第20講線段計(jì)算技巧

專題1線段計(jì)算⑴-------直接計(jì)算

題型一理解線段的和與差

【典例1］如圖，已知AB=40,點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)點(diǎn)D為線段CB上的一點(diǎn)點(diǎn)E為線段DB的中點(diǎn),E

B=6,求線段CD的長(zhǎng).

ACDEB

變式如圖,P是線段AB上一點(diǎn),M,N分別是線段AB,AP的中點(diǎn)若AB=16,BP=6,求線段MN的長(zhǎng)

1ill1

ANMPB

題型二理解線段的和差倍分

【典例2】如圖，AE=；EB點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn),BF=求線段EF的長(zhǎng).

EF

Ilill

ABC

變式.如圖，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn),C是EB上一點(diǎn),AC=12.

若EC:CB=1:4.

(1)求AB的長(zhǎng)；

⑵若F為CB的中點(diǎn)，求EF長(zhǎng).

AFB

題型三數(shù)軸與線段中點(diǎn)

【中考演練】如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A,B表示的數(shù)分別是一19和3,點(diǎn)C為線段AD的中點(diǎn)，且BC=6BD,求

C點(diǎn)表示的數(shù).

DB

專題2線段計(jì)算⑵方程的思想

題型一由比值關(guān)系引入未知數(shù)列方程

【典例1］如圖，點(diǎn)C在線段AB上,M是AC的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn)若AC:CB=3:2,且MC+NB=12.5cm,

求MC的長(zhǎng).

I1111

AMCNB

變式.如圖，線段AB被點(diǎn)C,D分成了3:4:5三部分，且AC的中點(diǎn)M和DB的中點(diǎn)N之間的距離是40cm,

求AB的長(zhǎng).

IIII11

AMCDNB

題型二由倍分關(guān)系引入未知數(shù)列方程

【典例2］如圖，點(diǎn)B在線段AC上點(diǎn)D在線段AB上，若BD=\AB=\CD^為線段AB的中點(diǎn),EC=12,

求線段AC的長(zhǎng).

11111

AEDBC

變式.已知線段AB,反向延長(zhǎng)線段AB至C,使BC=1AB,DBC的中點(diǎn),E為BD的中點(diǎn).

(1)①補(bǔ)全圖形；

AB

②若AB=4,則AE=;

⑵若AE=2,求AC的長(zhǎng).

專題3線段計(jì)算⑶-------分類討論(1)

題型一理解點(diǎn)在直線上、點(diǎn)在線段上的含義，多解畫圖

【典例】已知線段AB=6cm,P點(diǎn)在直線AB上，且AP=4BP,M是AB的中點(diǎn)，求PM長(zhǎng).

AB

變式1.已知線段AB=10cm,直線AB上有一點(diǎn)C,且BC=4cm,M是線段AC的中點(diǎn)，求AM的長(zhǎng).

變式2.已知點(diǎn)A,B,C,D在直線1上,AB=8,CD=4,A在B左側(cè),C在D左側(cè)，若BC=2,求AD的長(zhǎng).

題型二注意分類討論

變式3.如圖，已知線段AB=4延長(zhǎng)AB至C,使AB=2BC.反向延長(zhǎng)AB到D點(diǎn)，使AC=2AD.

(1)求線段CD的長(zhǎng)；

⑵若點(diǎn)Q為AB的中點(diǎn),P為線段CD上一點(diǎn)，且BP=匏。,求PQ的長(zhǎng).

DABC

專題4線段計(jì)算(4)分類討論⑵

題型一注意動(dòng)點(diǎn)位置

【典例1］如圖，線段AB=12點(diǎn)C,D,M,N在線段AB上且AC:CD:DB=1:2:3,AM=\AC,DN=\

瓦）,求線段MN的長(zhǎng).

ACDB

變式.如圖，延長(zhǎng)線段AB到C,使BC=；AB點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)

⑴若AB=8畫圖并直接寫出BD的長(zhǎng)為;

⑵若F為BC的三等分點(diǎn),求卻勺值.

AB

題型二注意引入?yún)?shù)分類討論

【典例2】點(diǎn)A,B,C在同一直線上.

⑴若AB=8,AC:BC=3:1,求線段AC的長(zhǎng)度；

(2)若AB=m,AC:BC=n:l(n為大于1的整數(shù))，求AC的長(zhǎng).

變式.已知點(diǎn)A,B,C都在直線1上，點(diǎn)C是線段AB的三等分點(diǎn)，D,E分別為AB,BC的中點(diǎn)，直線1

上所有線段之和為91,求AC的長(zhǎng).

