/2024-2025學年河南省安陽市林州一中高二（上）8月月考數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z滿足(i+1)?z=4?3i，則|z|=(

)A.52 B.522 C.2.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù)的是(

)A.y=(15)x B.y=1x3.某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為(

)A.16 B.13 C.124.八卦是中國文化的基本學概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2所示的正八邊ABCDEFGH，其中|OA|=1給出下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論為(

)A.OA與OH的夾角為π3

B.OD+OF=OE

C.|OA?OC|=22|5.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CC1的中點，過點AA.2 B.157 C.177 6.已知α∈(0,π)，β∈(0,π)，sin(α?β)=34，tanαtanA.16π B.116π C.7.已知平面向量a,b,c滿足a=b=4,cA.?463,4638.已知平面向量a=(1,3)，b=(3,1)A.233 B.32 二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.假設(shè)α∈(0,π)，且α≠π2，當∠xOy=α時，定義平面坐標系xOy為α?仿射坐標系，在α?仿射坐標系中，任意一點P的斜坐標這樣定義：e1，e2分別為x軸，y軸正方向上的單位向量，若OP=xeA.設(shè)a=(m,n)，則|a|=m2+n2+2mncosα

B.設(shè)a=(m,n)，b=(s,t)，若a/?/b，則mt??ns=0

C.設(shè)a=(m,n)，b=(s,t)10.如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1A.直線AM與BN是平行直線

B.直線MN與AC所成的角為60°

C.平面AMB與平面ABCD所成二面角的平面角為45°

D.平面BMN截正方體所得的截面面積為311.已知y=f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且y=f(x+1)為偶函數(shù)．當x∈[0,1]時，f(x)=2x?alogA.a=?1

B.f(12)=f(32)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)=?x2?2ax?a在區(qū)間(?∞,0)上單調(diào)遞增，且a+ex+ln13.如圖所示的是某城市的一座紀念碑，一位學生為測量該紀念碑的高度CD，選取與碑基C在同一水平面內(nèi)的兩個測量點A,B.現(xiàn)測得∠BAC=30°,∠ABC=105°,AB=120米，在點B處測得碑頂D的仰角為30°，則該同學通過測量計算出紀念碑高CD為

14.截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當?shù)慕亟?，即截去四面體的四個頂點所產(chǎn)生的多面體.如圖所示，將棱長為6的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為2的截角四面體，則該截角四面體的外接球表面積為

．

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知向量a=(2,1)，b=(?1,m)．

(1)若a與b的夾角為135°，求實數(shù)m的值；

(2)若a⊥(a?16.(本小題12分)

如圖，已知AB為圓O的直徑，D為線段AB上一點，且AD=13DB=1，C為圓O上一點，且BC=3AC，PD⊥平面ABC，PD=DB．

(1)求CD；

(2)求證：PA⊥CD；

17.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=cos4ωx?2sinωxcosωx?sin4ωx(ω>0)的最小正周期T=π．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)當18.(本小題12分)

漳州古城有著上千年的建城史，是國家級閩南文化生態(tài)保護區(qū)的重要組成部分，并人選首批“中國歷史文化街區(qū)”.五一假期來漳州古城旅游的人數(shù)創(chuàng)新高，單日客流峰值達20萬人次.為了解游客的旅游體驗滿意度，某研究性學習小組用問卷調(diào)查的方式隨機調(diào)查了100名游客，該興趣小組將收集到的游客滿意度分值數(shù)據(jù)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計100名游客滿意度分值的眾數(shù)和中位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))；

(2)已知滿意度分值落在[70,80)的平均數(shù)z?1=75，方差s12=9，在[80,90)的平均數(shù)為z?2=8519.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x+y)+f(x?y)=f(x)f(y)，f(1)=1．

(1)若f(x)=Acosωx(0<ω<π)，求A與ω；

(2)證明：函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；

(3)證明函數(shù)f(x)是周期函數(shù)；

(4)若f(x)的周期為T，在[0,T2]上是減函數(shù)，記f(x)的正的零點從小到大依次為x1，x2，x3，?，證明f(x)在區(qū)間[0,2024T]上有4048答案1.B

2.C

3.D

4.C

5.C

6.D

7.B

8.B

9.ABD

10.BC

11.BC

12.[?1,0]

