diǎn)4C位于

2

x軸上方，當(dāng)直線//的傾斜角為90。時(shí)，恰有質(zhì)用二2.

⑴求橢圓「的方程；

⑵若直線力，，2的斜率之積為求四邊形4C8。面積的最大值.

【答案】(1)—+^-=1

42

(2)372

【分析】（1）把x=-c代入橢圓方程求得A8坐標(biāo)，得|4卻，從而與離心率、/="+。2結(jié)合解得〃出得橢

圓方程；

（2）設(shè)直線//的方程為），=攵（工+c）（Q0）,代入橢圓方程化簡(jiǎn)，設(shè)A（x/t），/）,B（X2,”），應(yīng)用韋達(dá)定

理得X+&//2,由弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)|M|,同理設(shè)4斜率為機(jī)得|回（6=-；），利用直線"4的斜率

求得它們夾角的正切值，從而得正弦值，然后計(jì)算四邊形人BCQ的面積S,并轉(zhuǎn)化為k的函數(shù)，再由基本不

等式求得最大值.

（1）

22

設(shè)橢圓r的方程為［+3=1（〃＞力＞0）,則乃（-C,0）,F2（C,0）,

a~b~

因?yàn)楫?dāng)直線//的傾斜角為90。時(shí)，恰有|A8|=2.所以此時(shí)直線。的方程為x二-c,

代入橢圓「的方程，解得胃=匕匚=4，所以必=歐，yB=￡所以忸陰=也=2,

a~a~aaa

又因?yàn)?二爐+#3=叵、解得a=2,b=y/2.所以橢圓「的方程為上+2=1.

a242

⑵

設(shè)直線。的方程為），=k（X+72）,代入［+?=1,得（1+2N）/+4虛h+4（R-1）=0,

設(shè)A（X/（＞/）,B（X2,”），工/+為=_4乎』,X!X2=^-——

2^+12^+1

則|AB|=和+用收+才-4中z］=J（l+K）［倭9-緣］）=坐g'

\V」

設(shè)直線/2的斜率為孫由（1）中的結(jié)論可得|CQ|=.4（I+"）,其中也--匕

2/+12

設(shè)直線〃，，2的傾斜角為。，小夾角,則”成-a或五-"/?-見(jiàn)

,八tana-lanBk-tn2\k-m\,Mkm=-^-,

tan^=|lan…啟1+-l=…，熱方

Jl+4（k—m）22

16（1+/）（1+?。?6（1+父+加+憶2m2

所以四邊形ABCD的面積S=-|A5|*|CD|*sinO=

（2二+1）（2ZW2+1）0+4（々一"7）2\+4k2m2+2\k2+nr）

因?yàn)椤叮緊,

當(dāng)且僅當(dāng)4=（時(shí)，四邊形A8C0的面積最大，最大值3應(yīng).

重難點(diǎn)題型突破05橢圓的定點(diǎn)與定值問(wèn)題

例6.（2022?吉林?長(zhǎng)春市第六中學(xué)高二階段練習(xí)（理））如圖，A,。為橢圓工+），2印的左右頂點(diǎn)，直線

4'

），=依+,〃交橢圓于C,。兩點(diǎn)，直線AC的斜率是直線8。的斜率3倍.

（1）若P為橢圓上異于A.B的一點(diǎn)，證明：直線勿和總的斜率之積為常數(shù)；

（2）證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【分析】⑴設(shè)產(chǎn)（%,%）,而A（-2,0）,8（2,0）,貝岫獷％=七升+?，結(jié)合〃為橢圓上即可確定％

/十/X。一乙

是否為定值.

（2）由⑴結(jié)合題設(shè)有聯(lián)立直線與橢圓方程并整理有（4&2+1J+8加a+4（/-產(chǎn)0,應(yīng)

用韋達(dá)定理得到內(nèi)+%、大/2、）/2，即可列方程求小、攵之間的關(guān)系，進(jìn)而判斷丁=依+，〃是否過(guò)定點(diǎn).

【詳解】⑴由題意，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)（毛,%）則,￥=1，而4-2,0）,8（2,0）,

片

?上k二）‘。）'。二）'o二4____J_,故為定值,得證?

“"-亦--=一

⑵設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)（冷四）,設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)（孫丹），

由⑴可得：又L=3￡

3

4

聯(lián)立直線與橢圓方程，整理得（必2+］）/+8如o.+4（后_］）=0

.上一8km、nr-4k2

.?W?"赤?-:口+［，則,必=（2+〃?）（5+，叼"/丁

.k.k=/____力_X乃=___________療_4/_________=_3

22

一派"。%+2%+2X,X2+2（X,+X2）+44（/n-l）+2（-8^w）+4（4A+l）-4,

整理得2父-3k〃+/〃2=0,即（Z-〃z）（2Z-〃7）=O,可得m=2k或m=3

當(dāng)〃?=2%時(shí)，直線），=丘+川=h+23直線過(guò)定點(diǎn)（-2,0）（舍），

當(dāng)加=&時(shí)，直線），=依+w=k+A,直線過(guò)定點(diǎn)（-1,。），得證.

