線段的比較與運算

知識點01尺規(guī)作圖

僅用圓規(guī)和沒有刻度的直尺作圖的方法叫做尺規(guī)作圖.

【說明】(1)只使用圓規(guī)和直尺，并且只準許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題.

(2)直尺必須沒有刻度，無限長，且只能使用直尺的固定一側(cè).只可以用它來將兩個點連在一起，不可以在

上面畫刻度.

(3)圓規(guī)可以開至無限寬，但上面也不能有刻度.它只可以拉開成之前構(gòu)造過的長度.

知識點02線段大小比較

1.比較線段大小的方法：(1)目測法；(2)度量法；(3)疊合法

2.疊合比較法：利用直尺和圓規(guī)把線段放在同一條直線上，使其中一個端點重合，另一個端點位于重合端

點同側(cè)，根據(jù)另一端點與重合端點的遠近來比較長短.如下圖：

ABA.?2_____LJP

CDcDAB

AB=CDAB〉CDAB〈CD

【說明】線段的比較方法除了疊合比較法外，度量比較法也是常用的方法.

知識點03線段的性質(zhì)

兩點之間的所有連線中，線段最短.簡單地：兩點之間線段最短.我們把兩點之間線段的長度，叫做這兩點

之間的距離.

知識點04線段的和與差

如下圖：線段上有一點C,貝i」AC+BC=48；AC=AB-BC-,BC=AB-AC,

在這里線段AC、BC、AB表示線段的長度，如AC+BC=A8表示AC長度與2C長度之和等于AB長度.

C

A??

知識點05線段的中點

線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點.如下圖所示，點C是線段A8的中點,

貝AB=2AC=2BC.ACB

2

【說明】若點C是線段A8的中點，則點C一定在線段上.

【題型1作線段（尺規(guī)作圖）】

例題：（24-25七年級上?甘肅平?jīng)?期末）如圖，已知線段a,b,利用尺規(guī)作圖法求作線段A8,使得

AB=2b-a.（不寫作法，保留作圖痕跡）

a

II

b

I_______________I

【變式訓練】

1.（24-25七年級上?陜西渭南?期末）如圖，已知線段。、b.請你用尺規(guī)作圖，求作線段,使AB=a+2b.（不

寫作法，保留作圖痕跡）

a,

b

I

2.（24-25七年級上?廣東深圳?期末）如圖，C是線段A3上的一點.

I________I______________________I

ACB

⑴尺規(guī)作圖：作射線C4,在射線C4上截取CD=CB（保留作圖痕跡，不用寫作法）；

⑵在（1）的條件下，^AC=^AB,AB=9,求8。的長.

3.（24-25七年級上?浙江?期末）如圖，已知平面上有三點A,B,C,按要求依次畫圖，并保留作圖痕跡.

C*

??

AB

（1）畫直線AB,線段BC,射線AC.

（2）在線段AB上找一點使得=

（3）取BC中點E,連接C。，在線段C。上畫出點P,使得叢+尸石最小，并寫出理論依據(jù).

【題型2兩點之間線段最短】

例題：（24-25七年級下?河南鄭州?期中）數(shù)學源于生活，寓于生活，用于生活.在修建公路時，有時需將

彎曲的道路改直，其依據(jù)是.

【變式訓練】

1.（24-25七年級上?吉林?期末）如圖，在一個廣場上的點A和點B兩處，分別有一只小狗和一塊骨頭，小

狗想走最短路程吃到骨頭，我們知道最短路線是②，其數(shù)學理由是.

2.（2025?吉林四平?一模）如圖，杭州灣跨海大橋是跨越杭州灣的便捷通道，大橋建成后寧波至上海的陸

路距離縮短了約120km.其中的數(shù)學道理是.

3.（24-25七年級上?山西晉中?期末）如圖，從晉中市民之家去往晉中市生態(tài)環(huán)境局，與其它道路相比，走

遼陽路路程最近，其蘊含的數(shù)學道理是.

<

^

=

=

晉

=中市

管

城

^市

定

理

局

陽

路

【題型3線段的和與差】

例題：（23-24七年級上.江蘇鹽城.階段練習）如圖，A,B,C三點在同一直線上，點。在AC的延長線上，

且CD=AB.

III___________________________

ABC

（1）請用圓規(guī)在圖中確定。點的位置；

（2）若AB:3c=2:5,AC=14,求AD的長.

