2025年考研數(shù)學(xué)二真題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.函數(shù)$f(x)=\frac{\ln(1+x)}{\sqrt{x^2-1}}$的定義域?yàn)椋ǎ〢.$(-1,+\infty)$B.$(1,+\infty)$C.$[-1,+\infty)$D.$[1,+\infty)$答案：B2.當(dāng)$x\to0$時(shí)，下列無(wú)窮小量中與$x$等價(jià)的是（）A.$\sinx-x$B.$\tanx-x$C.$\ln(1+x)$D.$1-\cosx$答案：C3.設(shè)函數(shù)$y=f(x)$由方程$e^{x+y}-xy=1$確定，則$y^\prime|_{x=0}$的值為（）A.$-1$B.$0$C.$1$D.$2$答案：A4.已知函數(shù)$f(x)$在$x=a$處可導(dǎo)，且$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}=4$，則$f^\prime(a)$等于（）A.$1$B.$2$C.$4$D.$8$答案：B5.設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[0,1]$上連續(xù)，且$\int_{0}^{1}f(x)dx=2$，則$\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}f(x)f(y)dydx$的值為（）A.$1$B.$2$C.$3$D.$4$答案：A6.曲線$y=\frac{x^2}{x-1}$的漸近線情況是（）A.只有水平漸近線B.只有垂直漸近線C.既有水平漸近線又有垂直漸近線D.有斜漸近線答案：D7.已知函數(shù)$f(x)$的一個(gè)原函數(shù)為$e^{-x^2}$，則$\intxf^\prime(x)dx$等于（）A.$-2x^2e^{-x^2}+C$B.$-(2x^2+1)e^{-x^2}+C$C.$(2x^2+1)e^{-x^2}+C$D.$(2x^2-1)e^{-x^2}+C$答案：B8.設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$A$的伴隨矩陣$A^$為（）A.$\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}4&-3\\-2&1\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&-2\\-3&4\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&-3\\-2&4\end{pmatrix}$答案：A9.已知向量組$\alpha_1=(1,1,1)^T$，$\alpha_2=(1,2,3)^T$，$\alpha_3=(1,3,t)^T$線性相關(guān)，則$t$的值為（）A.$4$B.$5$C.$6$D.$7$答案：B10.設(shè)$A$為$n$階方陣，且$|A|=0$，則（）A.$A$中必有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)成比例B.$A$中至少有一行（列）向量是其余行（列）向量的線性組合C.$A$中必有一行（列）元素全為零D.$A$的秩為$n-1$答案：B二、多項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=\lnx$C.$y=\sqrt{x}$D.$y=e^x$答案：BCD2.設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可導(dǎo)，則下列結(jié)論正確的有（）A.若$f^\prime(x)>0$，則$f(x)$在$[a,b]$上單調(diào)遞增B.若$f(x)$在$[a,b]$上單調(diào)遞增，則$f^\prime(x)>0$C.若$f(x)$在$[a,b]$上有最大值，則最大值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)D.若$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，則$f(x)$在$[a,b]$上一定有最大值和最小值答案：AD3.下列積分中，值為零的有（）A.$\int_{-\pi}^{\pi}x\cosxdx$B.$\int_{-\pi}^{\pi}x\sinxdx$C.$\int_{-1}^{1}x^3e^{x^2}dx$D.$\int_{-1}^{1}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx$答案：ACD4.設(shè)函數(shù)$f(x)$具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且$f^\prime(0)=0$，$f^{\prime\prime}(0)>0$，則（）A.$f(0)$是$f(x)$的極小值B.$f(0)$是$f(x)$的極大值C.點(diǎn)$(0,f(0))$是曲線$y=f(x)$的拐點(diǎn)D.當(dāng)$x$在$0$的某去心鄰域內(nèi)時(shí)，$f(x)>f(0)$答案：AD5.下列矩陣中，屬于正交矩陣的有（）A.$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\-\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$答案：AD6.已知向量組$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性無(wú)關(guān)，則下列向量組中，線性無(wú)關(guān)的有（）A.$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1$B.$\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1$C.$\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$D.$\alpha_1+\alpha_2,2\alpha_2+\alpha_3,3\alpha_3+\alpha_1$答案：ACD7.設(shè)$A$為$n$階方陣，且滿足$A^2=A$，則（）A.$A$的特征值只能是$0$或$1$B.$A$必可相似對(duì)角化C.$r(A)+r(A-E)=n$D.$|A|=0$或$|A|=1$答案：ABCD8.下列關(guān)于二次型的說(shuō)法正確的有（）A.二次型的矩陣一定是對(duì)稱矩陣B.二次型可以通過(guò)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形C.正定二次型的矩陣的特征值全大于零D.兩個(gè)二次型合同當(dāng)且僅當(dāng)它們的秩相等答案：ABC9.設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可積，則（）A.$|f(x)|$在$[a,b]$上可積B.$f^2(x)$在$[a,b]$上可積C.若$f(x)\geq0$，則$\int_{a}^f(x)dx\geq0$D.若$\int_{a}^f(x)dx=0$，則$f(x)=0$在$[a,b]$上恒成立答案：ABC10.