圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題

（3知識(shí)點(diǎn)+7大題型+思維導(dǎo)圖+過關(guān)檢測）

知識(shí)點(diǎn)01：橢圓與雙曲線的中點(diǎn)弦與點(diǎn)差法

1、根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)

的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；

2、點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐

標(biāo)和斜率的關(guān)系,

22

具體如下：直線/（不平行于y軸）過橢圓二+臺(tái)=1（。>6>0）上兩點(diǎn)/、B,其中48中點(diǎn)為尸（X。，為），

ab

則有kABKp二一4。

上式減下式得上段+上^=0,二當(dāng)二￥=-?,

ab-x2a

.2yo.%一%/二：廿,,_b2

，"kAB'kOP=-2

X]-x2X]+x2Xl-x22x0X]-x2xoQ2a

22

焦點(diǎn)在y軸：直線/（存在斜率）過橢圓4+「=l（a>b>0）上兩點(diǎn)4、B,線段45中點(diǎn)為尸（%,為），則

ab

有以（）

8.kp=記

2

Ax

3、雙曲線的用點(diǎn)差法同理，可得

aJo

知識(shí)點(diǎn)02：拋物線的中點(diǎn)弦與點(diǎn)差法

設(shè)直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)/（孫弘）、B&,%）,中點(diǎn)坐標(biāo)為尸（%,九）

代入拋物線方程，y：=2pX[,y；=2px2,

將兩式相減,可得（必一%）（必+%）=20（再一制2），

整理可得：%=9=2=旦

再一為2%為

知識(shí)點(diǎn)03：點(diǎn)差法在圓錐曲線中的結(jié)論

—

-2~:e2-lo焦點(diǎn)在x軸

a

1、橢圓：kAB

a

—=--o焦點(diǎn)在y軸

Fe—1

￡=/_]0焦點(diǎn)在%軸

T

=a

雙曲線：/，AB.~kB'k—<

2、AQM2

%a=一一O焦點(diǎn)在歹軸

e-1

左/R=二0開口向右

%

kAB=—―0開口向左

3、拋物線：，/0

左相=血0開口向上

X

心"=一開口向下

LP

【題型01：求中點(diǎn)弦所在直線方程（斜率）】

一、單選題

22

1.（24-25高二上?河北廊坊?期末）已知橢圓、■+?=：!,過點(diǎn)尸（L1）的直線交橢圓于48兩點(diǎn)，且尸為

線段的中點(diǎn)，則直線的方程為（）

A.x+3y-4=0B.3x+y—4=0C.x-3y+2=0D.3x-y-2=0

2.（24-25高二上?江西贛州?期末）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)方（2,0）的距離比它到直線x+l=0的距離大1,直線/

與動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡交于B兩點(diǎn),且線段N8的中點(diǎn)為（4,2）,則直線/的方程為（）

A.x—2y=0B.x—y—2=0

C.2x-y-10=0D.2x—y—6=0

3.（23-24高二下?云南曲靖?期末）己知直線/交拋物線C:x2=_18y于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為（3,-2）,

則直線/的斜率為（）

c111

A.—3B.——C.-D.—

693

4.（24-25高二上?江蘇?期中）已知橢圓［+4=1,直線/與橢圓在第二象限交于48兩點(diǎn)，與兩坐標(biāo)軸分

63

別交于C,D兩點(diǎn)，且|ZC|=|8必，則直線/的斜率為（）

A.—B.—C.—D.—

2424

二、填空題

5.（24-25高二上?上海?月考）已知雙曲線C:/-1=1,若雙曲線C的一條弦的中點(diǎn)為（-1,-4）,則這條

弦所在直線的斜率為.

2…2

6.（23-24高二上?云南?月考）已知雙曲線C:二-匕=1,M,N是C上的兩點(diǎn)，P是的中點(diǎn)，。為

24

坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP的斜率為-g,則直線龍w的斜率為_______

【題型02：求弦中點(diǎn)的坐標(biāo)】

一、單選題

22

1.（24-25高二上?湖北?期末）若斜率為1的直線與橢圓土+匕-=1交于48兩點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)坐標(biāo)可

43

能是（）

A.B.C.（-3,4）D.（-4,3）

22

2.（24-25高二上?河南南陽?期中）橢圓工+2=1上的兩點(diǎn)4,8關(guān)于直線2%一了-1=0對(duì)稱，則弦的

84

中點(diǎn)坐標(biāo)為（）

（）（）

A.1,1B.C.-1,1D-

二、填空題

3.（23-24高二上?山東泰安?月考）直線>=x-l被雙曲線2x2-/=1所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是.

