第六章計(jì)數(shù)原理章末小結(jié)及測(cè)試

知識(shí)呈現(xiàn)

計(jì)數(shù)原理

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

一分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理及分布乘法計(jì)數(shù)原理

利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決應(yīng)用問(wèn)題的一般思路

①弄清完成一件事是做什么

②確定是先分類(lèi)后分步，還是先分步后分類(lèi)

③弄清分步、分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)是什么

④類(lèi)要做到不重不漏

排列

Ar=/!(/i-l)(/!-2)―(/!-m+l)=--——(〃，/wGN*?m^n)

(…)！

AS=〃(n-l)(〃-2)…2?1=〃！(叫做〃的階乘).另外，我們規(guī)定0!=1

<「簡(jiǎn)單直接法一特殊優(yōu)先法一相鄰捆綁法

匚常用方法-一定序倍縮法一定序排他法一不相鄰插空法

I至少間接法

組合

-=絲=.一】%一2廣伽一/1)_/桁3,Y").

八為JASm\m\(n-ni)\

一公式H

-1

Jd=a=i.—cr=cr"：—cr+cr=cr+i

①完全均勻分組，每組的元素個(gè)數(shù)均相等；

J分組分配一②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有n組均勻，最后必須除以n!

③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象.

二項(xiàng)式定理

—項(xiàng)數(shù)展開(kāi)項(xiàng)有n+1項(xiàng)

通項(xiàng)

J公式-(。+。尸展開(kāi)式的第《+1項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，記作幾+i=CSd-叱.

J題型一指定項(xiàng)系數(shù)二項(xiàng)式系數(shù)系數(shù)余數(shù)

例題剖析

計(jì)數(shù)原理

考法一排列數(shù)與組合數(shù)考法五放球問(wèn)題

考法二排隊(duì)問(wèn)題考法六分組分配

考法三排數(shù)問(wèn)題考法七二項(xiàng)式定理

考法四涂色問(wèn)題考法八楊輝三角

考法一排列數(shù)與組合數(shù)

【例1-1】（2024?遼寧沈陽(yáng)）（多選）若加，〃為正整數(shù)且，則（）

A.C+C"??+C：=2"B.c;=c：：：y"

C.〃@=5-1)￡；二：D.A；+〃?Ah=A3

【答案】BD

【解析】對(duì)A：2"=(l+l)y+C+?.?+C：,又C=l,故A錯(cuò)誤；

cn+i.(〃+l)!___________("I

(/?i+!)!(/:-/??)!(/n+l)!(/z-/n-1)!

(〃+l)!(〃一/〃)(〃)！(〃+l-〃+/〃)(/?)!(?)!

(w+1)/?/!(//-/??)!(加+l)〃i!(〃一〃？)！(〃?+1)〃?!(，L〃。！〃？！(〃一〃?)！

故B正確；

7.r.l=("1)!=M〃f!=M"l)!

""(，〃-1)!(〃一機(jī))！〃?(加一1)!(〃一機(jī))！〃？！(〃_〃?)！'

欣…然麗/〃（〃為）！'即檔—,，故C錯(cuò)誤;

n\mnl(〃-〃?+1+〃?)?〃!(〃+l)!

對(duì)D：A；+Z=

(?—m)!(/Z-/H+1)!(n-m+1)!(n-m+1)!

5+1)].

A；￡=1~A，即A；：+〃7A；T=A：\,故D正確.故選：BD.

(〃-〃?+1)!

【例1?2】(2023遼寧沈陽(yáng)?期末)(1)已知C；=C^2w，]),計(jì)算：c7+C7\C；+2+C:3；

(2)解方程：3C=；=5A".

【答案】(1)126；(2)x=ll.

【解析】(1)因?yàn)镚'=C}2(〃?H]),則〃7+3,〃-2=6,解得初=2,經(jīng)驗(yàn)證符合題意，

所以C；+ck+C；,+2+C,3=C,+C；H2+C,3

二C『2+C73=C:3=C=126.

小0A2R凌(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)

(2)由3c_3=5A1,得3------------------------------------=5(x-4)(.r-5),

V4!

即(x-3)(x-6)=40,而由3CW=5A",知27,xeN',解得x=U,

所以原方程的解為X=ll.

考法二排隊(duì)問(wèn)題

【例2-1】(2023天津河?xùn)|?階段練習(xí))有2名男生和3名女生，按下列要求各有多少種排法或選法，依題意

列式作答：

⑴若選出3人當(dāng)主持人，要求至少有1名男生，則有多少種不同的選法；

⑵若2名男同學(xué)必須相鄰，共有多少種不同的排法；

⑶若2名男同學(xué)不相鄰，共有多少種不同的排法：

⑷若2名男同學(xué)不站兩端，共有多少種不同的排法；

⑸若2名男同學(xué)中間必須有1人，共有多少種不同的排法.

