粘性流體力學(xué)第六章演示文稿第1頁(yè)，共52頁(yè)。（優(yōu)選）粘性流體力學(xué)第六章第2頁(yè)，共52頁(yè)。1、湍流渦粘模式

(6－34）

渦粘模式理論是目前工程中常用的模式，它的表達(dá)式和分子粘性類似，因此比較容易將N－S方程數(shù)值解法推廣到雷諾平均方程的計(jì)算中來(lái)。(1)、渦粘性模型

布西內(nèi)斯克（BoussinesqJ.,1877）提出二維湍流的雷諾應(yīng)力與粘性應(yīng)力作用相似的假設(shè)，即局部的雷諾應(yīng)力與平均速度梯度成正比：

對(duì)三維流動(dòng)(6－35）3第3頁(yè)，共52頁(yè)。

其中：湍流動(dòng)力粘性系數(shù)，或稱渦旋粘性系數(shù)，是湍流運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)。上述假設(shè)所以能提出是基于對(duì)湍流脈動(dòng)引起的動(dòng)量交換與氣體分子運(yùn)動(dòng)引起的粘性切應(yīng)力進(jìn)行簡(jiǎn)單的類比的結(jié)果。對(duì)于一般在定溫下可認(rèn)為是常數(shù)，但不是常量，因?yàn)橥牧鞯膭?dòng)量交換取決于湍流的平均運(yùn)動(dòng)。

應(yīng)力張量表示

(6－36）

流動(dòng)只在一個(gè)方向上有明確的速度梯度時(shí)，可以認(rèn)為是個(gè)標(biāo)量。在一般情況下，當(dāng)i=j時(shí)(6－37）4第4頁(yè)，共52頁(yè)。式中k為湍動(dòng)能，如果是一個(gè)標(biāo)量，那么，而實(shí)際上。為此Boussinesq修正（6－35），提出對(duì)于三維湍流

(6－38）Townsend.A.A測(cè)得在圓柱尾跡的充分湍流區(qū)，是來(lái)流速度，d是圓柱直徑）。HinzeJ.O.在空氣的圓截面射流中測(cè)得（UP是射流入射速度，d是射流孔徑）。當(dāng)UP＝40m/s，d=25mm，則大約是空氣的1000倍。5第5頁(yè)，共52頁(yè)。

Prandtl混合長(zhǎng)度理論依然從Boussinesq的假設(shè)出發(fā)，對(duì)于二維湍流，令：

式中為湍流雷諾切應(yīng)力，并認(rèn)為與湍流的脈動(dòng)速度與混合長(zhǎng)度lm的乘積成正比混合長(zhǎng)度lm類比于氣體分子運(yùn)動(dòng)的自由行程，在lm一段特征長(zhǎng)度之內(nèi)湍流微團(tuán)保持自己的動(dòng)量不變。（2）混合長(zhǎng)度理論

6第6頁(yè)，共52頁(yè)。

對(duì)于圖中二維不可壓定常湍流：

假設(shè)微團(tuán)從或運(yùn)動(dòng)至，對(duì)于來(lái)講，脈動(dòng)速度或，

圖6－6混合長(zhǎng)度與脈動(dòng)速度7第7頁(yè)，共52頁(yè)。

由于所以微團(tuán)從運(yùn)動(dòng)到時(shí)，也就是說(shuō)和是異號(hào)的。還可以認(rèn)為，這是因?yàn)楫?dāng)處的微團(tuán)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，恰巧在微團(tuán)的左邊時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生碰撞，而產(chǎn)生橫向運(yùn)動(dòng)，這樣。同樣,當(dāng)兩個(gè)微團(tuán)到達(dá)點(diǎn)時(shí)向相反運(yùn)動(dòng)時(shí)，周圍的微團(tuán)會(huì)向中間補(bǔ)充也會(huì)產(chǎn)生。8第8頁(yè)，共52頁(yè)。圖6－7的產(chǎn)生

認(rèn)為(6－39）9第9頁(yè)，共52頁(yè)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)研究可以得到以下幾點(diǎn)：a、由試驗(yàn)得到的，不象假設(shè)的那樣為流體微團(tuán)的尺寸，而是與流動(dòng)的平均尺度一樣的量級(jí)。b、不是空間常數(shù)。在邊界層中根據(jù)尼古拉茲和Klebanoff試驗(yàn)，在內(nèi)層（壁面區(qū)）

式中i表示內(nèi)層，k=0.40~0.41，是壁面摩擦阻力。(6－40）(6－41）10第10頁(yè)，共52頁(yè)。

在邊界層的外層（核心區(qū)）：

式中o表示外層，，，為間隙因子。(6－42）VanDriest（1959）年提出在內(nèi)層：(6－43）11第11頁(yè)，共52頁(yè)。式中，在外層：