13.2014.22π

15.解：(1)因為a=(2,1)，b=(?1,m)，

所以|a|=5，|b|=1+m2，a?b=m?2，

若a與b的夾角為135°，則m<2且cos?a,b?=a?b|a|?|b|，

可得?22=m?25×1+m16.解：(1)由已知AB為圓O的直徑，C為圓O上一點，可得AC⊥BC，

又由D為線段AB上一點，且AD=13DB=1，可得AD=1，DB=3，則AB=4，

因為BC=3AC，可得BC2+AC2=AB2，即4AC2=16，解得AC=2，BC=23，

在直角△ABC中，可得cos∠BAC=ACAB=12，

由余弦定理得CD2=AD2+AC2?2AD?ACcos∠BAC=1+4?2×1×2×12=3，

所以CD=3．

(2)證明：由(1)知AC=2,AD=1,CD=3，

可得AC2=AD2+CD2，所以AD⊥CD，

因為PD⊥平面ABC，且CD?平面ABC，所以PD⊥CD，

又因為AD∩PD=D，且AD，PD?平面17.(1)依題意：f(x)=cos2ωx?sin2ωx?2sinωxcosωx=cos2ωx?sin2ωx=2cos(2ωx+π4)，

由T=2π2ω，T=π，得ω=1，f(x)=2cos(2x+π4)，

由?π+2kπ≤2x+π4≤2kπ，k∈Z，

解得?5π8+kπ≤x≤?π8+kπ,k∈Z，

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[?5π8+kπ,?π8+kπ](k∈Z)(k∈Z)．

(2)當x∈[0,5π8]時，2x+π4∈[π4,3π2]，

余弦函數(shù)y=cosx在[π4,π]上單調(diào)遞減，在[π,3π2]上單調(diào)遞增，

則函數(shù)f(x)在[0,3π8]上單調(diào)遞減，函數(shù)值從1減小到?2；

在[3π8,5π8]上單調(diào)遞增，函數(shù)值從?2增大到0，

方程f(x)+1=m?f(x)=m?1，

因此方程f(x)+1=m的根即直線y=m?1與函數(shù)y=f(x)在[0,5π8]上的圖象交點的橫坐標，

在同一坐標系內(nèi)作出直線y=m?1與函數(shù)y=f(x)在[0,5π8]上的圖象，

觀察圖象知，當m?1<?18.解：(1)由頻率分布直方圖可得，(0.005+0.010×2+0.020+a+0.025)×10=1，

解得a=0.030，

由頻率分布直方圖可估計眾數(shù)為85，

滿意度分值在[40,80)的頻率為(0.005+0.010×2+0.020)×10=0.45<0.5，

在[40,90)的頻率為(0.005+0.010×2+0.002+0.030)×10=0.75>0.5，

所以中位數(shù)落在區(qū)間[80,90)內(nèi)，

所以中位數(shù)為80+10×0.5?0.450.3=2453≈82；

(2)由頻率分布直方圖得，滿意度分值在[70,80)的頻率為0.02×10=0.2，人數(shù)為20，

在[80,90)的頻率為0.03×10=0.3，人數(shù)為30，

所以滿意度分值在[70,90)的平均數(shù)z?=19.解：(1)因為f(x+y)+f(x?y)=f(x)f(y)，①

令x=1，y=0，可得2f(1)=f(1)f(0)，

因為f(1)=1，所以f(0)=2，

所以f(0)=Acos0=2，得A=2．

由f(1)=1，得Acosω=1，

即2cosω=1，

解得cosω=12．

因為0<ω<π，所以ω=π3，

所以f(x)=2cosπ3x，

則f(x+y)+f(x?y)=2cos(π3x+π3y)+2cos(π3x?π3y)=4cosπ3xcosπ3y=f(x)f(y)，

所以f(x)=2cosπ3x；

(2)證明：由(1)得，f(0)=2，

①中，令x=0，可得f(y)+f(?y)=2f(y)，

即f(y)=f(?y)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；

(3)證明：令y=1，

得f(x+1)+f(x?1)=f(x)f(1)=f(x)，

即有f(x+2)+f(x)=f(x+1)，

從而可知f(x+2)=?f(x?1)，f(x?1)=?f(x?4)，

故f(x+2)=f(x?4)，

即f(x)=f(x+6)．

所以函數(shù)f(x)是一個周期為T=6的周期函數(shù)．

(4)證明：由(1)得f(0)=2，f(T)=f(0)=2，

在f(x+y)+f(x?y)=f(x)f(y)中，

令x=y=T2，

可得f(T)+f(0)=f(T2