【答案】(1)9(2)48(3)72(4)36(5)36

【解析】(1)選出3人當(dāng)主持人有C；=10種情況，選出3人當(dāng)主持人沒(méi)有男生有亡=1種情況，

則至少有1名男生有C；-C；=10-1=9種選法；

(2)若2名男同學(xué)必須相鄰A；=2種排法，

則2名男生和3名女生其中2名男同學(xué)必須相鄰共有A；A：=2x24=48種排法；

(3)2名男同學(xué)不相鄰，先排3個(gè)女生A；=6種排法，有4個(gè)空排2名男生,

則2名男同學(xué)不相鄰共有A：A：=6x12=72種排法;

（4）2名男生不站兩端，可以選2名女生站兩端有A；=6種情況，

則2名男同學(xué)不站兩端共有A；A；=6x6=36種排法；

（5）2名男同學(xué)中間必須有1人，先選1名女生在2名男同學(xué)中間C；A；=3x2=6種排法，再抹捆綁后的整

體和其他人，

則2名男同學(xué)中間必須有1人共有C；A；A；=3x2x6=6x6=36種排法.

[ft2-2]（2024全國(guó)?課時(shí)練習(xí)）有3名男生和4名女生，根據(jù)下列不同的要求，求不同的排列方法種數(shù).

⑴全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置：

（2）全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊：

⑶全體排成一行，其中3名男生必須排在一-起：

⑷全體排成一行，男、女各不相鄰；

⑸全體排成一行，3名男生互不相鄰；

⑹全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變；

⑺排成前后二排，前排3人，后排4人；

⑻全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有3人.

【答案】（1）2160：（2）3720：（3）720；（4）144；（5）1440：（6）840：（7）5040；（8）720.

【解析】（1）解：元素分析法.先安排甲，左、右、中三個(gè)位置可供甲選擇，有A；種排法，其余6人全排

列，有A：種排法，由乘法原理得共有A；A：=2160（種）排法；

（2）解：位置分析法.先排最左邊，除去甲外有A；種排法，余下的6個(gè)位置全排有A：種排法，但應(yīng)剔除

乙在最右邊的排法A；A；種，則符合條件的排法共有A：A：-A；A；=3720（種）；

（3）解：捆綁法.將男生看成一個(gè)整體，進(jìn)行全排列，再與其他元素進(jìn)行全排列，共有A；A；=720（種）

排法；

（4）解：插空法.先排男生，然后將女生插入其中的四個(gè)空位，共有A；A：=144（種）排法；

（5）解：插空法.先排女生，然后在空位中插入男生，共有A：A：=1440（種）排法；

（6）解.：定序排列.7名學(xué)生排成一行，分兩步：第一步，設(shè)固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數(shù)為

M第二步，對(duì)甲、乙、丙進(jìn)行全排列.由乘法原理得A；=NXA；,所以N=§=84。(種)；

(7)解：與無(wú)任何限制的排列相同，即7個(gè)元素的全排列，有A；=5040(種)排法；

(8)解：從除甲、乙以外的5人中選3人排在甲、乙中間，有A；種排法，甲、乙互換位置，有A；種排法,

甲、乙及中間3人看作一個(gè)整體和其余2人一起共3個(gè)元素排成一排，有A；種排法，所以共有

A；xA；xA；=720(種)排法.

考法三排數(shù)問(wèn)題

【例3-1】(2024廣東)用0、1、2、3、4五個(gè)數(shù)字.

⑴可組成多少個(gè)五位數(shù)？

(2)可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？

⑶可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且是3的倍數(shù)的三位數(shù)？

⑷可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)？

(5)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，將這些數(shù)字由小到大排列，42130是第幾個(gè)數(shù)？

【答案】(1)2500(2)96(3)20(4)36(5)88

【解析】(1)各個(gè)數(shù)位上數(shù)字允許重復(fù)，首位上不能為0,故采用分步乘法計(jì)數(shù)原理，

有4x5x5x5x5=2500個(gè).

(2)考慮特殊位置"萬(wàn)位”，從1、2、3、4中任選一個(gè)填入萬(wàn)位，共有4種填法，

其余四個(gè)位置，4個(gè)數(shù)字全排列，故共有A：A：=96個(gè).

(3)構(gòu)成3的倍數(shù)的三位數(shù)，其各個(gè)位上數(shù)字之和是3的倍數(shù).

則由0』,2和0,2,4,1,2,3以及2,3,4組成三位數(shù),

由()J2和0,2,4組成的三位數(shù)有2A；=8個(gè)，

由1,2,3以及2,3,4組成三位數(shù)有2A；=12個(gè)，故共有8+12-20個(gè)：

(4)考慮特殊位置個(gè)位和萬(wàn)位，先填個(gè)位，從1、3中選一個(gè)填入個(gè)位有用種填法，

然后從剩余3個(gè)非0數(shù)中選一個(gè)填入萬(wàn)位，有A；種填法，包含0在內(nèi)還有3個(gè)數(shù)

在中間三個(gè)位置上全排列，排列數(shù)為A；,故共有44人=36個(gè).

(5)本小問(wèn)的本質(zhì)就是不大于42130的數(shù)有多少.

