2026中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)三年真題匯總考點(diǎn)01三角函數(shù)的定義1．（2023·四川樂(lè)山·中考真題）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形面積為25，小正方形面積為1，則（

）

A． B． C． D．2．（2024·廣西·中考真題）如圖，在中，，．(1)尺規(guī)作圖：作線段的垂直平分線l，分別交，于點(diǎn)D，E：（要求：保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，標(biāo)明字母）(2)在（1）所作的圖中，連接，若，求的長(zhǎng)．3．（2025·山東東營(yíng)·中考真題）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用公式為：弧田面積（弦矢＋矢），弧田（如圖）是由圓弧和其所對(duì)的弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差．在如圖所示的弧田中，“弦”為8，“矢”為2，則的值為．4．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖是源于我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，則的值為（

）

A． B． C． D．5．（2023·吉林長(zhǎng)春·中考真題）學(xué)校開(kāi)放日即將來(lái)臨，負(fù)責(zé)布置的林老師打算從學(xué)校圖書(shū)館的頂樓拉出一條彩旗繩到地面，如圖所示．已彩旗繩與地面形成角（即）、彩旗繩固定在地面的位置與圖書(shū)館相距32米（即米），則彩旗繩的長(zhǎng)度為（

）

A．米 B．米 C．米 D．米6．（2023·江蘇·中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)D在邊AB上，連接CD．若，，則．

7．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)為的中點(diǎn)，，．求的長(zhǎng)及的值．

8．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，在綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，小強(qiáng)先測(cè)得教學(xué)樓在水平地面上的影長(zhǎng)為．又在點(diǎn)處測(cè)得該樓的頂端的仰角是．則用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算教學(xué)樓高度的按鍵順序正確的是（

）

A．

B．

C．

D．

考點(diǎn)02解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用——俯仰角1．（2025·四川達(dá)州·中考真題）為了讓蓮花湖濕地公園的天更藍(lán)，水更清，蓮花湖管委會(huì)定期利用無(wú)人機(jī)指引工作人員清理湖中垃圾．已知無(wú)人機(jī)懸停在湖面上的處，工作人員所乘小船在處測(cè)得無(wú)人機(jī)的仰角為，當(dāng)工作人員沿正前方向劃行米到達(dá)處，測(cè)得無(wú)人機(jī)的仰角為，求無(wú)人機(jī)離湖面的高度（結(jié)果不取近似值）2．（2025·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖，已知某山峰的海拔高度為米，一位登山者到達(dá)海拔高度為米的點(diǎn)處．測(cè)得山峰頂端的仰角為．則、兩點(diǎn)之間的距離為（）A．米 B．米C．米 D．米3．（2025·遼寧·中考真題）如圖，為了測(cè)量樹(shù)的高度，在水平地面上取一點(diǎn)，在處測(cè)得，，則樹(shù)的高約為（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，）．4．（2025·吉林·中考真題）綜合與實(shí)踐：確定建筑物的打印模型的高度項(xiàng)目提出：圖是某城市規(guī)劃展覽館．樹(shù)人中學(xué)的打印社團(tuán)為展示城市文化，準(zhǔn)備制作該城市規(guī)劃展覽館的打印模型，需要測(cè)量并計(jì)算展覽館高度，為制作打印模型提供數(shù)據(jù)．項(xiàng)目報(bào)告表

時(shí)間：2025年5月29日項(xiàng)目分析活動(dòng)目標(biāo)測(cè)量該城市規(guī)劃展覽館的實(shí)際高度并換算其打印模型的高度測(cè)量工具測(cè)角儀、皮尺項(xiàng)目實(shí)施任務(wù)一測(cè)量數(shù)據(jù)以下是測(cè)得的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫(huà)出了如圖所示的測(cè)量草圖．1．測(cè)出測(cè)角儀的高．2．利用測(cè)角儀測(cè)出展覽館頂端A的仰角．3．測(cè)出測(cè)角儀底端D處到展覽館底端B處之間的距離．任務(wù)二計(jì)算實(shí)際高度根據(jù)上述測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算該城市規(guī)劃展覽館的高度．（結(jié)果精確到1m）（參考數(shù)據(jù)：，，）任務(wù)三換算模型高度將該城市規(guī)劃展覽館的高度按等比例縮小，得到其打印模型的高度約為_(kāi)_______．（結(jié)果精確到）項(xiàng)目結(jié)果為社團(tuán)制作城市規(guī)劃展覽館的打印模型提供數(shù)據(jù)請(qǐng)結(jié)合上表中的測(cè)量草圖和相關(guān)數(shù)據(jù)，幫助該社團(tuán)完成任務(wù)二和任務(wù)三．5．（2025·陜西·中考真題）小涵和小宇想測(cè)量公園山坡上一個(gè)信號(hào)桿的高度．在征得家長(zhǎng)同意后，他們帶著工具前往測(cè)量．測(cè)量示意圖如圖所示，他們?cè)谄旅嫔系狞c(diǎn)處安裝測(cè)角儀，測(cè)得信號(hào)桿頂端的仰角為，與坡面的夾角為，又測(cè)得點(diǎn)與信號(hào)桿底端之間的距離為．已知，點(diǎn)，，在同一條直線上，，均與水平線垂直．求信號(hào)桿的高．（參考數(shù)據(jù)：，，）6．（2025·安徽·中考真題）某公司為慶祝新產(chǎn)品上市，在甲樓與乙樓的樓頂之間懸掛彩帶營(yíng)造喜慶氣氛．如圖所示，甲樓和乙樓分別用與水平地面垂直的線段和表示，彩帶用線段表示．工作人員在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)C的俯角為，測(cè)得點(diǎn)D的仰角為．已知，求的長(zhǎng)（精確到）．參考數(shù)據(jù)：，，，，，．7．（2024·四川雅安·中考真題）在數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，某小組測(cè)量一棟樓房的高度（如圖），他們?cè)贏處仰望樓頂，測(cè)得仰角為，再往樓的方向前進(jìn)50米至B處，測(cè)得仰角為，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計(jì)）（

）A．米 B．25米 C．米 D．50米8．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組用高度為米的測(cè)角儀，對(duì)垂直于地面的建筑物的高度進(jìn)行測(cè)量，于點(diǎn)C．在B處測(cè)得A的仰角，然后將測(cè)角儀向建筑物方向水平移動(dòng)6米至處，于點(diǎn)G，測(cè)得A的仰角，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，求建筑物的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．（參考數(shù)據(jù)：）考點(diǎn)03解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用——坡度、坡角1．（2025·四川資陽(yáng)·中考真題）如圖，已知水平地面上方有一個(gè)水平的平臺(tái)，該平臺(tái)上有一個(gè)豎直的建筑物．在處測(cè)得建筑物頂端的仰角為，在處測(cè)得的仰角為，斜坡的坡度米，．（點(diǎn)在同一豎直平面內(nèi)）．(1)求平臺(tái)的高度；(2)求建筑物的高度（即的長(zhǎng)）．2．（2024·四川巴中·中考真題）某興趣小組開(kāi)展了測(cè)量電線塔高度的實(shí)踐活動(dòng)．如圖所示，斜坡的坡度，，在處測(cè)得電線塔頂部的仰角為，在處測(cè)得電線塔頂部的仰角為．(1)求點(diǎn)離水平地面的高度．(2)求電線塔的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．3．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹(shù)，當(dāng)太陽(yáng)光與水平面的夾角為時(shí)，大樹(shù)在斜坡上的影子長(zhǎng)為10米，則大樹(shù)的高為米．4．（2024·四川廣安·中考真題）風(fēng)電項(xiàng)目對(duì)于調(diào)整能源結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式具有重要意義．某電力部門(mén)在某地安裝了一批風(fēng)力發(fā)電機(jī)，如圖（1）某校實(shí)踐活動(dòng)小組對(duì)其中一架風(fēng)力發(fā)電機(jī)的塔桿高度進(jìn)行了測(cè)量，圖（2）為測(cè)量示意圖（點(diǎn)，，，均在同一平面內(nèi)，）．已知斜坡長(zhǎng)為20米，斜坡的坡角為，在斜坡頂部處測(cè)得風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿頂端點(diǎn)的仰角為，坡底與塔桿底的距離米，求該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿的高度．（結(jié)果精確到個(gè)位；參考數(shù)據(jù)：，，，）

5．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，堤壩長(zhǎng)為，坡度i為，底端A在地面上，堤壩與對(duì)面的山之間有一深溝，山頂D處立有高的鐵塔．小明欲測(cè)量山高，他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線上，又在壩頂B處測(cè)得塔底D的仰角為．求堤壩高及山高．（，，，小明身高忽略不計(jì)，結(jié)果精確到）

6．（2023·湖北·中考真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長(zhǎng)度為20米，，求斜坡的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：）

7．（2023·四川自貢·中考真題）為測(cè)量學(xué)校后山高度，數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)過(guò)程如下：

