浙江省金華十校2024-2025學年高二下學期期末調研考試數(shù)學試題

一'單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知i為虛數(shù)單位，(1+y=()

A.-2iB.2iC.2-2iD.2+2i

2.已知集合A={1,2,3},B=(x\y=lg{x-1)],則ACB中元素的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

3.如圖，等腰梯形2BCD為某圓臺的軸截面，滿足AB=2BC=2CD=4,則該圓臺的體積為

()

「7^/3n8V5

J.-3~u-3~"

4.已知sin2a=貝！JsiM(戊+g=()

A1B1C3D9

A-To5C-5u-To

5.已知向量{五，耳是平面內(nèi)的一組基底，則“落石的夾角為銳角''是2.b>0”成立的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

已知實數(shù)正方形滿足||久軸

6.a>1,PQRSPQ,且P,Q,R分別在y=/。。。久，y-^logax,y=

5切坂久的圖象上，若正方形PQRS的面積為36,貝!!a=()

A.V3B.V3C.V2D.^2

7.如圖所示的九宮格中共有4X4=16個格點，若在其中任取3個格點，恰好能構成三角形的取法

共有()種.

A.528B.524C.520D.516

8.某平面四邊形ABCD中，AB=2V2,BD=2,乙ABD=ZACD=J,設“AC=0,0G(。用?當

△BCD的面積取得最大值時，。的值為()

A-IB-IC.吉D?今

二'多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.

9.已知實數(shù)a>0,b>0,且a+b=2,貝ij()

11

A.a>l,b<1B.ab<1C.a-b>—2D.+-i<2

10.下列命題正確的是()

A.若事件A,B相互獨立，則PQ43)=P(4)?P(B)

B.若P(4)=\P(B)=]PQ4B)=]貝!JP(B|A)=V

C.已知隨機變量X?N(2R2),且P(1.5WX<2)=0.36,則P(X22.5)=0.14

D.線性相關模型中，相關系數(shù)r越大，兩個變量的線性相關程度越強

11.定義在R上的非常數(shù)函數(shù)/(%)滿足/O+y)=/(%)f(l—y)+/'(l—%)f(y),且f(0)=0,則

()

A.f(1)=0B.久=1是門>)的一條對稱軸

C.-%)<|D.f(l)+f(2)+f⑶+…+f(2025)=1

三'填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.95除以8的余數(shù)為.

13.若丫=%+a是曲線y=?的切線，則。=.

14.在正方體ABCD—中，AB=2,點E,F,G分別為DD「的中點，點P在線

段EF上運動(不包括端點)，過G,P,%的平面截正方體所得的截面周長的取值范圍是.

四'解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明'證明過程或演算步驟.

15.2025年3月9日，國家衛(wèi)生健康委員會在第十四屆全國人大三次會議民生主題記者會上表示，

實施“體重管理年”3年行動.某公司為了響應國家號召，收集了總共100名30-40歲之間員工的BMI

指數(shù)(BMI=體重+身高2(切/血2)),繪制成如下圖的頻率分布直方圖.若該公司超重的人數(shù)占40%.

(BMI>24為超重)

木頻率/緬巨

0.4卜------r

/

S

S

12

OS.08

04

o\21222324252627BMI

(1)求實數(shù)s,t的值，并求該公司員工BMI指數(shù)的眾數(shù)；

(2)該公司把超重的員工按性別單獨做了統(tǒng)計，補全下面列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值a=0.1的獨

立性檢驗，分析超重是否與性別有關.

性另u正常超重合計

男20

女20

合計100

2

附:列聯(lián)表參考公式:2______7i(ad—bc)_____,其中九=a+b+c+d.

X—(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)'八

臨界值表:

P(z2

0.1000.0500.0250.0100.001

k。2.7063.8415.0246.63510.828

16.已知AZBC為銳角三角形，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a?+M一°2=.,

⑴求C；

(2)若a=2遮,求△ABC面積的取值范圍.

17.如圖1所示，四邊形BCDE滿足BC||DE,過點B作BA1DE,點4在線段DE上，且滿足BC=

V3XB=340=3,將小4BE沿直線AB翻折到△PAB的位置(圖2),PB1AC.

(1)求證：AB1PD；

(2)若PD=2,求平面PBC與平面ZBCD夾角的余弦值.