按分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，當(dāng)萬(wàn)位數(shù)字為1、2、3時(shí)均滿(mǎn)足，共有用A：三個(gè)數(shù)，

當(dāng)萬(wàn)位數(shù)字為4,千位數(shù)為0、1時(shí)均滿(mǎn)足，共有個(gè)數(shù)，

當(dāng)萬(wàn)位數(shù)字為4,千位數(shù)字為2,而百位數(shù)字為0和1時(shí)均滿(mǎn)足，共有A；8個(gè)，

所以42130是第A；/++可封=88個(gè)數(shù).

【例3-2](2024黑龍江)用0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字排成沒(méi)有.重復(fù)數(shù)字的6位數(shù)，分別有多少個(gè)？

(1)0不在個(gè)位；

(2)1與2相鄰；

(3)1與2不相鄰；

(4)0與1之間恰有兩個(gè)數(shù)；

(5)1不在個(gè)位；

⑹偶數(shù)數(shù)字從左向右從小到大排列.

【答案】(1)480(2)192(3)408(4)120(5)504(6)60

【解析】(1)0不在個(gè)位，也不在首位，所以這兩個(gè)位置就從其他5個(gè)元素選2個(gè)排列，剩下的位置不在受

限，所以就全排列，

故有A；A：=480種方法.

(2)1和2相鄰，所以捆綁，看成一個(gè)復(fù)合元素共A；種方法，首位不能是0,所以首位就有A：種方法，其

他全排列，

故有A；A：A；=192種方法.

(3)采用間接法，所有的六位數(shù)減1與2相鄰的結(jié)果，就是所有的六位數(shù)，減第二問(wèn)的結(jié)果，

故有A；A；-A；A：A：=408種方法.

(4)分兩種情況，一種是(0**1)或是(1**0),第一種情況這四個(gè)元素看成一個(gè)復(fù)合元素，不能拍首位，

第二種情況，三個(gè)元素全排列，

故有A：A；A；+A那=120種方法.

(5)可以采用間接法，將這6個(gè)元素都看成普通元素，共A：種方法，其中有首位是。的，和個(gè)位是1的

六位數(shù)，所以減2A；,這里面有減重的，首位是0同時(shí)個(gè)位是1的減了兩次，所以要加回一個(gè)A：,

故有人；一2人；+人：=504種方法.

（6）同樣是間接法，不考慮。有A：種方法，其中。排首位的有A；種方法.故有A：-A；=60種方法.

考法四涂色問(wèn)題

【例4-1】（2023重慶）用四種不同的顏色給如圖所示的六塊區(qū)域人，B,C,D,E,尸涂色，要求相鄰區(qū)域

涂不同顏色，則涂色方法的總數(shù)是（）

C.48D.24

【答案】A

【解析】先涂￡，有4種選擇，接下來(lái)涂C,有3種選擇，再涂￡有2種選擇，

①當(dāng)C,。顏色相同時(shí)涂色方法數(shù)是：4x3x2x1x2=48,

②當(dāng)C,。顏色不相同時(shí)涂色方法數(shù)是：4x3x2xlx（l+2）=72,

???滿(mǎn)足題意的涂色方法總數(shù)是：48+72=120.

故選:A.

【例4-2】（2023山東德州?階段練習(xí)）中國(guó)是世界上最早發(fā)明雨傘的國(guó)家，傘是中國(guó)勞動(dòng)人民一個(gè)重要的創(chuàng)

造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域分別印有數(shù)字I,2,3,…，8.現(xiàn)準(zhǔn)備給該

傘面的每個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)域（如區(qū)

域1與區(qū)域5）所涂顏色相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（）

A.550種B.630種

C.720種D.840種

【答案】B

【解析】由題意可得，只需確定區(qū)域1,2,3,4的顏色，即可確定整個(gè)傘面的涂色.

先涂區(qū)域1,有6種選擇，再涂區(qū)域2,有5種選擇，

當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同時(shí)：區(qū)域3有4種選擇，剩下的區(qū)域4有4種選擇；

當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同時(shí)，剩下的區(qū)域4有5種選擇，

故不同的涂色方案有6x5x（4x4+5）=630種.

故選：B.

【例4-3】（2024山東薄澤?期中）如圖，用四種不同的顏色給圖中的A,B,C,D,E,尸六個(gè)點(diǎn)涂色，要求

每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有（）

A.360種B.264種C.192種D.144種

【答案】B

【解析】如圖，

若4種顏色都用到，先給A、B、C三點(diǎn)涂色，有A：種涂法,

再給。、E、F涂色,因?yàn)?。、E、產(chǎn)中必有一點(diǎn)用到第4種顏色，有C；種涂法,

另外兩點(diǎn)用到4、B、。三點(diǎn)所用顏色中的兩種，有C；種涂法，

由乘法原理得A：C；C=216種.

若只用3種顏色，先給小B、C三點(diǎn)涂色，有A：種涂法，

再給。、E、F涂色,因?yàn)?。點(diǎn)與A點(diǎn)不同色，有2種涂法，

若。點(diǎn)與B點(diǎn)同色，則尸與C、。不同色，有1種涂法，此時(shí)E有1種涂法；

若。點(diǎn)與C點(diǎn)同色，則石與仄。不同色，有1種涂法，此時(shí)尸有1種涂法.