4.定長為3的線段的端點(diǎn)A、B在拋物線，=》上移動(dòng)，則NB的中點(diǎn)到V軸的距離的最小值為—

此時(shí)AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為.

5.已知尸為拋物線必=4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸的直線交該拋物線于A,8兩點(diǎn)，若點(diǎn)A在第一象限，且

\FA^\FB\,則線段48的中點(diǎn)坐標(biāo)為.

【題型03：弦中點(diǎn)的軌跡問題】

一、單選題

1.（24-25高二上?貴州黔東南?期末）已知斜率為2的直線與曲線C:必=8無交于43兩點(diǎn)，則線段42的

中點(diǎn)加的軌跡方程為（）

A.y=4（x>2）B.x=4(-4y/2<y<4^2)

c.D.x=2(-4<y<4)

二、填空題

2.斜率為2的平行直線截雙曲線/-丁=1所得弦的中點(diǎn)的軌跡方程是.

3.已知斜率為9的動(dòng)直線與橢圓土+匕=1交于48兩點(diǎn)，線段48的中點(diǎn)為則M的軌跡長度

554

為.

三、解答題

4.（2025高二?全國?專題練習(xí)）已知橢圓C:]+，=l（a>6>0）經(jīng)過點(diǎn)（垃且離心率為弓，設(shè)直線/

與橢圓C相交于4臺(tái)兩點(diǎn).

（1）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線/的斜率為1,求線段N3中點(diǎn)M的軌跡方程；

5.（23-24高二上?河北滄州?期末）已知產(chǎn)為拋物線C：y2=2px（。＞。）上一點(diǎn)，且點(diǎn)尸到拋物線的焦

點(diǎn)F的距離為12,到了軸的距離為10.

⑴求〃的值；

（2）過點(diǎn)尸作直線/交C于4,8兩點(diǎn)，求N5中點(diǎn)M的軌跡方程.

【題型04：利用中點(diǎn)弦求曲線方程】

一、單選題

22

1.（24-25高二上?福建莆田?期中）已知橢圓￡:三+勺=1（。＞6＞0）的右焦點(diǎn)為尸（4,0）,過點(diǎn)尸的直線交

ab

橢圓E于48兩點(diǎn)，若45的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3,-1）,則橢圓E的方程為（）

B.X=1

A.—+—=1

2483216

c.JD.JJl

40244832

2.（24-25高二上?廣東梅州?月考）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為廠（近,0）,直線V=x-1與其相

2

交于兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-則此雙曲線的方程是（）

A-B-?

22

3.（23-24高二上?山西太原?期中）已知橢圓是1r+}=1（。>6>0）的右焦點(diǎn)為尸（3,0）,過點(diǎn)尸的直線

交橢圓于/,3兩點(diǎn)，若M（1,T）且9+赤=2而，則E的方程為（）

C.D'”=1

二、填空題

4.已知拋物線/=2px（p>0）的焦點(diǎn)為尸，第一象限的A、8兩點(diǎn)在拋物線上，且滿足忸尸|-以刊=4,

|/日=4夜.若線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,則拋物線的方程為.

【題型05：利用中點(diǎn)弦求離心率】

一、單選題

22

1.（24-25高二上?遼寧丹東?期末）已知橢圓C:云+}=1（。>6>0）,過點(diǎn)（0,4）的直線/與C交于48兩

點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為（4,2）,則C的離心率為（）

3B.4C-1D-T

22

2.（24-25高二上?重慶?期中）已知雙曲線C:5-與=l（a>01>0）,過點(diǎn)尸（-4,0）的直線與雙曲線C交于

ab

48兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)是“（2,6）,則雙曲線E的離心率為（）

A.孚B.加

C.2D.3

22

3.（24-25高二上?浙江寧波?期中）已知橢圓點(diǎn)尸為左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為下頂點(diǎn)，平行

于尸尸的直線/交橢圓于48兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則橢圓的離心率為（）

AB

-T-1c「D-T

4.（24-25高二下?黑龍江?月考）已知直線》=x+l與曲線加F+〃夕2=0（加〉0,〃<0）交于力，5兩點(diǎn)，若同時(shí)

422

經(jīng)過原點(diǎn)和線段N5中點(diǎn)的直線斜率為:，則雙曲線二+匕=1的離心率為（）

2mn

A.-B.巫C.-D.而

2233

二、填空題

22

5.（23-24高二上?重慶?期末）已知橢圓C:?+}=1（。>6>0）的右焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸作傾斜角為）的直

PF1

線交橢圓C于N、8兩點(diǎn)，弦的垂直平分線交x軸于點(diǎn)尸，若二右=￡，則橢圓。的離心率為.