(1)測(cè)量坡角如圖1，后山一側(cè)有三段相對(duì)平直的山坡，山的高度即為三段坡面的鉛直高度之和，坡面的長(zhǎng)度可以直接測(cè)量得到，要求山坡高度還需要知道坡角大小．如圖2，同學(xué)們將兩根直桿的一端放在坡面起始端A處，直桿沿坡面方向放置，在直桿另一端N用細(xì)線系小重物G，當(dāng)直桿與鉛垂線重合時(shí)，測(cè)得兩桿夾角的度數(shù)，由此可得山坡AB坡角的度數(shù)．請(qǐng)直接寫(xiě)出之間的數(shù)量關(guān)系．(2)測(cè)量山高同學(xué)們測(cè)得山坡的坡長(zhǎng)依次為40米，50米，40米，坡角依次為；為求，小熠同學(xué)在作業(yè)本上畫(huà)了一個(gè)含角的（如圖3），量得．求山高．（，結(jié)果精確到1米）(3)測(cè)量改進(jìn)由于測(cè)量工作量較大，同學(xué)們圍繞如何優(yōu)化測(cè)量進(jìn)行了深入探究，有了以下新的測(cè)量方法．

如圖4，5，在學(xué)校操場(chǎng)上，將直桿NP置于的頂端，當(dāng)與鉛垂線重合時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)直桿，使點(diǎn)N，P，D共線，測(cè)得的度數(shù)，從而得到山頂仰角，向后山方向前進(jìn)40米，采用相同方式，測(cè)得山頂仰角；畫(huà)一個(gè)含的直角三角形，量得該角對(duì)邊和另一直角邊分別為厘米，厘米，再畫(huà)一個(gè)含的直角三角形，量得該角對(duì)邊和另一直角邊分別為厘米，厘米．已知桿高M(jìn)N為米，求山高．（結(jié)果用不含的字母表示）考點(diǎn)04解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用——方位角1．（2025·重慶·中考真題）為加強(qiáng)森林防火，某林場(chǎng)采用人工瞭望與無(wú)人機(jī)巡視兩種方式監(jiān)測(cè)森林情況．如圖，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．A是瞭望臺(tái)，某一時(shí)刻，觀測(cè)到甲無(wú)人機(jī)位于A的正東方向10千米的B處，乙無(wú)人機(jī)位于A的南偏西方向20千米的D處．兩無(wú)人機(jī)同時(shí)飛往C處巡視，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（參考數(shù)據(jù)：，，，）(1)求的長(zhǎng)度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；(2)甲、乙兩無(wú)人機(jī)同時(shí)分別從B，D出發(fā)沿往C處進(jìn)行巡視，乙無(wú)人機(jī)速度為甲無(wú)人機(jī)速度的2倍．當(dāng)兩無(wú)人機(jī)相距20千米時(shí)，它們可以開(kāi)始相互接收到信號(hào)．請(qǐng)問(wèn)甲無(wú)人機(jī)飛離B處多少千米時(shí)，兩無(wú)人機(jī)可以開(kāi)始相互接收到信號(hào)（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？2．（2025·山東煙臺(tái)·中考真題）【綜合與實(shí)踐】煙臺(tái)山燈塔被譽(yù)為“黃海夜明珠”，它坐落在煙臺(tái)山上，為過(guò)往船只提供導(dǎo)航服務(wù)．為了解漁船海上作業(yè)情況，某日，數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了實(shí)踐探究活動(dòng)．如圖，一艘漁船自東向西以每小時(shí)海里的速度向碼頭航行，小組同學(xué)收集到以下信息：位置信息碼頭A在燈塔B北偏西方向14：30時(shí)，漁船航行至燈塔北偏東方向的處15：00時(shí)，漁船航行至燈塔東北方向的處天氣預(yù)警受暖濕氣流影響，今天17：30到夜間，碼頭附近海域?qū)⒊霈F(xiàn)濃霧天氣．請(qǐng)注意防范．請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：(1)求漁船在航行過(guò)程中到燈塔的最短距離；(2)若不改變航行速度，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明漁船能否在濃霧到來(lái)前到達(dá)碼頭（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）．3．（2024·海南·中考真題）木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標(biāo)燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最重要的航標(biāo)．某天，一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時(shí)10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖所示．

航行記錄記錄一：上午8時(shí)，漁船到達(dá)木蘭燈塔P北偏西方向上的A處．記錄二：上午8時(shí)30分，漁船到達(dá)木蘭燈塔P北偏西方向上的B處．記錄三：根據(jù)氣象觀測(cè)，當(dāng)天凌晨4時(shí)到上午9時(shí)，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C點(diǎn)周?chē)?海里內(nèi)，會(huì)出現(xiàn)異常海況，點(diǎn)C位于木蘭燈塔P北偏東方向．請(qǐng)你根據(jù)以上信息解決下列問(wèn)題：(1)填空：________，________，________海里；(2)若該漁船不改變航線與速度，是否會(huì)進(jìn)入“海況異?！眳^(qū)，請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明．（參考數(shù)據(jù)：）4．（2024·四川資陽(yáng)·中考真題）如圖，某海域有兩燈塔A，B，其中燈塔B在燈塔A的南偏東方向，且A，B相距海里．一漁船在C處捕魚(yú)，測(cè)得C處在燈塔A的北偏東方向、燈塔B的正北方向．

(1)求B，C兩處的距離；(2)該漁船從C處沿北偏東方向航行一段時(shí)間后，突發(fā)故障滯留于D處，并發(fā)出求救信號(hào)．此時(shí)，在燈塔B處的漁政船測(cè)得D處在北偏東方向，便立即以18海里/小時(shí)的速度沿方向航行至D處救援，求漁政船的航行時(shí)間．（注：點(diǎn)A，B，C，D在同一水平面內(nèi)；參考數(shù)據(jù)：，）5．（2024·江蘇連云港·中考真題）圖1是古代數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中對(duì)“邑的計(jì)算”的相關(guān)研究．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組也類(lèi)比進(jìn)行了如下探究：如圖2，正八邊形游樂(lè)城的邊長(zhǎng)為，南門(mén)設(shè)立在邊的正中央，游樂(lè)城南側(cè)有一條東西走向的道路，在上（門(mén)寬及門(mén)與道路間距離忽略不計(jì)），東側(cè)有一條南北走向的道路，C處有一座雕塑．在處測(cè)得雕塑在北偏東方向上，在處測(cè)得雕塑在北偏東方向上．(1)__________，__________；(2)求點(diǎn)到道路的距離；(3)若該小組成員小李出南門(mén)O后沿道路向東行走，求她離處不超過(guò)多少千米，才能確保觀察雕塑不會(huì)受到游樂(lè)城的影響？（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，，）6．（2023·山東臨沂·中考真題）如圖，燈塔A周?chē)?海里內(nèi)有暗礁．一漁船由東向西航行至B處，測(cè)得燈塔A在北偏西58°方向上，繼續(xù)航行6海里后到達(dá)C處，測(cè)得燈塔A在西北方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向西航行，有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？（參考數(shù)據(jù)：）