18.已知函數(shù)/'(K)=(1-a)lnK+§+K，其中a>0.

(1)當a=2時，求/(%)的單調遞增區(qū)間；

(2)若/■(久)22恒成立，求a的取值范圍；

(3)試比較2.8與em4的大小并證明.

19.某實驗室對某二進制數(shù)碼串傳輸進行測試，初始二進制數(shù)碼串是長度為"5CN*)的且全部由0

組成的數(shù)碼串.傳輸過程中，每位數(shù)碼以概率P傳輸記為3以概率1-p傳輸記為I,其中0<p<

1,每位數(shù)碼的傳輸相互獨立，并設事件4為“傳輸結果各位數(shù)字之和為偶數(shù)”的事件.

(1)當P=1時，求P(4);

(2)證明：對任意的正整數(shù)n,有p(/)=1+(2尸71；

(3)在傳輸結果中任取一位數(shù)碼，記“取到1”的事件為B,問：P(B|是否存在最大值？若存

在，求出使P(BI4J取到最大值的正整數(shù)期若不存在，請說明理由.

答案解析部分

L【答案】B

【解析】【解答】解：(1+M展開得:

(1+i)2=I2+2x1xi+i2

因為產(chǎn)=-1

所以f+zxlxi+i2=2i

故答案為：B.

【分析】本題考查虛數(shù)的運算，利用完全平方公式展開復數(shù)表達式，再結合虛數(shù)單位i的基本性質

』=-1進行化簡，從而得出結果.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：由對數(shù)型復合函數(shù)的定義域概念可得：%-1>0,即久>1,

所以B={x\y-lg(x-1)}={%I%>1),

所以4nB={2,3},兩個元素，

故答案為：C.

【分析】先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域求出集合B,再通過交集運算求出4CB,最后確定其中元素的個

數(shù).

3.【答案】C

【解析】【解答】解：易知上底面圓的半徑r=/CD=1,下底面圓的半徑R=/48=2,

設圓臺的高為h,則八=qAD?—(R—r)2=,22—(2—1)2=8.

故答案為：C.

【分析】首先要計算圓臺的體積，需先根據(jù)軸截面(等腰梯形)確定圓臺的上、下底面半徑和高，

再代入圓臺體積公式求解.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：由s譏2a=則s譏2卜+勺=1-嗎2a+勺=l+s；n2a='=益

故答案為：D.

【分析】本題需要利用三角函數(shù)的降嘉公式和誘導公式，將sin2(a+》進行轉化，再代入已知條件

sin2a=［計算.

5.【答案】C

【解析】【解答］解:?向量{區(qū)可是平面內(nèi)的一組基底，.?.向量市至不共線.

由落石的夾角為銳角可得cos優(yōu)可＞0,所以五7=|訃問cos但》＞0,所以北,加的夾角為銳角”

是，7＞0”成立的充分條件；

由蒼.1＞0可得方,石=|如同cos但后)〉0,即cos何3)＞0.

又向量優(yōu)加不共線，所以濟石的夾角為銳角，“落3的夾角為銳角“是"不＞0”成立的必要條件.

綜上，“濟B的夾角為銳角”是先不＞0”成立的充要條件.

故答案為：C.

【分析】由基底性質得區(qū)后不共線，再依據(jù)數(shù)量積公式五4=I畫面cos值同，分別推導“夾角為銳

角”與“本方＞0”的互推關系，判斷條件類型.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：因為PQ〃無軸，點P,Q,R分別在y=logax,y=2\ogax,y=51ogax±,

所以10ga孫=21ogaX0,化簡得久p=哈

而％Q=xR,因為正方形的邊長相等，所以PQ=QR,

即陣一稅|=|51ogaxR-21ogax(3|,

化簡得用一稅|=|51ogaXQ-21ogax(?|=|loga%||.

因為正方形的面積為36,所以邊長為6,

所以用-XQ\-|logax^|=6,解得和=3,

所以|loga3|=2,又a＞l,所以a=舊.

故答案為：A.

【分析】設出P、Q、R的坐標，根據(jù)PQ11%軸得縱坐標關系，結合對數(shù)運算化簡得到坐標間聯(lián)系，

然后利用正方形邊長相等(PQ=QR)和面積求出邊長，建立關于和和a的方程，進而求解a.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：從16個點中取3個點共有C；6=1黑&4=560種情況，

①四點共線的有10種情況，從共線的4個點中取3個點都不能構成三角形，

所以在四點共線的情況下不能構成三角形的取法共有10盤=40種情況，

②三點共線的共有4種情況，所以不能構成三角形的取法共有4回=4種情況，

所以能夠成三角形的取法共有560-40-4=516種情況.

