第頁5．1導數(shù)的概念及其意義【題型歸納目錄】題型一：函數(shù)的平均變化率題型二：求瞬時速度題型三：求函數(shù)在某點處的導數(shù)題型四：求切線方程題型五：求切點坐標題型六：利用圖象理解導數(shù)的幾何意義題型七：過某點的曲線的切線題型八：利用定義求導函數(shù)題型九：導數(shù)的幾種形式【知識點梳理】知識點一：平均變化率問題1、變化率事物的變化率是相關的兩個量的“增量的比值”．如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值；2、平均變化率一般地，函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為：知識點詮釋：①本質(zhì)：如果函數(shù)的自變量的“增量”為，且，相應的函數(shù)值的“增量”為，，則函數(shù)從到的平均變化率為②函數(shù)的平均變化率可正可負，平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢．即遞增或遞減幅度的大小．對于不同的實際問題，平均變化率富于不同的實際意義．如位移運動中，位移從秒到秒的平均變化率即為秒到秒這段時間的平均速度．高臺跳水運動中平均速度只能粗略地描述物體在某段時間內(nèi)的運動狀態(tài)，要想更精確地刻畫物體運動，就要研究某個時刻的速度即瞬時速度．3、如何求函數(shù)的平均變化率求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法：①作差：求出和②作商：對所求得的差作商，即．知識點詮釋：（1）是的一個“增量”，可用代替，同樣．（2）是一個整體符號，而不是與相乘．（3）求函數(shù)平均變化率時注意，，兩者都可正、可負，但的值不能為零，的值可以為零．若函數(shù)為常函數(shù)，則．知識點二：導數(shù)的概念定義：函數(shù)在處瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導數(shù)，記作或，即知識點詮釋：①增量可以是正數(shù)，也可以是負，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)．②時，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)．即存在一個常數(shù)與無限接近．③導數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率．如瞬時速度即是位移在這一時刻的瞬間變化率．知識點三：求導數(shù)的方法：求導數(shù)值的一般步驟：①求函數(shù)的增量：；②求平均變化率：；③求極限，得導數(shù)：．也可稱為三步法求導數(shù)．知識點四、導數(shù)幾何意義1、平均變化率的幾何意義——曲線的割線函數(shù)的平均變化率的幾何意義是表示連接函數(shù)圖像上兩點割線的斜率．如圖所示，函數(shù)的平均變化率的幾何意義是：直線的斜率．事實上，．換一種表述：曲線上一點及其附近一點，經(jīng)過點、作曲線的割線，則有．知識點詮釋：根據(jù)平均變化率的幾何意義，可求解有關曲線割線的斜率．2、導數(shù)的幾何意義——曲線的切線圖1圖1如圖1，當沿著曲線趨近于點時，割線的變化趨勢是什么？我們發(fā)現(xiàn)，當點沿著曲線無限接近點P即Δx→0時，割線趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為曲線在點P處的切線．定義：如圖，當點沿曲線無限接近于點，即時，割線的極限位置直線叫做曲線在點處的切線．也就是：當時，割線斜率的極限，就是切線的斜率．即：．知識點詮釋：（1）曲線上一點切線的斜率值只與該點的位置有關．（2）切線斜率的本質(zhì)———函數(shù)在處的導數(shù)．（3）曲線的切線的斜率的符號可以刻畫函數(shù)的增減性．①若曲線在點處的導數(shù)不存在，但有切線，則切線與軸垂直．②，切線與軸正向夾角為銳角，瞬時遞增；，切線與軸正向夾角為鈍角，瞬時遞減；，切線與軸零度角，瞬時無增減．（4）曲線的切線可能和曲線有多個公共點；為什么要用割線的極限位置來定義切線，而不說“與曲線只有一個公共點的直線叫做切線？”過去我們定義圓的切線就是“與圓有且只有一個公共點的直線”，這個定義符合圓、橢圓等一類曲線，那么，能否對任何曲線都用“與有且只有一個公共點”來定義的切線呢？如圖的曲線是我們熟知的正弦曲線的一部分，直線2顯然與曲線有唯一公共點，但我們不能說直線2與曲線相切；而直線1盡管與曲線有不止一個公共點，但我們可以說直線1是曲線在點處的切線．知識點五、曲線的切線（1）用導數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的方法步驟：①求出切點的坐標；②求出函數(shù)在點處的導數(shù)③得切線方程（2）在點處的切線與過點的切線的區(qū)別．在點處的切線是說明點為此切線的切點；而過點的切線，則強調(diào)切線是過點，此點可以是切點，也可以不是切點．因此在求過點的切線方程時，先應判斷點是否為曲線上的點，若是則為第一類解法，若不同則必須先在曲線上取一切點，求過此切點的切線方程，再將點代入，求得切點的坐標，進而求過點的切線方程．知識點六、導數(shù)的概念導函數(shù)定義：由函數(shù)在處求導數(shù)的過程可以看到，當時，是一個確定的數(shù)，那么，當變化時，便是的一個函數(shù)，我們叫它為f（x）的導函數(shù)．記作：或，即：知識點詮釋：函數(shù)在點處的導數(shù)、導函數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系．（1）函數(shù)在一點處的導數(shù)，就是在該點的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數(shù)，不是變數(shù)．（2）函數(shù)的導數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任一點而言的，也就是函數(shù)的導函數(shù)．（3）函數(shù)在點處的導數(shù)就是導函數(shù)在處的函數(shù)值．導函數(shù)也簡稱導數(shù)，所以所以求函數(shù)在一點處的導數(shù)，一般是先求出函數(shù)的導函數(shù)，再計算這點的導數(shù)函數(shù)值．導函數(shù)求法：由導數(shù)的定義可知，求函數(shù)的導數(shù)的一般方法是：（1）求函數(shù)的改變量．（2）求平均變化率．（3）取極限，得導數(shù)．知識點七、導數(shù)的定義的幾種形式：割線的極限即為切線，即為導數(shù)，從這個幾何意義上看導數(shù)式可以有多種表達形式，如：；（或：；；）．知識點詮釋：只要是時，極限式所表示的是割線的斜率（或其若干倍），就能表示為導數(shù)式．【典型例題】題型一：函數(shù)的平均變化率例1．已知函數(shù)，則該函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（

