§7.2球的切、接問題重點解讀球的切、接問題是歷年高考的熱點內(nèi)容，一般以客觀題的形式出現(xiàn)，考查空間想象能力、計算能力.其關(guān)鍵點是利用轉(zhuǎn)化思想，把球的切、接問題轉(zhuǎn)化為平面問題或特殊幾何體來解決或轉(zhuǎn)化為特殊幾何體的切、接問題來解決.一、正方體與球1.內(nèi)切球：內(nèi)切球直徑2R=正方體棱長a.2.棱切球：棱切球直徑2R=正方體的面對角線長2a.3.外接球：外接球直徑2R=正方體體對角線長3a.二、長方體與球外接球：外接球直徑2R=體對角線長a2+b2+c2(a三、正棱錐與球1.內(nèi)切球：V正棱錐=13S表·r=13S底·h(等體積法)，r是內(nèi)切球半徑，h2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多邊形的外接圓圓心為E，半徑為r，R2=(hR)2+r2(正棱錐外接球半徑為R，高為h).四、直棱柱的外接球球心到直棱柱兩底面的距離相等，直棱柱兩底面外心連線的中點為其外接球球心.R2=h22+r2(直棱柱的外接球半徑是R，高是h，底面外接圓半徑是r五、圓柱的外接球R=h22+r2(R是圓柱外接球的半徑，h是圓柱的高六、圓錐的外接球R2=(hR)2+r2(R是圓錐外接球的半徑，h是圓錐的高，r是圓錐底面圓的半徑).題型一外接球命題點1補形法例1(1)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)·商功》中，將底面為矩形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”.若四棱錐PABCD為“陽馬”，PA⊥平面ABCD，AB=BC=4，PA=3，則此“陽馬”外接球的表面積為()A.41π2 BC.41π D.41π(2)已知三棱錐SABC的四個頂點都在球O的球面上，且SA=BC=2，SB=AC=7，SC=AB=5，則球O的表面積是.思維升華滿足下列條件的可以補成長方體(1)(墻角模型)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，如圖①.(2)三棱錐的四個面均是直角三角形，如圖②.(3)(對棱模型)三棱錐的對棱兩兩相等，則每條對棱為長方體的面對角線，如圖③.跟蹤訓(xùn)練1在三棱錐PABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=22，且三棱錐PABC的體積為83，若三棱錐PABC的四個頂點都在同一球面上，則該球的表面積為(A.4π B.16πC.8π D.16π命題點2定義法例2(2024·六盤水模擬)如圖，在四面體ABCD中，∠ACB=∠ADB=90°，AB=2，則四面體ABCD外接球的表面積為()A.2π B.4π C.8π D.8π思維升華到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可.跟蹤訓(xùn)練2已知菱形ABCD的邊長為2，∠B=60°.將△ABC沿AC折起，折起后記點B為P，連接PD，得到三棱錐PACD，如圖所示，當(dāng)三棱錐PACD的表面積最大時，三棱錐PACD的外接球體積為()A.52πC.23π D.8命題點3垂面法例3(2024·雙鴨山模擬)已知四面體ABCD的各頂點均在球O的球面上，平面ABC⊥平面BCD，AB=BC=AC=CD=2，BC⊥CD，則球O的表面積為()A.16π3 B.8π C.28π3 D思維升華找兩個三角形的外接圓的圓心，過圓心分別作這兩個三角形所在平面的垂線，兩垂線的交點就是球心.跟蹤訓(xùn)練3在三棱錐PABC中，∠BAC=90°，PA=PB=PC=BC=2，則三棱錐PABC外接球的表面積為()A.4π3 B.8π3 C.11π3題型二內(nèi)切球與棱切球命題點1內(nèi)切球例4(2025·洛陽模擬)已知一圓臺容器的上、下底面中心分別為O1，O2，且O1O2=103，上、下底面半徑分別為2，12，在圓臺容器內(nèi)放置一個可以任意轉(zhuǎn)動的球，則該球表面積的最大值為()A.96π B.192πC.48π D.248π命題點2棱切球例5一個正四棱錐形骨架的底邊邊長為2，高為2，有一個球的表面與這個正四棱錐的每條棱都相切，則該球的表面積為()A.43π B.4π C.42π D.3π思維升華多面體內(nèi)切球的球心與半徑的確定(1)內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等.(2)正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合.(3)正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合.(4)體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法.跟蹤訓(xùn)練4(1)已知一個表面積為24的正方體，假設(shè)有一個與該正方體每條棱都相切的球，則此球的體積為()A.4π3 B.43π C.86π D.(2)將一個母線長為3cm，底面半徑為1cm的圓錐形木頭加工打磨成一個球狀零件，則能制作的最大零件的表面積為()A.2πcm2 B.πcm2C.5π2cm2 D.3π2多球堆疊相切問題多球堆疊相切問題關(guān)鍵是連接各球的球心，通過研究球心連接成的幾何體解題.典例(1)把4個半徑為2的球疊為兩層放在桌面上，上層只放一個，下層放三個，四個球兩兩相切，在這四個球所形成的空隙中放入一個小球，則此小球的最大半徑為.