故答案為：D.

【分析】本題通過間接法計算能構成三角形的格點取法，先求出從所有格點中任取3個點的總取

法，再減去不能構成三角形(即三點共線或四點共線中取3點)的取法，從而得到結果.

8.【答案】B

B,

【解析】【解答】解:

在AABD中，由余弦定理得,

AD2=AB2+BD2-2AB-BD-cos^ABD=8+4—2x2魚X2X^=4

所以40=2,

因為48=2V2,BD=2,

所以AB?=BD2+人。2,所以

CD_AD

在△ACD由正弦定理得,

sinzCXD-sinZ-ACD

2xsin6

所以。C=2V2sin0

S嗚

因為ZBZJC=7i-0-^-^=^-8

4Z4

所以S"CD=《DC?BD?sinZ-BDC=2V2sin0-sin

=2sin*s”2sin2”sin2”2x匕詈空

=sin20+cos20-1=V2sin(2d+勺一1,

因為ee（0用所以26+1C（京竽）所以當2。+1=（即”（時,

sin（26+=1此時△BCD的面積取得最大值.

故答案為：B.

【分析】本題需通過解三角形（余弦定理、正弦定理），將△BCD的面積表示為關于。的三角函數(shù),

再利用三角函數(shù)的性質求面積最大時。的值.關鍵步驟：先在△48。中求4。及角的關系，再在△4CD

中用正弦定理表示OC,最后推導面積表達式并求最值.

9.【答案】B,C

【解析】【解答】解：A、取a=0.5/=1.5,滿足a>0,b>0,且a+b=2,不符合aNLb〈

1.A錯誤.

B、由a>0,b>0,且a+b=2,由基本不等式可得.=（竽）=1，當且僅當a=b=1取到等

號，B正確.

C、由a+b=2可得a=2—b,結合a>0,故0<b<2,—4<—2b<0,則a—b=2-2b>

—2>C正確.

D、工+：>2結合就〈1,故*晨2工>2,當且僅當a=b=l取到等號，D錯誤.

故答案為：BC.

【分析】A、通過構造具體的a、力值(滿足a+b=2但不滿足a'l且),利用舉反例法否定

結論.

B、依據(jù)基本不等式abW(竽y(a,b>0,等號當且僅當a=b時成立)，代入a+b=2,直接推

導ab的最大值，判斷不等式是否成立.

C、先由a+b=2變形得到a=2-b,結合a>0確定匕的取值范圍(0<b<2),再通過代換將

a-b轉化為關于b的表達式(2-26),最后利用不等式性質推導a-b的范圍，判斷結論.

D、先對工+看通分變形為縹，結合a+b=2轉化為與，再依據(jù)選項B中的結論，利用不等

ababab

式性質推導工+1的范圍，判斷不等式是否成立.

ab

10.【答案】A,C

【解析】【解答】解：A、若事件A,B相互獨立，則P(AB)=P(A)-P(B),A選項正確；

1

1-1

11則

⑻W力6

2-1-6-=---

yp(p(5)JJp((B13

-

2

C、已知隨機變量X?N(2R2),且P(1.5wX<2)=0.36,所以P(XW1.5)=0.5-0.36=0.14,

所以P(X>2.5)=P(X<1.5)=0.14,C選項正確；

D、若變量％,y的樣本相關系數(shù)⑶越接近于1,則久，y的線性相關度越大，D選項錯誤；

故答案為：AC.

【分析】A、根據(jù)獨立事件的定義，判斷其概率乘法公式是否成立.

B、運用條件概率公式P(B|A)=2黑，代入數(shù)據(jù)計算并驗證.

C、借助正態(tài)分布的對稱性(以均值〃=2為對稱軸)，結合已知概率推導目標概率.

D、明確線性相關系數(shù)|r|與線性相關程度的關聯(lián)(|川越趨近于1,線性相關越強)，判斷命題正誤.

