相似三角形的性質(zhì)【九大題型】【題型1利用相似三角形的性質(zhì)求角度】【例1】（2022·湖南·永州柳子中學(xué)九年級期中）已知△ABC~△DEF，若∠A=50°，∠E=70°，則∠F的度數(shù)為（

）A．30° B．60° C．70° D．80°【變式1-1】（2022·江蘇·常州市金壇良常初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，△ABC∽△DAC，∠B＝31°，∠D＝117°，則∠BCD的度數(shù)是（

）A．32° B．48° C．64° D．86°【變式1-2】（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格上有兩個相似三角形△ABC和△EDF，則∠ABC+∠ACB的度數(shù)為（）A．135° B．90° C．60° D．45°【變式1-3】（2022·云南楚雄·九年級期末）如圖，點A、B、C、D四點共線，ΔPBC是等邊三角形，當ΔPAB～ΔDPC時，∠APD的度數(shù)為（

）A．120° B．100° C．110° D．125°【題型2利用相似三角形的性質(zhì)求線段長度】【例2】（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在?ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中點，在CD上取一點F，使△CBF∽△ABE，則DF的長是（

）A．8.2 B．6.4 C．5 D．1.8【變式2-1】（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC∽△DEF，相似比為1∶2，若BC＝1，則EF的長是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2-2】（2022·全國·九年級專題練習(xí)）已知△ABC∽△DEF，△ABC的三邊長分別為2，14，3，△DEF的其中的兩邊長分別為1和7，則第三邊長為______．【變式2-3】（2022·吉林·長春市赫行實驗學(xué)校二模）如圖所示，圖中x=___．【題型3利用相似三角形的性質(zhì)求面積】【例3】（2022·陜西渭南·九年級階段練習(xí)）若△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的面積比為25:36，則△ABC與△DEF的對應(yīng)邊的比是（

）A．5:6 B．6:5 C．25:36 D．36:25【變式3-1】（2022·河南新鄉(xiāng)·九年級期末）△ABC與△A'B'C'的位似比是1:2，已知△ABC的面積是A．3 B．6 C．9 D．12【變式3-2】（2022·河北石家莊·九年級期末）把一個三角形的各邊長擴大為原來的3倍，則它的面積擴大為原來的__________倍．【變式3-3】（2022·河南·鶴壁市淇濱中學(xué)九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點D是線段BC上一動點，連結(jié)AD，以AD為邊作△ADE，使△ADE∽△ABC，則△ADE的最小面積等于______．【題型4利用相似三角形的性質(zhì)求周長】【例4】（2022·湖南株洲·九年級期末）有一個直角三角形的邊長分別為3，4，5，另一個與它相似的直角三角形的最小邊長為7，則另一個直角三角形的周長是（

）A．425 B．845 C．21 D【變式4-1】（2022·重慶實驗外國語學(xué)校八年級期末）如圖是一個邊長為1的正方形組成的網(wǎng)絡(luò)，△ABC與△A1B1C1都是格點三角形（頂點在網(wǎng)格交點處），并且△ABC∽△A1B1C1，則△ABC與△A1B1C1的周長之比是（

