2025年數(shù)學雙量詞題目及答案

一、單項選擇題1.命題“?x∈R，?y∈R，x+y=0”的否定是（）A.?x∈R，?y∈R，x+y=0B.?x∈R，?y∈R，x+y≠0C.?x∈R，?y∈R，x+y≠0D.?x∈R，?y∈R，x+y≠0答案：B2.已知命題“?x?∈[1,2]，?y∈[0,3]，x?+y≥a”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.(-∞,4]B.[4,+∞)C.(-∞,2]D.[2,+∞)答案：A3.命題“?x>0，?n∈N，使得n≥x2”的否定形式是（）A.?x>0，?n∈N，使得n<x2B.?x>0，?n∈N，使得n<x2C.?x>0，?n∈N，使得n<x2D.?x>0，?n∈N，使得n<x2答案：C4.對于任意實數(shù)x，“?m∈Z，m2-m<x2+x+1”是（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案：A5.命題“?x∈R，?y∈R，x2+y2<2”的真假性為（）A.真B.假C.不確定D.以上都不對答案：B6.已知命題p：“?x∈[0,1]，?m∈R，e^x-2x+m=0”，若?p是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是（）A.[2-e,1]B.[1,e-2]C.[e-2,2-e]D.[2-e,e-2]答案：A7.命題“?x∈(0,+∞)，?a∈R，使得lnx-ax=0”的否定是（）A.?x∈(0,+∞)，?a∈R，lnx-ax≠0B.?x∈(0,+∞)，?a∈R，lnx-ax≠0C.?x∈(0,+∞)，?a∈R，lnx-ax≠0D.?x∈(0,+∞)，?a∈R，lnx-ax≠0答案：B8.已知“?x?∈[0,1]，?x?∈[1,2]，x?+x?2+a>0”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.(-4,+∞)B.(-3,+∞)C.(-2,+∞)D.(-1,+∞)答案：A9.命題“?x∈R，?y∈R，x2+y2=1”的否定是（）A.?x∈R，?y∈R，x2+y2≠1B.?x∈R，?y∈R，x2+y2≠1C.?x∈R，?y∈R，x2+y2≠1D.?x∈R，?y∈R，x2+y2≠1答案：A10.設(shè)命題p：“?x∈[1,2]，?t∈R，x2+tx-1>0”，若p為真命題，則實數(shù)t的取值范圍是（）A.(-3,+∞)B.(-1,+∞)C.(-2,+∞)D.(0,+∞)答案：A二、多項選擇題1.下列命題中，是真命題的有（）A.?x∈R，?y∈R，x+y=1B.?x∈R，?y∈R，xy=0C.?x∈R，?y∈R，x2+y2<0D.?x∈R，?y∈R，x2>y答案：AB2.對于命題“?x?∈R，?y∈R，f(x?)-g(y)=0”，以下說法正確的是（）A.表示存在一個實數(shù)x?，對于任意實數(shù)y，都有f(x?)=g(y)B.若該命題為真，則函數(shù)f(x)的值域與函數(shù)g(y)的值域有交集C.其否定為“?x∈R，?y∈R，f(x)-g(y)≠0”D.若f(x)=x2+1，g(y)=y-1，則該命題為真答案：ABC3.下列關(guān)于雙量詞命題的說法正確的是（）A.命題“?x∈N，?y∈N，x+y是偶數(shù)”是真命題B.命題“?x∈R，?y∈R，x2+y2>0”的否定是“?x∈R，?y∈R，x2+y2≤0”C.命題“?x∈[0,1]，?y∈[0,1]，x+y=1”是真命題D.命題“?x∈R，?y∈R，x+y>0”是真命題答案：AB4.已知命題p：“?x?∈[0,2]，?x?∈[0,2]，x?2-2x?+a>0”，命題q：“?x∈R，ax2+ax+1>0”。若p和q都為真命題，則實數(shù)a的取值范圍可能是（）A.(0,1)B.(0,4)C.(1,4)D.(4,+∞)答案：AC5.命題“?x∈(0,+∞)，?y∈R，使得x2-2y=0”的相關(guān)說法正確的是（）A.該命題的否定是“?x∈(0,+∞)，?y∈R，x2-2y≠0”B.該命題表示對于任意大于0的實數(shù)x，都存在實數(shù)y使得等式x2-2y=0成立C.因為x2>0，所以當y>0時，一定能找到x使得x2-2y=0D.若將命題改為“?x∈(0,+∞)，?y∈R，x2-2y=0”，則該命題為真答案：AB6.以下命題中，滿足“?x?∈A，?y∈B，P(x?,y)”形式且為真命題的是（）A.A={x|x是正實數(shù)}，B={y|y是實數(shù)}，P(x,y)：x>yB.A={x|x是偶數(shù)}，B={y|y是整數(shù)}，P(x,y)：x能被y整除C.A={x|x是實數(shù)}，B={y|y是實數(shù)}，P(x,y)：x2+y2≥0D.A={x|x是三角形}，B={y|y是角}，P(x,y)：x的內(nèi)角和為180°答案：CD7.對于命題“?x∈[1,3]，?y∈[2,4]，x+y≥a”，下列說法正確的是（）A.當a≤3時，該命題為真B.當a>7時，該命題為假C.其否定為“?x∈[1,3]，?y∈[2,4]，x+y<a”D.若要使命題為真，a的最大值為5答案：ABC8.