【變式訓練】

1.（24-25七年級上?山東德州?期末）如圖，點C是線段48延長線上的一點，且M、N將線段AC分成1:3:4

Q

三部分，其中AC=gAB；

A^MN~BC

⑴若MV=6cm,求AB的長.

⑵若AC=24cm,求NB的長.

2.（24-25七年級上?江西南昌?期末）如圖，A,B,C三點在同一直線上.

ABC

⑴用尺規(guī)作圖在AC的延長線上畫出線段C。，使CD=AB；(保留作圖痕跡)

2

(2)在(1)的條件下，^BC=-AC,AD=12cm,求A3的長.

3.(24-25七年級上?湖南衡陽?期末)如圖，C為線段AD上一點，點B為CD的中點，且AD=18cm,

AC:CD=5:4.

ACBD

⑴求即的長.

(2)若點E在直線AD上，且E4=6cm,求BE的長.

【題型4線段中點的有關計算】

例題：(24-25七年級上?河北石家莊?期中)如圖，點B是線段AC上一點，且A3=20,BC=8.點。是線

段AC的中點.

?ill

AOBC

(1)圖中共有條線段；

(2)求線段OB的長.

【變式訓練】

1.(24-25七年級上?河南信陽?期末)已知點B在線段AC上，點。在線段A3上，

IIIIIIIII

ADBCAEDBC

圖1圖2

(1)如圖1,若AB=6cm,BC=4cm,。為線段AC的中點，求線段的長度；

(2)如圖2,若=CD=3BD,E為線段AB的中點，EC=12cm,求線段AC的長度.

2.(24-25七年級上?甘肅蘭州?期末)如圖點2,D在線段AC上.

IIII

ADBC

(1)填空：

①圖中有一條線段.

?AB=AD+_=AC-_.

(2)若。線段AC的中點，點8在點。的右側(cè)，SLBC=3BD,AC=8cm,求線段AB的長.

3.(24-25七年級上?福建泉州?期末)如圖，M是線段上的一點，AB=12.

I________I_________________I

AMB

(1)若求AAf的長.

(2)若C,。分別為線段A",的中點，求CO的長.

(3)在(1)的條件下，N是直線AB上的一點，且滿足AN-3N=〃N,求”人的值.

【題型5線段”等分點的有關計算】

例題：（24-25七年級上?江西南昌?期末）已知線段AB=90cm,C是線段AB上任意一點（不與點A,B重

合）.

AMCNB

（1）若BN=；BC,求MTV的長；

（2）在（1）的條件下，若3c=30cm且G點在直線上，GB=15cm,求MG的長度.

【變式訓練】

1.（23-24六年級下?黑龍江哈爾濱?階段練習）已知線段A5=30,延長54至點C,使CB:AB=4:3,點。、

E均為線段創(chuàng)延長線上兩點，S.BD=3AE,M,N分別是線段DE、鉆的中點，當點C是線段8。的三等

分點時，"N的長為.

2.（23-24七年級上.河南商丘?期末）如圖，C為線段AO上一點，點B為C。的中點，已知AO=10,AC=6.

IIII

ACBD

⑴求BC的長；

（2）若點尸是線段AC上靠近點A的三等分點，求BP的長.

3.（24-25七年級上?全國?期末）小明在學習了比較線段的長短時對下面一道問題產(chǎn)生了探究的興趣：

如圖1,點C在線段A3上，M,N分別是AC,BC的中點.若AB=12,AC=8,求MN的長.

IIIII

AMCNB

（1）根據(jù)題意，小明求得MN=；

（2）小明在求解⑴的過程中，發(fā)現(xiàn)跖V的長度具有一個特殊性質(zhì)，于是他先將題中的條件一般化，并開始深

入探究.

設=C是線段A3上任意一點（不與點A,3重合），小明提出了如下三個問題，請你幫助小明解答.

①如圖1,M,N分別是AC,BC的中點，則MN=；

②如圖2,M,N分別是AC,3C的三等分點，即AM=；AC,BN=~BC,求跖V的長；

AMcN一方③若N分別是AC,BC的〃等分點，即

AM=-AC,BN=-BC,則M?V=.

nn

【題型6與線段有關的動點問題】

例題：（24-25七年級上?陜西安康?期末）如圖，C是線段43上一點，AB=48cm,點M,N分別從點C,

8同時出發(fā)，分別以lcm/s,2cm/s的速度沿直線AB向左運動（點Af在線段AC上，點N在線段3C上）,

設運動時間為fs.