AB3

22

6.（23-24高二上?河南開封?期末）已知點(diǎn)48,C是離心率為2的雙曲線T:三-卓=1（。>0,6>0）上的三

點(diǎn)，直線的斜率分別是配優(yōu)劣，點(diǎn)。，瓦尸分別是線段的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直

111,

線。D,。￡,。尸的斜率分別是發(fā)后，履，^—+—+—=\貝|.

kxK2歸3

【題型06：求直線與曲線相交中點(diǎn)弦長】

一、單選題

I.（24-25高二下?山西?期中）已知尸為拋物線C:/=8x的焦點(diǎn)，過尸的直線交C于A,8兩點(diǎn)，若弦

的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,則“同=（）

A.8B.10C.12D.16

2.已知雙曲線。：2--/=2,過點(diǎn)尸（1,2）的直線/與雙曲線C交于M、N兩點(diǎn)，若尸為線段跖V的中點(diǎn)，則

弦長崔M等于（）

34

3.（23-24高二上?重慶?期末）已知直線/：x-叼-1=0與拋物線C：/=4x交于/,臺(tái)兩點(diǎn)，若線段的

中點(diǎn)為（x°,2）,貝小/切=（）

A.4B.6C.8D.10

22

4.（24-25高二上?河北石家莊?期末）若橢圓"+號(hào)=1的弦的中點(diǎn)尸（2,1）則弦長即|=（）

A.4B.5/C.2D.2石

二、多選題

5.（23?24高二上?河南開封?期末）已知橢圓C:土+/=1與直線歹+加=0相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)48,

4

點(diǎn)M為線段48的中點(diǎn)，則（）

A--75<m<B.m<-V5或m>下

c.弦長|/用的最大值為竽

D.點(diǎn)M一定在直線x+4y=0上

【題型07：其他有關(guān)中點(diǎn)弦問題】

一、單選題

22

1.（24-25高二下?山西?開學(xué)考試）己知橢圓C:〉條=1伍＞6＞0）的焦距為4,直線%-了+3=0與橢圓

相交于A,3兩點(diǎn)，若點(diǎn)0（-2,1）是線段的中點(diǎn)，則橢圓C的短軸長為（）

A.2B.4C.6D.8

22

2.（23-24高二上?重慶?期末）己和雙曲線=與直線V=2x+1相交于/、8兩點(diǎn)，

若弦43的中點(diǎn)河的橫坐標(biāo)為1,則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.y=+^6xB.y—i6xC.y—i—xD.y=+^-^-x

66

23

3.（24-25高二上?貴州貴陽?期中）已知斜率為左的直線/與橢圓C:土r+/=i交于4,5兩點(diǎn)，線段々的

4

中點(diǎn)為〃（1,加）（加〉0）則實(shí)數(shù)左的取值范圍是（）

22

4.（24-25高二上?江西撫州?期中）己知直線尤-3了+7=0與橢圓=+2=1（。＞痛）相交于4,2兩點(diǎn)，橢

a6

圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是與，F(xiàn)2,線段的中點(diǎn)為C（-l,2）,則△邙月的面積為（）

A.2A/2B.472C.273D.4百

5.（24-25高二上?河北滄州?月考）已知直線＞=x+l與橢圓C:7+r=i交于兩點(diǎn)，直線N=f+根與

橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，若直線N2垂直平分線段則%=（）

1245

A.——B.——C.——D.——

3333

6.（2024?江西宜春?三模）已知拋物線C：，=4x的焦點(diǎn)為尸，動(dòng)直線/與拋物線。交于異于原點(diǎn)。的/,

2兩點(diǎn)，以線段04為鄰邊作平行四邊形0/尸2,若點(diǎn)尸（4,加）（m＞0）,則當(dāng)以卸取最大值時(shí)，加=

()

A.2B.272C.3D.2A/3

;□t口□

過關(guān)測穩(wěn)提升

一、單選題

I.（23-24高二上?廣東茂名?期末）過拋物線V=2x的焦點(diǎn)作直線/,交拋物線于/、8兩點(diǎn).若線段N5的

中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2,則M同=（）

A.3B.4C.5D.6

2.（24-25高二上?湖北襄陽?月考）直線＞=x-l被拋物線/=4x截得的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（2,6）B.（3,2）C.（6,4）D.（4,6）