由乘法原理得A：-（lxl+lxl）=48種.

所以，不同的涂色方法共有216+48=264種.

故選：B

【例4-4】（2024河北石家莊?期中）某五面體木塊的直觀圖如圖所示，現(xiàn)準(zhǔn)備給其5個(gè)面涂色，每個(gè)面涂一

種顏色，且相鄰兩個(gè)面（有公共棱的兩個(gè)面）所涂顏色不能相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不

同的涂色方案畬?zhuān)迹?/p>

A.600種B.1080種C.1200種D.1560種

【答案】D

【解析】若用5種顏色，從6種顏色任選5種再作全排，即A：=720種;

若用4種顏色，從6種顏色任選4種有C：=15種，

再任選一種顏色涂在其中一組對(duì)面上有=8種，其它3種顏色作全排有A；=6,

所以，共有15x8x6=720種；

若用3種顏色，從6種顏色任選3種有C：=20種，

再任選兩種顏色涂在兩組對(duì)面上A；=6種，余下的一種顏色涂在底面有1種，

所以，共有20x6x1=120種:

綜上，不同的涂色方案有720+720+120=1560種.

故選：D

考法五放球問(wèn)題

【例5-1】（2023高二?江蘇?專(zhuān)題練習(xí)）將4個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的小球放入4個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的盒子

中.

⑴有多少種放法？

⑵每盒至多一球，有多少種放法？

⑶恰好有一個(gè)空盒，有多少種放法？

⑷把4個(gè)不同的小球換成4個(gè)相同的小球，恰有一個(gè)空盒，有多少種放法？

［答案】（1）256（種乂2）24（種乂3）144（種乂4）12（種）

【解析】（1）每個(gè)小球都可能放入4個(gè)盒子中的任何一個(gè)，將小球一個(gè)一個(gè)放入盒子，共有

4x4x4x4=44=256種放法.

（2）這是全排列問(wèn)題，共有A：=24（種）放法.

（3）（方法1）先將4個(gè)小球分為三組，有&空種方法，再將三組小球投入四個(gè)盒子中的三個(gè)

盒子，有A：種投放方法，故共有箋或代=144（種）放法.

（方法2）先取4個(gè)球中的兩個(gè)“捆〃在一起，有C；種選法，

把它與其他兩個(gè)球共3個(gè)元素分別放入4個(gè)盒子中的3個(gè)盒子，有A：種投放方法，

所以共有C；A：=144（種）放法.

（4）（方法1）先從四個(gè)盒子中選出三個(gè)盒子，再?gòu)娜齻€(gè)盒子中選出一個(gè)盒子放入兩個(gè)球，

余下兩個(gè)盒子各放一個(gè).由于球是相同的即沒(méi)有順序，所以屬于經(jīng)合問(wèn)題，

故共有C：C；=12（種）放法.

（方法2）恰有一個(gè)空盒子，第一步先選出一個(gè)盒子，有U種選法，

第二步在小球之間的3個(gè)空隙中任選2個(gè)空隙各插一塊隔板，有點(diǎn)種方法，

由分步計(jì)數(shù)原理得，共有C：C；=12（種）放法.

【例5-2】（2024河北唐山?階段練習(xí)）有4個(gè)編號(hào)為1,2,3,△的小球，4個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的盒子,

現(xiàn)需把球全部放進(jìn)盒子里，（最后結(jié)果用數(shù)字作答）

⑴沒(méi)有空盒子的方法共有多少種？

⑵可以有空盒子的方法共有多少種？

⑶恰有1個(gè)盒子不放球，共有多少種方法？

⑷恰有一個(gè)小球放入自己編號(hào)的盒中，有多少種不同的放法？

【答案】（1）24（2）256（3）144（4）8

【解析】（1）沒(méi)有空盒子的方法：4個(gè)球全放4個(gè)盒中，沒(méi)有空盒則全排列共A：=24種；

（2）可以有空盒子，有4個(gè)球，每個(gè)球有4種放法共4"=256種;

（3）恰有一個(gè)空盒子，說(shuō)明另外三個(gè)盒子都有球，而球共四個(gè)，必然有一個(gè)盒子中放了兩個(gè)球,

先將四盒中選一個(gè)作為空盒，再將四球中選出兩球綁在一起，再排列共C：C：A；=144種;

（4）恰有一個(gè)小球放入自己編號(hào)的盒中，選定從四盒四球中選定標(biāo)號(hào)相同得球和盒，另外三球三盒不能對(duì)應(yīng)

共兩種，則共C；-2=8種.