專題5線段計(jì)算⑸-單中點(diǎn)分類討論

題型一雙中點(diǎn)，設(shè)一個(gè)參數(shù)

【典例】（2023?黃陂）如圖，點(diǎn)C,D在線段AB上，點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)點(diǎn)N為BC的中點(diǎn),BD=5,AC=11,求

MN的長(zhǎng).

AMCDNB

題型二設(shè)兩參數(shù)，用整體代換

變式L如圖點(diǎn)C在AB上點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)AB+AC=10,求AM的長(zhǎng).

ACMB

變式2.如圖,C為線段AB上一點(diǎn),D為AC的中點(diǎn),E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為DE的中點(diǎn).

⑴若AC=4,BC=6,求CF的長(zhǎng)；_______,_____,

ADCFEB

⑵若AB=16CF,求一的值.

專題6線段計(jì)算(6}雙中點(diǎn)與整體思想(參數(shù)問題)

題型一理解中點(diǎn)的含義

【典例】如圖，線段AB上有四點(diǎn)M,C,D,N.其中M,N分別是線段AC,DB的中點(diǎn).

⑴若AB=16,MN=10,求CD的長(zhǎng)；

(2)若AB=a,MN=b(b<a<2b),求CD的長(zhǎng).

AMC-DNB

變式1.已知直線1上順次三點(diǎn)A,B,C,AB=6,BC=m,點(diǎn)M是AC的中點(diǎn).

⑴如圖1,當(dāng)m=4,求線段BM的長(zhǎng)；

(2)在直線1上一點(diǎn)D,CD=n<m,求線段DM的長(zhǎng)度(用含m,n的式子表示).

AM~BC*

題型二由特殊到一般，注意字母的代換

變式2.如圖1,已知點(diǎn)C,D為線段AB上順次兩點(diǎn)，M,N分別是AC,BD的中點(diǎn).

⑴若AB=a,CD=b(a>b),請(qǐng)用含有a,b的代數(shù)式表示MN的長(zhǎng)；

⑵如圖2,若D,C為線段AB上順次兩點(diǎn),M,N分別是AC,BD的中點(diǎn),AB=a,CD=b(a>b)請(qǐng)用含a,b

的代數(shù)式表示MN的長(zhǎng).

AMCDNB

圖1

AD~MN~CB

圖2

專題7線段計(jì)算⑺-------用數(shù)軸模型計(jì)算

題型一建立數(shù)軸模型，用坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置

【典例】(2021?江岸)如圖1,點(diǎn)C是線段AB上一定點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)A,點(diǎn)E從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)分別沿直線AB向

左，向右勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)速度的3倍，且整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中始終滿足CE=3

CD.

⑴求帝勺值；

⑵如圖2,若點(diǎn)E沿直線AB向左運(yùn)動(dòng)，其他條件均不變.在點(diǎn)D,E運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn)P,Q分別是A

E,CE的中點(diǎn)，若運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻，恰好CE=4PQ,求此時(shí)暖的值.

AD

-DACBE-口彳CPQEB

圖1圖2

題型二用絕對(duì)值表示兩點(diǎn)間的距離

變式.已知直線1上線段AB=8,線段CD=4(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)).

(1)若線段BC=2,則線段AD=

(2)如圖2,點(diǎn)P,Q分別為AD,BC的中點(diǎn)，求線段PQ的長(zhǎng)度;

⑶如圖3,若線段CD從點(diǎn)B開始以1個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)M從點(diǎn)A開始以2個(gè)單

位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N是線段BD的中點(diǎn)，若MN=2DN.求線段CD運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.

ABABPQCDAMBCND

圖1圖2圖3

專題8線段計(jì)算(8〉用數(shù)軸思想解決線段問題

題型用坐標(biāo)表示線段長(zhǎng)

【典例】數(shù)軸上有A,B,C三點(diǎn)，A,B表示的數(shù)分別為m,n(m<n)，點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)，AC-AB=2,

若點(diǎn)D是AC的中點(diǎn).

⑴求點(diǎn)D表示的數(shù)(用含m,n的式子表示)；

(2)若AD+2BD=4,試求線段AB的長(zhǎng).

變式1.如圖，線段AB的長(zhǎng)為m,點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，D為線段AB上一點(diǎn)，且AD=\BD.

ADCB

⑴圖中共有條線段；(直接寫出結(jié)果)

(2)若m=12,求線段DC的長(zhǎng)；

(3)若P為直線AB上一點(diǎn)，且請(qǐng)直接寫出?的值________.

變式2.(2023?江岸)已知C為線段AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)D,E分別為線段AC,BD中點(diǎn)

⑴如圖1,若AC=4,BC=10,求CE的長(zhǎng)；

(2攻口圖2,若AB=5CE,,且點(diǎn)E在點(diǎn)C的右側(cè)，探究線段AD與BE之間的數(shù)量關(guān)系.