考點(diǎn)05解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用——其他1．（2025·貴州·中考真題）某小區(qū)在設(shè)計(jì)時(shí)，計(jì)劃在如圖①的住宅樓正前方建一棟文體活動(dòng)中心．設(shè)計(jì)示意圖如圖②所示，已知，該地冬至正午太陽(yáng)高度角為．如果你是建筑設(shè)計(jì)師，請(qǐng)結(jié)合示意圖和已知條件完成下列任務(wù)．任務(wù)一：計(jì)算冬至正午太陽(yáng)照到住宅樓的位置與地面之間的距離的長(zhǎng)；任務(wù)二：為符合建筑規(guī)范對(duì)日照的要求，讓整棟住宅樓在冬至正午太陽(yáng)高度角下恰好都能照射到陽(yáng)光，需將活動(dòng)中心沿方向移動(dòng)一定的距離（活動(dòng)中心高度不變），求該活動(dòng)中心移動(dòng)了多少米？（參考數(shù)據(jù)：．結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）2．（2025·青?！ぶ锌颊骖}）數(shù)學(xué)實(shí)踐【問(wèn)題背景】中國(guó)傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)智慧遇上現(xiàn)代數(shù)學(xué)模型．“豇豆不上架，產(chǎn)量少一半”的農(nóng)諺流傳至今，現(xiàn)代科學(xué)揭示了其秘密：當(dāng)支架與地面形成夾角時(shí)，既能在早春聚熱防凍害，又能在盛夏分散強(qiáng)光，就像給豇豆裝了智能遮陽(yáng)篷．【問(wèn)題呈現(xiàn)】用兩根竹竿交叉，斜插入地面，交叉點(diǎn)在何處會(huì)使支架與地面形成夾角？【模型建立】環(huán)節(jié)一：數(shù)據(jù)收集兩根竹竿長(zhǎng)度均為1.8米，插入地下的部分為0.3米，竹竿與地面接觸點(diǎn)間距為0.6米且與地面所形成的夾角均為．環(huán)節(jié)二：數(shù)學(xué)抽象如圖：已知線段與交于點(diǎn)，，與直線分別交于點(diǎn)，，，，，，求的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，，）【模型求解】【問(wèn)題總結(jié)】交叉點(diǎn)距頂端的長(zhǎng)度即為_(kāi)_____時(shí)，支架與地面形成夾角，這樣更貼合作物的生長(zhǎng)規(guī)律．3．（2025·湖南·中考真題）如圖，某處有一個(gè)晾衣裝置，固定立柱和分別垂直地面水平線于點(diǎn)，，分米，．在點(diǎn)，之間的晾衣繩上有固定掛鉤，分米，一件連衣裙掛在點(diǎn)處（點(diǎn)與點(diǎn)重合），且直線．(1)如圖1，當(dāng)該連衣裙下端點(diǎn)剛好接觸到地面水平線時(shí)，點(diǎn)到直線的距離等于12分米，求該連衣裙的長(zhǎng)度；(2)如圖2，為避免該連衣裙接觸到地面，在另一端固定掛鉤處再掛一條長(zhǎng)褲（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），若，求此時(shí)該連衣裙下端點(diǎn)到地面水平線的距離約為多少分米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，）4．（2025·四川宜賓·中考真題）如圖，扇形為某運(yùn)動(dòng)場(chǎng)內(nèi)的投擲區(qū)，所在圓的圓心為O、A、B、N、O在同一直線上．直線與所在相切于點(diǎn)．此時(shí)測(cè)得；從點(diǎn)處沿方向前進(jìn)8.0米到達(dá)B處．直線與所在相切于點(diǎn)，此時(shí)測(cè)得．（參考數(shù)據(jù)：）(1)求圓心角的度數(shù)；(2)求的弧長(zhǎng)（結(jié)果精確到米）．5．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）實(shí)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要途徑．如圖是小亮同學(xué)安裝的化學(xué)實(shí)驗(yàn)裝置，安裝要求為試管口略向下傾斜，鐵夾應(yīng)固定在距試管口的三分之一處．現(xiàn)將左側(cè)的實(shí)驗(yàn)裝置圖抽象成右側(cè)示意圖，已知試管，試管傾斜角為．(1)求試管口B與鐵桿的水平距離的長(zhǎng)度；（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)表示）(2)實(shí)驗(yàn)時(shí)，導(dǎo)氣管緊靠水槽壁，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且于點(diǎn)N（點(diǎn)C，D，N，F(xiàn)在一條直線上），經(jīng)測(cè)得：，求線段的長(zhǎng)度．（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)表示）6．（2024·甘肅蘭州·中考真題）單擺是一種能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動(dòng)的裝置，某興趣小組利用擺球和擺線進(jìn)行與單擺相關(guān)的實(shí)驗(yàn)探究，并撰寫(xiě)實(shí)驗(yàn)報(bào)告如下．實(shí)驗(yàn)主題探究擺球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中高度的變化實(shí)驗(yàn)用具擺球，擺線，支架，攝像機(jī)等實(shí)驗(yàn)說(shuō)明如圖1，在支架的橫桿點(diǎn)O處用擺線懸掛一個(gè)擺球，將擺球拉高后松手，擺球開(kāi)始往復(fù)運(yùn)動(dòng)．（擺線的長(zhǎng)度變化忽略不計(jì)）如圖2，擺球靜止時(shí)的位置為點(diǎn)A，拉緊擺線將擺球拉至點(diǎn)B處，，，；當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C時(shí)，，．（點(diǎn)O，A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)）實(shí)驗(yàn)圖示解決問(wèn)題：根據(jù)以上信息，求的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到）參考數(shù)據(jù)：，．7．（2024·四川廣元·中考真題）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質(zhì)發(fā)生折射時(shí)，入射角的正弦值與折射角的正弦值的比值叫做介質(zhì)的“絕對(duì)折射率”，簡(jiǎn)稱(chēng)“折射率”．它表示光在介質(zhì)中傳播時(shí)，介質(zhì)對(duì)光作用的一種特征．(1)若光從真空射入某介質(zhì)，入射角為，折射角為，且，，求該介質(zhì)的折射率；(2)現(xiàn)有一塊與（1）中折射率相同的長(zhǎng)方體介質(zhì)，如圖①所示，點(diǎn)A，B，C，D分別是長(zhǎng)方體棱的中點(diǎn)，若光線經(jīng)真空從矩形對(duì)角線交點(diǎn)O處射入，其折射光線恰好從點(diǎn)C處射出．如圖②，已知，，求截面的面積．8．（2024·江蘇蘇州·中考真題）圖①是某種可調(diào)節(jié)支撐架，為水平固定桿，豎直固定桿，活動(dòng)桿可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，為液壓可伸縮支撐桿，已知，，．(1)如圖②，當(dāng)活動(dòng)桿處于水平狀態(tài)時(shí)，求可伸縮支撐桿的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)如圖③，當(dāng)活動(dòng)桿繞點(diǎn)A由水平狀態(tài)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度，且（為銳角），求此時(shí)可伸縮支撐桿的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）．9．（2023·山東濟(jì)南·中考真題）圖1是某越野車(chē)的側(cè)面示意圖，折線段表示車(chē)后蓋，已知，，，該車(chē)的高度．如圖2，打開(kāi)后備箱，車(chē)后蓋落在處，與水平面的夾角．

(1)求打開(kāi)后備箱后，車(chē)后蓋最高點(diǎn)到地面的距離；(2)若小琳爸爸的身高為，他從打開(kāi)的車(chē)后蓋處經(jīng)過(guò)，有沒(méi)有碰頭的危險(xiǎn)?請(qǐng)說(shuō)明理由．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）考點(diǎn)06三角函數(shù)與四邊形的綜合1．（2025·四川資陽(yáng)·中考真題）在四邊形中，是邊上的一點(diǎn)，是對(duì)角線的中點(diǎn)．(1)如圖1，四邊形是正方形，連接，作交于點(diǎn)，求證：；(2)如圖2，四邊形是平行四邊形，，連接，作交于點(diǎn)，連接，求的值；(3)如圖3，四邊形是菱形，，連接交于點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，，若，求的長(zhǎng)．2．（2025·北京·中考真題）如圖，在中，D，E分別為的中點(diǎn)，，垂足為F，點(diǎn)G在的延長(zhǎng)線上，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，，求和的長(zhǎng)．3．（2025·黑龍江·中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)B、C重合），點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，且，連接、、，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，分別交、、于點(diǎn)、、．則下列結(jié)論：①；②；③；④若，則；⑤圖中共有5個(gè)等腰三角形．其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤4．（2025·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在菱形中，，垂足為E，交于點(diǎn)F，．若，則．5．（2025·貴州·中考真題）如圖，在矩形中，點(diǎn)E，F(xiàn)，M分別在，，邊上，分別交對(duì)角線、線段于點(diǎn)G，H，且是的中點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為．6．（2024·江蘇南通·中考真題）若菱形的周長(zhǎng)為，且有一個(gè)內(nèi)角為，則該菱形的高為．7．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，矩形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，于點(diǎn)，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)．若，，則點(diǎn)到的距離為．8．（2023·遼寧丹東·中考真題）如圖，在矩形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，，垂足為點(diǎn)E，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接，若，則矩形的周長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)07三角函數(shù)與圓的綜合1．（2025·廣東深圳·中考真題）如圖1，在中，是的中點(diǎn)，，．(1)求證：四邊形為菱形；(2)如圖2，若點(diǎn)為上一點(diǎn)，，且，，三點(diǎn)均在上，連接，與相切于點(diǎn)，①求__________；②求的半徑；(3)利用圓規(guī)和無(wú)刻度直尺在圖2中作射線，交于點(diǎn)，保留作圖痕跡，不用寫(xiě)出作法和理由．2．（2025·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在四邊形中，．以為直徑的經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且與邊交于點(diǎn)E，連接．(1)求證：為的切線；(2)若，求的長(zhǎng)．3．（2025·陜西·中考真題）如圖，點(diǎn)在的邊上，以為半徑的⊙與相切于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，為⊙的直徑，與相交于點(diǎn)，．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．4．（2025·四川成都·中考真題）如圖，點(diǎn)C在以為直徑的半圓O上，連接，過(guò)點(diǎn)C作半圓O的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，在上取點(diǎn)E，使，連接，交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，，求半圓O的半徑及的長(zhǎng)．5．（2025·福建·中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，AD，BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，AC，BD相交于點(diǎn)F．G是AB上一點(diǎn)，GD交AC于點(diǎn)H，且．(1)求證：；(2)求證：；(3)若，求的周長(zhǎng)．6．（2025·新疆·中考真題）如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，于點(diǎn)F，，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)D．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．7．（2025·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，連接，，過(guò)點(diǎn)B作，交于點(diǎn)E．(1)求證：是的切線；(2)若點(diǎn)B是的中點(diǎn)，且，求的半徑．答案解析考點(diǎn)01三角函數(shù)的定義1．（2023·四川樂(lè)山·中考真題）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形面積為25，小正方形面積為1，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先由兩個(gè)正方形的面積分別得出其邊長(zhǎng)，由趙爽弦圖的特征可得，則，在中，利用勾股定理求出，最后按照正弦函數(shù)的定義計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵大正方形的面積是25，小正方形面積是1，∴大正方形的邊長(zhǎng)，小正方形的邊長(zhǎng)，