考法六分組分配

【例6-1】（2024?安徽合肥）中國(guó)救援力量在國(guó)際自然災(zāi)害中為拯救生命作出了重要貢獻(xiàn)，很好地展示了國(guó)

際形象，增進(jìn)了國(guó)際友誼，多次為祖國(guó)嬴得了榮譽(yù).現(xiàn)有5支救援隊(duì)前往A,C等3個(gè)受災(zāi)點(diǎn)執(zhí)行救援

任務(wù)，若每支救援隊(duì)只能去其中的一個(gè)受災(zāi)點(diǎn)，且每個(gè)受災(zāi)點(diǎn)至少安排1支救援隊(duì),其中甲救援隊(duì)只能去8,

C兩個(gè)數(shù)點(diǎn)中的一個(gè)，則不同的安排方法數(shù)是（）

A.72B.84C.100D.120

【答案】C

【解析】若甲去4點(diǎn)，則剩余4人，可只去A、C兩個(gè)點(diǎn)，也可分為3組去A,B,C3個(gè)點(diǎn).

當(dāng)剩余4人只去A、。兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，人員分配為1,3或2.2,

此時(shí)的分配方法有C：?C；?A”I4；

A"筆

當(dāng)剌余4人分為3組去A,B,C3個(gè)點(diǎn)時(shí),

先從4人中選出2人，即可分為3組，然后分配到3個(gè)小組即可，此時(shí)的分配方法有C〉A(chǔ)；=36,

綜上可得，甲去3點(diǎn)，不同的安排方法數(shù)是14+36=50.

同理，甲去C點(diǎn)，不同的安排方法數(shù)也是50,

所以，不同的安排方法數(shù)是50+50=100.

故選：C.

【例6-2】（2024青海西寧）由未來(lái)科學(xué)大獎(jiǎng)聯(lián)合中國(guó)科技館共同主辦的“同上一堂科學(xué)課〃一一科學(xué)點(diǎn)燃青

春：未來(lái)科學(xué)大獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)?wù)邔?duì)話(huà)青少年活動(dòng)于2023年9月8日在全國(guó)各地以線(xiàn)上線(xiàn)下結(jié)合的方式舉行.現(xiàn)有

某市組織5名獲獎(jiǎng)?wù)叩疆?dāng)?shù)厝齻€(gè)不同的會(huì)場(chǎng)與學(xué)生進(jìn)行對(duì)話(huà)活動(dòng)，要求每個(gè)會(huì)場(chǎng)至少派一名獲獎(jiǎng)?wù)?，每?/p>

獲獎(jiǎng)?wù)咧蝗ヒ粋€(gè)會(huì)場(chǎng)，則不同的派出方法有（）

A.60種B.120種C.150種D.240種

【答案】C

【解析】依題意，5名獲獎(jiǎng)?wù)甙?:1:3去到三個(gè)不同會(huì)場(chǎng)，有C；A；種方法，

5名獲獎(jiǎng)?wù)甙?:2:2去到三個(gè)不同會(huì)場(chǎng)，有等種方法,

所以不同的派出方法有等

c；A；+?A^=60+90=150(種).

A2

故選：C

【例6-3】（22024?山西?階段練習(xí)）基礎(chǔ)學(xué)科對(duì)于一個(gè)國(guó)家科技發(fā)展至關(guān)重要，是提高核心競(jìng)爭(zhēng)力，保持戰(zhàn)

略領(lǐng)先的關(guān)鍵.其中數(shù)學(xué)學(xué)科尤為重要.某雙一流大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開(kāi)設(shè)了“九章算術(shù)”，

“古今數(shù)學(xué)思想〃，“數(shù)學(xué)原理〃，“世界數(shù)學(xué)通史〃，“算術(shù)研究”五門(mén)選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至

多選三門(mén)，且已選過(guò)的課程不能再選，大一到大三三學(xué)年必須將五門(mén)選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選

修方式種數(shù)為（）.

A.150種B.210種C.240種D.540種

【答案】B

【解析】若兩年修完全部五門(mén)選修課程，先將五門(mén)課程分成兩組，再?gòu)娜齻€(gè)學(xué)年中選取兩年來(lái)安排課程,

則共有C；A；=60種選修方式:

若三年修完全部五門(mén)選修課程，則先將五門(mén)課程分成三組，再安排到三個(gè)學(xué)年中,

'c2c2、

則共有6=(10+15)x6=150種選修方式:

綜上所述：每位同學(xué)不同的選修方式種數(shù)為60+150=210種.

故選：B.

【例6-4】（2024）《數(shù)術(shù)記遺》是東漢時(shí)期徐岳編撰的一部數(shù)學(xué)專(zhuān)著，該書(shū)記述了我國(guó)古代14種算法，分

別是：積算（即算籌）、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運(yùn)籌算、了之算、成數(shù)算、把頭算、龜

算、珠算、和計(jì)數(shù).某學(xué)習(xí)小組有甲、乙、丙3人，該小組要收集九宮算、運(yùn)籌算、了之算、成數(shù)算、把頭算、珠算6

種算法相關(guān)資料，要求每種算法只能一人收集，每人至少收集其中一種，則不同的分配方案種數(shù)為（）

A.240B.300C.420D.540

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，將6種算法分成3組，有1,1,4一組，有1,2,3一組，以及2,2,2一組,

然后將這3組分配給甲乙丙三個(gè)人,

所以不同的分配方案有里6A；+C：C；C：A；+箋5A；

=90+360+90=540.

