專題訓練：25.2.3列舉所有機會均等的結果【知識點1用列表法求概率】當一次試驗要涉及兩個因素并且可能出現(xiàn)得結果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能得結果，通常用列表法。列表法就是用表格得形式反映事件發(fā)生得各種情況出現(xiàn)得次數(shù)與方式，以及某一事件發(fā)生得可能得次數(shù)與方式，并求出概率得方法?！局R點2用樹狀圖求概率】當一次試驗要涉及3個或更多得因素時，列方形表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能得結果，通常采用樹形圖。樹形圖就是反映事件發(fā)生得各種情況出現(xiàn)得次數(shù)與方式，并求出概率得方法。（1）樹形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)得總次數(shù)不就是很大時求概率得方法。（2）在用列表法與樹形圖法求隨機事件得概率時，應注意各種情況出現(xiàn)得可能性務必相同?！绢}型1列舉法或樹狀圖求概率（卡片問題）】【例1】（2022?蘭考縣二模）現(xiàn)有A、B兩個不透明的盒子，A盒里有兩張卡片，分別標有數(shù)字1、2，B盒里有三張卡片，分別標有數(shù)字3、4、5，這些卡片除數(shù)字外其余都相同，將卡片充分搖勻．從A盒、B盒里各隨機抽取一張卡片，則抽到的兩張卡片上標有的數(shù)字之和大于5的概率為（）A．56 B．12 C．13 【變式1-1】（2022?肇東市校級一模）現(xiàn)有三張正面分別標有數(shù)字﹣1，2，3的不透明卡片，它們除數(shù)字外其余完全相同，將它們背面朝上洗均勻，隨機抽取一張，記下數(shù)字后放回，背面朝上洗均勻，再隨機抽取一張記下數(shù)字，前后兩次抽取的數(shù)字分別記為m，n，則點P（m，n）在第二象限的概率為（）A．12 B．13 C．23 【變式1-2】（2022?寧夏）喜迎黨的二十大召開，學校推薦了四部影片：《1921》、《香山葉正紅》、《建黨偉業(yè)》、《建軍大業(yè)》．甲、乙同學用抽卡片的方式決定本班觀看哪部，四張卡片正面分別是上述影片劇照，除此之外完全相同．將這四張卡片背面朝上，甲隨機抽出一張并放回，洗勻后，乙再隨機抽出一張，則兩人恰好抽到同一部的概率是．【變式1-3】（2022?新野縣一模）現(xiàn)有四張完全相同的卡片，在正面分別標有數(shù)字0，﹣9，﹣3，8，把卡片背面朝上洗勻，然后從中隨機抽取兩張，則這兩張卡片上的數(shù)字的積恰好是0的概率是（）A．712 B．13 C．12 【題型2列舉法或樹狀圖求概率（轉盤問題）】【例2】（2022?海港區(qū)模擬）如圖，是兩個圓形轉盤，同時旋轉兩個轉盤，兩個轉盤的指針都不落在“1”區(qū)域的概率是（）A．34 B．14 C．38 【變式2-1】（2022?安徽模擬）如圖是一個游戲轉盤，連續(xù)自由轉動轉盤兩次（如果落在分隔線上，則重新轉動，直至轉到其中一塊區(qū)域），則兩次轉動指針都落在數(shù)字“Ⅲ”所示區(qū)域內的概率是（）A．19 B．16 C．14 【變式2-2】（2022?鹽城校級模擬）如圖所示，可以自由轉動的轉盤被3等分，指針落在每個扇形內的機會均等．（1）現(xiàn)隨機轉動轉盤一次，停止后，指針指向2的概率為；（2）小明和小華利用這個轉盤做游戲，若采用下列游戲規(guī)則，你認為對雙方公平嗎？請用列表或畫樹狀圖的方法說明理由．游戲規(guī)則：隨機轉動轉盤兩次，停止后，指針各指向一個數(shù)字，若兩數(shù)之積為偶數(shù)，則小明勝；否則小華勝．【變式2-3】（2022?沈河區(qū)一模）如圖是甲、乙兩個轉盤，其中甲轉盤被分成四個面積相等的扇形，乙轉盤被分成三個面積相等的扇形，轉動轉以時，如指針恰好停在分割線上，那么重轉一次，直到指針指向某一扇形區(qū)域為止．（1）轉動甲轉盤時指針指向偶數(shù)區(qū)域的概率是．（2）請用樹狀圖或列表法求分別轉動兩個轉盤各一次得到的兩個數(shù)字之和為5的概率．【題型3列舉法或樹狀圖求概率（不放回的摸球問題）】【例3】（2022?武漢模擬）甲、乙兩名同學玩一個游戲：在一個不透明的口袋中裝有標號分別為1，2，3，4的四個小球（除標號外無其他差異）．從口袋中隨機摸出兩個小球，記下標號．