11.【答案】B,C,D

【解析】【解答】解：A、賦值y=0,原等式變?yōu)椋篺(x+0)=f(%)f(1-0)+/(I-x)f(0),代入

/(0)=0,得:=因fO)是“非常數(shù)函數(shù)”(不恒為0),故f(l)=l(若)(%)不恒

為0,等式兩邊約去fQ)),A錯誤；

B、賦值y=1,原等式變?yōu)椋?(%+1)=-1)+f(l-%)f(l),代入f(0)=0、f(l)=1,

得/(%+1)=/(I-%)

由函數(shù)對稱性定義：若+%)=f(a-x),則x=a是對稱軸。此處。=1,故％=1是對稱軸，B

正確；

C、令y=1—x,得f(1)=/2(x)+f2(1—x)=1,

則/(久)/(1—x)W乙”￥止回吳，當且僅當f(x)=f(17)=土?時等號成立，C正確；

ZZ乙

D、令y=—x,得/'(0)=/(x)f(l+x)+f(1-%)/(—%)=0,

因為/(久+1)=/(I-x)?所以/(I+%)-[/(%)+f(-x)]=0,

則/(久)+/(-%)=0,=-/(%),

則/(久+2)=/(-x)=-fix),故/(%+4)=-/(x+2)=/(x),

所以函數(shù)八支)是一個周期為4的周期函數(shù)，

由/(%+2)=-/(%),/(0)=0,/(I)=1,

則〃2)=f(0)=0,?⑶=-/(I)=-1,八4)=一/⑵=0,

則f(l)+f(2)+f(3)+/(4)=0,

則/⑴+/(2)+/(3)+-?-+/(2025)=506-[/⑴+f⑵+f(3)+/⑷]+/(I)=1,D正確.

故答案為：BCD.

【分析】A：通過賦值y=0,結合“非常數(shù)函數(shù)不恒為0”推導f(l)；

B：賦值y=1,利用“/(a+x)=f(a-%)”判斷對稱軸;

C、賦值y=1-%,可得尸(久)+尸(1-久)=1,進而結合重要不等式即可判斷C；

D、賦值y=-x可得/(-久)=-f(x),進而得到函數(shù)〃久)是周期為4的周期函數(shù)，進而求解判斷D.

抽裳見：|改版F足

12.【答案】1

【解析】【解答】解：由二項式定理可知：95=(8+I)5=85+d84+C?83+Ch2+C58+1=

.??95除以8的余數(shù)為1.

故答案為：1.

【分析】本題要計算95除以8的余數(shù)，可將9轉化為8+1,然后利用二項式定理展開，根據(jù)展開

式中各項與8的倍數(shù)關系，確定余數(shù).

13.【答案吟

【解析】【解答】解：設直線y=x+a與曲線y=?相切的切點為Oo,A），

由y=?,求導得y'=々%則2^^-1,解得久o=：,

由切點在直線y=x+a上，得J而=%o+a,所以a=J焉一%（）=今

故答案為：!

【分析】本題要解決直線是曲線切線時求參數(shù)a的值，需利用導數(shù)的幾何意義（函數(shù)在切點處的導

數(shù)等于切線的斜率），先設出切點坐標，通過求導得出切線斜率，結合已知切線斜率列方程求出切

點橫坐標，再將切點代入切線方程求出a.

14.【答案】（5+低4V可

如圖所示，當點P為線段EF中點時，截面為DiGBH,其中月為Z4中點，周長為4強；

當點P為線段PoE內(nèi)部時，截面為。母〃，其中G/,DJ平行且相等，平行且相等，2=GE<

GI<GB=近,1]=后

周長取值范圍是（4+2返,4V5）,

當截面為GKLDi（其中GK,DiL平行，且K,L分別在棱CB,DA上）時，周長大于且可以任意接近于四

邊形GCDQ的周長5+而，

但小于等于四邊形GMADI的周長.

當截面為GNRQ4（其中GN,OiQ平行，N,Q分別在線段MB,/M上，R在線段AB上，NR,D]Q交于DA

延長線上的一點。）時，

方法一：

如圖所示，利用初中幾何知識可證路徑GNRQA長度在路徑GAMA和路徑GBHDi之間,

截面GNRQ4的周長介于四邊形GAMDi的周長與截面DiGBH的周長之間，

綜上，過G,P,Oi的平面截正方體所得的截面周長的取值范圍是（5+遮,4世].

