山東省荷澤市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中

數(shù)學(xué)試題（B）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答題前，考生務(wù)必將姓名、班級(jí)等個(gè)人信息填寫(xiě)在答題卡指定位置.

3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡

上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5亳米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的

答題區(qū)域內(nèi)作答。超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8題，每小題5分，共計(jì)40分.每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有

一項(xiàng)是最符合題目要求的.

1.下面命題中，正確的是（）

A.若同=b,則〃=力B.若問(wèn)＞b,則

C.若a=—匕,則a//bD.若同=。，則〃=0

【答案】C

【解析】對(duì)于A,若同二1|，但兩向量方向不確定，則不成立，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,向量無(wú)法比較大小，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若a=-b，則兩向量反向，因此q//b，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,若同一。，則”0,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：C

2.復(fù)數(shù)i-（l+i）的虛部是（）

A.-1B.1C.-iD.i

【答案】B

【解析】因?yàn)閕?（l+i）=i+i2=-l+i,虛部為1.

故選：B.

3.已知向量。=Z?在。上的投影向量為一2。，且|匕|=6,則cos〈〃,Z?〉=（）

【答案】A

【解析】依題意，向量b在〃上的投影向量為絲。=-2。，則絲二一2

由。=(1,G),得|°|=/2+(6)2=2,于是〃為二一2|。|2二-8,乂|〃|=6,

ci-b—82

所以cos〈。/〉

|fz||Z?|2x63

故選：A

4.設(shè)z=-2+l,則%在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】由于z=—2+：=—2—i,故［二—2+i，所以2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-2,1),在

第二象限.

故選：B.

5.在VA8C中，BD=DC，AE=2EB-若4O+C￡=/IA3+〃AC,則2+4的值為

()

1

D.-

【答案】C

【解析】因?yàn)?O=OC，所以">=g（A3+AC）,

一一.一2一2一

又AE=2EB，所以CE=C4+AE=CA+-4B=-4C+—AB,

33

一2一7I

所以AO+CE=—A8+-AC+-AB=-AB——AC,

2、362

又AO+CE=/148+〃AC,AB、AC不共線，

62

所以《

1,所以

故選：C

6已知復(fù)數(shù)Z=N則Z28

）

A.-iB.iC.-1D.1

【答案】A

【解析】因?yàn)閦=3二(1)2

(l+i)(l-i)

所以Z2025=(-i)2025=—1您=—產(chǎn)06+1=—任)2.i=—i.

故選：A

7.在口常生活中，我們會(huì)看到這樣的情境：兩個(gè)人共提一個(gè)行李包.假設(shè)行李包所受重力為

G，作用在行李包上的兩個(gè)拉力分別為6，6，且|同=歸］,"與6的夾角為。，則

下列結(jié)論中正確的是（）

A.6越小越費(fèi)力，。越大越省力B.。的范圍為［0,兀］

2兀

C.當(dāng)。二三時(shí),園平D.當(dāng)6=5時(shí)，同=,

3

【答案】C

【解析】如圖所示，根據(jù)題意依次分析選項(xiàng):

G

G|

由于1+-G,且閭=閭，則有閭以《二（網(wǎng)，即忖卜

對(duì)于A,

2cos

2

又G為定值，故6越小越省力，。越大越費(fèi)力，A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,當(dāng)。=兀時(shí)，￡+鳥(niǎo)=0,行李包不會(huì)處于平衡狀態(tài)，即。工兀，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)0二事?時(shí)，有同cos1=g6,則"=d,C正確；

對(duì)于D,當(dāng)6=］時(shí)，有同cos：二g|G|,則閭用二忖，D錯(cuò)誤.

故選：C

8.在VA8C中，內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為4,AC,N84C=120；C=2,A=1,D為BC

邊上一點(diǎn)，且NB4O=90"，則-AC。的面積為（）

A.2B.在C.3D.正

45610

故選：BCD.

10.已知向量a=（l,Gp?=（cosa,sina）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若。，則tana=-正

3

B.若〃〃/?,則a=1

C.若〃在〃上的投影向量為則向量。與。的夾角為至

43

D.d-b的最大值為3

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,由〃_Zb，得cosa+Gsina=0，因此tana=----,故A正確;

3

7T

對(duì)于B,若W〃？，則石cosa=sina，所以iana=G，所以a=§十標(biāo)，左eZ,故B

錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因|a|二2,\b\=\,由6在后上的投影向量為

—卜二bcos(d,J)j=cosgM.q,解得cos(&b)=-g,

又(a/?)￡[0,兀],.=T，故C正確:

對(duì)于D,因a-b=(l,6)-(cosa,sina)=(1-cosa

故|o-〃|2=(l-cosa)2+^>/3-sinaj=5-(2gsina+2cosa)5-4sin(a+￡),

jrjr27r/、

當(dāng)sina十三=-1,即a+—=——+2E(ZEZ)時(shí)，也即a=學(xué)+2hi(A￡Z)時(shí),

I6J62

14一。「取得最大值9,艮1|。一）|的最大值為3,故D正確.