若兩個小球的標號之積為奇數(shù)，則甲獲勝；若兩個小球的標號之積為偶數(shù)，則乙獲勝．乙獲勝的概率是（）A．112 B．16 C．12 【變式3-1】（2022?沙坪壩區(qū)校級開學）不透明的袋子中裝了2個紅球，1個黑球，1個白球，這些球除顏色外無其它差別，從袋子中隨機摸出2個球，摸出1個紅球1個黑球的概率為．【變式3-2】（2022秋?中原區(qū)校級期末）將分別標有“鄭”“州”“加”“油”漢字的四個小球裝在一個不透明的口袋中，這些球除漢字外無其他差別，每次摸球前先攪拌均勻隨機摸出一球，不放回；再隨機摸出一球．兩次摸出的球上的漢字能組成“加油”的概率是（）A．18 B．16 C．14 【變式3-3】（2022?泌陽縣四模）一個袋子中裝有除顏色外完全相同的6個小球，其中有3個小球是白色的，2個小球是紅色的，1個小球是黑色的，那么不放回連續(xù)取出兩個小球都是白色的概率為（）A．15 B．14 C．13 【題型4列舉法或樹狀圖求概率（放回的摸球問題）】【例4】（2022?同安區(qū)二模）小林和小華在進行摸球游戲．在不透明的袋子里有4個分別標有數(shù)字1、2、3、4的小球，這些小球除數(shù)字外完全一樣．小林先摸，將摸到的小球數(shù)字記為m，然后將小球放回．再由小華摸球，小華摸到的小球數(shù)字記為n．如果m，n滿足|m﹣n|≤1，就稱小林、小華兩人“心有靈犀”．則小林、小華兩人“心有靈犀”的概率是（）A．14 B．38 C．12 【變式4-1】（2022?宛城區(qū)一模）一只不透明的袋子中裝有1個紅球和2個白球，這些球除顏色外其余都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，記錄下顏色后放回攪勻，再從中摸出第2個球．則兩次摸出的球顏色相同的概率是（）A．59 B．49 C．13 【變式4-2】（2022?西工區(qū)模擬）將分別標有“精”“準”“扶”“貧”漢字的四個小球裝在一個不透明的口袋中，這些球除漢字外無其它差別，每次摸球前先攪拌均勻，隨機摸出一球，放回后；再隨機摸出一球，兩次摸的球上的漢字組成詞語“扶貧”的概率是（）A．14 B．16 C．18 【變式4-3】（2022春?鄲城縣校級月考）一個不透明的盒子里裝有紅、黃、藍三種顏色的小球共4個，它們除顏色外完全相同，其中紅球有2個，藍球有1個．小明從盒子里隨機摸出1個小球，然后放回搖勻，再隨機摸出1個，則兩次摸到的小球顏色為一紅一藍的概率是（）A．16 B．15 C．14 【題型5列舉法或樹狀圖求概率（電路問題）】【例5】（2022?武漢模擬）如圖，電路圖上有三個開關S1，S2，S3和兩個小燈泡L1，L2，隨機閉合開關S1，S2，S3中的兩個，能讓燈泡L2發(fā)光的概率是（）A．12 B．14 C．23 【變式5-1】（2022?海勃灣區(qū)校級一模）如圖，電路圖上有4個開關A，B，C，D和1個小燈泡，同時閉合開關A，B或同時閉合開關C，D都可以使小燈泡發(fā)光．現(xiàn)隨機閉合兩個開關，小燈泡發(fā)光的概率為（）A．12 B．13 C．23 【變式5-2】（2022?煙臺模擬）如圖，電路圖中，當隨機閉合S1、S2、S3、S4、S5中的兩個開關時，能夠讓燈泡發(fā)光的概率為．【變式5-3】（2022?商水縣三模）如圖電路中，隨機閉合開關S1，S2，S3，S4中的兩個，能夠點亮燈泡的概率為．【題型6列舉法或樹狀圖求概率（數(shù)字問題）】【例6】（2022秋?恩施市期末）從﹣2、﹣1、0三個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)作為點的坐標，則該點在坐標軸上的概率（）A．13 B．12 C．1 D【變式6-1】（2022?常德）從1，2，3，4，5這五個數(shù)中任選兩個數(shù)，其和為偶數(shù)的概率為（）A．15 B．25 C．35 【變式6-2】（2022?港北區(qū)二模）從1、2、3三個數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)，分別記為a，c，則關于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0沒有實數(shù)根的概率為（）A．12 B．13 C．14 【變式6-3】（2022春?浦東新區(qū)校級期末）從3至8的6個整數(shù)中隨機抽取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互素的概率是．