）A． B． C． D．例2．降低室內(nèi)微生物密度的有效方法是定時給室內(nèi)注入新鮮空氣，即開窗通風換氣.在某室內(nèi)，空氣中微生物密度（c）隨開窗通風換氣時間（t）的關系如下圖所示.則下列時間段內(nèi)，空氣中微生物密度變化的平均速度最快的是（

）A． B． C． D．變式1．若函數(shù)，當時，平均變化率為2，則m等于（

）A． B．2 C．3 D．1變式2．為了評估某種治療肺炎藥物的療效，有關部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量．設該藥物在人體血管中藥物濃度c與時間t的關系為，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時間t變化的關系如下圖所示．給出下列四個結(jié)論錯誤的是（

）A．在時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同；B．在時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率不同；C．在這個時間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同；D．在，兩個時間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率相同．【方法技巧與總結(jié)】求平均變化率的主要步驟（1）先計算函數(shù)值的改變量．（2）再計算自變量的改變量．（3）得平均變化率．題型二：求瞬時速度例4．已知物體做直線運動對應的函數(shù)為，其中S表示路程，t表示時間．則＝10表示的意義是（）A．經(jīng)過4s后物體向前走了10mB．物體在前4秒內(nèi)的平均速度為10m/sC．物體在第4秒內(nèi)向前走了10mD．物體在第4秒時的瞬時速度為10m/s例5．某物體的運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的關系可用函數(shù)表示，則該物體在s時的瞬時速度為（

）A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s例6．一個物體運動的位移（單位：米）與時間（單位：秒）的關系可用函數(shù)表示，那么物體在秒時的瞬時速度是（

）A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．4米/秒【方法技巧與總結(jié)】求運動物體瞬時速度的三個步驟（1）求位移改變量．（2）求平均速度．（3）求瞬時速度，當無限趨近于0時，無限趨近于的常數(shù)即為瞬時速度，即．題型三：求函數(shù)在某點處的導數(shù)例7．已知是定義在上的可導函數(shù)，若，則（