(6－44）c、根據(jù)上述公式在管流中時(shí)，，那么，，而事實(shí)上，為此Prandtl提出修正：(6－45）

是附加混合長(zhǎng)度，不過(guò)由試驗(yàn)確定很復(fù)雜。d、混合長(zhǎng)度理論沒(méi)有考慮壓力脈動(dòng)對(duì)動(dòng)量傳遞的影響，而壓力脈動(dòng)可以跨越lm而傳遞的，考慮到壓力脈動(dòng)的影響，流體微團(tuán)的動(dòng)量不可能在lm范圍內(nèi)保持不變。12第12頁(yè)，共52頁(yè)。

二維湍流場(chǎng)中，流體微團(tuán)的動(dòng)量傳遞還伴隨著旋轉(zhuǎn)，其角速度為(6－46）Karman相似理論：Karman（1930）提出了一種湍流局部相似性假設(shè)。他認(rèn)為在自由湍流場(chǎng)中各空間點(diǎn)的湍流脈動(dòng)具有幾何相似性，也就是說(shuō)，各點(diǎn)的湍流脈動(dòng)對(duì)同一個(gè)時(shí)間尺度和長(zhǎng)度尺度只有比例系數(shù)的差別，因此只要用一個(gè)時(shí)間和速度比尺就能確定湍動(dòng)結(jié)構(gòu)。對(duì)于二維湍流場(chǎng)，混合長(zhǎng)度lm的表達(dá)式為：

13第13頁(yè)，共52頁(yè)。

設(shè)一個(gè)微團(tuán)從x2向上運(yùn)動(dòng)到x20。其中那么：圖6－8流體微團(tuán)的動(dòng)量傳遞

14第14頁(yè)，共52頁(yè)。可以求出x2點(diǎn)的平均角速度

15第15頁(yè)，共52頁(yè)。由于微團(tuán)以轉(zhuǎn)動(dòng)，所以在處產(chǎn)生同時(shí)，并令，那么

(6－47）16第16頁(yè)，共52頁(yè)。所以雷諾切應(yīng)力為：

式中k=0.40?？ㄩT理論似乎比普朗特理論完善一些，但比較繁瑣，此外當(dāng)時(shí)，為奇點(diǎn)，所以工程上多用Prandtl理論。(6－48）17第17頁(yè)，共52頁(yè)。(6－47a）(6－47b）18第18頁(yè)，共52頁(yè)。19第19頁(yè)，共52頁(yè)。(3)、零方程模型

在上述理論的基礎(chǔ)上，一些學(xué)者提出了湍流粘性系數(shù)的代數(shù)型模型，也稱為零方程模型:

Cebci－Smith（1968）（CS）模型，

Mellor－Herring（1968）（MH），

Patanka－Spalding（1968）（PS）和

Baldwin－Lomax（BL）等模型。

這些模型的共同點(diǎn)是根據(jù)湍流邊界層的結(jié)構(gòu)，對(duì)在邊界層的內(nèi)層和外層須用不同的尺度。

CS模型發(fā)展了VanPriest的模型，得到廣泛的應(yīng)用，其公式為：

20第20頁(yè)，共52頁(yè)。對(duì)于內(nèi)層：

k=0.40,A是衰減因子。

(6－49）21第21頁(yè)，共52頁(yè)。若為實(shí)壁則式中，為壓力梯度系數(shù)，為壁面吹氣系數(shù)，。

對(duì)于外層：(6－50）22第22頁(yè)，共52頁(yè)。當(dāng)

當(dāng)

內(nèi)層外層的分界點(diǎn)是（6－49）式和（6－50）式達(dá)到相同的值確定。式中是從層流到湍流轉(zhuǎn)捩區(qū)中的間歇因子，對(duì)于二維流動(dòng)：23第23頁(yè)，共52頁(yè)。

其中

為轉(zhuǎn)捩開(kāi)始的位置，G為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)：

BL模型（1978）同樣適用于湍流邊界層。其主要特點(diǎn)為：采用分區(qū)的渦粘公式；用渦量取代變形率；對(duì)混合長(zhǎng)度做近壁修正。具體的表達(dá)式為：