AMCNB

（1）當f=l時，若CN=2AM,AC的長為cm；

⑵當f=8時，若CN=2AM,試說明點M為AC的中點；

⑶若點N運動到任一時刻，總有CN=2AM,請求出AC的長.

【變式訓練】

1.（24-25七年級上?遼寧沈陽?期中）己知點C在線段48上，AC=2BC,線段DE在直線AB上移動（點

D,E不與點A,2重合）.

?????

ADCEB

I??

ACB

備用圖1

i______________________i__________i

ACB

備用圖2

（1）若AB=24,求AC和BC的長；

⑵若AB=15,DE=6,線段DE在線段AB上移動，且點。在點E的左側(cè).

①如圖，當點E為BC中點時，求AD的長；

②點尸（不與點A,B,C重合）在線段43上，AF^3AD,CF=3,求AE的長.

2.（24-25七年級上?湖南懷化?期末）已知：如圖1,〃是定長線段AB上一定點，C、。兩點分別從M、B

出發(fā)以lcm/s、3cm/s的速度沿直線54向左運動，運動方向如箭頭所示（C在線段AW上，。在線段上）.

<——<---------

ACMDBAME圖

圖1圖2

1圖2

⑴若AB=10cm,當點C、O運動了1s,求AC+MD的值；

⑵若點C、。運動時，總有〃D=3AC,直接填空：AM=AB；

MN

（3）在（2）的條件下，N是直線AB上一點，旦AN—BN二MN,求——的值.

AB

3.（24-25七年級上?湖北孝感?期末）如圖線段AB=24,動點P從A出發(fā)，以2個單位長度/秒的速度沿

射線48運動，M為AP中點.

I_____??_______________|_______________

AMPB

I________________________L

AB

備用圖

（1）當點尸在線段A8上運動時，

①出發(fā)多少秒后，PB=2AM?

②試說明2MB-BP為定值;

（2）當點尸在線段A5延長線上運動時，設N為3尸的中點，有下列兩個結(jié)論:

①長度不變；

V+RV的值不變.

選出一個正確的結(jié)論，并求其值；

串知識識框架

僅用圓規(guī)和沒有刻度的直尺作圖的方法叫做尺規(guī)作圖

知識點。1尺規(guī)作圖

比較線段大小的方法：（1）目測法；（2）度量

比

法；（3）疊合法

知識點02線段大小比較

較

線

兩點之間的所有連線中，線段最短.簡單地：兩點之間

段

線段最短

的知識點03線段的性質(zhì)

長

短線段AB上有一點C,貝（JAC+BC=AB;AC=AB-

一、單選題

1.（2025?河南駐馬店?二模）如圖，修建曲橋與修建直的橋相比，增加了橋的長度，其中蘊含的數(shù)學道理

是（）

A.垂線段最短B.兩點之間，線段最短

C.兩點確定一條直線D.平行于同一條直線的兩條直線平行

2.（24-25七年級下?山東威海?期中）平面上有三個點A,B,C,如果AB=5,AC=8,BC=3,則（）

A.點C在線段AB上B.點C在線段54的延長線上

C.點C在線段AB的延長線上D.不能確定

3.（24-25九年級下?甘肅平?jīng)?階段練習）如圖，點C在線段AB上，下列說法正確的是（）

II1

ACB

A.AC=BC-ABB.AB=2AC

C.AC=BCD.AB^AC+CB

4.（24-25七年級下?福建福州?期中）如圖，點。是AC的中點，點3是AC的三等分點，若BC=4,則8。

的長為（）

ABDC

A.1B.1.5C.2D.2.5

5.（2025?河北唐山?二模）如圖，電子屏幕上有一條直線/,在直線/上有A,B,C,。四點，四點之中相

鄰兩點之間的距離相等，光點尸沿著直線/從點A運動到點。，當光點P到A,B,C,。四點中至少兩點的

距離相等時，光點尸就會發(fā)出紅光，則光點尸發(fā)出紅光的次數(shù)為（）

P―?