）A．0 B． C．1 D．例9．定義，已知函數(shù)在內(nèi)的導函數(shù)為，的值為（

）A． B． C． D．變式5．（1）求函數(shù)f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均變化率，并求出在該點處的導數(shù)；（2）求函數(shù)y＝3x2在x＝1處的導數(shù)．【方法技巧與總結(jié)】用導數(shù)定義求函數(shù)在某一點處的導數(shù)的步驟（1）求函數(shù)的增量．（2）求平均變化率．（3）求極限．題型四：求切線方程例10．曲線在點處的切線方程為______．例11．，在處切線方程為（）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】求曲線在某點處的切線方程的步驟題型五：求切點坐標例13．曲線的一條切線的斜率為，則切點坐標為________.例14．已知f(x)＝x2＋2x的一條切線斜率是4，則切點的橫坐標為（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2【方法技巧與總結(jié)】求切點坐標的一般步驟（1）設出切點坐標．（2）利用導數(shù)或斜率公式求出斜率．（3）利用斜率關系列方程，求出切點的橫坐標．（4）把橫坐標代入曲線或切線方程，求出切點縱坐標．題型六：利用圖象理解導數(shù)的幾何意義例15．已知函數(shù)的圖象如圖所示，函數(shù)的導數(shù)為，則（

）A． B．C． D．例16．如圖，函數(shù)的圖像在點P處的切線方程是，則（）A．-2 B．3 C．2 D．-3變式8．如圖，函數(shù)的圖像在點處的切線方程為，則A．1 B．2 C．3 D．4變式9．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列選項正確的是（

）A． B．C． D．變式11．已知函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導函數(shù)，則（

）A． B．C． D．變式12．如圖，已知直線l是曲線在處的切線，則的值為___________．【方法技巧與總結(jié)】導數(shù)的幾何意義就是切線的斜率，所以比較導數(shù)大小的問題可以用數(shù)形結(jié)合思想來解決．（1）曲線在附近的變化情況可通過處的切線刻畫．說明曲線在處的切線的斜率為正值，從而得出在附近曲線是上升的；說明在附近曲線是下降的．（2）曲線在某點處的切線斜率的大小反映了曲線在相應點處的變化情況，由切線的傾斜程度，可以判斷出曲線升降的快慢．題型七：過某點的曲線的切線例19．求函數(shù)的圖象上過原點的切線方程．變式13．已知函數(shù)，直線l為曲線的切線，且經(jīng)過原點，求直線l的方程及切點坐標．【方法技巧與總結(jié)】（1）首先要理解過某點的含義，切線過某點，這點不一定是切點．（2）過點與曲線相切的直線方程的求法步驟（1）設切點．（2）建立方程．（3）解方程得，，，從而寫出切線方程．題型八：利用定義求導函數(shù)例22．求函數(shù)y＝在x0(x0>－1)處的導數(shù)．【方法技巧與總結(jié)】導函數(shù)求法：由導數(shù)的定義可知，求函數(shù)的導數(shù)的一般方法是：（1）求函數(shù)的改變量．（2）求平均變化率．（3）取極限，得導數(shù)．題型九：導數(shù)的幾種形式例24．若，求.例25．已知，則_________．例26．已知函數(shù)，若，則______.變式15．設函數(shù)在處存在導數(shù)為2,則=_______________．變式16．已知函數(shù)，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【方法技巧與總結(jié)】割線的極限即為切線，即為導數(shù)，從這個幾何意義上看導數(shù)式可以有多種表達形式，如：；（或：；；）．【同步練習】一、單選題1．若曲線y＝x2＋ax＋b在點(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則（

）A．a(chǎn)＝1，b＝1 B．a(chǎn)＝－1，b＝1C．a(chǎn)＝1，b＝－1 D．a(chǎn)＝－1，b＝－12．對于以下四個函數(shù)：①；②；③；④．在區(qū)間上函數(shù)的平均變化率最大的是（

）A．① B．② C．③ D．④3．若，則等于（）A．﹣3 B．﹣6 C．﹣9 D．﹣124．已知函數(shù)的導函數(shù)為，則（

）A． B． C．2 D．85．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于（

）A． B．1 C．2 D．6．已知是的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象只可能是（

）A．B．C．D．7．一個物體做直線運動，位移（單位：）與時間（單位：）之間的函數(shù)關系為，且這一物體在這段時間內(nèi)的平均速度為，則實數(shù)的值為（

）A．2 B．1 C． D．8．函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，且的圖像關于對稱．若曲線在處的切線斜率為，則曲線在處的切線方程為（

）A． B．C． D．二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．已知函數(shù)，則該函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為30B．已知，在函數(shù)圖象上，若函數(shù)從到平均變化率為，則曲線的割線的傾斜角為C．已知直線運動的汽車速度與時間的關系是，則時瞬時加速度為7D．已知函數(shù)，則10．若當，滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．曲線上點處的切線斜率為D．曲線上點處的切線斜率為11．設函數(shù)在處的導數(shù)存在，則（

）.A．