湖南省津市市中考數(shù)學(xué)真題分類（勾股定理）匯編定向攻克考試時(shí)間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)填寫(xiě)在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫(xiě)在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無(wú)效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計(jì)14分）1、如圖所示，圓柱的高AB=3，底面直徑BC=3，現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱表面爬到對(duì)角C處捕食，則它爬行的最短距離是（）A． B． C． D．2、“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，若，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．63、如圖，三角形紙片ABC，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，把△ABD沿著AD翻折，得到△AED，DE與AC交于點(diǎn)G，連接BE交AD于點(diǎn)F.若DG＝GE，AF＝6，BF＝4，△ADG的面積為8，則點(diǎn)F到BC的距離為（）A． B． C． D．4、如圖，由6個(gè)相同小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C均在格點(diǎn)上，則∠ABC的度數(shù)為（

）A．45° B．50° C．55° D．60°5、下列各組數(shù)：①3、4、5

②4、5、6

③2.5、6、6.5

④8、15、17，其中是勾股數(shù)的有(

)A．4組 B．3組 C．2組 D．1組6、下面各圖中，不能證明勾股定理正確性的是（）A． B． C． D．7、小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1m，當(dāng)它把繩子的下端拉開(kāi)4m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿的高為（

）A．7m B．7.5m C．8m D．9m第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計(jì)16分）1、無(wú)蓋圓柱形杯子的展開(kāi)圖如圖所示．將一根長(zhǎng)為20cm的細(xì)木筷斜放在該杯子內(nèi)，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm．2、小聰準(zhǔn)備測(cè)量河水的深度，他把一根竹竿插到離岸邊遠(yuǎn)的水底，竹竿高出水面，把竹竿的頂端拉向岸邊，竹竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則河水的深度為_(kāi)_________．3、如圖，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．點(diǎn)E為邊DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△AD'E與△ADE關(guān)于直線AE對(duì)稱，當(dāng)△CD'E為直角三角形時(shí)，DE的長(zhǎng)為_(kāi)_．4、如圖，在中，，于點(diǎn)D．E為線段BD上一點(diǎn)，連結(jié)CE，將邊BC沿CE折疊，使點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)落在CD的延長(zhǎng)線上．若，，則的面積為_(kāi)_________．5、在一棵樹(shù)的5米高B處有兩個(gè)猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹(shù)跑到A處（離樹(shù)10米）的池塘邊．另一只爬到樹(shù)頂D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，則這棵樹(shù)高_(dá)______米.6、我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一道題目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索卻行，去本八尺而索盡．問(wèn)索長(zhǎng)幾何？”譯文為“今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牽索沿地面退行，在離木柱根部8尺處時(shí)，繩索用盡問(wèn)繩索長(zhǎng)是多少？”示意圖如下圖所示，設(shè)繩索的長(zhǎng)為尺，根據(jù)題意，可列方程為_(kāi)_________．7、如圖，折疊直角三角形紙片ABC，使得兩個(gè)銳角頂點(diǎn)A、C重合，設(shè)折痕為DE，若AB=4，BC=3，則△ADC的周長(zhǎng)是__________