—?__?-----?--------?--------?---

ABCD1

A.3B.4C.5D.6

6.（24-25七年級上?陜西西安?階段練習）如圖，數(shù)軸上。，A兩點的距離為12,一動點尸從點A出發(fā)，按

以下規(guī)律跳動：第1次跳動到4。的中點A處，第2次從A點跳動到4。的中點A處，第3次從4點跳動到

&。的中點A處.按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動到點4,4，&??-4（?>3,〃是整數(shù)）處，問經(jīng)過這樣2024

次跳動后的點4。24與AA的中點的距離是（）

二、填空題

7.（24-25六年級上?上海?階段練習）線段AD上有兩點8、C（不與點A、點。重合），以A、B、C、D

四點為端點，共有條線段.

8.（24-25六年級下?黑龍江大慶?期中）在直線/上順次取A,B,C三點，使得AB=8cm,BC=6cm.如

果點。是線段AC的中點，那么線段A。的長度為—cm.

9.（24-25七年級上?福建莆田?期末）如圖，點C是線段AB延長線上一點，點/為線段AC的中點，在線

BN

段BC上存在一點N（N在M的右側(cè)且N不與2、C重合），使得4AW-NB=2AB則一的值為

CN一

AMBNC

10.（24-25七年級下?湖南岳陽?開學考試）如圖，點A、B、C在同一直線上，。為AC的中點，E為AB

的中點，F(xiàn)為BC的中點，則下列說法：①EF=OC；②EF=g（AC+OB）；③EO=：（A。-03）；④

OF=^（OC+OB）,其中正確的是—.（填寫正確的序號）

AEOBFC

11.（24-25七年級下?湖南衡陽?期中）如圖，已知線段AB=27cm,AO=5cm,半徑。Vf=3cm,當點加在

AB的上方，且/族汨=60。時，點M繞著點0以每秒30。的速度在圓周上逆時針旋轉(zhuǎn)一周后停止，同時點N

從點B沿線段出向點A運動，若點M、N兩點能相遇，則點N的運動速度為cm/s.

12.（24-25七年級上?安徽安慶?階段練習）如圖，點尸在線段AQ的延長線上，且線段PQ=64,第1次操

作：分別取線段相和4。的中點2],第2次操作：分別取線段A6和AQ1的中點2,第3次操作:

分別取線段A鳥和A2的中點鳥，Q，

AaP2Bip】Q~P

（1）AQ=；

（2）連續(xù)這樣操作4次，則.

三、解答題

13.（24-25七年級下?北京順義?階段練習）補全解題過程：

己知：如圖，點C在線段上，且AC=6cm，點E和點尸分別是線段A3、AC的中點，EF=5cm,求線

段AB的長.

I1III

AFOEB

解：??,點廠是線段AC的中點，AC=6cm,

CF==cm.

QEF=5cm,

:.CE=EF-CF=2cm.

:.AE=+CE=cm.

?點E是線段AB的中點，

:.AB=2AE=cm.

14.(23-24七年級上?廣西河池?期末)如圖，點8是線段AC上一點，且AS=20,BC=6.

IIII

AOBC

(1)圖中共有一條線段；

(2)試求出線段AC的長；

(3)如果點。是線段AC的中點，請求線段02的長.

15.(24-25七年級上?浙江湖州?期末)4瓦四點位置如圖所示，請用直尺和圓規(guī)按要求完成下列畫圖

并回答問題.

D,

C.

A**B

(1)連結(jié)A3,延長A3到E,使3E=2AS；

(2)分別畫直線AC,射線AD；

(3)在射線AO上找一點P,使PC+P3最小，畫出點P,此畫圖的依據(jù)是.

16.(24-25七年級下?云南昆明?開學考試)如圖，點C在線段上，點M、N分別是線段AC、3c的中點.

AMC__NB

(1)若CN=gA2=2cm,求線段W的長度；

(2)若AC+BC=acm,其他條件不變，請猜想線段的長度，并說明理由；

17.(24-25七年級上?河北石家莊?期中)如圖，在數(shù)軸上的點M表示的數(shù)為-2,在點M的右側(cè)依次描有

點A,B,C,D,N五個點，其中MN=m,MD=NB=n,且加、〃滿足+=0,點A,C分別

是線段的中點.

??]]?1A

MABCDN

(1)求數(shù)軸上點B、D、N所表示的數(shù)；

(2)求線段AC的長.

18.(24-25七年級上?陜西渭南?期末)如圖，已知線段AB=90,C是線段A3上任意一點(不與點A,3重

合).

IIIIIIIIII

AMCNBAMCNB

圖1圖2

(1)如圖1,若N分別是AC,3