【題型7列舉法或樹狀圖求概率（實際應用問題）】【例7】（2022?武漢）班長邀請A，B，C，D四位同學參加圓桌會議．如圖，班長坐在⑤號座位，四位同學隨機坐在①②③④四個座位，則A，B兩位同學座位相鄰的概率是（）A．14 B．13 C．12 【變式7-1】（2022?海淀區(qū)二模）“宮商角徵羽”是中國古樂的五個基本音階（相當于西樂的1，2，3，5，6），是采用“三分損益法”通過數(shù)學方法獲得．現(xiàn)有一款“一起聽古音”的音樂玩具，音樂小球從A處沿軌道進入小洞就可以發(fā)出相應的聲音，且小球進入每個小洞的可能性大小相同．現(xiàn)有一個音樂小球從A處先后兩次進入小洞，先發(fā)出“商”音，再發(fā)出“羽”音的概率是（）A．125 B．110 C．15 【變式7-2】（2022?安慶模擬）某市中考體育項目有：中長跑（1000米/男生、800米/女生）、坐位體前屈、立定跳遠、一分鐘跳繩、擲實心球、籃球運球、足球運球，其中中長跑設定為必考項目，考生可以在余下六個項目中自主選擇2個不同的項目進行考試，則恰好選中坐位體前屈和一分鐘跳繩的概率是（）A．13 B．136 C．130 【變式7-3】（2022?青山區(qū)模擬）把三張形狀、大小相同但畫面不同的風景圖片都按同樣的方式剪成相同的三段，然后將上、中、下三段分別混合均勻，從三堆圖片中隨機各抽出一張，則這三張圖片恰好組成一張完整風景圖片的概率為（）A．127 B．227 C．19 【題型8統(tǒng)計概率綜合】【例8】（2022?平邑縣一模）某校初三（1）班部分同學接受一次內容為“最適合自己的考前減壓方式”的調查活動，收集整理數(shù)據(jù)后，老師將減壓方式分為五類，并繪制了圖1、圖2兩個不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中的信息解答下列問題．（1）初三（1）班接受調查的同學共有多少名；（2）補全條形統(tǒng)計圖，并計算扇形統(tǒng)計圖中的“體育活動C”所對應的圓心角度數(shù)；（3）若喜歡“交流談心”的5名同學中有三名男生和兩名女生；老師想從5名同學中任選兩名同學進行交流，直接寫出選取的兩名同學都是女生的概率．【變式8-1】（2022?鳳山縣模擬）今年5月份，某校九年級學生參加了中考體育考試，為了了解該校九年級（1）班同學的中考體育情況，對全班學生的中考體育成績進行了統(tǒng)計，并繪制以下不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計圖，根據(jù)圖表中的信息解答下列問題：分組分數(shù)段（分）頻數(shù)A36≤x＜412B41≤x＜465C46≤x＜5115D51≤x＜56mE56≤x＜6110（1）求全班學生人數(shù)和m的值；（2）直接寫出該班學生的中考體育成績的中位數(shù)落在哪個分數(shù)段；（3）該班中考體育成績滿分共有3人，其中男生1人，女生2人．現(xiàn)需從這3人中隨機選取2人到八年級進行經驗交流，請用“列表法”或“畫樹狀圖法”求出恰好選到一男一女的概率．【變式8-2】（2022?永安市模擬）墊球是排球隊常規(guī)訓練的重要項目之一．下列圖表中的數(shù)據(jù)是甲、乙、丙三人每人十次墊球測試的成績．測試規(guī)則為每次連續(xù)接球10個，每墊球到位1個記1分．運動員丙測試成績統(tǒng)計表測試序號12345678910成績（分）768b758a87（1）若運動員丙測試成績的平均數(shù)和眾數(shù)都是7，則成績表中的a＝，b＝；（2）若在他們三人中選擇一位墊球成績優(yōu)秀且較為穩(wěn)定的接球能手作為自由人，你認為選誰更合適？請用你所學過的統(tǒng)計量加以分析說明（參考數(shù)據(jù)：三人成績的方差分別為S甲2＝0.81、S乙2＝0.4、S丙2＝0.8）（3）甲、乙、丙三人相互之間進行墊球練習，每個人的球都等可能的傳給其他兩人，球最先從乙手中傳出，第二輪結束時球又回到乙手中的概率是多少？（用樹狀圖或列表法解答）【變式8-3】（2022?岱岳區(qū)三模）2015年2月27日，在中央全面深化改革領導小組第十次會議上，審議通過了《中國足球改革總體方案》，體制改革、聯(lián)賽改革、校園足球等成為改革的亮點．在聯(lián)賽方面，作為國內最高水平的聯(lián)賽﹣﹣中國足球超