24第24頁(yè)，共52頁(yè)。(6－51）(6－52）25第25頁(yè)，共52頁(yè)。(6－53）26第26頁(yè)，共52頁(yè)。

代數(shù)模式的最大優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算量少，只要附加粘性模型，就可以利用通常的N－S方程數(shù)值計(jì)算程序，因此深受工程師們歡迎。代數(shù)比較模式容易針對(duì)特定的流動(dòng)狀態(tài)做各種修正。BL模式主要適應(yīng)于小曲率的湍流邊界層，加以修正也可應(yīng)用于有壓強(qiáng)梯度和曲率的邊界層。CS模式可用于計(jì)算二維和軸對(duì)稱的不可壓邊界層，也可推廣到三維邊界層中。代數(shù)渦粘模式的最大缺點(diǎn)是它的局部性，代數(shù)表達(dá)式中雷諾應(yīng)力之核當(dāng)?shù)氐钠骄冃温视嘘P(guān)。代數(shù)模式完全忽略了湍流通計(jì)量之間關(guān)系的歷史效應(yīng)，而歷史效應(yīng)很難做局部的修正，因此發(fā)展包含歷史效應(yīng)的模式是必要的，常用的模式包含部分歷史效應(yīng)，稱為目前工程湍流計(jì)算的主要封閉模式。27第27頁(yè)，共52頁(yè)。2、k-ε模型（1）、k-ε模型

k-ε模型屬于兩方程的湍流模型，即湍流湍動(dòng)能k和湍能的耗散率是由兩個(gè)微分方程——k和ε的傳輸方程決定的。

k-ε模型仍沿用Boussinesq的渦粘性概念：式中，為湍流運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)，為湍流長(zhǎng)度尺度：

(6－54）ε28第28頁(yè)，共52頁(yè)。

對(duì)不可壓縮湍流的湍流動(dòng)能方程為：

不可壓縮流體的湍流動(dòng)能方程為：(6－55）29第29頁(yè)，共52頁(yè)。(6－56）(6－57）30第30頁(yè)，共52頁(yè)。(6－58）31第31頁(yè)，共52頁(yè)。32第32頁(yè)，共52頁(yè)。33第33頁(yè)，共52頁(yè)。34第34頁(yè)，共52頁(yè)。

因此湍動(dòng)能耗散的方程為：(6－59）35第35頁(yè)，共52頁(yè)。36第36頁(yè)，共52頁(yè)。（2）RNG湍流模型

鑒于標(biāo)準(zhǔn)模型中方程不夠精確，尤其對(duì)時(shí)均應(yīng)變率較大的流動(dòng),如回流、旋流及分離流等難以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。1986年Yakhot和Orszag應(yīng)用重整化群RNG(RenormalizationGroup)理論，建立了一類新的湍流模型—RNG湍流模型，其中方程中的系數(shù)都是理論推導(dǎo)出來(lái)的。RNG與標(biāo)準(zhǔn)模型形式比較相似，其中不同之處主要是在方程中增加了一項(xiàng)，它包括了渦粘系數(shù)的各向異性、歷史效應(yīng)以及平均渦量的影響。RNG湍流模型與標(biāo)準(zhǔn)湍流模型有類似之處：37第37頁(yè)，共52頁(yè)。根據(jù)Boussinesq假設(shè)，湍動(dòng)能生成項(xiàng)為：(6－60）(6－61）38第38頁(yè)，共52頁(yè)。式中，為應(yīng)變率張量；是由于浮力引起的湍動(dòng)能生成項(xiàng)，計(jì)算中可以不予考慮；是由于可壓縮性引起的湍動(dòng)能耗散項(xiàng)，不可壓縮流動(dòng)中也不予考慮。在方程中，附加項(xiàng)為39第39頁(yè)，共52頁(yè)。（3）在近壁區(qū)使用模式的問(wèn)題及對(duì)策

40第40頁(yè)，共52頁(yè)。

圖6－9壁面區(qū)速度分布41第41頁(yè)，共52頁(yè)。(a)壁面函數(shù)法(b)低雷諾模式

圖6－10求解壁面流動(dòng)的兩種模式42第42頁(yè)，共52頁(yè)。(6－62）(6－63）43第43頁(yè)，共52頁(yè)。(6－64）44第44頁(yè)，共52頁(yè)。（4）湍動(dòng)能和湍動(dòng)能耗散的邊界條件(6－65）45第45頁(yè)，共52頁(yè)。3、單方程渦粘系數(shù)模式(6－66）(6－67）46第46頁(yè)，共52頁(yè)。(6－68）47第47頁(yè)，共52頁(yè)。

將雷諾應(yīng)力方程代入方程（6－69）可得(6－69）48第48頁(yè)，共52頁(yè)。(6－70）49第49頁(yè)，共52頁(yè)。

三階關(guān)聯(lián)項(xiàng)可以推出輸運(yùn)方程，但