）A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．4：9【變式4-2】（2022·遼寧·阜新市第四中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知△ABC∽△DEF，其中AB=12，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周長是______．【變式4-3】（2022·遼寧鞍山·二模）已知△ABC∽△A'B'C'，且AB=2A【題型5利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明角度相等】【例5】（2022·北京市第一五六中學(xué)九年級期中）如圖，已知AE平分∠BAC，ABAD(1)求證：∠E=∠C；(2)若AB=9，AD=5，DC=3，求BE的長．【變式5-1】（2022·上?！y試·編輯教研五八年級期末）如圖，在△ABC中，點D、點E分別在AC、AB上，點P是BD上的一點，聯(lián)結(jié)EP并延長交AC于點F，且∠A=∠EPB=∠ECB．(1)求證：BE?BA=BP?BD；(2)若∠ACB=90°，求證：CP⊥BD．【變式5-2】（2022·山東·東平縣江河國際實驗學(xué)校二模）如圖，點D，E分別在△ABC的邊BC，AC上，連接AD，DE．（1）若∠C=∠BAD，AB=5，求BD·BC的值；（2）若點E是AC的中點，AD=2AE，求證：∠1=∠C．【變式5-3】（2022·湖北恩施·二模）如圖，在△ABC中，D、E、F分別是邊AC，AB，BC上的點，DE∥BC，DF∥AB．(1)求證：∠B=∠EDF．(2)若CF＝13BC，求S【題型6利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明對應(yīng)線段成比例】【例6】（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，已知△ADE的頂點E在△ABC的邊BC上，DE與AB相交于點F，∠FEA=∠B，∠DAF=∠EAC．(1)若AF=BF=4，求AE；(2)求證：DFDE【變式6-1】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．如圖，已知折痕與邊BC交于點O，連接AP、OP、OA．（1）求證：OCPD（2）若OP與PA的比為1：2，求邊AB的長．【變式6-2】（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在ΔABC中，AB=AC，D是邊BC的延長線上一點，E是邊AC上一點，且∠EBC=∠D．求證：CEAB【變式6-3】（2022·湖南益陽·九年級期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，E是BC邊上的一個動點（不與B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分別為F，G．(1)求證：EGAD(2)FD與DG是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由；【題型7尺規(guī)作圖作相似三角形】【例7】（2022·山東煙臺·八年級期末）尺規(guī)作圖：如圖，已知△ABC，且AB>AC．（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）(1)在AB邊上求作點D，使DB=DC；(2)在AC邊上求作點E，使△ADE∽△ACB．【變式7-1】（2022·山東濟寧·二模）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,BD平分∠ABC．(1)求作△CDE使點E在BC上，且△CDE∽△CBD；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，若BA=3,∠ABC=60°，求【變式7-2】（2022·陜西寶雞·一模）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，點D是AC邊上一定點．請用尺規(guī)作圖法在BC上求作一點P，使得△ABC∽△PCD．（保留作圖痕跡，不寫作法）【變式7-3】（2022·江蘇省錫山高級中學(xué)實驗學(xué)校模擬預(yù)測）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B．(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)按要求作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：①過點D作AB的平行線交BC于點F；②P為AB邊上的一點，且△DAP∽△PBC，請找出所有滿足條件的點；(2)在（1）的條件下，若AD＝2，BC＝3，AB＝6，則AP＝．【題型8在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形】【例8】（2022·安徽合肥·二模）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，A、B、C、D四點均在正方形網(wǎng)格的格點上，線段AB、CD相交于點O．(1)請在網(wǎng)格圖中畫出兩條線段（不添加另外的字母），構(gòu)成一對相似三角形，并用“∽”符號寫出這對相似三角形：(2)線段AO的長為______．【變式8-1】（2022·河南南陽·九年級期末）（1）如圖，△ABC的三個頂點都在方格紙的格點上．在方格紙內(nèi)畫△A'B'C（2）△A'B【變式8-2】（2022·浙江溫州·九年級專題練習(xí)）請在如圖所示的網(wǎng)格中，運用無刻度直尺作圖（保留作圖痕跡）(1)在圖1中畫出線段AB的中垂線(2)如圖2，在線段AB上找出點C，使AC:CB=1:2．【變式8-3】（2022·浙江溫州·九年級期中）如圖，在8×8的方格中，△ABC的三個頂點都在小方格的頂點上，按要求畫一個三角形，使它的頂點在方格的頂點上．(1)請在圖1中畫一個三角形，使它與△ABC相似，且相似比為2：1(2)請在圖2中畫一個三角形，使它與△ABC相似，且面積比為2：1【題型9新定義中的相似三角形】【例9】（2022·陜西渭南·九年級期末）四邊形的一條對角線把這個四邊形分成兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），我們就把這條對角線稱為這個四邊形的“理想對角線”．(1)如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC=70°，AB=AD，AD∥BC，當∠ADC=145°時．求證：對角線BD是四邊形ABCD的“理想對角線”；(2)如圖2，四邊形ABCD中，CA平分∠BCD，BC=3，CD=2，對角線AC是四邊形ABCD的“理想對角線”，求AC的長．【變式9-1】（2022·福建·廈門市第五中學(xué)八年級期中）定義：若一個三角形最長邊是最短邊的2倍，我們把這樣的三角形叫做“和諧三角形”．在△ABC中，點F在邊AC上，D是邊BC上的一點，AB＝BD，點A，D關(guān)于直線l對稱，且直線l經(jīng)過點F．（1）如圖1，求作點F；（用直尺和圓規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫作法）（2）如圖2，△ABC是“和諧三角形”，三邊長BC，AC，AB分別a，b，c，且滿足下列兩個條件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．①求a，b之間的等量關(guān)系；②若AE是△ABD的中線．求證：△ACE是“和諧三角形”．【變式9-2】（2022·江蘇常州·九年級期末）如果經(jīng)過一個三角形某個頂點的直線將這個三角形分成兩部分，其中一部分與原三角形相似，那么稱這條直線被原三角形截得的線段為這個三角形的“形似線段”．(1)在△ABC中，∠A=30．①如圖1，若∠B=100°，請過頂點C畫出△ABC的“形似線段”CM，并標注必要度數(shù)；②如圖2，若∠B=90°，BC=1，則△ABC的“形似線段”的長是．如圖3，在DEF中，DE=4，EF=6，DF=8，若EG是DEF的“形似線段”，求EG的長．【變式9-3】（2022·安徽合肥·二模）定義：如果一個三角形中有一個角是另一個角的2倍，那么我們稱這樣的三角形