第七講數(shù)陣圖初步在一棵小松樹上掛滿小禮物，綴上彩帶，點上彩燈或蠟燭，就成了圣誕樹．在美麗的幾何圖形中按照巧妙的規(guī)律點綴上一些數(shù)，就成了數(shù)陣圖．數(shù)陣圖就是將一些數(shù)按照一定規(guī)律排列而成的圖形，有時也簡稱數(shù)陣．例如下圖就是一個數(shù)陣圖．圖中每條邊的和都等于14．這個相等的和通常也被稱為“公共和”．101031121496785要排出這樣巧妙的數(shù)陣圖，可不是一件容易的事情．數(shù)陣圖種類繁多，奇妙無窮．它是一座真正的數(shù)字迷宮，對于喜歡探究數(shù)字規(guī)律的人有著極大的吸引力，連大數(shù)學家歐拉對它都有著濃厚的興趣．讓我們來欣賞這些美妙的數(shù)陣圖吧．在圖中的三個圓圈內填入三個不同的自然數(shù)，使得三角形每條邊上的三個數(shù)之和都等于11．在圖中的三個圓圈內填入三個不同的自然數(shù)，使得三角形每條邊上的三個數(shù)之和都等于11．例題1251【分析】一條邊上三個數(shù)之和為11，那么只要知道其中兩個數(shù)，就可以把第三個數(shù)填出來了，觀察一下，哪一行是可以直接填出來的？ 練練習11521523在下圖的八在下圖的八個圓圈中分別填入八個不同的自然數(shù)，使正方形每條邊上的三個數(shù)之和相等．現(xiàn)在已經(jīng)填好了五個數(shù)，那么每條邊上各數(shù)之和應該是多少？并將其補充完整．例題2116967【分析】每條邊上的三個數(shù)之和并不知道，也不能直接算出．但由于每條邊上的和是相等的，我們可以比較其中兩個和，觀察一下，根據(jù)上邊三個數(shù)之和與右邊三個數(shù)之和相等，你能判斷出右下角應該填幾嗎？ 練練習2在圖中九個圓圈中分別填入九個不同的自然數(shù)，使得圖中六條直線上的三個數(shù)之和相等．現(xiàn)在已經(jīng)填入五個數(shù)，請將其補充完整．331612410上面的數(shù)陣圖都已經(jīng)填入了一部分數(shù)，有時我們遇到的數(shù)陣圖中完全沒有任何數(shù)，這時我們應當先想辦法計算公共和．把1至8分別填入圖中的八個方格內，使得各列上兩個數(shù)之和都相等，各行四個數(shù)之和也相等．(行的和與列的和可以不相等)例題3把1至8分別填入圖中的八個方格內，使得各列上兩個數(shù)之和都相等，各行四個數(shù)之和也相等．(行的和與列的和可以不相等)例題3練練習3將0至11這12個自然數(shù)填入下圖的方格中，使得各列上兩個數(shù)的和都相等，各行六個數(shù)的和也相等．(行的和與列的和可以不相等) 雖然上述例題沒有直接告訴我們公共和，但是我們還是有辦法“算”出這個和來．請同學們記住，比較復雜的數(shù)陣圖，不是“湊”出來的，而是“算”出來的．這一講的最后，我們要學會一個新的概念：重（chóng）數(shù)．我們再來看看本篇開頭的數(shù)陣圖：通過觀察這個數(shù)陣圖我們發(fā)現(xiàn)，中心圓是最特殊的，每一條直線都有它．如果我們把5條直線和相加，這個圓就被加了5次，這時我們就說這個圓圈的“重數(shù)”是5．這里“重數(shù)”的意思是指圓圈重復計算的次數(shù)．下面我們就來看看與重數(shù)有關的問題．把1至7這七個數(shù)分別填入圖中各圓圈內，使每條直線上三個圓圈內所填數(shù)之和都是10．例題4把1至7這七個數(shù)分別填入圖中各圓圈內，使每條直線上三個圓圈內所填數(shù)之和都是10．例題4練練習4萱萱把1、2、3、4、5、6、7這七個數(shù)填入下圖的七個方框里，每個數(shù)只填一次．使得三條直線上的三個數(shù)之和恰好分別是8、11、15．請給出一種填法．將1至9分別填入下圖中的圓圈內，使得圖中所有三角形（共七個）的三個頂點上的數(shù)之和都等于15．現(xiàn)在已經(jīng)填好了其中三個，請你在圖中填出剩下的數(shù)．將1至9分別填入下圖中的圓圈內，使得圖中所有三角形（共七個）的三個頂點上的數(shù)之和都等于15．現(xiàn)在已經(jīng)填好了其中三個，請你在圖中填出剩下的數(shù)．例題5569【分析】你能找到圖中的七個三角形嗎？已知每個三角形的三個頂點上數(shù)之和都是15，根據(jù)這個條件我們最先能填出哪個位置上的數(shù)呢？把1至11填入下面“六一”圖形的十一個空格內，使得每一條直線上的所有數(shù)之和都相等．把1至11填入下面“六一”圖形的十一個空格內，使得每一條直線上的所有數(shù)之和都相等．例題6【分析】哪個位置最特殊？你能算出這個特殊位置上的數(shù)時多少嗎？課堂內外課堂內外古代陣法古代陣法魚鱗陣：大將位于陣形中后，主要兵力在中央集結，分作若干魚鱗狀的小方陣，按梯次配置，前端微凸，屬于進攻陣形．戰(zhàn)術思想：“中央突破”．集中兵力對敵陣中央發(fā)起猛攻，已方優(yōu)勢時使用，陣形的弱點在于尾側．

鋒矢陣：大將位于陣形中后，主要兵力在中央集結，前鋒張開呈箭頭形狀，也是屬于進攻陣形．戰(zhàn)術思想：“中央突破”．鋒矢陣的防御性較魚鱗陣為好，前鋒張開的“箭頭”可以抵御來自敵軍兩翼的壓力，但進攻性稍差，陣形的弱點仍在尾側．

鶴翼陣：大將位于陣形中后，以重兵圍護，左右張開如鶴的雙翅，是一種攻守兼?zhèn)涞年囆危畱?zhàn)術思想：左右包抄．鶴翼陣要求大將應有較高的戰(zhàn)術指揮能力，兩翼張合自如，既可用于抄襲敵軍兩側，又可合力夾擊突入陣型中部之敵，大將本陣防衛(wèi)應嚴，防止被敵突破；兩翼應當機動靈活，密切協(xié)同，攻擊猛烈，否則就不能達到目的．

偃月陣：全軍呈弧形配置，形如彎月，是一種非對稱的陣形，大將本陣通常位于月牙內凹的底部．作戰(zhàn)時注重攻擊側翼，以厚實的月輪抵擋敵軍，月牙內凹處看似薄弱，卻包藏兇險，大將本陣應有較強的戰(zhàn)力，兵強將勇者適用，也適用于某些不對稱的地形．作業(yè)在圖中的四個圓圈內填入合適的自然數(shù)，使得正方形每條邊上的三個數(shù)之和都等于14．

15231523第1題632781510第2題把1至12分別填入六角星圖案的十二個圓圈中，使得每條線段上的四個數(shù)之和相等．現(xiàn)在如圖已經(jīng)填好了八個數(shù)，請把數(shù)陣圖補全．

將1～5填入圖中的圓圈中，使得橫、豎、大圓周上的幾個數(shù)之和都