6實(shí)數(shù)典型例題題型一實(shí)數(shù)的概念及其分類例1把下列各數(shù)分別填在相應(yīng)的大括號(hào)里：-，0，0.13，，-0.，，-，，，-，-6，3.142，0.020020002…(相鄰兩個(gè)2之間0的個(gè)數(shù)逐次加1).整數(shù)：{…}；分?jǐn)?shù)：{…}；正數(shù)：{…}；負(fù)數(shù)：{…}；有理數(shù)：{…}；無(wú)理數(shù)：{…}.解析：根據(jù)無(wú)理數(shù)的概念先把無(wú)理數(shù)挑選出來(lái).答案：整數(shù)：{0，，-，-6…}；分?jǐn)?shù)：；正數(shù)：0.13，，，，，3.142，0.020020002…(相鄰兩個(gè)2之間0的個(gè)數(shù)逐次加1)，…；負(fù)數(shù)：；有理數(shù)：；無(wú)理數(shù)：，-，，0.020020002…(相鄰兩個(gè)2之間0的個(gè)數(shù)逐次加1)，….點(diǎn)撥：至今我們所學(xué)的數(shù)不是有理數(shù)就是無(wú)理數(shù)，因此可先把題目中所列各數(shù)分成兩類，再?gòu)挠欣頂?shù)中去找整數(shù)或分?jǐn)?shù)，這樣可以分散難點(diǎn)，逐個(gè)突破，同時(shí)可避免重復(fù)或遺漏數(shù)字.題型二實(shí)數(shù)的運(yùn)算例2計(jì)算：+|-|.分析：要進(jìn)行計(jì)算，必須先去絕對(duì)值符號(hào)，因?yàn)?lt;，所以|-|＝-(-)＝-.解：+|-|＝-(-)＝+.點(diǎn)撥：當(dāng)絕對(duì)值里面有一個(gè)式子時(shí)，必須先判斷式子的正負(fù)，然后去絕對(duì)值符號(hào).例3已知a，b互為倒數(shù)，c，d互為相反數(shù)，m的絕對(duì)值為2.求-++m的值.解：因?yàn)閍，b互為倒數(shù)，所以ab＝1.因?yàn)閏，d互為相反數(shù)，所以c+d＝0.因?yàn)閙的絕對(duì)值為2，所以m＝±2.當(dāng)m＝2時(shí)，-++m＝-++2＝1；當(dāng)m＝-2時(shí)，-++m＝-+-2＝-3.例4計(jì)算：-12020+++(π-2019)0-.解：-12020+++(π-2019)0-＝-1+4+(-3)+1-2+＝-1+.題型三實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系例5實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖1所示，則正確的結(jié)論是()圖1A.|a|>4 B.c-b>0 C.ac>0 D.a+c>0.答案：B例6已知實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖2所示，化簡(jiǎn)+--的結(jié)果是.圖2解析：由圖2可得a<0<b，且|a|<|b|，∴原式＝|a|+|b|-|a-b|-|a+b|＝-a+b+(a-b)-(a+b)＝-a-b.答案：-a-b例7在數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離是的點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)是.解析：到原點(diǎn)的距離為的點(diǎn)有兩個(gè)，一個(gè)在原點(diǎn)右邊(數(shù)軸正方向)距離原點(diǎn)個(gè)單位處，一個(gè)在原點(diǎn)左邊(數(shù)軸負(fù)方向)距離原點(diǎn)個(gè)單位處，其所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為和-.答案：和-.點(diǎn)撥：數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是這個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值.題型四實(shí)數(shù)的大小比較1.求差法求差法的基本思路是設(shè)a，b為任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，先求出a與b的差，再根據(jù)當(dāng)a-b>0時(shí)，得到a>b；當(dāng)a-b<0時(shí)，得到a<b；當(dāng)a-b＝0時(shí)，得到a＝b來(lái)比較a與b的大小.例8(1)比較與的大小.(2)比較1-與1-的大小.解：(1)∵-＝<0，∴<.