∵，∴，在中，，∴，解得（負(fù)值舍去）∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、弦圖及正弦函數(shù)的計(jì)算，明確相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．2．（2024·廣西·中考真題）如圖，在中，，．(1)尺規(guī)作圖：作線段的垂直平分線l，分別交，于點(diǎn)D，E：（要求：保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，標(biāo)明字母）(2)在（1）所作的圖中，連接，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）分別以A、B為圓心，大于為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)D，E，作直線，則直線l即為所求．（2）連接，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得出，由等邊對(duì)等角可得出，由三角形內(nèi)角和得出，則得出為等腰直角三角形，再根據(jù)正弦的定義即可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：如下直線l即為所求．（2）連接如下圖：∵為線段的垂直平分線，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了作線段的垂線平分線，線段的垂線平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及正弦的定義．掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2025·山東東營(yíng)·中考真題）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用公式為：弧田面積（弦矢＋矢），弧田（如圖）是由圓弧和其所對(duì)的弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差．在如圖所示的弧田中，“弦”為8，“矢”為2，則的值為．【答案】/【分析】本題主要考查垂徑定理、勾股定理、三角函數(shù)的定義等知識(shí)點(diǎn)．如圖，作交于，交圓弧于，利用垂徑定理和勾股定理構(gòu)建方程組求出，，利用余弦函數(shù)定義即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，作交于，交圓弧于，由題意：，設(shè)，由，∴，∵，為半徑，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴．故答案為：．4．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖是源于我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)兩個(gè)正方形的面積分別求出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，然后結(jié)合題意進(jìn)一步設(shè)直角三角形短的直角邊為，則較長(zhǎng)的直角邊為，再接著利用勾股定理得到關(guān)于的方程，據(jù)此進(jìn)一步求出直角三角形各個(gè)直角邊的邊長(zhǎng)，最后求出的值即可.【詳解】∵小正方形的面積為，大正方形的面積為25，∴小正方形的邊長(zhǎng)為1，大正方形的邊長(zhǎng)為5，設(shè)直角三角形短的直角邊為，則較長(zhǎng)的直角邊為，其中，∴，其中，解得：，，∴，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理與一元二次方程及三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.5．（2023·吉林長(zhǎng)春·中考真題）學(xué)校開(kāi)放日即將來(lái)臨，負(fù)責(zé)布置的林老師打算從學(xué)校圖書(shū)館的頂樓拉出一條彩旗繩到地面，如圖所示．已彩旗繩與地面形成角（即）、彩旗繩固定在地面的位置與圖書(shū)館相距32米（即米），則彩旗繩的長(zhǎng)度為（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【分析】根據(jù)余弦值的概念即鄰邊與斜邊之比，即可求出答案.【詳解】解：表示的是地面，表示是圖書(shū)館，，為直角三角形，（米）.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，涉及到余弦值，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握余弦值的概念.6．（2023·江蘇·中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)D在邊AB上，連接CD．若，，則．

【答案】/【分析】由題意可設(shè)，則，，在中求得，在中求出答案即可．【詳解】解：，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查的是求銳角三角函數(shù)，解題關(guān)鍵是根據(jù)比值設(shè)未知數(shù)，表示出邊長(zhǎng)從而求出銳角三角函數(shù)值．7．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)為的中點(diǎn)，，．求的長(zhǎng)及的值．

【答案】，【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，中，勾股定理求得的長(zhǎng)，根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】在菱形中，．∵，∴．在中，∵為中點(diǎn)，∴．∵．∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，求正切，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，在綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，小強(qiáng)先測(cè)得教學(xué)樓在水平地面上的影長(zhǎng)為．又在點(diǎn)處測(cè)得該樓的頂端的仰角是．則用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算教學(xué)樓高度的按鍵順序正確的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，用計(jì)算器計(jì)算三角函數(shù)值，根據(jù)題意，得到，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由題意，得：在中，，，∴；計(jì)算器的按鍵為

；故選A．考點(diǎn)02解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用——俯仰角1．（2025·四川達(dá)州·中考真題）為了讓蓮花湖濕地公園的天更藍(lán)，水更清，蓮花湖管委會(huì)定期利用無(wú)人機(jī)指引工作人員清理湖中垃圾．已知無(wú)人機(jī)懸停在湖面上的處，工作人員所乘小船在處測(cè)得無(wú)人機(jī)的仰角為，當(dāng)工作人員沿正前方向劃行米到達(dá)處，測(cè)得無(wú)人機(jī)的仰角為，求無(wú)人機(jī)離湖面的高度（結(jié)果不取近似值）【答案】無(wú)人機(jī)離湖面的高度為米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)題意得出，，在中，根據(jù)，列出方程，解方程，即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，依題意設(shè)，在中，∴，∵∴，在中，∴解得：答：無(wú)人機(jī)離湖面的高度為米2．（2025·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖，已知某山峰的海拔高度為米，一位登山者到達(dá)海拔高度為米的點(diǎn)處．測(cè)得山峰頂端的仰角為．則、兩點(diǎn)之間的距離為（）A．米 B．米C．米 D．米【答案】B【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．由題意得四邊形是矩形，則，那么，再解即可．【詳解】解：由題意得，四邊形是矩形，∴，∴，由題意得，，∴，∴，故選：B．3．（2025·遼寧·中考真題）如圖，為了測(cè)量樹(shù)的高度，在水平地面上取一點(diǎn)，在處測(cè)得，，則樹(shù)的高約為（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，）．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確使用三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．在中，由即可求解．【詳解】解：由題意得，∴在中，，故答案為：．4．（2025·吉林·中考真題）綜合與實(shí)踐：確定建筑物的打印模型的高度項(xiàng)目提出：圖是某城市規(guī)劃展覽館．樹(shù)人中學(xué)的打印社團(tuán)為展示城市文化，準(zhǔn)備制作該城市規(guī)劃展覽館的打印模型，需要測(cè)量并計(jì)算展覽館高度，為制作打印模型提供數(shù)據(jù)．項(xiàng)目報(bào)告表

時(shí)間：2025年5月29日項(xiàng)目分析活動(dòng)目標(biāo)測(cè)量該城市規(guī)劃展覽館的實(shí)際高度并換算其打印模型的高度測(cè)量工具測(cè)角儀、皮尺項(xiàng)目實(shí)施任務(wù)一測(cè)量數(shù)據(jù)以下是測(cè)得的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫(huà)出了如圖所示的測(cè)量草圖．1．測(cè)出測(cè)角儀的高．2．利用測(cè)角儀測(cè)出展覽館頂端A的仰角．3．測(cè)出測(cè)角儀底端D處到展覽館底端B處之間的距離．任務(wù)二計(jì)算實(shí)際高度根據(jù)上述測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算該城市規(guī)劃展覽館的高度．（結(jié)果精確到1m）（參考數(shù)據(jù)：，，）任務(wù)三換算模型高度將該城市規(guī)劃展覽館的高度按等比例縮小，得到其打印模型的高度約為_(kāi)_______．（結(jié)果精確到）項(xiàng)目結(jié)果為社團(tuán)制作城市規(guī)劃展覽館的打印模型提供數(shù)據(jù)請(qǐng)結(jié)合上表中的測(cè)量草圖和相關(guān)數(shù)據(jù)，幫助該社團(tuán)完成任務(wù)二和任務(wù)三．【答案】該城市規(guī)劃展覽館的高度為；打印模型的高度約為【分析】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，比例的基本性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．任務(wù)二：先由矩形得到，，然后解即可；任務(wù)三：由比例尺等于圖上距離比上實(shí)際距離求解即可．【詳解】解：任務(wù)二：由題意得為矩形，∴，，∵在中，∴，∴，答：該城市規(guī)劃展覽館的高度為；任務(wù)三：設(shè)打印模型的高度約為，則由題意得：，解得：，答：打印模型的高度約為．5．（2025·陜西·中考真題）小涵和小宇想測(cè)量公園山坡上一個(gè)信號(hào)桿的高度．在征得家長(zhǎng)同意后，他們帶著工具前往測(cè)量．測(cè)量示意圖如圖所示，他們?cè)谄旅嫔系狞c(diǎn)處安裝測(cè)角儀，測(cè)得信號(hào)桿頂端的仰角為，與坡面的夾角為，又測(cè)得點(diǎn)與信號(hào)桿底端之間的距離為．已知，點(diǎn)，，在同一條直線上，，均與水平線垂直．求信號(hào)桿的高．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】信號(hào)桿的高為【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先理解題意，得出，再在中，運(yùn)用，，代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，得出的值，然后證明四邊形是矩形，故，根據(jù)，，得，，把數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算，即可作答．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)，如圖所示：∵，均與水平線垂直．∴∴，∵∴在中，，則，在中，，則，∵過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)，∴，∴四邊形是矩形∴，∵，，∴，∴，∴，信號(hào)桿的高為．6．（2025·安徽·中考真題）某公司為慶祝新產(chǎn)品上市，在甲樓與乙樓的樓頂之間懸掛彩帶營(yíng)造喜慶氣氛．如圖所示，甲樓和乙樓分別用與水平地面垂直的線段和表示，彩帶用線段表示．工作人員在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)C的俯角為，測(cè)得點(diǎn)D的仰角為．已知，求的長(zhǎng)（精確到）．參考數(shù)據(jù)：，，，，，．【答案】【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)E，則四邊形為矩形，可得，解求出的長(zhǎng)，再解求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)E．∵線段和都與地面垂直，∴四邊形為矩形，∴．在中，，∴．在中，，．答：的長(zhǎng)為．7．（2024·四川雅安·中考真題）在數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，某小組測(cè)量一棟樓房的高度（如圖），他們?cè)贏處仰望樓頂，測(cè)得仰角為，再往樓的方向前進(jìn)50米至B處，測(cè)得仰角為，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計(jì)）（