方法二：

設CN=KC[1,2],DO=2X,AO=2X-2,NB=2—x,GN=+久2,

。1。=2GN=2〃+/,

21￡-2A-A-12舊口業(yè)=絲=在二=七1_2(%-1)

DyO~DO~2x~x'DrQ=—'DD1OD2xx'QA—---

ARAO2%—2AR2.x-2.n4%—4nno4n4-2.x

RB=NB=^'AB=^T'AR=k'RB=2—AR=M，

NR=<NB2+RB2=J(2-%)2+=(2—%)

/4-4x\2+4(X-1)2_2/5(x—1),

RQ=J/M2+Q42

\xJx2-x

2

截面GNRQA周長為￡)iG+GN+NR+RQ+QD1=VS+Jl+x+(2-久)Jl+今+2店廣)+

/(x)=V5+Vl+x2+(2-x)J1+++2氣T)+2J；久2,

'/rx——/r——/

f(%)=X(X2+1)2+2(/+1x)2—(1+

2

=+JX+1

X+

J#+1_|_1

X2%2+1

i+2

X2+1x+l%

支2+2%一久2—1+

xjx2+1

函數(shù)〃久）單調遞增，所以截面GNRQD1的周長介于四邊形GAL4D1的周長與截面D1GBH的周之間,

所以，過G,P,%的平面截正方體所得的截面周長的取值范圍是（5+強,4A/同.

故答案為：（5+V5.4V5].

【分析】本題圍繞正方體截面周長取值范圍，需結合正方體結構，分析點P運動時截面的變化情

況，然后利用幾何直觀與函數(shù)單調性，通過研究特殊位置（中點、端點附近）的截面形狀，推導周

長的最值，確定取值范圍.

15.【答案】(1)解：由該公司超重的人數(shù)占40%可得(t+0.12+0.08)X1=04,解得t=0.2,

由頻率分布直方圖可得(0.04+s+0.4+0.2+0.12+0.08)X1=1,解得s=0.16,

由頻率分布直方圖可知BMI指數(shù)為(23,24］時頻率最高，則眾數(shù)為235

綜上所述:s=0.16,t=0.2,眾數(shù)為23.5.

(2)解：由(1)可知超重的總人數(shù)為100x0.4=40,則補全列聯(lián)表可得下表:

性別正常超重合計

男402060

女202040

合計6040100

零假設為Ho：性別與超重無關聯(lián)，根據(jù)殘聯(lián)表中的數(shù)據(jù),

2

經(jīng)計算得至—$*=畀2.777>2.7。6

根據(jù)小概率值a=0.1的獨立性檢驗，我們推斷/不成立，即認為性別與超重有關聯(lián).

【解析】【分析】(1)由頻率分布直方圖的性質，根據(jù)題目中所給的頻率，建立方程，可得答案;

(2)先由超重頻率求出超重總人數(shù)，補全列聯(lián)表，再代入獨立性檢驗公式計算與臨界值比較，判

斷超重與性別是否有關.

(1)由該公司超重的人數(shù)占40%可得(t+0.12+0.08)X1=04,解得"0.2,

由頻率分布直方圖可得(0.04+S+0.4+0.2+0.12+0.08)X1=1,解得s=0.16,

由頻率分布直方圖可知BMI指數(shù)為(23,24］時頻率最高，則眾數(shù)為235

(2)由(1)可知超重的總人數(shù)為100X0,4=40,則補全列聯(lián)表可得下表：

性別正常超重合計

男402060

女202040

合計6040100

零假設為Ho：性別與超重無關聯(lián)，根據(jù)殘聯(lián)表中的數(shù)據(jù),

經(jīng)計算得到「黑磊心普=2.777>2.7。6

根據(jù)小概率值a=0.1的獨立性檢驗，我們推斷為不成立，即認為性別與超重有關聯(lián).

16?【答案】(1)解：由余弦定理，c2=a2+b2—2abcosC^

結合題意得cosC=I，

解得：c=*

7T0<A<^仃

⑵解：由題意得，△力BC為銳角三角形，。=今貝必27rz=1<力<

§（0<3=等_4<,。

rh正狂牛押彳早a_b_.即2點=b=_c_h=竺吧置刊

寸sin/-sinB~sinC,sinAs譏俘―/）si嗎sinA，

cosA+，sin4

3V39

sinA2+2tanA

■■■AE^,^.-.tanAe停+8”0<焉<點

（等6到

S^ABCe

【解析】【分析】（1）用余弦定理，結合已知邊的關系，直接求解角C；

（2）由正弦定理，可得入=2月s譏?？?貝瓦楹=^absinC=孥+方工，然后由人G，芻可得

答案.