(2)∵(1-)-(1-)＝->0，∴1->1-.2.求商法求商法的基本思路是設(shè)a，b為任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，先求出a與b的商，再根據(jù)當(dāng)<1時(shí)，a<b；當(dāng)>1時(shí)，a>b；當(dāng)＝1時(shí)，a＝b來(lái)比較a與b的大小.例9比較與的大小.解：∵>0，>0，÷＝-1<1，∴<.3.特殊值法用字母表示的實(shí)數(shù)的大小比較，某些時(shí)候利用取特殊值法往往比較簡(jiǎn)單.例10已知實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖3所示，則a，-a，，a2的大小關(guān)系是()圖3A.a<-a<<a2 B.<a<a2<-a C.-a<<a<a2 D.<a2<a<-a解析：由實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置可知-1<a<0，故可采用特殊值法進(jìn)行求解.不妨取a＝-，則-a＝-＝，＝＝-2，a2＝，所以<a<a2<-a.答案：B4.估算法估算法的基本思路是設(shè)a，b為任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，先估算出a，b兩數(shù)或兩數(shù)中某部分的取值范圍，再進(jìn)行比較.例11比較與的大小.解：∵3<<4，∴0<-3<1，∴<.例12比較與的大小.解：由于<1.8，故＝2.4->2.4-1.8＝0.6，<＝0.6，故>.5.平方法平方法的基本思路是先將要比較大小的兩個(gè)數(shù)分別平方，再根據(jù)當(dāng)a>0，b>0時(shí)，可由a2>b2得到a>b來(lái)比較大小，這種方法常用于比較無(wú)理數(shù)的大小.例13比較14與的大小.解：∵142＝196，()2＝195，196>195，∴14>.例14比較大小：(1)和；(2)-2.450和-.分析：比較兩實(shí)數(shù)的大小與比較兩個(gè)有理數(shù)大小的方法基本相同，但由于引進(jìn)了無(wú)理數(shù)，給比較大小帶來(lái)一定困難，因此可采用一些特殊方法，如近似值法、平方法.解：(1)∵＝，()2＝2，即<()2，∴<；(2)-≈-2.449>-2.450，∴-2.450<-.點(diǎn)撥：比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，常用正負(fù)性來(lái)比較，正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)正數(shù)相比較，絕對(duì)值大的較大；兩個(gè)負(fù)數(shù)相比較，絕對(duì)值大的反而小，比較兩個(gè)正無(wú)理數(shù)的大小，被開(kāi)方數(shù)大的值較大，也可以先求出無(wú)理數(shù)的近似值，再按有理數(shù)的大小比較的方法進(jìn)行比較.6.法則法比較實(shí)數(shù)大小的法則是正數(shù)都大于0，0大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)相比較，絕對(duì)值大的反而小.例15比較-π與-的大小.解：由于|-π|＝π，且|-|＝，π>，故-π<-.說(shuō)明：利用法則比較實(shí)數(shù)的大小是最基本的方法，對(duì)于兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小比較，可將它們轉(zhuǎn)化成正數(shù)進(jìn)行比較.7.數(shù)形結(jié)合法用數(shù)形結(jié)合法比較實(shí)數(shù)大小的理論依據(jù)是在同一數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大..圖4解：如圖5所示，利用相反數(shù)及對(duì)稱性，在數(shù)軸上把表示數(shù)a，-a，b，-b，c，-c的點(diǎn)畫出來(lái)，容易得到結(jié)論-c<b<-a<a<-b<c.圖58.放縮法用放縮法比較實(shí)數(shù)大小的基本思想方法是把要比較大小的兩個(gè)數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小，使復(fù)雜的問(wèn)題得以簡(jiǎn)化，從而達(dá)到比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的目的.例17試比較與的大小關(guān)系.解：∵>，∴>3.∵>，∴<3.