A,Az

故選:D

【例6-5]（2024遼寧）某校高三年級(jí)有8名同學(xué)計(jì)劃高考后前往武當(dāng)山、黃山、廬山三個(gè)景點(diǎn)旅游.已知8名

同學(xué)中有4名男生，4名女生.每個(gè)景點(diǎn)至少有2名同學(xué)前往，每名同學(xué)僅選一處景點(diǎn)游玩，其中男生甲與

女生A不去同一處景點(diǎn)游玩，女生8與女生C去同一處景點(diǎn)游玩，則這8名同學(xué)游玩行程的方法數(shù)為（）

A.564B.484C.386D.640

【答案】A

【解析】8人分三組可分為2人，2人，4人和2人，3人，3人，共兩種情況.

第一種情況分成2人，2人，4人：女生伐C去同一處景點(diǎn)，當(dāng)RC成2人組時(shí)，

其他6人分成2人，4人兩組且男生甲與女生A不同組，有C：A；=8種方法；

P10I02

當(dāng)在4人組時(shí)，有汽戶(hù)+C：A；=36種方法.

第二種情況分成2人，3人，3人：當(dāng)反C成2人組時(shí)，有C：=6種方法；

當(dāng)8,C在3人組時(shí),有GC；+C&A；=44種方法.

故這8名同學(xué)游玩行程的方法數(shù)為（8+36+6+44）xA；=564.

故選:A.

考法七二項(xiàng)式定理

1丫

[ft7-1]（2023福建龍巖）（多選）已知二項(xiàng)式應(yīng)的展開(kāi)式,則（)

A.常數(shù)項(xiàng)是160B.系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有4項(xiàng)

C.第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等D.奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256

【答案】ACD

I'

【解析】由題意二項(xiàng)式（血-七;的展開(kāi)式通項(xiàng)為

j=c;(上廠(chǎng)[-9）=G（-l）'2?xW（04Y94wN）

1?9T）

對(duì)于A,令一]=0,得r=0,所以常數(shù)項(xiàng)是7；=《（_1）°2〒=16&，故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)且僅當(dāng)，-135,7,9時(shí)，這些項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù)，即系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有5項(xiàng)，故B錯(cuò)誤:

對(duì)于C,第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)滿(mǎn)足C；=C＞故C正確；

29

對(duì)于D,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為人=2'=256,故D正確.

2

故選：ACD.

【例7-2】（2023?江西上饒）（多選）已知（2x+l）7=%+qx+%?+…+/丁，則下列結(jié)論成立的有（）

A.%+%+…+%=3，B.%=84

737+1

C.%+%+%+4=3-1D.4+%+%+。7=^-

【答案】ABD

【分析】設(shè)/（x）=（2x+l）?=%+“尸+//+—+%『，可得出4+4+…+々7=/0），可判斷A選項(xiàng)；利用

二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)可判斷B選項(xiàng)；由％+生+4+4=,⑴;八"可判斷C選項(xiàng);由

4+%+%+%=/⑴?f可判斷D選項(xiàng).

727

【詳解】【解析】設(shè)/（^）=（2x+1）=+a,x+a2x+???+a^x,

對(duì)干A選項(xiàng)，q）+q+…+%=/（1）=37,A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，（1+2x）7的展開(kāi)式通項(xiàng)為公=新.（2力人=C；?2kxk（火=0,1,2，…,7）,

所以，/=C"=21x4=84,B對(duì);

/(-1)=%-4+%%&-%+%-%=(T)'

對(duì)于CD選項(xiàng),

/(1)=%+q+出+%+/+%+4+%=3，

3'一137+[

解得。0+%+4+”=2------，％+%+。5+%=--------，c錯(cuò)D對(duì).

22

故選：ABD.

【例7-3］（2024江西九江）（多選）已知二項(xiàng)式（辦一套）

,則下列說(shuō)法正確的是（)

A.若。=1,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為15

B.展開(kāi)式中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為4

C.若展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64,則〃=3

D.展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)

【答案】AB

【解析】因?yàn)?-￡|=（ax+7^）

9

-

c2+

對(duì)于A：若。=1,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為c：/=15xl=15,故A正確;

對(duì)于B：展開(kāi)式中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為4,故B正確；

對(duì)于C：若展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64,

則令x=l,有（4-1）6=64,。=3或。=一1,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大的為C3對(duì)應(yīng)第4項(xiàng)，故D錯(cuò)誤;

故選：AB.

考法八楊輝三角

【例8-1】（2023廣東廣州?期末）（多選）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著

名的楊輝三角，由此可見(jiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得自豪的，以下關(guān)于楊輝三角的敘述正確的是（）

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

第6行1615201561

A.第9行中從左到右第6個(gè)數(shù)是126B.C3+C3=C；

C.C；+C；+…+C：=2"D.C；+C：+C；+…+C：o=33O

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A,第9行中從左到右第6個(gè)數(shù)是C=126,A正確；

4T.CC-I,~_(〃-1)!,(〃T)!_r(/?-l)!+(/2-r)-(n-l)!_n\

ID9L1十L??I----------------------------------1---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(r-l)!(?-r)!r!(/t-r-l)!r!(n-r)!