A_DCEBADC-EB

圖1圖2

專題9線段與方程一定值問題

題型一注意范圍求絕對(duì)值，以數(shù)助形

【典例】在數(shù)軸上，點(diǎn)A,B分別表示數(shù)a,b,且((cz+12)2+ni-24D=0,iSAB=|a-b|.

⑴求AB的直

(2)如圖，點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)A,B同時(shí)出發(fā)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q

的速度是每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)BQ=2BP時(shí)，P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是多少？

⑶在⑵的條件下，點(diǎn)M從原點(diǎn)與P,Q點(diǎn)同時(shí)出發(fā)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，速度是每秒x個(gè)單位長(zhǎng)度(2<x<

4),若在運(yùn)動(dòng)過程中，2MP-MQ的值與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t無關(guān)，求x的值.

AOB-

題型二設(shè)時(shí)間用距離法求線段長(zhǎng)，列式或列方程

變式.在數(shù)軸上，點(diǎn)A,B分別表示數(shù)a,b,且|□0+6口+油6-10口=0,,記AB=|a-b|.

⑴求AB的值；

(2)如圖，點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)A,B出發(fā)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度是每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速

度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)C從原點(diǎn)出發(fā)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，速度是每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度.經(jīng)過多少秒，

點(diǎn)C與點(diǎn)P,Q的距離相等？

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)M從對(duì)應(yīng)-8的點(diǎn)出發(fā)沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，速度是每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度，在運(yùn)動(dòng)過程中，

MP+MC-3MQ的值是否為定值?若是，求出其值，若不是，請(qǐng)說明理由.

AOBk

專題1線段計(jì)算(1)------------直接計(jì)算

【典例1］解:：點(diǎn)c是AB的中點(diǎn)，

UCB=-AB,

VAB=40,ACB=20

???點(diǎn)E是DB的中點(diǎn)，

DB=2EB,EB=6,DB=12,

1?CD=CB-DB=20-12=8

變式.解:AP=AB-BP=10,

???AM=8,AN=5,

AMN=AM-AN=3.

【典例2】解：口5b=；4。=1.5,口4。=7.5

丁點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),???BC=2BF=3,

???AB=AC-BC=7.5-3=4.5,

UAE=\BE,UAE=\AB=\,5,

253，

???BE=2AE=3.

???EF=BE+BF=3+1.5=45

變式.解:設(shè)CE=x，則BC=4x.

(l)AE=5x,5x+x=12,x=2,

???AB=20;

(2)CF=4,，EF=6.

【中考演練】解：設(shè)D點(diǎn)表示的數(shù)為x,則C點(diǎn)表示的數(shù)為三，3-平=6(3-x)產(chǎn)1故C點(diǎn)表示的數(shù)為-9.

專題2線段計(jì)算⑵-------方程的思想

【典例1］解:設(shè)AC=3xcm,CB=2xcm,則1.5x+x=12.5,x=5,MC=1.5x=7.5cm.

變式.解:設(shè)AC=3xcm,則CD=4xcm,DB=5xcm.

???M是AC的中點(diǎn)，

13

nCM=-AC=-xcm,

VN是DB的中點(diǎn)，

\JDN=gDB=|xcm.

22

〈MN二MC+CD+DN,又MN=40cm,

35

□-x+4x+-1=40,81=40產(chǎn)5.

31

.*.AB=AC+CD+DB=12x=12x5=60(cm)

【典例2］解:設(shè)BD=x,貝！］AB=4BD=4x,CD=3BD=3x,AC=AB+BC=AB+CD-BD=4x+3x-x=6x,AE=gAB=2x,，EC=

AC-AE=4x=12,1.x=3,AC=6x=l8.

變式.解:⑴①如圖所示;②15

?______________1i?_______?

CDAEB

⑵設(shè)AB=2x,則AC=3x,

；BD=CD=2.5x,

AD=0.5x,；.DE=0.5x+2,

2(0.5x+2)=2.5jc;x=g,U/C=8.

專題3線段計(jì)算⑶一分類討論⑴

［典例］解:①點(diǎn)P在AB上,.AP=4BP=、AB=cm^4M=^AB=3cm,PM=AP-AM=cm;

②點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上,AP=4BP=^AB=%cm,

AM=；AB=3cm,PM=AP-AM=5cm.

變式1.解：/^=卜(10+4片7c機(jī)或4M=gx(10-4)=3cm.

變式2解10或14.

變式3.解:(1)AB=4,AB=2BC,；.BC=2,

AC=AB+BC=6,；AC=2AD,

AD=3,CD=AC+AD=6+3=9;

⑵：點(diǎn)Q為AB的中點(diǎn)，

□8。="8=2網(wǎng)43c=1,()當(dāng)P在B,C之間時(shí),PQ=BP+BQ=3;②當(dāng)P在A,B之間時(shí),PQ=BQ-BP=1;

；.PQ=1或3.

