第四章偏微分方程的有限差分法第1頁，共80頁。4.1有限差分法原理拋物線形雙曲型橢圓形不可逆過程可逆過程平衡過程熱傳導方程波動方程位勢方程

物理學中許多物理規(guī)律都用偏微分方程描述，偏微分方程主要分為以下三類：

上式中a,c,f以及未知函數(shù)u為定義在求解區(qū)域上的實（復）函數(shù)HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@2/75第2頁，共80頁。4.1有限差分法原理有限差分解法差分近似代替微分，差商近似代替微商這樣就把求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)分布函數(shù)離散化成求網(wǎng)絡節(jié)點上的分立函數(shù)值，從而把所需求解的微分方程變?yōu)橐唤M相應的差分方程，進一步可以求解離散節(jié)點上的函數(shù)值。數(shù)學基礎泰勒（Taylor）展開HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@3/75第3頁，共80頁。4.1有限差分法原理差商公式的構造利用泰勒級數(shù)展開定義差商HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@4/75第4頁，共80頁。4.1有限差分法原理誤差為O(h)差商公式：一階向前差商：一階向后差商：HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@5/75第5頁，共80頁。4.1有限差分法原理二階向前差商：式(2)-式(1)X2誤差為O(h2)差商公式：HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@6/75第6頁，共80頁。4.1有限差分法原理二階向后差商:式(2)-式(1)X2HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@7/75第7頁，共80頁。4.1有限差分法原理一階向前差商：HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@8/75第8頁，共80頁。4.1有限差分法原理一階向后差商：HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@9/75第9頁，共80頁。4.1有限差分法原理一階中心差商：HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@10/75第10頁，共80頁。4.1有限差分法原理二階中心差商：HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@11/75第11頁，共80頁。4.1有限差分法原理差分格式的收斂性和穩(wěn)定性收斂性：穩(wěn)定性：當步長h?→0時，差分方程的解趨向于微分方程的解。誤差在運算過程中不會失控，即累計誤差不會無限增加。HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@12/75第12頁，共80頁。4.1有限差分法原理從數(shù)學上講，沒有限制的微分方程會有無窮多個解，不能構成一個定解問題。從物理上講，描述物理問題的微分方程僅適用于描述在一個連續(xù)體或物理場的內(nèi)部發(fā)生的物理過程，僅靠這些微分方程不足以確定物理過程的具體特征。因此，要想解決實際的物理問題，必須知道一個連續(xù)體或物理場的初始狀態(tài)和邊界受到的外界影響。HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@13/75第13頁，共80頁。4.1有限差分法原理初始條件：與時間相聯(lián)系邊界條件：邊界受到外界的影響偏微分方程的定解條件常見的物理問題可以歸結為三大類邊界條件HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@14/75第14頁，共80頁。4.1有限差分法原理2第二類邊界條件（諾依曼Neumann）1第一類邊界條件（狄利克雷Dirichlet）熱傳導問題：邊界Г上溫度分布已知熱傳導問題：通過邊界Г單位面積上的熱流量已知n表示Γ的外法線q0定義在Γ上的已知函數(shù)HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@15/75第15頁，共80頁。4.1有限差分法原理由熱力學傅立葉定律得：熱流量：單位面積上的熱流量：K:熱傳導系數(shù)單位時間內(nèi)通過給定截面的熱量，正比例于垂直于該界面方向上的溫度變化率和截面面積，而熱量傳遞的方向則與溫度升高的方向相反。HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@16/75第16頁，共80頁。4.1有限差分法原理3第三類邊界條件（洛平Robin）熱傳導問題：邊界表面Г與外界之間的熱量交換已知a0,b0.c0定義在Γ上的已知函數(shù)外界溫度為u0，熱交換規(guī)律遵循熱傳導實驗定律：單位時間內(nèi)，從邊界單位面積傳遞給周圍的熱流量正比于邊界表面和外界的溫度差。HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@17/75第17頁，共80頁。4.1有限差分法原理對于實際物理問題，邊界條件往往是很復雜的，可能是一種或不同邊界區(qū)域幾種邊界條件的組合，甚至不能用這三類邊界條件描述。α：熱交換系數(shù)

u：邊界溫度單位面積上的熱流量：HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@18/75第18頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法

物理學中對熱傳導、熱輻射以及氣體擴散現(xiàn)象的描述，?？梢詺w結為同一類型的拋物線型方程，通常采用二階偏微分方程描述，這類方程統(tǒng)稱為熱傳導方程。HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@19/75第19頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法一維各向同性、均勻介質(zhì)，且無熱源的熱傳導方程：