8、如圖，在中，，分別以，，邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”，當(dāng)，時(shí)，陰影部分的面積為_(kāi)_______．三、解答題（7小題，每小題10分，共計(jì)70分）1、數(shù)學(xué)中，常對(duì)同一個(gè)量（圖形的面積、點(diǎn)的個(gè)數(shù)等）用兩種不同的方法計(jì)算，從而建立相等關(guān)系，我們把這種思想叫“算兩次”．“算兩次”也稱作富比尼原理，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，由它可以推導(dǎo)出很多重要的公式．（1）如圖1，是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按圖2的方式拼成一個(gè)正方形．①用“算兩次”的方法計(jì)算圖2中陰影部分的面積：第一次列式為，第二次列式為，因?yàn)閮纱嗡兴闶奖硎镜氖峭粋€(gè)圖形的面積，所以可以得出等式；②在①中，如果，，請(qǐng)直接用①題中的等式，求陰影部分的面積；（2）如圖3，兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為，，的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是的直角三角形拼成一個(gè)梯形，用“算兩次”的方法，探究，，之間的數(shù)量關(guān)系．2、閱讀與思考：請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．若直角三角形的三邊的長(zhǎng)都是正整數(shù)，則三邊的長(zhǎng)為“勾股數(shù)”．構(gòu)造勾股數(shù)，就是要尋找3個(gè)正整數(shù)，使它們滿足“其中兩個(gè)數(shù)的平方和（或平方差）等于第三個(gè)數(shù)的平方”．通過(guò)觀察常見(jiàn)勾股數(shù)“3，4，5”；“5，12，13”；“7，24，25”……猜想當(dāng)一組勾股數(shù)中（），最小數(shù)為奇數(shù)時(shí)，另兩個(gè)正整數(shù)和滿足比且，解得，．任務(wù)：(1)請(qǐng)證明猜想成立，即證明，，構(gòu)成勾股數(shù)．(2)若一組勾股數(shù)中，最小數(shù)為9，則另兩個(gè)數(shù)分別是________和________．3、做4個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，把它們按如圖的方式拼成正方形，請(qǐng)用這個(gè)圖證明勾股定理．4、在尋找某墜毀飛機(jī)的過(guò)程中，兩艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目標(biāo)A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/時(shí)的速度離開(kāi)港口O（如圖）沿北偏東40°的方向向目標(biāo)A前進(jìn)，同時(shí)，另一艘搜救艇也從港口O出發(fā)，以12海里/時(shí)的速度向著目標(biāo)B出發(fā)，1.5小時(shí)后，他們同時(shí)分別到達(dá)目標(biāo)A、B．此時(shí)，他們相距30海里，請(qǐng)問(wèn)第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？5、已知m＞0，若3m+2，4m+8，5m+8是一組勾股數(shù)，求m的值．6、超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．上周末，小鵬等三位同學(xué)在濱海大道紅樹(shù)林路段，嘗試用自己所學(xué)的知識(shí)檢測(cè)車速，觀測(cè)點(diǎn)設(shè)在到公路l的距離為100米的P處．這時(shí)，一輛富康轎車由西向東勻速駛來(lái)，測(cè)得此車從A處行駛到B處所用的時(shí)間為3秒，并測(cè)得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，試判斷此車是否超過(guò)了每小時(shí)80千米的限制速度？7、如圖②，它可以看作是由邊長(zhǎng)為a、b、c的兩個(gè)直角三角形（如圖①C為斜邊）拼成的，其中A、C、D三點(diǎn)在同一條直線上，(1)請(qǐng)從面積出發(fā)寫(xiě)出一個(gè)表示a、b、c的關(guān)系的等式；（要求寫(xiě)出過(guò)程）(2)如圖③④⑤，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有_______個(gè)．(3)如圖⑥，直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為3，5，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)______．-參考答案-一、單選題1、C【解析】【分析】要求最短路徑，首先要把圓柱的側(cè)面展開(kāi)，利用兩點(diǎn)之間線段最短，然后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：把圓柱側(cè)面展開(kāi)，展開(kāi)圖如圖所示，點(diǎn)A、C之間的最短距離為線段AC的長(zhǎng)．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD為底面半圓弧長(zhǎng)，AD=π，∴AC=，故選C．【考點(diǎn)】本題考查了平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是會(huì)將圓柱的側(cè)面展開(kāi)，并利用勾股定理解答．2、C【解析】【詳解】解：如圖所示，∵（a+b）2=21∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面積為13，即：a2+b2=13，∴2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面積為13﹣8=5．故選C．3、C【解析】【分析】先求出△ABD的面積，根據(jù)三角形的面積公式求出DF，設(shè)點(diǎn)F到BD的距離為h，根據(jù)?BD?h＝?BF?DF，求出BD即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵DG＝GE，∴S△ADG＝S△AEG＝8，∴S△ADE＝16，由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，∴S△ABD＝S△ADE＝16，∠BFD＝90°，∴?