設(shè)函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，則（）A.$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f^\prime(x_0)$B.$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}=f^\prime(x_0)$C.$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{h}=2f^\prime(x_0)$D.$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=f^\prime(x_0)$答案：ABCD三、判斷題1.若函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處極限存在，則$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)。（×）2.函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f^\prime(x)$在某區(qū)間內(nèi)恒大于零，則$f(x)$在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增。（√）3.若$\int_{a}^f(x)dx=0$，則$f(x)$在$[a,b]$上恒為零。（×）4.矩陣$A$的秩等于其行向量組的秩，也等于其列向量組的秩。（√）5.若向量組$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$線性相關(guān)，則其中至少有一個(gè)向量可以由其余向量線性表示。（√）6.設(shè)$A$為$n$階方陣，若$|A|\neq0$，則$A$可逆。（√）7.二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^TAX$（$A$為對(duì)稱矩陣）正定的充要條件是$A$的特征值全大于零。（√）8.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上有界，則$f(x)$在$[a,b]$上可積。（×）9.設(shè)函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，則$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處一定可微。（√）10.相似矩陣具有相同的特征值和特征向量。（×）四、簡(jiǎn)答題1.求函數(shù)$y=x^3-3x^2+1$的單調(diào)區(qū)間和極值。對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得$y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$y^\prime=0$，解得$x=0$和$x=2$。當(dāng)$x<0$時(shí)，$y^\prime>0$，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)$0<x<2$時(shí)，$y^\prime<0$，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)$x>2$時(shí)，$y^\prime>0$，函數(shù)單調(diào)遞增。所以極大值為$y(0)=1$，極小值為$y(2)=-3$。單調(diào)遞增區(qū)間為$(-\infty,0)$和$(2,+\infty)$，單調(diào)遞減區(qū)間為$(0,2)$。2.計(jì)算不定積分$\int\frac{1}{x^2+4x+5}dx$。先將分母配方：$x^2+4x+5=(x+2)^2+1$。令$u=x+2$，則$du=dx$，原積分化為$\int\frac{1}{u^2+1}du$。根據(jù)積分公式$\int\frac{1}{u^2+1}du=\arctanu+C$，將$u=x+2$代回，可得原積分結(jié)果為$\arctan(x+2)+C$。3.已知矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，求$A$的逆矩陣$A^{-1}$。先求矩陣$A$的行列式$|A|=1\times4-2\times3=-2$。再求伴隨矩陣$A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$。根據(jù)逆矩陣公式$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^$，可得$A^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$。4.設(shè)向量組$\alpha_1=(1,1,1)^T$，$\alpha_2=(1,2,3)^T$，$\alpha_3=(1,3,5)^T$，求該向量組的秩和一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。將向量組構(gòu)成矩陣$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&5\end{pmatrix}$，對(duì)其進(jìn)行初等行變換化為行階梯形矩陣：$A\to\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&0\end{pmatrix}$。所以向量組的秩為$2$，極大線性無(wú)關(guān)組可以取$\alpha_1,\alpha_2$。五、討論題1.討論函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x},&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}$在$x=0$處的連續(xù)性、可導(dǎo)性。連續(xù)性：$\lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{x\to0}x^2\sin\frac{1}{x}=0=f(0)$，所以函數(shù)在$x=0$處連續(xù)?？蓪?dǎo)性：根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，$f^\prime(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=0$，所以函數(shù)在$x=0$處可導(dǎo)。2.討論積分$\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx$的斂散性。當(dāng)$p=1$時(shí)，$\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x}dx=\lim\limits_{t\to+\infty}\int_{1}^{t}\frac{1}{x}dx=\lim\limits_{t\to+\infty}(\lnt-\ln1)=+\infty$，積分發(fā)散。當(dāng)$p\neq1$時(shí)，$\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx=\lim\limits_{