已知命題“?x∈R，?y∈R，f(x)-g(y)=k”（k為常數(shù)），則（）A.函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(y)的圖象有水平距離為k的關(guān)系B.若f(x)=x2，g(y)=y2，則該命題為真C.若f(x)=sinx，g(y)=cosy，則該命題為假D.該命題的否定為“?x∈R，?y∈R，f(x)-g(y)≠k”答案：AD9.命題“?x∈R，?y∈R，x2+y2=2xy”的相關(guān)結(jié)論正確的是（）A.該命題是真命題B.其否定為“?x∈R，?y∈R，x2+y2≠2xy”C.當且僅當x=y時，x2+y2=2xy成立D.對于任意實數(shù)x，都能找到實數(shù)y使等式成立答案：ABC10.下列命題中，雙量詞使用正確且為真命題的是（）A.?x∈R，?y∈R，x·y=1B.?x∈R，?y∈R，x+y=0C.?x∈N，?y∈N，x+y是奇數(shù)D.?x∈Z，?y∈Z，x-y是偶數(shù)答案：D三、判斷題1.命題“?x∈R，?y∈R，x-y=0”是真命題。（√）2.命題“?x∈R，?y∈R，x2+y2<1”是真命題。（×）3.命題“?x∈[0,1]，?y∈[0,1]，x+y>2”的否定是“?x∈[0,1]，?y∈[0,1]，x+y≤2”。（√）4.命題“?x∈R，?y∈R，xy=1”為真命題。（×）5.若命題“?x∈A，?y∈B，f(x,y)>0”為真，則對于集合A中的任意元素x，在集合B中都能找到元素y使得f(x,y)>0成立。（√）6.命題“?x∈R，?y∈R，x2+y=0”是假命題。（×）7.命題“?x∈[1,2]，?y∈[3,4]，x+y<5”是真命題。（×）8.命題“?x∈R，?y∈R，sinx+cosy=2”是假命題。（√）9.命題“?x∈R，?y∈R，x3-y3=0”的否定是“?x∈R，?y∈R，x3-y3≠0”。（√）10.命題“?x∈N，?y∈N，x2+y2=0”是真命題。（×）四、簡答題1.簡述雙量詞命題“?x∈A，?y∈B，P(x,y)”的含義。答案：該命題表示對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都至少存在一個元素y，使得命題P(x,y)成立。它體現(xiàn)了兩個集合元素之間的一種特定邏輯聯(lián)系，先對集合A中的所有元素進行遍歷，然后針對每個x都能在集合B里找到與之對應的y滿足給定的關(guān)系P(x,y)。2.寫出命題“?x∈R，?y∈R，x2+y2≥2xy”的否定，并判斷原命題及其否定的真假。答案：原命題的否定為“?x∈R，?y∈R，x2+y2<2xy”。原命題是真命題，因為x2+y2-2xy=(x-y)2≥0，所以x2+y2≥2xy恒成立。其否定是假命題，因為不存在這樣的實數(shù)x，對于任意實數(shù)y都有x2+y2<2xy成立。3.已知命題“?x∈[1,2]，?y∈[1,3]，x+y≥a”為真命題，求實數(shù)a的取值范圍。答案：因為對于任意的x∈[1,2]，都存在y∈[1,3]使得x+y≥a成立。當x=1，y=1時，x+y取得最小值2。所以只要a小于等于x+y的最小值即可，即a≤2。所以實數(shù)a的取值范圍是(-∞,2]。4.舉例說明雙量詞命題“?x∈某集合，?y∈另一集合，P(x,y)”在實際數(shù)學問題中的應用。答案：例如在函數(shù)問題中，對于函數(shù)f(x)=x2，x∈[0,1]，命題“?x∈[0,1]，?y∈[0,1]，f(x)≤y”。這里集合A是[0,1]，集合B也是[0,1]，P(x,y)就是f(x)≤y。在這個例子中，由于f(x)=x2在[0,1]上最大值為1，所以能在[0,1]中找到y(tǒng)=1滿足f(x)≤y，體現(xiàn)了雙量詞命題在函數(shù)值域比較等方面的應用。五、討論題1.討論雙量詞命題與單量詞命題的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系方面，單量詞命題是雙量詞命題的特殊情況。比如“?x∈A，P(x)”可看作“?x∈A，?y∈{固定值}，P(x)”這種特殊的雙量詞命題形式。雙量詞命題是單量詞命題在邏輯關(guān)系上的拓展，能更復雜地描述集合元素間關(guān)系。區(qū)別在于，單量詞命題只針對一個集合元素進行限定，而雙量詞命題涉及兩個集合元素關(guān)系。雙量詞命題邏輯結(jié)構(gòu)更復雜，判斷真假時要同時考慮兩個集合元素的取值組合，單量詞命題相對簡單，只需考慮一個集合元素滿足條件情況。2.在數(shù)學證明中，如何利用雙量詞命題的性質(zhì)來推導結(jié)論？答案：首先要明確雙量詞命題的邏輯結(jié)構(gòu)，如“?x∈A，?y∈B，P(x,y)”。在證明時，對于“?x∈A”，我們可以任取一個x?∈A，然后根據(jù)命題性質(zhì)，必然存在y?∈B使得P(x?,y?)成立。利用這個存在的y?與x?的關(guān)系來推導相關(guān)結(jié)論。比如在證明函數(shù)相關(guān)結(jié)論時，若有命題“?x?∈定義域，?x?∈定義域，f(x?)+f(x?)=常數(shù)”，任取x?后找到對應的x?，通過兩者關(guān)系及函數(shù)性質(zhì)進行推導，逐