∴>.方法歸納：兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小，方法多種多樣，在實(shí)際操作時(shí)，根據(jù)要比較的數(shù)的特點(diǎn)來(lái)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行比較，才能方便快捷地得出準(zhǔn)確的結(jié)果.題型五實(shí)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題例18如果把兩個(gè)棱長(zhǎng)分別為2.15cm，3.24cm的正方體鐵塊熔化，制成一個(gè)大的正方體鐵塊，那么這個(gè)大的正方體鐵塊的棱長(zhǎng)是多少？(最后結(jié)果保留1位小數(shù))分析：由于熔化前后鐵塊的總體積不變，據(jù)此可以列方程求解.解：設(shè)這個(gè)大正方體鐵塊的棱長(zhǎng)約為xcm，根據(jù)題意得x3＝2.153+3.243，x3≈43.95，x≈3.5.答：這個(gè)大的正方體鐵塊的棱長(zhǎng)約是3.5cm.題型六實(shí)數(shù)中的非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用例19已知a，b，c都是實(shí)數(shù)，且滿足(2-a)2++|c+8|＝0，ax2+bx+c＝0，求代數(shù)式3x2+6x+1的值.解：依題意知(2-a)2≥0，≥0，|c+8|≥0，所以2-a＝0，a2+b+c＝0，c+8＝0，解得a＝2，b＝4，c＝-8，所以ax2+bx+c＝0可轉(zhuǎn)化為2x2+4x-8＝0，即x2+2x＝4，所以3x2+6x+1＝3(x2+2x)+1＝3×4+1＝13.拓展資源數(shù)系的擴(kuò)張過(guò)程人類對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歷程.從原始社會(huì)的結(jié)繩記數(shù)開(kāi)始，人類從自然界中認(rèn)識(shí)了1，2，3，…，嬰兒也是從一個(gè)蘋果、兩只羊等認(rèn)識(shí)了自然數(shù).自然數(shù)系只有加法、乘法兩種封閉運(yùn)算，減法不是自然數(shù)系的封閉運(yùn)算，例如2-3就不是自然數(shù)了.除法自然也不是自然數(shù)系的封閉運(yùn)算，例如5÷3的結(jié)果“跑出”了自然數(shù)的范圍.非負(fù)有理數(shù)系Q+是自然數(shù)系N的擴(kuò)張.Q+包含全體自然數(shù)，還包含全體正分?jǐn)?shù).N中的加、乘運(yùn)算在Q+中仍通用，而且與在N中運(yùn)算結(jié)果一致.重要的是原來(lái)在N中不能進(jìn)行的除法運(yùn)算在Q+中可以進(jìn)行(除數(shù)不等于0).有理數(shù)系Q是非負(fù)有理數(shù)系Q+的擴(kuò)張.Q包含全體有理數(shù)，在Q中可以進(jìn)行+、-、×、÷四則運(yùn)算(做除法時(shí)，除數(shù)不等于0).有理數(shù)系Q中不可進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算，例如不是有理數(shù).當(dāng)有理數(shù)系進(jìn)一步擴(kuò)張為實(shí)數(shù)系R時(shí)，可以求任意一個(gè)正實(shí)數(shù)的平方根，即可以進(jìn)行開(kāi)平方運(yùn)算.實(shí)際上對(duì)正數(shù)能開(kāi)任意次方，但對(duì)負(fù)數(shù)不能進(jìn)行開(kāi)偶次方運(yùn)算.在實(shí)數(shù)系R進(jìn)一步擴(kuò)張為復(fù)數(shù)系C時(shí)，開(kāi)方問(wèn)題得到徹底解決.數(shù)系的擴(kuò)張過(guò)程可表示如下：N→Q+→Q→R→C.數(shù)系的擴(kuò)張有以下的原則：(1)每次數(shù)系的擴(kuò)張，使數(shù)的集合都增添了新的元素，原有數(shù)系都是新數(shù)系的真子集.(2)每次擴(kuò)張都保持原來(lái)數(shù)系中已有的運(yùn)算，即原數(shù)系中的運(yùn)算在新數(shù)系中仍能進(jìn)行，且原數(shù)系中任意兩個(gè)數(shù)在新數(shù)系中的運(yùn)算結(jié)果與這兩個(gè)數(shù)在原數(shù)系中的運(yùn)算結(jié)果一致.如2+3按自然數(shù)的加法法則與按有理數(shù)的加法法則、實(shí)數(shù)的加法法則、復(fù)數(shù)的加法法則進(jìn)行