【變式訓(xùn)練61】、（2。“全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，已知橢圓。：/上與直線/：泊/點(diǎn)P在直

線/上，由點(diǎn)P引橢圓C的兩條切線外，PB、A.8為切點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若點(diǎn)尸為直線/與V軸的交點(diǎn)，求△巴48的面積S；

（2）若OD_LA8,。為垂足，求證：存在定點(diǎn)Q,使得|區(qū)為定值.

【答案】（1）4；（2）|OQ|=?，證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)△=（）,求出直線的斜率，從而求切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)坐

標(biāo)判斷出△尸A8為直角三角形，從而求△尸AB的面積.

⑵先寫出切線方程處和依，根據(jù)切線方程求出直線AB的方程及直線AB過(guò)的定點(diǎn)T,從而判斷出OT的

中點(diǎn)為點(diǎn)Q.

【詳解】⑴由題意易知產(chǎn)（0.3）,顯然過(guò)點(diǎn)P與橢圓相切的直線斜率存在，設(shè)切線方程為y=G+3,

與橢圓方程聯(lián)立J6T",消y并整理得（1+2二卜2+12區(qū)+12=0,

y=kx+3

由A=（12/02—4x（1+2&2）x12=0得A?±l,即切線方程為y-±*+3,

此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為A（-2,1）,B（2,1）,易知△RW為直角三角形，|網(wǎng)二|依|=2夜，

所以S.=g|尸年|陽(yáng)=4.

⑵設(shè)4&方）1（與必），則切線陽(yáng)為答+岑一1，切線依為寫+岑=1,

6363

設(shè)尸（/，兒），則等+竽=1,等+號(hào)=1,

所以直線AB的方程為乎+岑=I--------?

63

又點(diǎn)夕（品,幾）在直線5=1上，所以會(huì)年=1,即與=1吟，

代入①，得邛+卜一個(gè)卜=1，g]A0（x-y）+6（j-l）=0.

所以直線過(guò)定點(diǎn)7（1/）,又因?yàn)?_LA8,所以點(diǎn)D在以。丁為直徑，為圓心的定圓上，所以口0

Iz乙）

為定值，且|DQ|=q.

重難點(diǎn)題型突破06直線與橢圓綜合應(yīng)用

例7、（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓C的中心為。，離心率為正.圓。在。的內(nèi)部，半徑為在.P,

23

Q分別為C和圓。上的動(dòng)點(diǎn)，且P,。兩點(diǎn)的最小距離為1-在.

3

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求C的方程；

（2）A,8是。上不同的兩點(diǎn)，且直線A4與以為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)在圓。上.求證：以A6為直徑的圓

過(guò)定點(diǎn).

【答案】⑴1+/=1

⑵證明見(jiàn)解析

【分析】（1）以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓。的長(zhǎng)軸、短軸所在直線分別為x軸、）'軸，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)橢

圓的長(zhǎng)半軸為，，短半軸為〃，半焦距為J根據(jù)離心率為立和〃一如=1一如求解；

233

（2）解法一：因?yàn)橹本€AB與以。4為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)在圓。上，所以直線與圓。相切.⑺當(dāng)直

線A8垂直于x軸時(shí)，由04.08=0判斷；（"）當(dāng)直線A8不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線A8的方程為，=丘+〃】，

由A8與圓。相切，得到孫〃的關(guān)系，與橢圓方程聯(lián)立，計(jì)算。4.08=0即可；解法二：因?yàn)橹本€A8與

以。4為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)在圓。上，所以直線/W與圓O相切.設(shè)直線/W與圓。相切于點(diǎn)〃（%,%）.（/）

當(dāng)網(wǎng)=。時(shí)，直線八〃垂直于工軸，易得OVOB=0；（汾當(dāng)為云0時(shí)，直線人B的方程為卜為=一充"-/），

結(jié)合與2+為2=2,得到直線A3的方程為y=一2'+9，與橢圓方程聯(lián)立,論證|。4|2+|08|2二|.|2即可；

解法三：因?yàn)橹本€A8與以04為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)在圓。上，所以直線A8與圓。相切.⑺當(dāng)直線48不

垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線A8的方程為），=丘+，〃，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)P。,），）是以A3為直徑的圓N上的任意

一點(diǎn)，由朗?PBnO,得到圓N的方程判斷；（汾當(dāng)直線A8垂直于x軸時(shí)，易得。408=0.解法四：因?yàn)?/p>

直線A3與以04為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)在圓。上，所以直線A5與圓。相切.⑴當(dāng)直線A3不垂直于％軸

時(shí)，設(shè)直線A8的方程為丁=履+，叫與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，求得以AB為直

徑的圓的方程判斷；5）當(dāng)直線A5垂直于4軸時(shí)，易證0403=（）.