（1）由余弦定理,c2=a2+b2—2abcosC9

結合題意得cosC=J,即。=冬

°<^<??！?/p>

⑵由題意，AABC為銳角三角形，c=條則

0<B=竽_4<廠汗牙.

abc即2丹_b_cI_275s譏俘-4）

由正弦定理得

sinA-sinB-sinC'sinA~s現(xiàn)冬-4）一s看一sinA

—A7T-A

S^ABC"八另行?sin-^

乙乙sinAsinA

cosA+^sinA

9

sinA2+2tanA

7T衛(wèi)'停+8）n0<焉<8:C

???A6???tanAES"BC

6'Z

17.【答案】（1）證明：由翻折的性質，可得力314。，且4B14P

因為ADCAP=4且AD,APu平面ADP,所以ABJ■平面ADP,

又因為PDu平面ADP,所以AB1PD.

(2)方法一：解：連接AC,BD交于點4,

在直角△ABC中，可得tanzBAH=船=VL

在直角△4BC中，可得tan乙4DH==暫，

所以ZB力"=60°,^ABH=30°,所以4C1BD,

又因為4clpB,且PBCiBD=B,PB,BDu平面POB,所以ZC1平面PCB,

因為PDu平面PDB,所以4C1PD

由（1）知：AB1PD,^.ABC\AC=A,AB,ACc^-^ABCD,所以PD1平面4BCD,

因為BCu平面ABCD,所以PD1BC,

作DEIBC,連接PE,因為PDCDE=。，且PD,DEu平面PCE,

所以BC1平面PDE,又因為PEu平面PQE,所以BC1PE,

所以乙PED為平面PBC與平面ABC。所成二面角的平面角，

在直角APDE中，可得tanzPEZ)=器=專，所以coszPED=g=

方法二;解：以點4為原點，以所在直線分別為%軸和y軸，建立空間直角坐標系,

如圖所示，可得4（0,0,0）,B（V3,0,0）,C（V3,3,0）,D（0,1,0）,

由(1)知的工平面/小，所以平面ABCD的法向量為五=(0,0,1),

9(0"，則黑靄°，即解得心，即PE,

設平面PBC的法向量為無=(x,y,z),且前=(0,3,0)，BP=(-V3,1,2)

則倒匯:’即｛-岳fz=。,取”=2,可得y=0,z=倔所以芯=(2,。,⑹,

設平面PBC與平面4BC。所處二面角的平面角為d則IcosOI=緇顰=祟=璋.

I幾111幾2l1-V7/

【解析】【分析】(1)利用翻折性質(垂直關系不變)，結合“線面垂直判定定理”(力B1平面

ADP),推導ZB1PD.

(2)通過空間直角坐標系，確定各點坐標，利用“向量垂直條件”(PB1AC)求P點，再求兩平

面法向量，用法向量夾角公式計算二面角余弦值.

M^見：|改版F足

(1)證明：由翻折的性質，可得4B140,且ZB14P

因為ADnAP=4且AD,APu平面ADP,所以AB1■平面ADP,

又因為POu平面ZCP,所以1PD.

(2)解：方法一：連接AC,BD交于點H,

在直角△ABC中，可得tcmZBAH=黑=舊，

在直角△ABZ)中，可得tcmZADH=券=,，

所以NB4H=60。，AABH=30°,所以4C1BD,

又因為ACJ_PB,且PBC)BD=B,PB,BDu平面PDB,所以4C_L平面PDB,

因為POu平面PDB,所以ZC1PD

由(1)知：AB1PD,且力BClAC=A,AB,ACu平面ABCD,所以PD_L平面ABC。，

因為BCu平面ABC。，所以PD1BC,

作OE1BC,連接PE,因為PDCDE=D,且PD,DEu平面PDE,

所以BC1平面PDE,又因為PEu平面PDE,所以BC1PE,

所以ZPED為平面PBC與平面力BCD所成二面角的平面角，

在直角APDE中，可得tcm/PEO=黑=套，所以COSNPED=*=妥

法二：以點A為原點，以48,4。所在直線分別為K軸和y軸，建立空間直角坐標系，

如圖所示，可得4(0,0,0),B(V3,0,0),C(V3,3,0),D(0,1,0),

由(1)知AB1平面4DP,所以平面4BCD的法向量為汨=(0,0,1),

設P(OMb)，則｛至：°，即愕生家口解嘴片，即尸(°」2),

設平面PBC的法向量為族=(x,y,z),且尻=(0,3,0)，BP=(-V3,1,2)