故選：ACD.

A+「

11.在VABC中，角A8C所對(duì)的邊分別為a,A,c,asinB=/?sin-----,〃=3,O

2

為VA8C外接圓圓心，則下列結(jié)論正確的有（）

A兀

A.A=一B.VABC外接圓面積為12兀

3

c.BOBC=-D.SABC的最大值為2叵

24

【答案】ACD

【解析】在VA8C中，由正弦定理及asin5=/?sin"X得：sinAsin3=sin3sin4二4,

22

AAAAAit

而sin8>0,則有sinA=cos—,即2sin—cos—=cos—,又0<一<一,

222222

cos->0,Msin-=-,所以4=Z,即A=殳，A正確；

222263

R=L?-—=-.——=73

由正弦定理得VA8C外接圓半徑2sinA2.兀，該圓面積兀R?=3兀，B

sin—

3

錯(cuò)誤；

19

如圖，BOBC^BO\\BC\cosZOBC=-aa=-,C正確；

22

由余弦定理得：9=a2=b2+c2-2bccos->2bc-be=be,當(dāng)且僅當(dāng)人=c=3時(shí)取等號(hào),

3

因此S=—besin—=—be，D正確.

由2344

故選：ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足忖=1的復(fù)數(shù)z=.（寫(xiě)出一個(gè)即可）

【答案】i（答案不唯一）

【解析】令2="則崗=1,

故答案為：i（答案不唯一）

13.如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形A8CD中，DE=2EC若P為線段8E上的動(dòng)點(diǎn)，則

的最小值為.

【解析】在正方形中，建立如圖所示坐標(biāo)系,

由正方形邊長(zhǎng)為3且OE=2EC，可得A（0,0）,3（3,0）,。（0,3）,石（2,3）,

?BP=2BE=（-2,32）,4w[0,l],K!|P（3-2,32）,

則"=（3-；l,34）,DP=（3—Z3/l—3）,

、2

故人尸?OP=（3—4）2+32（32-3）=1（1V-15/1+9=1（）（丸一:27

T

327

故當(dāng)4=一時(shí)，A尸?OP取得最小值為—?

48

故答案為：—.

O

14.深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中園高一年級(jí)設(shè)計(jì)了一個(gè)“水滴狀”園徽的平面圖（如圖），徽章由等腰三

角形48c及以弦和劣弧BC所圍成的弓形所組成，其中AB=AC,劣弧8C所在的圓

兀

為三角形的外接圓，圓心為。.已知N84C=w，外接圓的半徑是2,則該圖形的面積為

6

【答案】2兀+2

3

【解析】如圖將圓。補(bǔ)充完整，連接。8,0C,取8c中點(diǎn)為。，連接A。.

7T

因/區(qū)4。=/，NB4C為8c對(duì)應(yīng)的圓周角，N40。為8c對(duì)應(yīng)的圓心角，

6

則四，△O3C為正三角形，又外接圓半徑為2,則弓形面積為

3

△記x4-旦4二?

S煙形BOC.S瓜

DOC2343

因A3=AC,則三角形ABC為等腰三角形，A。平分角NB4C.

1

兀m—=sin—=

則NBAO=F，乂80=1，則BA12.兀.

sin—

12

71.兀76-V2

T7?兀.（7兀171.Tt71

又sin—=sin—=sin—cos——cos—sin—=

1234；34344

金3血

則BA=則

22

SMgc=^^sinZBAC=^x(V6+V2)x1=2+73.

則圖形面積為：三一6+2+K=J+2.

33

故答案為：—+2.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=(〃?2-2〃?一8)+(>+3加—10)i,eR.