（1）

解：以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C的長(zhǎng)軸、短軸所在直線分別為X軸、）軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖.

設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為。，短半軸為近半焦距為c.

￡=也

a2

逅=1.邁

依題意得b

33

a2=b2+c2

a=\/2

解得《Z?=l

c=1

所以C的方程為、+y2=i.

⑵

解法一：因?yàn)橹本€A8與以04為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)在圓。上,

所以直線A3與圓。相切.

(46巫］

(/)當(dāng)直線人4垂直于x軸時(shí)，不妨設(shè)A,B

3"萬(wàn)

此時(shí)OA?OB=0,所以O(shè)A_LO從故以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)。.

5)當(dāng)直線A3不垂直于％軸時(shí)，設(shè)直線A8的方程為丁=辰+小，A(N，yJ,8(七,%).

因?yàn)?B與圓。相切，所以。到直線AB的距離＞7粵==W

收+13

即3m2-2k2-2=0.

y=kx+m,

由?x2得（2公+1卜2+4加次+2〃『一2二0

一2+v7

-4km2nr-2

所以X]+x2=2公+1'~々-2A2.1

OAOB=XXX2+yty2=x[x2+（依+⑼（也+"。=（1+二卜]9+布〃（再+工2）+＞，

’2〃?22、

2）+.（坐"

J如+L

（1+k2）（2frr-2）+km（-4km）+nr（2k2+1）

=2k2+\

3m2-2k2-2八

=-----；-----=0,

2k2+\

所以。A_LO8,故以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)。.

綜上，以A8為直徑的圓過(guò)點(diǎn)。.

解法二：因?yàn)橹本€A8與以。4為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)在圓。上，所以直線A3與圓。相切.

設(shè)直線AB與圓0相切于點(diǎn)MC%,%）.

fV646]

（/）當(dāng)先=。時(shí)，直線44垂直于X軸，不妨設(shè)A

3

此時(shí)QVOA=0,所以O(shè)AJ_O8,故以/W為直徑的圓過(guò)點(diǎn)。.

5）當(dāng)）b/0時(shí)，直線A8的方程為）=％=一于（工一見(jiàn)）,

9

因?yàn)榕c2+%2=（,

所以直線AB的方程為一尹田.

X）2

y=——-X+——

,“"。得（1阮+9.y；）d-24y+8-184=0

設(shè)4（不））,8（孫必），由，

X~21

—+y-=1

2'

?；24/8-18%

所以…

因?yàn)椋?"|,所以箴不"隔'

IOAI2+1I2-1Ali|2=(|OM|2+1|2)+(|OM|2+|BM|2)-(|AM\+\I^M\)2,

=2\OM|2-2\AM||BM\=--2\AM||BM|,

3

_4r24-9x：

—1口.詔

=—4——4

33

=0.

所以|Q4『+|O8|2二|A8|2,即QA_LOB、故以A3為直徑的圓過(guò)點(diǎn)。.

綜上，以人8為直徑的圓過(guò)點(diǎn)O.

解法三：因?yàn)橹本€A8與以04為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)在圓。上，

所以直線A3與圓。相切.

(/)當(dāng)直線人B不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線/W的方程為丁=辰+加，川(x/),4(&,為).

因?yàn)锳8與圓。相切，所以。到直線A8的距離之L=坐，即3/〃2-2&2-2=0.

JF+13

y=kx+m,

由,得(2公+1+4k冰+2'/-2=0

—+y2=\

2’

-4km2m2-2

所以％+x=-------1---------yX.Xj

22公+112-2k2+1

y^y2=k(X]+x2)+2m=^-^

2,n

)1>2=(+〃?)(左弓+tn)=kX)X2+ink(為+占)+~=〃;女、

2m2-2〃"2二_3＞一2二一2

M+y%2公+1+2公+1-2公+1

設(shè)P(x,y)是以A8為直徑的圓N上的任意一點(diǎn)，由PA-P8=0

得(人一一%)(1一天)+()，-y)(y-K)=O,

化簡(jiǎn)得f+y2一(％+w)x-(y+弘)y+痞+y為=o，

故圓N的方程為.f+v+若一.M^y=o,它過(guò)定點(diǎn)o.