2

3.（24-25高二上?四川成都?期末）設(shè)48為雙曲線/一5=1上的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為M（2,2）,則網(wǎng)=

（）

A.75B.2石C.VlOD.2^/10

4.已知雙曲線C:/-/=2,過右焦點(diǎn)的直線交雙曲線于48兩點(diǎn)，若48中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,則弦長

為（）

A.372B.472C.6D.6及

5.（23-24高二上?福建莆田?月考）已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為￡（-2月,0）,FQ瓜0）,且離心率

e=^~.過點(diǎn)尸（2廠1）的直線/與橢圓E相交于A,8兩點(diǎn)，且尸為N5的中點(diǎn)，則弦長以同=（）

A.2百B.2/C.2后D.2yf6

6.若雙曲線的中心為原點(diǎn)，尸（。,-2）是雙曲線的焦點(diǎn)，過產(chǎn)的直線/與雙曲線相交于A/,N兩點(diǎn)，且ACV

的中點(diǎn)為尸（3,1）,則雙曲線的方程為（）.

2222

A.-/=1B.y2--=1C.^--x2=1D.x2-^=l

3333

7.（23-24高二上?湖北武漢?期末）已知/,8為雙曲線/-產(chǎn)=1上不同兩點(diǎn)，下列點(diǎn)中可為線段的中

點(diǎn)的是（）

A.（1,1）B.（2,3）C.（V2,l）D.

JT

8.（23-24高二下?安徽?月考）已知拋物線C:/=28（2〉0）,過。的焦點(diǎn)尸且傾斜角為I的直線交。于

4

A,B兩點(diǎn),線段45的中點(diǎn)為憶\FW\=-f則2=（）

A.1B.2C.3D.4

22

9.（24-25高二上?陜西西安?月考）已知橢圓^+==1（。>6>0）的右焦點(diǎn)為尸（3,0）,過尸的直線與橢圓

相交于M,N兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,-1）,則此橢圓的方程為（）

22

AfuXy,

A.——+—=1B.——+—=1

45363627

2222

C.二+匕=1D.土+匕=1

2718189

10.如圖，已知拋物線氏必=28（0>0）的焦點(diǎn)為尸，過尸且斜率為1的直線交E于/,2兩點(diǎn)，線段

的中點(diǎn)為"，其垂直平分線交x軸于點(diǎn)C,九軸于點(diǎn)N.若四邊形。CMV的面積等于8,則E的方

程為（）

22

11.（23-24高二上?重慶?期末）直線/:x-2y+g=0經(jīng)過橢圓鼻+方=l（a>6>0）的左焦點(diǎn)尸，且與橢圓

交于48兩點(diǎn)，若"為線段45中點(diǎn)，|"刊=|<W],則橢圓的離心率為（）

12.（2024?江西鷹潭?一模）已知橢圓E：+方=1（。>6>0）的左焦點(diǎn)為尸，如圖，過點(diǎn)尸作傾斜角為60。

的直線與橢圓E交于A,8兩點(diǎn)，川為線段的中點(diǎn)，若5忸M=|W|（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓E的離

272277

3.7

-x2y2

13.已知橢圓E:—+l（?>^>0）的右焦點(diǎn)為尸（3,0）,過點(diǎn)廠的直線交橢圓E于43兩點(diǎn)，若N8的中

aF

點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則弦長|AB|=()

A.5V2B.2V5C.學(xué)D.Vio

22

14.（23-24高二上?湖北武漢?期末）已知橢圓￡:[+與=1（°>6>0）的左焦點(diǎn)為尸，如圖，過點(diǎn)尸作傾斜

ab

角為60°的直線與橢圓E交于48兩點(diǎn)，/為線段48的中點(diǎn)，若4忸7圖=|0升（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓￡

的離心率為（）

「岳D,邁

V/?-----

57

（24-25高二上?江蘇揚(yáng)州?期中）已知斜率為正的直線/過雙曲線C:/2

15.-匚=1（加>0）的左焦點(diǎn)尸，

5m

且與C的左，右兩支分別交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為N8的中點(diǎn)，若△<?￡?是以尸尸為底邊的

等腰三角形，則雙曲線的離心率為（）

A.2B.V2C.3D.V3

二、填空題

16.（23-24高二上?安徽合肥?月考）已知拋物線必=4x的弦斜率為1,則弦48中點(diǎn)新的軌跡方

程.

122

17.（24-25高二上?江蘇淮安?期中）過點(diǎn)"（1,1）作斜率