（AF+DF）?BF＝16，∴?（6+DF）×4＝16，∴DF＝2，∴DB＝，設(shè)點(diǎn)F到BD的距離為h，則有?BD?h＝?BF?DF，∴h＝4×2，∴h＝，∴點(diǎn)F到BC的距離為．故選：C【考點(diǎn)】此題考查了翻折變換，三角形的面積，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．4、A【解析】【分析】連接AC，利用勾股定理分別求出AB、AC、BC，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到答案．【詳解】連接AC，∵，，，∴，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠ABC=(180°-∠ACB)=45°．故選A．【考點(diǎn)】本題考查了等腰三角形，勾股定理的逆定理，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)建三角形，熟練掌握等腰三角形的定義和性質(zhì)，熟練運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷直角三角形．5、C【解析】【詳解】解：∵32+42=52，①符合勾股數(shù)的定義；∵42+52≠62，②不符合勾股數(shù)的定義；∵2.5和6.5不是正整數(shù)，③不符合勾股數(shù)的定義；∵82+152=172，④符合勾股數(shù)的定義，是勾股數(shù)的有：①④，共2組，故選：C．6、C【解析】【分析】把各圖中每一部分的面積和整體的面積分別列式表示，根據(jù)每一部分的面積之和等于整體的面積，分別化簡(jiǎn)，再根據(jù)化簡(jiǎn)結(jié)果即可解答.【詳解】解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∵4×+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；C、根據(jù)圖形不能證明勾股定理，故本選項(xiàng)符合題意；D、∵4×+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；故選C．【考點(diǎn)】本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是利用構(gòu)圖法來(lái)證明勾股定理.7、B【解析】【分析】根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，設(shè)旗桿AB=x米，則AC=（x+1）米，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理的方程（x+1）2=x2+42，解方程求得x的值即可.【詳解】如圖所示：設(shè)旗桿AB=x米，則AC=（x+1）米，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+1）2=x2+42，解得：x=7.5．故選B．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解決本題的基本思路是是畫(huà)出示意圖，利用勾股定理列方程求解．二、填空題1、5【解析】【分析】根據(jù)題意直接利用勾股定理得出杯子內(nèi)的筷子長(zhǎng)度，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：由題意可得：杯子內(nèi)的筷子長(zhǎng)度為：＝15，則木筷露在杯子外面的部分至少有：20?15＝5（cm）．故答案為5．【考點(diǎn)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出杯子內(nèi)筷子的長(zhǎng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2、2【解析】【分析】根據(jù)河水深度、竹竿到岸邊的距離、竹竿長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，如圖，則AC=0.5m，，，所以BC即為河水深度，，∵，∴是直角三角形，∴，∴，解得：BC=2（m），故答案為：2．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理，根據(jù)題意畫(huà)示意圖找出與所求邊長(zhǎng)相關(guān)線段所構(gòu)成直角三角形是解題關(guān)鍵．3、3或6【解析】【分析】分兩種情況分別求解，（1）當(dāng)∠CED′＝90°時(shí)，如圖（1），根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得∠AED＝∠AED′＝45′，得DE＝AD＝6；（2）當(dāng)∠ED′A＝90°時(shí)，如圖（2），根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，得A、D′、C在同一直線上，根據(jù)勾股定理得AC＝10，設(shè)DE＝D′E＝x，則EC＝CD?DE＝8?x，根據(jù)勾股定理得，D′E2＋D′C2＝EC2，代入相關(guān)的值，計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)∠CED′＝90°時(shí)，如圖（1），∵∠CED′＝90°，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得∠AED＝∠AED′＝×90°＝45°，∵∠D＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AD＝6；（2）當(dāng)∠ED′A＝90°時(shí)，如圖（2），根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E，△CD′E為直角三角形，即∠CD′E＝90°，∴∠AD′E＋∠CD′E＝180°，∴A、D′、C在同一直線上，根據(jù)勾股定理得，∴CD′＝10?6＝4，設(shè)DE＝D′E＝x，則EC＝CD?DE＝8?x，在Rt△D′EC中，D′E2＋D′C2＝EC2，即x2＋16＝(8?x)2，解得x＝3，即DE＝3；綜上所述：DE的長(zhǎng)為3或6；故答案為：3或6．【考點(diǎn)】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，分情況討論，作出圖形是解題關(guān)鍵．