(1)若復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(2)若復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限或第四象限，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

解：(1)由題意得機(jī)2-2機(jī)一8=0，解得〃?=一2或m=4；

(2)復(fù)數(shù)z=(“2—2〃?—8)+(>+3加—10)i在兔平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為

（nr-2m-8,nr+3加-1（））,

依題意可得（利123—2加一81（機(jī)2+3機(jī)—10）v。，

nV-Im-8>0\nr-2/n-8<0

則《或《

'[,H2+3W-10<0-^2+3W-10>0

解得一5<相<一2或2<m<4,即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為一5<相<一2或2<"?<4.

16.已知向量a-（2,3）,Z?—（l,2）,c—Azz+/?（A:eR）.

（1）若向量d與共線，求實(shí)數(shù)攵的值；

（2）若向量c與人的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解：（1）由題意可得d=%+E=（2k+1,32+2）,a-3/?=（2,3）-3（l,2）=（-l,-3）,

若向量3與a—3b共線，可得一3（2攵+1）+3攵+2=0,

解得攵=-g.

3

（2）若向量c與。的夾角為銳角可得。占>0,且8與天共線，

（2%+1）+2（3攵+2）＞（）

即可得〈

2（2%+1）.3左+2

解得k>—*且女工0,

8

即實(shí)數(shù)攵的取值范圍為心伙>一：且々￥0}

8

17.如圖，在VA8C中，AM=，A8,CN=2C3.設(shè)A8=4,AC=〃.

23

（I）用a,〃表示AN,MN；

41-

（2）若P為V4BC內(nèi)部一點(diǎn)，且BP=--Q+一8.求證：M,P,N三點(diǎn)共線.

99

1—?--1/--——\2-1一?21—

解：（1）AN=A8+8N=AB+—8C=AB+-4C—AB=-A8+—AC=—G+—〃,

33、）3333

MN=AN-AM=-AB+-AC--AB=-AB+-AC=-a+-b；

3326363

—~―?一]一41-111-

(2)MP=BP—BM=BP+—AB=——a+-b+-d=—d+-b，

2992189

11-.

又MN=-a+-b,故MN=3MP，故M,P,N三點(diǎn)共線.

63

18.已知復(fù)數(shù)Z1=2sin8-6i,z2=l+(2cos6>)i,9w[0,兀

(i)若z=z2,求角e；

（2）復(fù)數(shù)Z1,z?對(duì)應(yīng)的向量分別是a,b.

（i）求a-b的取值范圍；

（ii）存在e使等式（4〃-/4?（〃—助）=0成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

解：（1）Vz,=2sin^-V3i,4=1+（2cos9）i,且馬=z2,

I/?

/.2sin6^=l,2cos0=—6，即sin。二二，cos8=-----?

22

又，E［0,可，故8彎.

6

（2）（i）由復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示可得，a=（2sina-6）,人=（l,2cos6）,

:.ab-2sin^-2V3cos^=4sin0--,

I3J

又6￡［0,兀］,則一

.??當(dāng)。一T時(shí),a-b取最大值為4,當(dāng)。一g=時(shí)'a-b取最小值為一26,

rb的取值范圍為［一26,4］；

（ii）a=（2sir）e,一#）,〃=（l,2cos。），

Aa-b=(24sin0-l,->/i4-2cos。)，a-Ab=(2sin0-X,-43-2Acos

乂(/la_/?)?(a_2/?)=(),

貝i」(2/lsine-l)(2sine-4)+(-G/l-2cose)(-6-2/lcos9)=0,

化簡(jiǎn)得，82+(%"+cos0—2sin=0,

82=4sin。一三，由小問(wèn)（i）的結(jié)論可知4sin

r+iI3j

,一2尺導(dǎo)4,解得人-百或於一小

綜上所述，丸的取值范圍為：卜力,-6］。-苧，+8）

19.“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題，該問(wèn)題是：“在一個(gè)三

角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給

出了解答，當(dāng)VA8C的三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，使得NAO3=N8OC=NCQ4=120。

的點(diǎn)。即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)V48C有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).

試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知V4BC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且

cos28+cos2C—cos24=1.

（1）求角4

（2）若加=6,設(shè)點(diǎn)P為VABC的費(fèi)馬點(diǎn),求PA?PB+PB?PC+PC?PA；

（3）設(shè)點(diǎn)尸為VA8c的費(fèi)馬點(diǎn)，|P8|+|PC|=/|PA|,求實(shí)數(shù)，的最小值.

解：（1）由cos28+cos2C-8s24=1,得1—2sin28+1—Zsii??！?+2sin2A=1，

故sin2A=sin?8+sin2c.

由正弦定理可得故V4AC直角三角形，即4

2

（2）由（1）可得A二三，所以三角形AVC的