）A．米 B．25米 C．米 D．50米【答案】A【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．設(shè)米，在中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出，在中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出，再由列出關(guān)于的方程，求出方程的解得到的值即可．【詳解】解：設(shè)米，在中，，，即，整理得：米，在中，，，即，整理得：米，∵米，∴，即，解得：，側(cè)這棟樓的高度為米．故選：A．8．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組用高度為米的測(cè)角儀，對(duì)垂直于地面的建筑物的高度進(jìn)行測(cè)量，于點(diǎn)C．在B處測(cè)得A的仰角，然后將測(cè)角儀向建筑物方向水平移動(dòng)6米至處，于點(diǎn)G，測(cè)得A的仰角，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，求建筑物的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】17.5米【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，由題意可得四邊形是矩形，則．解直角三角形得到，進(jìn)而得到，據(jù)此求出即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意可知四邊形是矩形，．如圖，．，．，．（米）答：建筑物的高度約為米．考點(diǎn)03解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用——坡度、坡角1．（2025·四川資陽(yáng)·中考真題）如圖，已知水平地面上方有一個(gè)水平的平臺(tái)，該平臺(tái)上有一個(gè)豎直的建筑物．在處測(cè)得建筑物頂端的仰角為，在處測(cè)得的仰角為，斜坡的坡度米，．（點(diǎn)在同一豎直平面內(nèi)）．(1)求平臺(tái)的高度；(2)求建筑物的高度（即的長(zhǎng)）．【答案】(1)10米(2)米【分析】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的判定及性質(zhì)．（1）過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，則，根據(jù)斜坡的坡度，得到，從而在中，根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程，求解即可；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，得到四邊形是矩形，因此米，，設(shè)米，則（米），通過(guò)解直角三角形在中，求得（米），在中，求得∴（米），進(jìn)而根據(jù)列出方程，求解即可．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，則∵斜坡的坡度，∴，∵在中，，即，∴米，∴平臺(tái)的高度是10米．（2）解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴米，，設(shè)米，則（米），∵在中，，∴（米），∵在中，，∴（米），∴米，由（1）有（米），∵，∴，解得，∴（米），即建筑物的高度（即的長(zhǎng)）為米．2．（2024·四川巴中·中考真題）某興趣小組開(kāi)展了測(cè)量電線塔高度的實(shí)踐活動(dòng)．如圖所示，斜坡的坡度，，在處測(cè)得電線塔頂部的仰角為，在處測(cè)得電線塔頂部的仰角為．(1)求點(diǎn)離水平地面的高度．(2)求電線塔的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】(1)；(2)電線塔的高度．【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用．（1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函數(shù)的定義得到，據(jù)此求解即可；（2）作于點(diǎn)，設(shè)，先解得到，解得到米，進(jìn)而得到方程，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：∵斜坡的坡度，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，，，設(shè)，在中，，∴，在中，，在中，，，∴，∴，∴，∴，∴答：電線塔的高度．3．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹(shù)，當(dāng)太陽(yáng)光與水平面的夾角為時(shí)，大樹(shù)在斜坡上的影子長(zhǎng)為10米，則大樹(shù)的高為米．【答案】/【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)造直角三角形．如圖，過(guò)點(diǎn)作水平地面的平行線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)米，米，勾股定理求出，解直角三角形求出，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作水平地面的平行線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，在中，，設(shè)米，米，，，米，米，，（米），（米），答：大樹(shù)的高度為米．故答案為：．4．（2024·四川廣安·中考真題）風(fēng)電項(xiàng)目對(duì)于調(diào)整能源結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式具有重要意義．某電力部門(mén)在某地安裝了一批風(fēng)力發(fā)電機(jī)，如圖（1）某校實(shí)踐活動(dòng)小組對(duì)其中一架風(fēng)力發(fā)電機(jī)的塔桿高度進(jìn)行了測(cè)量，圖（2）為測(cè)量示意圖（點(diǎn)，，，均在同一平面內(nèi)，）．已知斜坡長(zhǎng)為20米，斜坡的坡角為，在斜坡頂部處測(cè)得風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿頂端點(diǎn)的仰角為，坡底與塔桿底的距離米，求該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿的高度．（結(jié)果精確到個(gè)位；參考數(shù)據(jù)：，，，）

【答案】32m【分析】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，先求解，，再證明，再利用銳角的正切可得，從而可得答案.【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)

由題意得：，在中，，，，四邊形為矩形，，，，在中.，答：該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿的高度為.5．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，堤壩長(zhǎng)為，坡度i為，底端A在地面上，堤壩與對(duì)面的山之間有一深溝，山頂D處立有高的鐵塔．小明欲測(cè)量山高，他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線上，又在壩頂B處測(cè)得塔底D的仰角為．求堤壩高及山高．（，，，小明身高忽略不計(jì)，結(jié)果精確到）

【答案】堤壩高為8米，山高為20米．【分析】過(guò)B作于H，設(shè)，，根據(jù)勾股定理得到，求得，過(guò)B作于F，則，設(shè)，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：過(guò)B作于H，

∵坡度i為，∴設(shè)，，∴，∴，∴，過(guò)B作于F，則，設(shè)，∵．∴，∴，∵坡度i為，∴，∴，∴（米），∴（米），答：堤壩高為8米，山高為20米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-俯角仰角，解直角三角形的應(yīng)用-坡角坡度，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2023·湖北·中考真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長(zhǎng)度為20米，，求斜坡的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】斜坡的長(zhǎng)約為10米【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，利用正弦函數(shù)求得，在中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，在中，，．∴．∵，∴在中，（米）．答：斜坡的長(zhǎng)約為10米．【點(diǎn)睛】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．7．（2023·四川自貢·中考真題）為測(cè)量學(xué)校后山高度，數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)過(guò)程如下：

(1)測(cè)量坡角如圖1，后山一側(cè)有三段相對(duì)平直的山坡，山的高度即為三段坡面的鉛直高度之和，坡面的長(zhǎng)度可以直接測(cè)量得到，要求山坡高度還需要知道坡角大?。鐖D2，同學(xué)們將兩根直桿的一端放在坡面起始端A處，直桿沿坡面方向放置，在直桿另一端N用細(xì)線系小重物G，當(dāng)直桿與鉛垂線重合時(shí)，測(cè)得兩桿夾角的度數(shù)，由此可得山坡AB坡角的度數(shù)．請(qǐng)直接寫(xiě)出之間的數(shù)量關(guān)系．(2)測(cè)量山高同學(xué)們測(cè)得山坡的坡長(zhǎng)依次為40米，50米，40米，坡角依次為；為求，小熠同學(xué)在作業(yè)本上畫(huà)了一個(gè)含角的（如圖3），量得．求山高．（，結(jié)果精確到1米）(3)測(cè)量改進(jìn)由于測(cè)量工作量較大，同學(xué)們圍繞如何優(yōu)化測(cè)量進(jìn)行了深入探究，有了以下新的測(cè)量方法．

如圖4，5，在學(xué)校操場(chǎng)上，將直桿NP置于的頂端，當(dāng)與鉛垂線重合時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)直桿，使點(diǎn)N，P，D共線，測(cè)得的度數(shù)，從而得到山頂仰角，向后山方向前進(jìn)40米，采用相同方式，測(cè)得山頂仰角；畫(huà)一個(gè)含的直角三角形，量得該角對(duì)邊和另一直角邊分別為厘米，厘米，再畫(huà)一個(gè)含的直角三角形，量得該角對(duì)邊和另一直角邊分別為厘米，厘米．已知桿高M(jìn)N為米，求山高．（結(jié)果用不含的字母表示）【答案】(1)；(2)山高為69米；(3)山高的高為米．．【分析】（1）利用互余的性質(zhì)即可求解；（2）先求得，再分別在、、中，解直角三角形即可求解；（3）先求得，，在和中，分別求得和的長(zhǎng)，得到方程，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，