4、【解析】【分析】在△ABC中由等面積求出，進(jìn)而得到，設(shè)BE=x，進(jìn)而DE=DB-BE=，最后在中使用勾股定理求出x即可求解．【詳解】解：在中由勾股定理可知：，∵，∴，∴，在中由勾股定理可知：，∴，設(shè)BE=x，由折疊可知：BE=B’E，且DE=DB-BE=，在中由勾股定理可知：，代入數(shù)據(jù)：∴，解得，∴，∴，故答案為：．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理求線段長(zhǎng)、折疊的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，熟練使用勾股定理求線段長(zhǎng)．5、【解析】【分析】由題意知AD＋DB＝BC＋CA，設(shè)BD＝x，則AD＝15－x，且在直角△ACD中，代入勾股定理公式中即可求x的值，樹(shù)高CD＝(5＋x)米即可．【詳解】解：由題意知AD＋DB＝BC＋CA，且CA＝10米，BC＝5米，設(shè)BD＝x，則AD＝15－x，∵在Rt△ACD中，由勾股定理可得：CD2＋CA2＝AD2，即，解得x＝2.5米，故樹(shù)高為CD＝5＋x＝7.5（米），答：樹(shù)高為7.5米．故答案為：7.5．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本題中找到AD＋DB＝BC＋CA的等量關(guān)系，并根據(jù)勾股定理列方程求解是解題的關(guān)鍵．6、x2?（x?3）2＝82【解析】【分析】設(shè)繩索長(zhǎng)為x尺，根據(jù)勾股定理列出方程解答即可．【詳解】解：設(shè)繩索長(zhǎng)為x尺，根據(jù)題意得：x2?（x?3）2＝82，故答案為：x2?（x?3）2＝82．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出相應(yīng)方程是解題的關(guān)鍵．7、【解析】【分析】首先根據(jù)勾股定理設(shè)，求出AD、CD，再求出AB，相加即可．【詳解】解：∵折疊直角三角形紙片，使兩個(gè)銳角頂點(diǎn)、重合，∴，設(shè)，則，故，∵，∴，即，解得，∴．則在中，由勾股定理得∴AC=5∴周長(zhǎng)為AD+CD+AB=．故答案為：．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用以及折疊的性質(zhì)，掌握勾股定理和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8、24【解析】【分析】根據(jù)勾股定理得到AC2=AB2-BC2，先求解AC，再根據(jù)陰影部分的面積等于直角三角形的面積加上以AC，BC為直徑的半圓面積，再減去以AB為直徑的半圓面積即可．【詳解】解：由勾股定理得，AC2=AB2-BC2=64，則陰影部分的面積，故答案為24．【考點(diǎn)】本題考查的是勾股定理、半圓面積計(jì)算，掌握勾股定理和半圓面積公式是解題的關(guān)鍵．三、解答題1、（1）①，，；或，，；②9；（2）【解析】【分析】（1）①第一次求解陰影部分的邊長(zhǎng)，再計(jì)算面積，第二次利用大的正方形的面積減去四個(gè)長(zhǎng)方形的面積，從而可建立等式；②直接利用公式，再整體代入求值即可；（2）第一次利用梯形的面積公式計(jì)算，第二次利用圖形的面積和計(jì)算，從而得到公式，再整理即可得到答案.【詳解】解：（1）因?yàn)樾≌叫蔚倪呴L(zhǎng)為：所以第一次計(jì)算的面積為：，第二次計(jì)算的面積為：，所以：；或，，②∵，∴（3）第一次利用梯形的面積公式圖形面積為：第二次利用圖形的面積和計(jì)算為：整理得：【考點(diǎn)】本題考查的是利用幾何圖形的面積推導(dǎo)代數(shù)公式，掌握等面積法推導(dǎo)兩個(gè)完全平方公式之間的關(guān)系，推導(dǎo)勾股定理是解題的關(guān)鍵.2、(1)見(jiàn)解析(2)40；41【解析】【分析】(1)利用勾股定理的逆定理證明即可．(2)利用勾股數(shù)的公式代入求值即可．(1)證明：，∴，，構(gòu)成勾股數(shù).(2)根據(jù)最小數(shù)為奇數(shù)時(shí)，另兩個(gè)正整數(shù)為，，當(dāng)a=9時(shí)，，，故答案為：40,41．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理逆定理，勾股數(shù)的探索，代入求值，熟練掌握勾股數(shù)是解題的關(guān)鍵．3、見(jiàn)詳解．【解析】【分析】利用4個(gè)直角三角形全等，根據(jù)列式，整理即可．【詳解】證明：如圖，，，，∵，即∴，∴．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的驗(yàn)證，運(yùn)用拼圖的方式，即利用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積來(lái)驗(yàn)證勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．4、第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．【解析】【分析】根據(jù)題意求出OA、OB，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠AOB＝90°，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：OA＝16海里/時(shí)×1.5小時(shí)＝24海里；OB＝12海里/時(shí)×1.5小時(shí)＝18海里，∵OB2＋OA2＝242＋182＝900，AB2＝302＝900，∴OB2＋OA2＝AB2，∴∠AOB＝90°，∵艘搜救艇以16海里/時(shí)的速度離開(kāi)港口O（如圖）沿北偏東40°的方向向目標(biāo)A的前進(jìn)，∴∠BOD＝50°，即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．【考點(diǎn)】本題考查了方向角，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，能熟記定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：如果三角形兩邊a、b的平方和等于第三邊c的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．5、m＝1【解析】【