對(duì)于c,由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，得c：：+C,+c；+…+C：=2"，C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,C+C+C+…+C：o=C：+C：+C：+…+C：o=C：+C；+…+C：o

=...=C：o+C：o=C；|=330,D正確.

故選：ABD

【例8-2］（23-24高二上?遼寧葫蘆島?期末）（多選）“楊輝三角〃是中國(guó)數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，揭示了二

項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律.請(qǐng)結(jié)合“楊輝三角"判斷下列敘述，正確的是（）

得

0行

1

看

1行

11

套

2行

121

招

3行

穢

4行1331

和

行14641

5

15101051

第"行

A.C；+C；+C；+...+C；=118

B.第20行中，第11個(gè)數(shù)最大

C.記第〃行的第i個(gè)數(shù)為q,則

1=1

D.第34行中，第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)的比為3:4

【答案】BCD

【解析】由圖知，第〃行的第i個(gè)數(shù)為％，則％=CL，

對(duì)于A,由C：i+C；=C］可得，

C；+或+《+???+《

=+C；）+C；+??,4-Cg—1

=?+c；）+c；+…+cj-i

=c；o-l=119,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,第20行有21項(xiàng)，中間一項(xiàng)最大為c1,是第11個(gè)數(shù)，故B正確;

n+\

對(duì)于C,第〃行的第i個(gè)數(shù)為q,.?.Z2“《=20%+24+22%+~+2%T，

r-1

一+1

??.y2'j=C：2°+C：0+C：2?+...+c：2"=（1+2。=3、,故C正確;

1=1

對(duì)于D,第34行中，第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)的比為

C；：：C=3魯3普…X：%3：U=]5：20=3:4,故D正確.

14xl3x---xl15xl4x…xl

故選：BCD.

【例8-3】（2023湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）（多選）"楊輝三角"是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，中國(guó)南

宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中就有出現(xiàn)，比歐洲早393年發(fā)現(xiàn).如圖所示，在"楊

輝三角”中，除母行兩邊的數(shù)都是1夕卜，其余母?jìng)€(gè)數(shù)都是其“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和，例如第4行的6為第3行

中兩個(gè)3的和.則下列命題中正確的是（）

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

第?行

A.由“在相鄰兩行中，除1以外的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)字之和〃猜想C3=C>+C：

B.由“第〃行所有數(shù)之和為2"”猜想：C：+C!,+C：+-TC；=2"

C.第20行中，第10個(gè)數(shù)最大

D.第15行中，第7個(gè)數(shù)與第8個(gè)數(shù)的比為7：9

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由“楊輝三角"的規(guī)律可得A正確；

對(duì)「B選項(xiàng)，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知C；；+C：+C+…+C：=2",B正確;

第20行的數(shù)是C：,（i=（M,2,…,20）,最大的C；：是第11個(gè)數(shù)，C錯(cuò)誤;

第15行中，第7個(gè)數(shù)與第8個(gè)數(shù)分別是Cl和CZD正確.

7!

故選:ABD.

【例8-4】（2024江西）楊輝三角（如下圖所示）是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，楊輝三角中從第2行到第2023

行，每行的第3個(gè)數(shù)字之和為（）

第。行

第1行

第2行21

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

第〃行

B.C2024C.G023-1D.

【答案】B

n\n\〃!?（=+1）+〃!?（〃—,）

【解析】c;yx=+

r!（n-r）!（r+i）!（/?-r-l）!-~（廠(chǎng)+1）!（〃-）!

〃!?（〃+1）71+1）!

由題意可得，第2行到第2023行，每行的第3個(gè)數(shù)字之和為

C+W+C+…+C短=G+c；+c：+…+c；023=C+C+…+C短3

故選:B.

強(qiáng)化練習(xí)

一.單選題

1.（2024遼寧朝陽(yáng)）如圖，已知每條線(xiàn)路僅含一條通路，當(dāng)一條電路從M處到N處接通時(shí)，不同的線(xiàn)路可

以有（）

【答案】D

【解析】由題意知可以按上、下兩條線(xiàn)路分為兩類(lèi)，

上線(xiàn)路中有2條，下線(xiàn)路中有2x3=5條.

根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，不同的線(xiàn)路可以有2+6=8條.

故選：D

2.（2024江西）某影城有一些電影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片?、3部戰(zhàn)爭(zhēng)片及2部喜劇片，

小明從中任選1部電影觀看，不同的選法共有（）

A.9種B.12種C.24種D.72種

【答案】B

【解析】任選1部電影可分四類(lèi)：第一類(lèi)選的是科幻片，第二類(lèi)選的是警匪片，

第三類(lèi)選的是戰(zhàn)爭(zhēng)片，第四類(lèi)選的是喜劇片，

由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得不同的選法共有3+4+3+2=12（種）.