專題4線段計(jì)算(4)--------分類討論⑵

【典例1］解:AC=2,CD=4,BD=6.

①當(dāng)點(diǎn)N在D右邊時(shí)，MN=6；;

32

②當(dāng)點(diǎn)N在D左邊時(shí),MN*.

變式.解:(1)如圖所示2(2)

AD~BC

【典例2】解:⑴①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí).因?yàn)锳B=8,AC:BC=3:1,所以AC=6;

②當(dāng)點(diǎn)B在線段AC上時(shí)，因?yàn)锳B=8,AC:BC=3:1,所以BC=4,AC=AB+BC=12,

綜上,AC=6或12;

(2)①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，因?yàn)锳B=m,AC:BC=n:l,所以AC=當(dāng)；

?+1

②當(dāng)點(diǎn)B在線段AC上時(shí)，因?yàn)锳B=m,AC:BC=n:1,所以BC=々,AC=AB+BC=m+^=9.

綜上，或告口

n+ln~\

變式.解：所有線段條數(shù)為：竽=10(條)，如圖1.

ACDEB

圖1

ADCE~B

圖2

設(shè)CE=x，則x+0.5x+0.5x+x+x+1.5x+2x+3x+1.5x+2x=91,x=6.5,AC=6.5;如圖2,

設(shè)BE=x,

貝!](3x+4x+5x+6x)+(x+2x+3x)+(x+2x)+x=91/=i2C=13,綜上AC=6.5或13.

專題5線段計(jì)算⑸-------單中點(diǎn)分類討論

【典例】解:設(shè)CD=x，點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，口2,B'N2，

□MN=5+ll+x---—=8.

22

變式1.解:設(shè)AC=x,CM=y,x+2y+x=10,x+y=5,/.AM=5.

變式2.解:⑴；D為AC中點(diǎn)口/。=8=爾2=2,；￡為BC中點(diǎn),；.CE=BE=:BC=3,；.DE=DC+CE=5,又：F

為DE中點(diǎn),□DF=；DE=”CF=DF-DC=^~2=^;

⑵①當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C右側(cè)時(shí).設(shè)AD=CD=x,CE=BE=y，則DF=；DE=；(x+y),CF=DF-DC=^(y-x),XAB=16CF可

得2(x+y)=8(y-x),5x=3%口卷=等=(;

33

②當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C左側(cè)時(shí),CF=DC-DF=；(尤-y),□霽=g；

2￡>CJ

綜上端三或I

專題6線段計(jì)算(6)------------雙中點(diǎn)與整體思想(參數(shù)問題)

［典例］解:(1)AM+BN=16-10=6,CD=MN-6=4;

(2)AM+BN=a-b,MC+DN=a-b,CD=MN-(MC+DN)=b-(a-b)=2b-a.

變式1.解:⑴BM=1;

(2)W=3+g-"或3+g+”.

變式2.解:⑴AC+BD=AB-CD=a-b則CM+￡W=：(/。+8。)=拶，故MN=CD+CM+DN=b+;

⑵由題意得:AM+MN+NB=AB=a，因?yàn)镸,N分別是AC,BD的中點(diǎn)，所以AM=MC,BN=DN,所以MC+MN+DN=

AB=a.又因?yàn)镸C=MN+NC,DN=DM+MN,所以3MN+NC+DM=a.因?yàn)镈M+MN+NC=CD=b，所以CD+2MN=b+2MN=a.

所以MN=g

專題7線段計(jì)算⑺--------用數(shù)軸模型計(jì)算

【典例】解：(1)設(shè)AD=t,BE=3t,CD=x,CE=3x,則CA=x-t,AB=3x-3t+x-t=4x-4t,J—=-^-!-=1；

AB4x-4t4

(2)點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過程中均有尸。=：AC,貝1|CE=4PQ=2AC,令A(yù)C=1,貝UAB=4,BC=3,EC=2,

①當(dāng)E在C右側(cè)時(shí),BE=\AD=\,口.=1；

5AD12

②當(dāng)E在C左側(cè)時(shí)，BE=5^LD=l，*

變式解:⑴10或14.

(2)；P,Q分別為AD,BC中點(diǎn),

QPD=\AD,QC=\BC.

".?PQ=PD-QD,

nPQ=^AD-(QC+CD>)=^AB+BC+CD)-&BC+CD)=^^.

又：AB=8,CD=4,

8-4

DPQ=—=2.

34

(3)假設(shè)A為原點(diǎn)，則A:0