∴；（2）解：在中，．

∴，在中，，米，∴(米)，在中，，米，∴(米)，在中，，米，∴(米)，∴山高(米)，答：山高為69米；（3）解：如圖，由題意得，，

設(shè)山高，則，

在中，，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∵，∴，即，解得，山高答：山高的高為米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實(shí)際問(wèn)題化歸為解直角三角形的問(wèn)題是解答此類(lèi)題的關(guān)鍵．考點(diǎn)04解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用——方位角1．（2025·重慶·中考真題）為加強(qiáng)森林防火，某林場(chǎng)采用人工瞭望與無(wú)人機(jī)巡視兩種方式監(jiān)測(cè)森林情況．如圖，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．A是瞭望臺(tái)，某一時(shí)刻，觀測(cè)到甲無(wú)人機(jī)位于A的正東方向10千米的B處，乙無(wú)人機(jī)位于A的南偏西方向20千米的D處．兩無(wú)人機(jī)同時(shí)飛往C處巡視，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（參考數(shù)據(jù)：，，，）(1)求的長(zhǎng)度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；(2)甲、乙兩無(wú)人機(jī)同時(shí)分別從B，D出發(fā)沿往C處進(jìn)行巡視，乙無(wú)人機(jī)速度為甲無(wú)人機(jī)速度的2倍．當(dāng)兩無(wú)人機(jī)相距20千米時(shí)，它們可以開(kāi)始相互接收到信號(hào)．請(qǐng)問(wèn)甲無(wú)人機(jī)飛離B處多少千米時(shí)，兩無(wú)人機(jī)可以開(kāi)始相互接收到信號(hào)（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？【答案】(1)千米(2)千米【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵。（1）過(guò)點(diǎn)A作于E，過(guò)點(diǎn)B作于F，由題意得，，解得到千米，千米，證明四邊形是矩形，得到千米，千米，得到千米，再利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)；（2）當(dāng)甲無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)到M，乙無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)到N時(shí)，此時(shí)滿(mǎn)足千米．過(guò)點(diǎn)M作于T，由題意得，，解得到千米，千米，則千米，設(shè)千米，則千米，千米，解得到千米，千米，則千米，由勾股定理得，解方程即可得到答案?！驹斀狻浚?）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作于E，過(guò)點(diǎn)B作于F，∴，由題意得，，在中，千米，千米，∵無(wú)人機(jī)位于A的正東方向10千米的B處，D位于C的正西方向上，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴千米，千米，∴千米，∴千米，答：的長(zhǎng)度約為千米；（2）解：如圖所示，當(dāng)甲無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)到M，乙無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)到N時(shí)，此時(shí)滿(mǎn)足千米．過(guò)點(diǎn)M作于T，由題意得，，在中，千米，千米，∴千米，設(shè)千米，則千米，千米，在中，千米，千米，∴千米，在中，由勾股定理得，∴，∴或（此時(shí)大于的長(zhǎng)，舍去），∴千米，答：甲無(wú)人機(jī)飛離B處千米時(shí)，兩無(wú)人機(jī)可以開(kāi)始相互接收到信號(hào)．2．（2025·山東煙臺(tái)·中考真題）【綜合與實(shí)踐】煙臺(tái)山燈塔被譽(yù)為“黃海夜明珠”，它坐落在煙臺(tái)山上，為過(guò)往船只提供導(dǎo)航服務(wù)．為了解漁船海上作業(yè)情況，某日，數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了實(shí)踐探究活動(dòng)．如圖，一艘漁船自東向西以每小時(shí)海里的速度向碼頭航行，小組同學(xué)收集到以下信息：位置信息碼頭A在燈塔B北偏西方向14：30時(shí)，漁船航行至燈塔北偏東方向的處15：00時(shí)，漁船航行至燈塔東北方向的處天氣預(yù)警受暖濕氣流影響，今天17：30到夜間，碼頭附近海域?qū)⒊霈F(xiàn)濃霧天氣．請(qǐng)注意防范．請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：(1)求漁船在航行過(guò)程中到燈塔的最短距離；(2)若不改變航行速度，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明漁船能否在濃霧到來(lái)前到達(dá)碼頭（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）．【答案】(1)漁船在航行過(guò)程中到燈塔的最短距離為海里(2)不改變航行速度，漁船能在濃霧到來(lái)前到達(dá)碼頭【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵；（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)題意得出，解，得出，建立方程，即可求解；（2）求得的距離，計(jì)算的距離，根據(jù)路程除以速度得到航行時(shí)間，結(jié)合題意，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，依題意，，，，∴，，∴，在中，，∴，解得：，∴漁船在航行過(guò)程中到燈塔的最短距離為海里；（2）解：在中，，，∴，∴，小時(shí)分鐘，從14：30，經(jīng)過(guò)分鐘是，在之前到達(dá)，∴不改變航行速度，漁船能在濃霧到來(lái)前到達(dá)碼頭．3．（2024·海南·中考真題）木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標(biāo)燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最重要的航標(biāo)．某天，一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時(shí)10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖所示．

航行記錄記錄一：上午8時(shí)，漁船到達(dá)木蘭燈塔P北偏西方向上的A處．記錄二：上午8時(shí)30分，漁船到達(dá)木蘭燈塔P北偏西方向上的B處．記錄三：根據(jù)氣象觀測(cè)，當(dāng)天凌晨4時(shí)到上午9時(shí)，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C點(diǎn)周?chē)?海里內(nèi)，會(huì)出現(xiàn)異常海況，點(diǎn)C位于木蘭燈塔P北偏東方向．請(qǐng)你根據(jù)以上信息解決下列問(wèn)題：(1)填空：________，________，________海里；(2)若該漁船不改變航線與速度，是否會(huì)進(jìn)入“海況異?！眳^(qū)，請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)30；75；5(2)該漁船不改變航線與速度，會(huì)進(jìn)入“海況異?！眳^(qū)【分析】本題主要考查了方位角的計(jì)算，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理：（1）根據(jù)方位角的描述和三角形內(nèi)角和定理可求出兩個(gè)角的度數(shù)，根據(jù)路程等于速度乘以時(shí)間可以計(jì)算出對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度；（2）設(shè)海里，先解得到，再解得到海里，海里，據(jù)此可得，解得海里；證明，則海里；再求出上午9時(shí)時(shí)船與C點(diǎn)的距離即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作于D，由題意得，，∴；∵一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時(shí)10海里的速度在瓊州海峽航行，上午8時(shí)從A出發(fā)到上午8時(shí)30分到達(dá)B，∴海里．（2）解：設(shè)海里，在中，海里，在中，海里，海里，∵，∴，解得，∴海里，∵，∴，∴海里；上午9時(shí)時(shí)，船距離A的距離為海里，∵，∴該漁船不改變航線與速度，會(huì)進(jìn)入“海況異?！眳^(qū)．4．（2024·四川資陽(yáng)·中考真題）如圖，某海域有兩燈塔A，B，其中燈塔B在燈塔A的南偏東方向，且A，B相距海里．一漁船在C處捕魚(yú)，測(cè)得C處在燈塔A的北偏東方向、燈塔B的正北方向．

(1)求B，C兩處的距離；(2)該漁船從C處沿北偏東方向航行一段時(shí)間后，突發(fā)故障滯留于D處，并發(fā)出求救信號(hào)．此時(shí)，在燈塔B處的漁政船測(cè)得D處在北偏東方向，便立即以18海里/小時(shí)的速度沿方向航行至D處救援，求漁政船的航行時(shí)間．（注：點(diǎn)A，B，C，D在同一水平面內(nèi)；參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)B，C兩處的距離為16海里(2)漁政船的航行時(shí)間為小時(shí)【分析】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫(huà)出輔助線，構(gòu)造直角三角形．（1）根據(jù)題意易得，則，再求出（海里），即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，設(shè)海里，則，，則，求出，進(jìn)而得出海里，海里，根據(jù)勾股定理可得：（海里），即可解答．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，∵燈塔B在燈塔A的南偏東方向，C處在燈塔A的北偏東方向、燈塔B的正北方向．∴，∴，∵，∴，∵海里，∴（海里），∴（海里），∴B，C兩處的距離為16海里．

（2）解：過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，設(shè)海里，∵，∴，由（1）可知，海里，∴海里，∵，∴，∴，解得：，∴海里，海里，根據(jù)勾股定理可得：（海里），∴漁政船的航行時(shí)間為（小時(shí)），答：漁政船的航行時(shí)間為小時(shí)．

5．（2024·江蘇連云港·中考真題）圖1是古代數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中對(duì)“邑的計(jì)算”的相關(guān)研究．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組也類(lèi)比進(jìn)行了如下探究：如圖2，正八邊形游樂(lè)城的邊長(zhǎng)為，南門(mén)設(shè)立在邊的正中央，游樂(lè)城南側(cè)有一條東西走向的道路，在上（門(mén)寬及門(mén)與道路間距離忽略不計(jì)），東側(cè)有一條南北走向的道路，C處有一座雕塑．在處測(cè)得雕塑在北偏東方向上，在處測(cè)得雕塑在北偏東方向上．(1)__________，__________；(2)求點(diǎn)到道路的距離；(3)若該小組成員小李出南門(mén)O后沿道路向東行走，求她離處不超過(guò)多少千米，才能確保觀察雕塑不會(huì)受到游樂(lè)城的影響？（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，，）【答案】(1)，(2)2.0千米(3)【分析】本題考查正多邊形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)：（1）求出正八邊形的一個(gè)外角的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，解，求出，解，求出，即可；（3）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，解，求出，證明，列出比例式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵正八邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為：，∴，；故答案為：；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為．在中，，，．在中，，．答：點(diǎn)到道路的距離為2.0千米．（3）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．正八邊形的外角均為，在中，．．又，，．∵，∴，，即，，．答：小李離點(diǎn)不超過(guò)2.4km，才能確保觀察雕塑不會(huì)受到游樂(lè)城的影響．6．（2023·山東臨沂·中考真題）如圖，燈塔A周?chē)?海里內(nèi)有暗礁．一漁船由東向西航行至B處，測(cè)得燈塔A在北偏西58°方向上，繼續(xù)航行6海里后到達(dá)C處，測(cè)得燈塔A在西北方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向西航行，有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】漁船沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)【分析】過(guò)點(diǎn)作，分別解和，求出的長(zhǎng)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，由題意，得：，，，設(shè)，