則愣言二:’即｛-岳f=0,取久=2,可得y=0,z=g，所以五=(2,0,8),

設平面PBC與平面力BCD所處二面角的平面角為仇則|cos0|=燃鬻=疤=浮.

lnirln2l177/

ZA

FL

18.【答案】(1)解：函數(shù)/(%)=(l—a)ln%+羨+%的定義域為(0,+8),當。=2時，/(%)=

7H--2FX9

-ITIXX

求導得f'(%)=-1一今+1=一久二1+久2=("―2J"+D，

由，(久)>0，得久e(2,+8),

所以函數(shù)〃久)的單調遞增區(qū)間是(2,+8).

(2)解：由題意得，/(%)=上工_芻+1=避土(1丁)尤-。=8―嗎尤+1),。>0,

xx乙x乙x乙

當0<%<。時，/(%)<0;當工〉。時，/'(%)>0，函數(shù)/(%)在(0,a)上遞減，在(a,+oo)上遞增,

/(%)min=/(")=(1-a)lna+1+a,由/(%)>2恒成立，得(1-a)lna+1+a>2恒成立，

貝(J(1—a)lna+a—1>0,即(a—l)(Zna-1)<0,解得1<a<e,

所以。的取值范圍是[1,e].

(3)2.8<e104,

證明：由(2)知，當a=e時，/(x)=(1—e)lnx+^+x>2,即仇久〈百字

e+2.8—2e2f+0，8_1],0.8.

令x=2.8,有機2,8<番而e>2.71,

e—1e-1-2.8十2.8(e—l)十e—]

克+W=l)+翳(表+募m+益<6358+0.209+0.468=1,035<1.04,

貝IJm2.8<1.04,兩邊取對數(shù)得2.8<e104,所以2.8<e104.

【解析】【分析】(1)代入a=2,求導后解導數(shù)大于0的不等式，確定單調遞增區(qū)間.

(2)求導分析函數(shù)單調性，得最小值表達式，結合恒成立條件解不等式，確定a的范圍.

(3)利用(2)中結論，取特定a值得到不等式，代入久=2.8放縮證明數(shù)值大小.

(1)函數(shù)/(%)=(1-a)lnx+：+x的定義域為(0,+8),當a=2時，/(x)=-Inx+-+X,

XX

求導得f'(%)=—/-5+1=-1)，

由/(久)>0，得久e(2,+8),

所以函數(shù)/(x)的單調遞增區(qū)間是(2,+8).

(2)依題意，f(x)=_芻+]=二+qy_a=(七口)尹1),。>0,

'''%%2%2%2

當0<%<。時，/(%)<0;當光〉。時，/'(%)>0，函數(shù)fQ)在(0,a)上遞減，在(見+8)上遞增,

/(x)min=/(。)=(1-a)lna+1+a,由/(%)>2恒成立，得(1-a)\na+1+a>2恒成立，

則(1—a)lna+a—1>0,即(a—l)(Zna-1)<0,解得1<a<e,

所以。的取值范圍是［1,司.

(3)由(2)知，當a=e時，/(%)=(1-e)lnx+^+%>2,即加％V莖上工

x—e—1

令久=有另+2，-2e2于+08_11,0?8.

2.8,m2.8<而e>2.71,

-e—1e-1—2.8十2.8(e-l)十e-1

11no-11no

Z8+W=l)+口<9+Z85CL7T+171<°.358+0.209+0.468=1,035<1.04,

貝lj仇2.8<1.04,兩邊取對數(shù)得2.8<e104,所以2.8<e104.