為了求解u(x,t)，還必須利用邊界條件和初始條件。定解條件：邊界條件和初始條件。定解問題：解存在、唯一并且連續(xù)依賴初始條件。4.2.1一維熱傳導方程的差分解法HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@20/75第20頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法對于一維熱傳導問題（第一類邊界條件）數(shù)值解就是在求解區(qū)域中某些離散點（xi,ti）上求出u(xi,ti)足夠近似的解。HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@21/75第21頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法1把求解區(qū)域離散化（確定離散點）TlHarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@22/75第22頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法2推導差分遞推公式在節(jié)點（xi,tk）上二階向前差商O(h2)HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@23/75第23頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法同樣，在節(jié)點（xi,tk）上一階向前差商O(h)HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@24/75第24頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法一維熱傳導方程可以近似為令O(h)HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@25/75第25頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法初始條件邊界條件HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@26/75第26頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法一維熱傳導方程顯示差分遞推公式為HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@27/75第27頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法顯示差分遞推公式的穩(wěn)定性：對于一維熱傳導方程，差分格式為穩(wěn)定差分格式的充分條件是即HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@28/75第28頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法為了提高數(shù)值解的精度，必須減小τ相應就要變小，這必然增加計算量。這就是顯示差分格式的缺點，但它的優(yōu)點是計算簡單。HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@29/75第29頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法差分格式計算步驟：⒈給定⒉計算⒊計算初始值：計算邊界值：⒋用差分格式計算HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@30/75第30頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@31/75第31頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@32/75第32頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法X=diag(v,k)若v為n個元素向量，返回一個階數(shù)為n+abs(k)的方陣X，將v作為X的第k個對角元，k=0代表主對角元，k>0表示在主對角元之上，k<0表示在主對角元以下。v=ones(1,5);X1=diag(v)X2=diag(v,1)X3=diag(v,-1)HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@33/75第33頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法（1-2*α）*diag(ones(1,N-1))+α*（diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1)）HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@34/75第34頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法例4.2.1求熱傳導方程混合問題HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@35/75第35頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@36/75第36頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@37/75第37頁，共80頁。9.24.2熱傳導方程的差分解法HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@38/75第38頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@39/75第39頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@40/75第40頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法二維各向同性、均勻介質(zhì)，且無熱源的熱傳導方程：初始條件：邊界條件：？4.2.2二維熱傳導方程的差分解法HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@41/75第41頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法同一維類似，把求解區(qū)域離散化HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@42/75第42頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法在節(jié)點（xi,yj,tk）上HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@43/75第43頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法在節(jié)點（xi,yj,tk）上HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@44/75第44頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法二維熱傳導方程可以近似為令HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@45/75第45頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法差分遞推公式為HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@46/75第46頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法邊界條件：一、右圖中陰影部分為絕熱壁，此絕熱壁可以用第二類邊界條件描述，即熱流量為零。第二類邊界條件：通過邊界表面單位面積上的熱流量已知HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@47/75第47頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法差分近似為HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@48/75第48頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法遞推公式為：HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@49/75第49頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法二、i=0邊界，M1≤j≤M2區(qū)域為與高溫恒溫熱源相連接的口，溫度可取歸一化值1。j=0和j=M邊界與低溫恒溫熱源相連，溫度始終為0。HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@50/75第50頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法二維熱傳導方程顯示差分遞推公式為HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@51/75第51頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法穩(wěn)定差分格式的充分條件是即HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@52/75第52頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@53/75第53頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@54/75第54頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@55/75第55頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@56/75第56頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@57/75第57頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法view(az,el)az:方位角el:仰角view(0,90)view(-37.5,

30）HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@58/75第58頁，共80頁。4.2熱傳導方程的差分解法HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@59/75第59頁，共80頁。

4.3波動方程的差分解法一維均勻弦線的自由振動方程：

波動方程的差分解法也利用構造網(wǎng)格節(jié)點的方法HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@60/75第60頁，共80頁。

4.3波動方程的差分解法用二階中心差分近似方法得：

HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@61/75第61頁，共80頁。

4.3波動方程的差分解法代入波動方程得：

令：

HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@62/75第62頁，共80頁。

4.3波動方程的差分解法邊界條件初始條件HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@63/75第63頁，共80頁。

4.3波動方程的差分解法a初始條件：

對于初始時刻速度，也須用差分格式給出：

HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@64/75第64頁，共80頁。

4.3波動方程的差分解法a1向前差分：

誤差：

HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@65/75第65頁，共80頁。

4.3波動方程的差分解法a2中心差分：

由

得（k=0）

+HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@66/75第66頁，共80頁。

4.3波動方程的差分解法誤差：

整理得：

HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@67/75第67頁，共80頁。

4.3波動方程的差分解法b邊界條件：

一維波動方程的差分格式有如下兩種HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@68/75第68頁，共80頁。

4.3波動方程的差分解法第一種：

誤差：

HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@69/75第69頁，共80頁。

4.3波動方程的差分解法第二種：

誤差：

HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@70/75第70頁，共80頁。

4.3波動方程的差分解法