在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∵，∴漁船沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用—方向角問(wèn)題．解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．考點(diǎn)05解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用——其他1．（2025·貴州·中考真題）某小區(qū)在設(shè)計(jì)時(shí)，計(jì)劃在如圖①的住宅樓正前方建一棟文體活動(dòng)中心．設(shè)計(jì)示意圖如圖②所示，已知，該地冬至正午太陽(yáng)高度角為．如果你是建筑設(shè)計(jì)師，請(qǐng)結(jié)合示意圖和已知條件完成下列任務(wù)．任務(wù)一：計(jì)算冬至正午太陽(yáng)照到住宅樓的位置與地面之間的距離的長(zhǎng)；任務(wù)二：為符合建筑規(guī)范對(duì)日照的要求，讓整棟住宅樓在冬至正午太陽(yáng)高度角下恰好都能照射到陽(yáng)光，需將活動(dòng)中心沿方向移動(dòng)一定的距離（活動(dòng)中心高度不變），求該活動(dòng)中心移動(dòng)了多少米？（參考數(shù)據(jù)：．結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）【答案】任務(wù)一：，任務(wù)二：該活動(dòng)中心移動(dòng)了2米；【分析】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用；任務(wù)一：如圖，過(guò)作于，結(jié)合題意可得：四邊形為矩形，，可得，，求解，進(jìn)一步可得答案；任務(wù)二：如圖，過(guò)作的平行線，過(guò)作的平行線，兩線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)作于，可得，四邊形為矩形，，求解，進(jìn)一步可得答案.【詳解】解：任務(wù)一：如圖，過(guò)作于，結(jié)合題意可得：四邊形為矩形，，∵，∴，，∵，∴，∴；任務(wù)二：如圖，過(guò)作的平行線，過(guò)作的平行線，兩線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)作于，∴，四邊形為矩形，∴，∴，∴；∴該活動(dòng)中心移動(dòng)了2米.2．（2025·青?！ぶ锌颊骖}）數(shù)學(xué)實(shí)踐【問(wèn)題背景】中國(guó)傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)智慧遇上現(xiàn)代數(shù)學(xué)模型．“豇豆不上架，產(chǎn)量少一半”的農(nóng)諺流傳至今，現(xiàn)代科學(xué)揭示了其秘密：當(dāng)支架與地面形成夾角時(shí)，既能在早春聚熱防凍害，又能在盛夏分散強(qiáng)光，就像給豇豆裝了智能遮陽(yáng)篷．【問(wèn)題呈現(xiàn)】用兩根竹竿交叉，斜插入地面，交叉點(diǎn)在何處會(huì)使支架與地面形成夾角？【模型建立】環(huán)節(jié)一：數(shù)據(jù)收集兩根竹竿長(zhǎng)度均為1.8米，插入地下的部分為0.3米，竹竿與地面接觸點(diǎn)間距為0.6米且與地面所形成的夾角均為．環(huán)節(jié)二：數(shù)學(xué)抽象如圖：已知線段與交于點(diǎn)，，與直線分別交于點(diǎn)，，，，，，求的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，，）【模型求解】【問(wèn)題總結(jié)】交叉點(diǎn)距頂端的長(zhǎng)度即為_(kāi)_____時(shí)，支架與地面形成夾角，這樣更貼合作物的生長(zhǎng)規(guī)律．【答案】，【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，如圖，過(guò)作于，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，結(jié)合可得答案；最后由即可得到答案.【詳解】解：數(shù)學(xué)抽象：如圖，過(guò)作于，∵，∴，∵，∴，∴，∴，問(wèn)題總結(jié)：∵，，∴.3．（2025·湖南·中考真題）如圖，某處有一個(gè)晾衣裝置，固定立柱和分別垂直地面水平線于點(diǎn)，，分米，．在點(diǎn)，之間的晾衣繩上有固定掛鉤，分米，一件連衣裙掛在點(diǎn)處（點(diǎn)與點(diǎn)重合），且直線．(1)如圖1，當(dāng)該連衣裙下端點(diǎn)剛好接觸到地面水平線時(shí)，點(diǎn)到直線的距離等于12分米，求該連衣裙的長(zhǎng)度；(2)如圖2，為避免該連衣裙接觸到地面，在另一端固定掛鉤處再掛一條長(zhǎng)褲（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），若，求此時(shí)該連衣裙下端點(diǎn)到地面水平線的距離約為多少分米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)14分米(2)2分米【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）可證明四邊形是矩形，得到；在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)即可得到答案；（2）過(guò)點(diǎn)E作于H，延長(zhǎng)交于T，則四邊形是矩形，可得；解求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，據(jù)此求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，∴四邊形是矩形，∴；在中，分米，分米，∴分米，∴分米，∴分米，答：該連衣裙的長(zhǎng)度為14分米；（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作于H，延長(zhǎng)交于T，∵，∴四邊形是矩形，∴；在中，分米，，，∴分米，分米，∴分米，∴分米，分米，∴分米；答：此時(shí)該連衣裙下端點(diǎn)到地面水平線的距離約為2分米．4．（2025·四川宜賓·中考真題）如圖，扇形為某運(yùn)動(dòng)場(chǎng)內(nèi)的投擲區(qū)，所在圓的圓心為O、A、B、N、O在同一直線上．直線與所在相切于點(diǎn)．此時(shí)測(cè)得；從點(diǎn)處沿方向前進(jìn)8.0米到達(dá)B處．直線與所在相切于點(diǎn)，此時(shí)測(cè)得．（參考數(shù)據(jù)：）(1)求圓心角的度數(shù)；(2)求的弧長(zhǎng)（結(jié)果精確到米）．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，圓的切線的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．（1）由圓的切線的性質(zhì)得到，再由直角三角形銳角互余即可求解；（2）先解，設(shè)，，再解得到，求出，求出半徑，再由弧長(zhǎng)公式即可求解．【詳解】（1）解：∵直線與所在相切于點(diǎn)，∴，∵，∴；（2）解：∵直線與所在相切于點(diǎn)，∴，∵，∴，設(shè)，∴，∵，∴，∵在中，，∴，∴，解得：，∴，∴的弧長(zhǎng)為：，答：的弧長(zhǎng)為．5．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）實(shí)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要途徑．如圖是小亮同學(xué)安裝的化學(xué)實(shí)驗(yàn)裝置，安裝要求為試管口略向下傾斜，鐵夾應(yīng)固定在距試管口的三分之一處．現(xiàn)將左側(cè)的實(shí)驗(yàn)裝置圖抽象成右側(cè)示意圖，已知試管，試管傾斜角為．(1)求試管口B與鐵桿的水平距離的長(zhǎng)度；（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)表示）(2)實(shí)驗(yàn)時(shí)，導(dǎo)氣管緊靠水槽壁，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且于點(diǎn)N（點(diǎn)C，D，N，F(xiàn)在一條直線上），經(jīng)測(cè)得：，求線段的長(zhǎng)度．（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)表示）【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵．（1）先求出，再在中，利用余弦的定義求解即可得；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先解直角三角形可得的長(zhǎng)，從而可得的長(zhǎng)，再判斷出是等腰直角三角形，從而可得的長(zhǎng)，最后根據(jù)求解即可得．【詳解】（1）解：∵，∴，由題意可知，，在中，，∴，答：試管口與鐵桿的水平距離的長(zhǎng)度．（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形和四邊形都是矩形，∴，在中，，，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，答：線段的長(zhǎng)度為．6．（2024·甘肅蘭州·中考真題）單擺是一種能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動(dòng)的裝置，某興趣小組利用擺球和擺線進(jìn)行與單擺相關(guān)的實(shí)驗(yàn)探究，并撰寫(xiě)實(shí)驗(yàn)報(bào)告如下．實(shí)驗(yàn)主題探究擺球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中高度的變化實(shí)驗(yàn)用具擺球，擺線，支架，攝像機(jī)等實(shí)驗(yàn)說(shuō)明如圖1，在支架的橫桿點(diǎn)O處用擺線懸掛一個(gè)擺球，將擺球拉高后松手，擺球開(kāi)始往復(fù)運(yùn)動(dòng)．（擺線的長(zhǎng)度變化忽略不計(jì)）如圖2，擺球靜止時(shí)的位置為點(diǎn)A，拉緊擺線將擺球拉至點(diǎn)B處，，，；當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C時(shí)，，．（點(diǎn)O，A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)）實(shí)驗(yàn)圖示解決問(wèn)題：根據(jù)以上信息，求的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到）參考數(shù)據(jù)：，．【答案】的長(zhǎng)為【分析】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，先求解，再求解，從而可得答案；【詳解】解：∵，，；∴，，∴，∵，，∴，∴；∴的長(zhǎng)為；7．（2024·四川廣元·中考真題）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質(zhì)發(fā)生折射時(shí)，入射角的正弦值與折射角的正弦值的比值叫做介質(zhì)的“絕對(duì)折射率”，簡(jiǎn)稱(chēng)“折射率”．它表示光在介質(zhì)中傳播時(shí)，介質(zhì)對(duì)光作用的一種特征．(1)若光從真空射入某介質(zhì)，入射角為，折射角為，且，，求該介質(zhì)的折射率；(2)現(xiàn)有一塊與（1）中折射率相同的長(zhǎng)方體介質(zhì)，如圖①所示，點(diǎn)A，B，C，D分別是長(zhǎng)方體棱的中點(diǎn)，若光線經(jīng)真空從矩形對(duì)角線交點(diǎn)O處射入，其折射光線恰好從點(diǎn)C處射出．如圖②，已知，，求截面的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理等知識(shí)，（1）根據(jù)，設(shè)，則，利用勾股定理求出，進(jìn)而可得，問(wèn)題即可得解；（2）根據(jù)折射率與（1）的材料相同，可得折射率為，根據(jù)，可得，則有，在中，設(shè)，，問(wèn)題隨之得解．【詳解】（1）∵，∴如圖，設(shè)，則，由勾股定理得，，∴，又∵，∴，∴折射率為：．（2）根據(jù)折射率與（1）的材料相同，可得折射率為，∵，∴，∴．∵四邊形是矩形，點(diǎn)O是中點(diǎn)，∴，，又∵，∴，在中，設(shè)，，由勾股定理得，，∴．又∵，∴，∴，∴，∴截面的面積為：．8．（2024·江蘇蘇州·中考真題）圖①是某種可調(diào)節(jié)支撐架，為水平固定桿，豎直固定桿，活動(dòng)桿可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，為液壓可伸縮支撐桿，已知，，．(1)如圖②，當(dāng)活動(dòng)桿處于水平狀態(tài)時(shí)，求可伸縮支撐桿的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)如圖③，當(dāng)活動(dòng)桿繞點(diǎn)A由水平狀態(tài)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度，且（為銳角），求此時(shí)可伸縮支撐桿的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）過(guò)點(diǎn)C作，垂足為E，判斷四邊形為矩形，可求出，，然后在中，根據(jù)勾股定理求出即可；（2）過(guò)點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G．判斷四邊形為矩形，得出．在中，利用正切定義求出．利用勾股定理求出，由，可求出，，，．在中，根據(jù)勾股定理求出即可．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為E，由題意可知，，又，四邊形為矩形．，，，．，．在中，．即可伸縮支撐桿的長(zhǎng)度為；（2）解：過(guò)點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G．由題意可知，四邊形為矩形，．在中，，．，，，．，，，．在中，．即可伸縮支撐桿的長(zhǎng)度為．9．（2023·山東濟(jì)南·中考真題）圖1是某越野車(chē)的側(cè)面示意圖，折線段表示車(chē)后蓋，已知，，，該車(chē)的高度．如圖2，打開(kāi)后備箱，車(chē)后蓋落在處，與水平面的夾角．