故選：B.

3.（2023江西九江?期末）從1,2,3,4,5,6,7,9中，任取兩個(gè)不同的數(shù)作對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則所

有不同的對(duì)數(shù)的值有（）

A.30個(gè)B.42個(gè)C.41個(gè)D.39個(gè)

【答案】D

【解析】當(dāng)取1時(shí)，則1只能為真數(shù)，此時(shí)這個(gè)對(duì)數(shù)值為0,

當(dāng)不取1時(shí)，底數(shù)有7種，真數(shù)有6種,

其中l(wèi)og,4=log.9=2,log42=log93=1jog,3=log49,log32=log94,

故此時(shí)有7x6-4=38個(gè)，

所以共有38+1=39個(gè).

故選：D.

4.（2024高二下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）用1,2,3,4四個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中比2000大的偶數(shù)

共有（）

A.16個(gè)B.12個(gè)C.9個(gè)D.8個(gè)

【答案】D

【解析】比2000大，故千位為2,3,4,

若干位為2,則個(gè)位為4,有2x1=2（個(gè)）符合題意的四位數(shù)；

若干位為3,則個(gè)位為2或4,有2x2x|=4（個(gè)）符合題意的四位數(shù)；

若干位為4,則個(gè)位為2,有2x1=2（個(gè)）符合題意的四位數(shù).

根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得，一共有2+4+2=8（個(gè)）符合題意的四位數(shù).

故選:D.

5.（2024安徽）將5個(gè)相同的白球和5個(gè)相同的紅球全部放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子既要有白球，

又要有紅球，則不同的放球方法共有（）

A.18種B.24種C.36種D.48種

【答案】C

【解析】先在每個(gè)盒子中放一個(gè)白球和一個(gè)紅球，剩下2個(gè)紅球、2個(gè)門(mén)球共四個(gè)球，紅球有C；+C；=6種

放法，同理白球也有6種放法，總共6x6=36種放法.

故選:C.

6.（2024四川雅安）已知集合。={]￡力1?X45},非空集合4=且A中所有元素之和為奇數(shù)，則滿(mǎn)

足條件的集合A共有（）

A.12個(gè)B.14個(gè)C.16個(gè)D.18個(gè)

【答案】C

[解析】U={xGZ|1?X?5}={1,2,3,45},

由于A中所有元素之和為奇數(shù)，且非空集合A=U，

當(dāng)A中只有一個(gè)元素時(shí)，則4={1},或〃={3},或A={5},

當(dāng)A中有2個(gè)元素時(shí)，則A中的元素必為一偶一奇，故有2x3=6個(gè)滿(mǎn)足條件的A,

當(dāng)A中有3個(gè)元素時(shí)，則A中的元素必為2偶一奇或者三個(gè)元素均為奇數(shù)，故有4個(gè)滿(mǎn)足條件的A,

當(dāng)A中有4個(gè)元素時(shí)，則A中的元素必為一偶3奇，故有2個(gè)滿(mǎn)足條件的A,

當(dāng)A中有5個(gè)元素時(shí)，則A={1,2,3,4,5}滿(mǎn)足條件，

故共有3+6+4+2+1=16,

故選：C

7.（2024黑龍江哈爾濱）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)里出現(xiàn)了如圖所示的

楊輝三角，這是中國(guó)數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.在楊輝三角中，第〃行的所有數(shù)字之和為2"T（〃=1,2,……）,

若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,.......則此數(shù)列的前15項(xiàng)之和為

（）

1

11

121

1331

14641

15101051

A.114B.116C.124D.126

【答案】A

【解析】根據(jù)題意可知構(gòu)成的新數(shù)列的前15項(xiàng)分別為楊輝三角的第三層到第七層除去1之外的所有數(shù)構(gòu)成

的，

除第一行有一個(gè)1以外，其余每行都有兩個(gè)1，

又第〃行的所杓數(shù)字之和為2"」，

所以構(gòu)成的新數(shù)列前15項(xiàng)之和為2°+2i+2?+…+2,-2x6-1=二--13=114.

1-2

故選：A

8.（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測(cè)）若（x-1）6=%+外丫+生/，則下列不正確（）

A.%=1

B.%=20

C.2。]+4a2+8%+16q+32區(qū)4-64q=。

D.\aQ+a2+a4+a6|=\a]+?,+?5|

【答案】B

【解析】將X=0代入。-1）6=。0+4%+//+4/3+〃4/+火/+牝X6得（0-1）6=《），解得/=】，A止確；

由二項(xiàng)式定理可知（x-i）6展開(kāi)式的通項(xiàng)為j,

令6—r=3得r=3,所以%=C：（-1）'=—20,B錯(cuò)誤；

z3456

將上=2代入（x—I），=?）+axx+a2x+avv+a4x+a5x+a6x得

6

（2-I）=a（）+2q+4a2+8%+16%+32as+，

即2q+4a2+8%+16%+32a5+64<%=0,C正確；

623456

將工=1代入U(xiǎn)-l）=4）+atx+a2x+ayx+a4x+a5x+a6x