圖論期末考試試題及答案

一、單項選擇題1.一個簡單圖\(G=(V,E)\)，若\(|V|=5\)，\(|E|=10\)，則該圖的平均度為（）A.2B.3C.4D.5答案：C2.下列哪種圖一定是連通圖（）A.樹B.二部圖C.完全圖的補圖D.正則圖答案：A3.一個圖\(G\)是歐拉圖的充要條件是（）A.\(G\)中所有頂點度數(shù)均為偶數(shù)B.\(G\)中所有頂點度數(shù)均為奇數(shù)C.\(G\)連通且所有頂點度數(shù)均為偶數(shù)D.\(G\)連通且所有頂點度數(shù)均為奇數(shù)答案：C4.對于\(n\)個頂點的完全圖\(K_n\)，其邊數(shù)為（）A.\(n(n-1)\)B.\(\frac{n(n-1)}{2}\)C.\(n(n+1)\)D.\(\frac{n(n+1)}{2}\)答案：B5.若圖\(G\)是\(k\)-連通圖（\(k\geq1\)），則圖\(G\)至少刪除（）個頂點后才會不連通。A.\(k-1\)B.\(k\)C.\(k+1\)D.\(2k\)答案：B6.下列關(guān)于二部圖的說法正確的是（）A.二部圖一定是樹B.二部圖中不存在奇圈C.二部圖的頂點數(shù)一定是偶數(shù)D.二部圖一定是歐拉圖答案：B7.一個圖\(G\)有生成樹的充要條件是（）A.\(G\)是連通圖B.\(G\)是無圈圖C.\(G\)是簡單圖D.\(G\)是正則圖答案：A8.圖\(G\)的色數(shù)\(\chi(G)=2\)，則\(G\)是（）A.完全圖B.樹C.二部圖D.歐拉圖答案：C9.若圖\(G\)中頂點\(u\)和\(v\)之間的距離\(d(u,v)=3\)，則從\(u\)到\(v\)的最短路徑長度為（）A.2B.3C.4D.5答案：B10.對于一個連通平面圖\(G=(V,E,F)\)，根據(jù)歐拉公式有（）A.\(|V|-|E|+|F|=1\)B.\(|V|-|E|+|F|=2\)C.\(|V|+|E|-|F|=2\)D.\(|V|+|E|+|F|=2\)答案：B二、多項選擇題1.以下哪些性質(zhì)是樹所具有的（）A.連通B.無圈C.邊數(shù)比頂點數(shù)少1D.任意兩個頂點之間有唯一路徑答案：ABCD2.關(guān)于哈密頓圖，以下說法正確的是（）A.哈密頓圖一定是連通圖B.存在哈密頓通路的圖一定是哈密頓圖C.完全圖\(K_n(n\geq3)\)是哈密頓圖D.二部圖\(K_{2,3}\)是哈密頓圖答案：AC3.以下哪些操作可以保持圖的連通性（）A.增加一條邊B.刪除一條邊C.增加一個頂點D.刪除一個度數(shù)為1的頂點答案：AD4.下列關(guān)于圖的度序列的說法正確的是（）A.一個非負(fù)整數(shù)序列\(zhòng)(d_1\geqd_2\geq\cdots\geqd_n\)是某個圖的度序列當(dāng)且僅當(dāng)\(\sum_{i=1}^{n}d_i\)為偶數(shù)B.同構(gòu)圖的度序列一定相同C.度序列相同的圖一定同構(gòu)D.一個圖的度序列可以唯一確定該圖答案：AB5.以下哪些圖是可平面圖（）A.樹B.二部圖\(K_{2,3}\)C.完全圖\(K_4\)D.完全二部圖\(K_{3,3}\)答案：ABC6.對于圖\(G\)的獨立集\(I\)，以下說法正確的是（）A.\(I\)中任意兩個頂點不相鄰B.\(I\)的補集是圖\(G\)的覆蓋集C.最大獨立集的大小等于最小覆蓋集的大小D.獨立集的大小一定小于頂點數(shù)答案：AB7.以下哪些是圖的連通性的度量（）A.連通度B.邊連通度C.最小度D.直徑答案：AB8.關(guān)于圖的匹配，以下說法正確的是（）A.最大匹配是邊數(shù)最多的匹配B.完美匹配一定是最大匹配C.存在完美匹配的圖一定是偶數(shù)階圖D.二部圖中存在求最大匹配的有效算法答案：ABCD9.以下哪些圖具有對稱性（）A.完全圖B.正則圖C.循環(huán)圖D.二部圖答案：ABC10.對于圖\(G\)的生成樹\(T\)，以下說法正確的是（）A.\(T\)是\(G\)的連通無圈子圖B.\(G\)的所有生成樹邊數(shù)相同C.不同的生成樹可能有不同的形狀D.一個圖的生成樹是唯一的答案：ABC三、判斷題1.任何一個圖都可以分解為若干個邊不重的連通分支。（）答案：對2.若圖\(G\)中存在一條歐拉通路，則\(G\)中奇度數(shù)頂點的個數(shù)為0或2。（）答案：對3.一個圖\(G\)的色數(shù)\(\chi(G)\)一定小于等于其最大度\(\Delta(G)+1\)。（）答案：對4.完全圖\(K_5\)是可平面圖。（）答案：錯5.