(1)求打開(kāi)后備箱后，車(chē)后蓋最高點(diǎn)到地面的距離；(2)若小琳爸爸的身高為，他從打開(kāi)的車(chē)后蓋處經(jīng)過(guò)，有沒(méi)有碰頭的危險(xiǎn)?請(qǐng)說(shuō)明理由．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)車(chē)后蓋最高點(diǎn)到地面的距離為(2)沒(méi)有危險(xiǎn),詳見(jiàn)解析【分析】（1）作，垂足為點(diǎn)，先求出的長(zhǎng)，再求出的長(zhǎng)即可；（2）過(guò)作，垂足為點(diǎn)，先求得，再得到，再求得，從而得出到地面的距離為，最后比較即可．【詳解】（1）如圖，作，垂足為點(diǎn)

在中∵，∴∴∵平行線間的距離處處相等∴答：車(chē)后蓋最高點(diǎn)到地面的距離為．（2）沒(méi)有危險(xiǎn)，理由如下：過(guò)作，垂足為點(diǎn)

∵，∴∵∴在中，∴．∵平行線間的距離處處相等∴到地面的距離為．∵∴沒(méi)有危險(xiǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)06三角函數(shù)與四邊形的綜合1．（2025·四川資陽(yáng)·中考真題）在四邊形中，是邊上的一點(diǎn)，是對(duì)角線的中點(diǎn)．(1)如圖1，四邊形是正方形，連接，作交于點(diǎn)，求證：；(2)如圖2，四邊形是平行四邊形，，連接，作交于點(diǎn)，連接，求的值；(3)如圖3，四邊形是菱形，，連接交于點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)，利用得到，即可證明結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求出長(zhǎng)，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式求出長(zhǎng)，根據(jù)正切得到長(zhǎng)，然后設(shè)，則，求出長(zhǎng)，再根據(jù)正切得到求出a的值，解答即可；（3）過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)P，作于點(diǎn)Q，設(shè)，求出，，然后表示，，在射線上截取，在射線上截取，根據(jù)全等得到，，，然后根據(jù)勾股定理求出x值，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解答即可．【詳解】（1）證明：連接，∵是正方形，，∴，，，∴，∴，∴；（2）解：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)，（3）∵，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∵是平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∴，即，設(shè)，則，∴，同理可得，即，解得，∴，又∵O是的中點(diǎn)，∴，∴，∴；過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)P，作于點(diǎn)Q，設(shè)，∵是菱形，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，，在射線上截取，在射線上截取，∵是菱形，∴，，∴，，又∵，∴，∴，，同理：，，∴，∴，∴，即，∴，解得，又∵，∴，，∴，∴，即，解得：，又∵O是的中點(diǎn)，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2025·北京·中考真題）如圖，在中，D，E分別為的中點(diǎn)，，垂足為F，點(diǎn)G在的延長(zhǎng)線上，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，，求和的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查了矩形的判定，三角形中位線定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）由三角形中位線定理可得，即，則可證明四邊形是平行四邊形，再由，即可證明平行四邊形是矩形；（2）求出，解得到，則；由線段中點(diǎn)的定義可得；過(guò)點(diǎn)A作于H，解得到，則，再利用勾股定即可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：∵D，E分別為的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，即，∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴平行四邊形是矩形；（2）解：∵，∴；∵，∴，在中，，，∴，∴；∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴；如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作于H，在中，，∴，在中，由勾股定理得．3．（2025·黑龍江·中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)B、C重合），點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，且，連接、、，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，分別交、、于點(diǎn)、、．則下列結(jié)論：①；②；③；④若，則；⑤圖中共有5個(gè)等腰三角形．其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤【答案】C【分析】本題考查了正方形性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、解三角形等，解題關(guān)鍵是利用垂直證明角的關(guān)系，從而證明三角形全等或相似．容易證明，從而可得，進(jìn)而可得，從而可得②正確，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，構(gòu)造，結(jié)合四邊形是平行四邊形可得，可得①正確，再利用角關(guān)系證明，，可得，從而得出結(jié)論③正確，過(guò)點(diǎn)作，設(shè)，由可得，解三角形求出，，從而求出，故結(jié)論④正確，再判定不一定是等腰三角形，得出等腰三角形有、、、，共四個(gè)，故結(jié)論⑤錯(cuò)誤．【詳解】解：如圖1，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，∵在正方形中，∴，，，，∴、是等腰三角形，又∵，，∴，∴，，，∴是等腰三角形，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，，∴，設(shè)，∵，，∴，故結(jié)論②正確；∴，即是等腰三角形，∵在和中，，∴，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，故結(jié)論①正確，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴∴，∵，∴，∴，故結(jié)論③正確，過(guò)點(diǎn)作，如圖2；設(shè)，由可得，，∴，∵，∴，∴，故結(jié)論④正確，∵，，∴不一定等于，，∴不一定是等腰三角形，故等腰三角形有、、、，共四個(gè)，故結(jié)論⑤錯(cuò)誤，綜上所述：正確結(jié)論有①②③④．故選C．4．（2025·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在菱形中，，垂足為E，交于點(diǎn)F，．若，則．【答案】4【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，得，又結(jié)合，，得出是等邊三角形，就可以得知和都是含的直角三角形，解出三角形，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：連接，，，，垂直平分，，菱形，，是等邊三角形，，，，，，．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形，熟練掌握這些性質(zhì)定理是關(guān)鍵．5．（2025·貴州·中考真題）如圖，在矩形中，點(diǎn)E，F(xiàn)，M分別在，，邊上，分別交對(duì)角線、線段于點(diǎn)G，H，且是的中點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】如圖，連接，交于，過(guò)作于，求解，證明是的中位線，可得，，，證明四邊形是平行四邊形，可得，而，，求解，再進(jìn)一步求解即可.【詳解】解：如圖，連接，交于，過(guò)作于，∵，，∴，∵矩形，∴，，∴，，∵是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，而，，∴，∴，∴，∴；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.6．（2024·江蘇南通·中考真題）若菱形的周長(zhǎng)為，且有一個(gè)內(nèi)角為，則該菱形的高為．【答案】【分析】本題考查的是菱形的性質(zhì)，銳角的正弦的含義，先畫(huà)圖，求解，過(guò)作于，結(jié)合可得答案．【詳解】解：如圖，菱形的周長(zhǎng)為，∴，過(guò)作于，而，∴，故答案為：7．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，矩形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，于點(diǎn)，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)．若，，則點(diǎn)到的距離為．【答案】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的相關(guān)知識(shí)，過(guò)點(diǎn)F作，垂足為H，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，利用角的余弦值求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出，從而得出，利用三角形面積求出即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作，垂足為H，四邊形為矩形，，，，，，，即，解得：，，即，解得：，，，，即，解得：，故答案為：．8．（2023·遼寧丹東·中考真題）如圖，在矩形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，，垂足為點(diǎn)E，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接，若，則矩形的周長(zhǎng)是（

）A． B． C．