19.【答案】⑴解：pg)=($管)+(|)(|)G)=lx捺+3x余芳

(2)證明：傳輸結果各位數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為P(W；)=*pnT(l-p)+C沏n-3(i—p)3+

傳輸結果的數(shù)碼個數(shù)為偶數(shù)的概率為P(An)=CM+C*2(1_p)2+…，

由「西+P(4J=1,

P(4)-尸(廄)=C.-盤pn-l(l_p)+d(l-p)2+…+L(1-p)n

=(p—(1—p))n=(2p—l)n

P6):小小

(3)解：當;<p<l時，P(BI不存在最大值；當「=凱寸，P(B|An)恒為常數(shù)；當0<p<2

時，P(B|4J在n=2時取到最大值.理由如下：

024

P(.BAn)=C°(l-p~)°pn-—+鬣(1一p)2pn-2—+C^(1-p)4pn-4—+?■?

_135

P(%)=喋(1一p>pnT--+C^(l-p)3pn-3--+臂(1-p)5pn-5-+???

_n01nn

P(B4n)+P(BAn)=C°(l-p)°p-—+―(1-p)ipZ?—+??-+縊(1-p)p°?—

n卜n

=WC[(l-p)①….五=WCt二Ml-p)kpn-k

k=lk=l

n

=(1—p)W^n-1(1—p)fe-1pn-fe=1—p

k=l

01XL

n0

P(BAn)-P(BAn)=C0(l-p)°pP)9T?五+…+(-1嚴嬴(1-pVp--

n卜n

=WC《(p-,五=W然二t(P-l)kpn-k

k=lk=l

n

=(p—1)W^n-1(P—l)fc-1pn-/c=(p—l)(2p—l)n-1

k=l

l-(2p-1尸

P(BA—(l-p)+(p-l)(2p-l尸

=(1-p)2

r

尸(B4Qi—3l-(2p-1尸

P(B|A)n/(n)(1-p)-

n1+(2p-l)1+(2p-l)n

2

記/(n)=(1-p)?

l+(2p-l)n

J(n+1)=(l-(2p-l)”)(l+(2p-l)")=_____________l-(2p-l產(chǎn)_________

“f(n)(l2p—l尸)(l+(2p—l嚴)l-(2p-1產(chǎn)+(2p-l尸(2p-2)(2p)

①當p=‘時，/(n)=I，

②當J<p<1時，(2p-I)"-1>0,需J>1,即f5)單調遞增，P(B|人力不存在最大值.

乙JI，I)

③當0<p<2時，(2p—l)nT正負無法確定，

當n為奇數(shù)時，與W>L當幾為偶數(shù)時，笑?<1，

要使f(n)取到最大值，n應取偶數(shù)，記1-2p=4,Ae(0,1),

2-11

e,?、、1一(-;I產(chǎn)T1+A"r.、<+/"+1-^/I1-A\

/(2n)=(1—p)—~=(1—p)------=(1—P)-------------2^~~=(1一P)(7---------2?i+l，

1+(-a嚴i+rni+rnvza+鏟

0<A<1,

.?"(2①單調遞減，/(2n)<f(2)=(1—p)j；2P=笈宴,

l+(2p-l)2pz-2p+l

綜上所述：

當;<p<l時，P(BI4J不存在最大值：

當p=:時，P(B|4)恒為常數(shù)會

當0<p<凱寸，P(B|An)在九=2時取到最大值宗警

【解析】【分析】(1)：利用獨立重復試驗概率公式，枚舉“和為偶數(shù)”的情況(0個1或2個1)計

算.

(2)：通過二項式定理，構造P(4J與P(鼠)的和差關系，聯(lián)立求解得通項.

(3)：用條件概率公式拆分P(B140,構造函數(shù)f(n),結合2p-l的符號分類討論單調性，確定最

大值.

抽查意見：改編不足

⑴pg)Tiy+氟寸(吳芳

(2)傳輸結果各位數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為人觀)=盤「吩1(1_p)+C汕口1—「)3+…，

傳輸結果的數(shù)碼個數(shù)為偶數(shù)的概率為=CnVn+C*2(i一「)2+…，

由P(%)+PQ4n)=l,

nn

P(An)-P(4n)=CnP~黨嚴1(I一P)+鬣嚴2(1-p)2+…+-p)

=(p—(1—p))"=(2p—]嚴

叫)=半旦?

⑶P(BAn)=C°(l-p)°pn-^+f2(l_p)2n-2.Z_)4n-4-^+???P(BA^)=

p+C4Qpp

1