樹的任意兩個頂點之間添加一條邊就會形成一個圈。（）答案：對6.若圖\(G\)是\(3\)-正則圖，則\(G\)的頂點數(shù)一定是偶數(shù)。（）答案：對7.二部圖\(K_{3,4}\)中不存在哈密頓圈。（）答案：對8.圖\(G\)的連通度一定小于等于其邊連通度。（）答案：錯9.一個圖的最小生成樹一定是唯一的。（）答案：錯10.若圖\(G\)中所有頂點的度數(shù)都相等，則\(G\)是正則圖。（）答案：對四、簡答題1.簡述歐拉圖和哈密頓圖的區(qū)別。答案：歐拉圖關(guān)注的是圖中是否存在一條經(jīng)過每條邊恰好一次的回路，其判定條件是圖連通且所有頂點度數(shù)為偶數(shù)。而哈密頓圖關(guān)注的是圖中是否存在一條經(jīng)過每個頂點恰好一次的回路，目前尚無簡單有效的充要判定條件。歐拉圖強調(diào)邊的遍歷，哈密頓圖強調(diào)頂點的遍歷，兩者研究重點和性質(zhì)有明顯差異。2.說明圖的連通度和邊連通度的概念。答案：圖的連通度是指為了使圖不連通或成為平凡圖，至少需要刪除的頂點個數(shù)，記為\(\kappa(G)\)。邊連通度是指為了使圖不連通或成為平凡圖，至少需要刪除的邊的條數(shù)，記為\(\lambda(G)\)。它們都是衡量圖連通程度的重要指標(biāo)，連通度從頂點角度，邊連通度從邊的角度反映圖的連通牢固程度。3.解釋什么是圖的匹配和最大匹配。答案：圖\(G=(V,E)\)的匹配是\(E\)的一個子集\(M\)，使得\(M\)中任意兩條邊都沒有公共端點。最大匹配則是圖\(G\)中邊數(shù)最多的匹配。也就是說在所有可能的匹配中，最大匹配包含的邊數(shù)量達到最大，它在解決如人員分配等實際問題中有重要應(yīng)用。4.簡述平面圖的歐拉公式及其意義。答案：對于連通平面圖\(G=(V,E,F)\)，歐拉公式為\(|V|-|E|+|F|=2\)。它反映了平面圖中頂點數(shù)、邊數(shù)和面數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系。通過這個公式，可以在已知其中兩個量時求出第三個量，還能用于判斷某些圖是否為可平面圖，是研究平面圖性質(zhì)的重要基礎(chǔ)工具。五、討論題1.討論在實際生活中，圖論中關(guān)于連通性的概念有哪些應(yīng)用場景。答案：在通信網(wǎng)絡(luò)中，網(wǎng)絡(luò)的連通性至關(guān)重要。例如，互聯(lián)網(wǎng)中各個節(jié)點需保持連通，才能確保信息順利傳輸。若某些節(jié)點故障導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)不連通，會影響通信。交通網(wǎng)絡(luò)也類似，城市間道路構(gòu)成圖，道路暢通即邊存在，城市為頂點，保持連通才能保障人員和物資運輸。還有電力傳輸網(wǎng)絡(luò)，發(fā)電廠、變電站和用戶構(gòu)成圖的頂點，線路是邊，連通性確保電力供應(yīng)穩(wěn)定?？傊?，連通性概念助力規(guī)劃和維護各類網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)正常運行。2.分析如何利用圖的染色理論解決一些實際問題，舉例說明。答案：圖的染色理論可用于課程安排問題。將課程視為圖的頂點，若兩門課程有學(xué)生同時選修，則這兩個頂點相鄰。對這個圖進行染色，顏色代表不同的上課時間段。通過合理染色，可確保有共同學(xué)生的課程安排在不同時段，避免沖突。在考試安排中也適用，把考試科目看作頂點，有學(xué)生同時報考的科目對應(yīng)的頂點相鄰，染色后不同顏色的科目可安排在不同時間考試，保證考試順利進行，避免學(xué)生考試時間沖突。3.探討圖論中的生成樹概念在實際項目中的應(yīng)用及如何選擇合適的生成樹算法。答案：在實際項目中，生成樹概念常用于通信網(wǎng)絡(luò)布線。如在一個園區(qū)構(gòu)建通信網(wǎng)絡(luò)，園區(qū)建筑為頂點，可布線的線路為邊，構(gòu)建生成樹能以最小成本連接所有建筑。在電力傳輸網(wǎng)絡(luò)中，也可利用生成樹減少線路鋪設(shè)成本。選擇算法時，若圖規(guī)模較小，普里姆算法較合適，它從一個頂點開始逐步擴展生成樹，實現(xiàn)簡單。若圖規(guī)模大且稀疏，克魯斯卡爾算法更優(yōu)，它按邊權(quán)值從小到大選邊，效率較高，可根據(jù)項目中圖的特點和規(guī)模選擇算法。4