5)當(dāng)直線A8垂直于x軸時(shí)，K妨設(shè)A手，手、B

/\/

此時(shí)OA.O4=(),所以O(shè)A_LOB,故以43為直徑的圓過(guò)點(diǎn)0.

綜上，以A4為直徑的圓過(guò)點(diǎn)。.

解法四：因?yàn)橹本€A8與以。4為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)在圓。上，所以直線人區(qū)與圓。相切.

(/)當(dāng)直線48不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線A8的方程為丁=丘+加，4(%,/),8(%2，，2).

因?yàn)槿薆與圓。相切，所以。到直線/W的距離-/^二坐，即3■_2/一2=0.

y/k2+l3

y=kx+m,

得公+卜初+

由V「(212+41V2,zr-2=0,

y+r=1

-4hn2m2-2

所以為+再=—；——.x.x.

2公+1'°~2k2+1

yi+y2=k(xl+x2)+2m=,

乙K?1

以A3為直徑的圓N的圓心為N(五產(chǎn),41，即淄片

yZ乙)\Z,K+1LK+1

半徑小號(hào)!=(??正卜_菁1

1/—7Tr-------3-—TiTFI16"-8〃/一8

=_,]+&-內(nèi)+x,)-4xx,-----------------------------r——

22'-2如+1『72公+1

_、/1+公,16/-8蘇+8_，1+匕"公一2〃?2+2

2k2+1-2&2+1

以AB為直徑的圓的方程為「+學(xué)L、4+2m2+2、

I2Q+U2k2+\

整理得k小黑T一舄片°,故以"為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)。,

5）當(dāng)直線人8垂直于x軸時(shí)，不妨設(shè)/坐，4］，,坐，一半］，

此時(shí)O4?OB=0,所以O(shè)A_LO8,故以/W為直徑的圓過(guò)點(diǎn)。.

綜上，以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)0.

【變式訓(xùn)練71】、（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系屹V中，已知點(diǎn)人（逐，。），B（-V6,0）,過(guò)

點(diǎn)A的動(dòng)直線4與過(guò)點(diǎn)H的動(dòng)直線4的交點(diǎn)為P，4,4的斜率均存在且乘積為-^，設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為曲線

C.

（1）求曲線C的方程；

⑵若點(diǎn)M在曲線C上，過(guò)點(diǎn)M且垂直于OM的直線交。于另一點(diǎn)N,點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q.直線

NQ交X軸于點(diǎn)7,求|。邪|刀V|的最大值.

【答案】（1）［十1?-心”土必

63

3

【分析】（1）設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)為士"），根據(jù)兩直線的斜率之積為-g得到方程，整理即可.

⑵設(shè)"（4,八），Q（To，f），N（N，X）,根據(jù)設(shè)M、N在橢圓上，則％/我=一；，再由&M2'&MN=7，

則hQ=：￡“Q，即可表示出直線NQ、MN的方程，聯(lián)立兩直線方程，即可得到N點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再根據(jù)弦長(zhǎng)

公式得至“Q7|?|3|二，令4-%2=j,貝|J|Q4177Vl=［32-7”3），最后利用基本不等式計(jì)算

可得；

（1）

解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x,yXx*±76）,

??,足點(diǎn)八（?,0）,網(wǎng)-#.0）,直線出與直線網(wǎng)的斜率之積為-g,

.y二?二1

"x+Jb.r-x/62，

/.三+工=1（"土而

63

（2）

解：設(shè)"（外,九），N&y）,貝1］芋+4=1,i+211=1,所以

又5%=-\、所以3°=:勺心又4WQ=&即心。=尹，則直線NQ:y+），。=工+與），直線MN：

2%z%

y->o

即以二fj，所以

由.解得y=

12-3城12-3%

y+y。

短（24-7），；）），；

W?川=-林卜平岡=安生

V%V>（.>o12-3年3（4-姬）

令4-%2=/則/€（1,4）,所以|Qr|.|TN卜生羋ZlL，32-7/-3）

93\t）

因?yàn)榉绞?21邛=88,當(dāng)且僅當(dāng)力=竽即1=美?1,4）時(shí)取等號(hào)，所以|。斗|川|的最大值為

32-8".

3

四、課堂訓(xùn)練

1.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）焦點(diǎn)在V軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10,離心率為I的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)算出。后，由離心率可得。的值，從而可得腌圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

z,3

【詳解】因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)為10,故長(zhǎng)半軸長(zhǎng)〃=5,因?yàn)閑=￡==,所以半焦距c=3,

a5

故b2-a2—c2=25-9=16,

又焦點(diǎn)在y軸上

2.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）若方程」