(2)兩球O1和O2在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1的內(nèi)部，且互相外切，若球O1與過點A的三個面相切，球O2與過點C1的三個面相切，則球O1和O2的表面積之和的最小值為()A.3(2－3)π B.4(2－3)πC.6(2－3)π D.12(2－3)π答案精析探究核心題型例1(1)D[由于PA⊥平面ABCD，AB，AD?平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，由于四邊形ABCD是矩形，所以AB⊥AD，所以AB，AD，PA兩兩互相垂直，所以四棱錐PABCD可補形為長方體，且長方體的體對角線為PC=32+所以外接球的直徑2R=41所以外接球的表面積為4πR2=41π.](2)8π解析將三棱錐SABC放入長方體中，設(shè)長方體的長、寬、高分別為a，b，c，如圖所示，則a則a2+b2+c2=8，因為球O的直徑即為長方體的體對角線，則球O的半徑為a2+所以球O的表面積是4π×(2)跟蹤訓(xùn)練1D[∵三棱錐PABC的體積為8∴13×34∴PA=433，將三棱錐補成三棱柱，可得球心為三棱柱外接球的球心，球心到底面的距離d等于三棱柱的高∵△ABC是邊長為22的正三角形，∴△ABC外接圓的半徑r=2∴球的半徑為R=d=233∴該球的表面積為4π×22=16π.]例2B[設(shè)O是AB的中點，連接OC，OD，如圖所示，由∠ACB=∠ADB=90°，得OA=OB=OC=OD，所以O(shè)是四面體外接球的球心，且半徑為OA=OB=OC=OD=12AB=1所以外接球的表面積為4π×12=4π.]跟蹤訓(xùn)練2D[由題意可得，△ACD，△ACP均為邊長為2的等邊三角形，△PAD，△PCD為全等的等腰三角形，則三棱錐PACD的表面積S=2S△ACD+2S△PCD=2×12×2×2×32+2×12×2×2sin∠PCD=23+4sin∠PCD≤2當(dāng)且僅當(dāng)sin∠PCD=1，即PC⊥CD時，三棱錐PACD的表面積取最大值，此時△PAD，△PCD為直角三角形，PD=PC2取PD的中點O，連接OA，OC(圖略)，由直角三角形的性質(zhì)可得OA=OC=OD=OP=2即三棱錐PACD的外接球的球心為O，半徑R=2，故外接球體積V=43π×(2)3=8例3C[如圖，取BC的中點E，BD的中點F，所以F為△BCD的外心，連接AE，EF，設(shè)△ABC的外心為G，因為AB=BC=AC=2，即△ABC為等邊三角形，所以點G在AE上，連接OG，OF，則OG⊥平面ABC，OF⊥平面BCD，因為平面ABC⊥平面BCD，所以O(shè)G⊥OF，因為△ABC為等邊三角形，E為BC的中點，所以AE⊥BC，因為平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE?平面ABC，所以AE⊥平面BCD，則AE∥OF，又EF?平面BCD，所以AE⊥EF，同理EF⊥平面ABC，所以EF∥OG，故四邊形OGEF是矩形.由BC⊥CD，可得BD=BC2故DF=2又OF=EG=13AE=13ABsin設(shè)球O的半徑為R，則R2=OD2=OF2+FD2=7所以球O的表面積S=4πR2=28π3.跟蹤訓(xùn)練3D[如圖，設(shè)O1是BC的中點，連接O1A，O1P，由于∠BAC=90°，所以O(shè)1是△ABC的外心，O1A=O1B=O1C.由于PA=PB=PC=BC=2，O1是BC的中點，則PO1⊥BC，PO1=3，O1A=1則PO12+O1A2=PA則PO1⊥O1A.又O1A∩BC=O1，O1A，BC?平面ABC，所以PO1⊥平面ABC，而PO1?平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC.由于△PBC是等邊三角形，設(shè)O是△PBC的外心，連接OA，OB，OC，則OP=OB=OC，又因為O在PO1上，所以O(shè)B=OC=OA，則O也是三棱錐PABC外接球的球心.設(shè)外接球的半徑為r，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知r=OP=23O1P=所以外接球的表面積為4πr2=4π×2332=例4B[如圖所示，根據(jù)題意可知O1A=2，O2B=12，O1O2=103.設(shè)圓臺容器內(nèi)能放置的最大球的球心為O，且與下底面和母線AB分別切于O2，C，因為tan∠ABO2=10312-2所以∠ABO2=60°，所以∠OBO2=30°，所以可知球的半徑R=OO2=O2Btan30°=12×33=4此時球的直徑為2R=83<O1O2=103即此時球與圓臺容器上底面不相切，因此圓臺容器內(nèi)能放置的最大球的表面積S=4πR2=192π.]例5B[如圖所示，因為正四棱錐底邊邊長為2，高為2所以O(shè)B=2SB=2，O到SB的距離為d=SO×OB同理O到SC，SD，SA的距離為1，易知O到AB，BC，CD，DA的距離也為1，所以O(shè)為球的球心，所以球的半徑為1，所以球的表面積為4π.]跟蹤訓(xùn)練4(1)D[設(shè)正方體的棱長為a，則6a2=24，解得a=2.又球與正方體的每條棱都相切，則正方體的面對角線長即為球的直徑長，所以球的半徑長是2，所以此球的體積為43π×(2)(2)A[原問題可轉(zhuǎn)化為求該圓錐的內(nèi)切球表面積，該內(nèi)切球的半徑與該圓錐軸截面的內(nèi)切圓半徑相等，畫出該軸截面如圖，由母線長為3cm，底面半徑為1cm可得該圓錐的高h=32-12=22設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則有S軸截面=12×2×22=12×3r+12×3r+12解得r=22cm，則內(nèi)切球表面積，即最大零件的表面積為4πr2=2π(cm2).微拓展典例(1)6－解析如圖，點E為下層三個球中的一個球的球心，連接各球的球心，可得到