第二十一單元一元二次方程考點1一元二次方程的概念1．一元二次方程的概念：等號兩邊都是式，只含有未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)式的方程；2．一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的；3．一般形式：，為二次項系數(shù)，為一次項系數(shù)，為常數(shù)項考點2一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法（1）直接開平方法解法依據(jù)：平方根的定義．如果．．，那么，叫做的平方根，記作；適用方程：，；解法步驟：步驟名稱操作過程示例移項把二次項移到等號的左邊，常數(shù)項移到等號的右邊化二次項系數(shù)為1兩邊同時除以二次項系數(shù)直接開平方求平方根當(dāng)時，寫出方程的根化簡二次根式，寫出方程的兩個根，（2）配方法解法依據(jù)：完全平方式．．．；適用方程：全部一元二次方程；解法步驟：步驟名稱操作過程示例移項把含有未知數(shù)的項移到等號的左邊，常數(shù)項移到等號的右邊化二次項系數(shù)為1兩邊同時除以二次項系數(shù)配方兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方化成的形式等號左邊分解因式，等號右邊計算用直接開平方法解方程求平方根當(dāng)時，寫出方程的根化簡二次根式，把常數(shù)項移到等號右邊，并計算（3）公式法解法依據(jù)：求根公式．的根為；適用方程：全部一元二次方程；解法步驟：步驟名稱操作過程示例整理為一般形式等號一邊為零，另一邊按未知數(shù)的降冪排開確定的值即找出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項計算的值把的值代入中并求值代入求根公式當(dāng)時，把和的值代入求根公式計算寫出方程的根化簡二次根式，能約分要約分；（4）因式分解法．解法依據(jù)：有理數(shù)乘法法則．若，則或；適用方程：等號一邊為零，另一邊能夠分解因式的一元二次方程；解法步驟：步驟名稱操作過程示例整理等號右邊為零分解因式等號左邊分解因式轉(zhuǎn)化為一元一次方程兩個因式分別為零或?qū)懗龇匠痰母鈨蓚€一元一次方程考點3一元二次方程根的判別式1．一元二次方程根的判別式：；2．判別式的值與根的情況方程有的實根；方程有的實根；方程實根；考點4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系1．如果一元二次方程的兩個實數(shù)根是，那么，，．2．以兩個數(shù)、為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是考點5一元二次方程的應(yīng)用增長率問題、“每每型”問題、幾何面積問題、傳播問題、循環(huán)問題等一元二次方程的概念（1）三個要點：要點要點闡述一元只含有一個未知數(shù)二次未知數(shù)的最高次數(shù)是2方程整式方程（2）一般形式中系數(shù)的特點系數(shù)名稱系數(shù)符號系數(shù)范圍二次項系數(shù)是非零實數(shù)，即一次項系數(shù)是全體實數(shù)常數(shù)項是全體實數(shù)（3）一元二次方程的一些特殊解與系數(shù)的關(guān)系特殊解系數(shù)的特征一個根為1一個根為一個根為0【例題】1.下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A. B.C. D.2.若是關(guān)于x的一元二次方程，則a的值是（）A.0 B.2 C. D.3.已知關(guān)于x的一元二次方程，若，則此方程必有一個根為（）A.0 B.1 C.1 D.±14.若關(guān)于的一元二次方程有一個根是0，則的值為（

）A. B.0 C.1 D.2【練經(jīng)典】5.下列方程中，一元二次方程共有（）①②③④⑤⑥A.2個 B.3個 C.4個 D.5個6.若是關(guān)x的方程的解，則的值為___________．7.若關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項是6，則一次項是（

）A. B. C.x D.18.要使方程是關(guān)于的一元二次方程，則（）A. B.C.且 D.且且【練易錯】易錯點：忽略導(dǎo)致錯誤9.關(guān)于x的方程是一元二次方程，則（

）A. B. C. D.10.若關(guān)于的一元二次方程的一個根為，則的值為（

）A. B. C. D.或一元二次方程的解法（1）基本解法的選用一元二次方程的特征選取的解法示例一次項系數(shù)為0直接開平方法常數(shù)項為0因式分解法二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)是絕對值較小的偶數(shù)，常數(shù)項是絕對值較大的數(shù)配方法等號兩邊能分解因式，且有公因式因式分解法等號一邊為0，另一邊能分解因式因式分解法含未知數(shù)的整式是平方式直接開平方法未知數(shù)的系數(shù)是二次根式公式法（2）換元法解一些復(fù)雜的一元二次方程，常用到換元法，即對結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的一元二次方程，若把其中含未知數(shù)的某些部分看成一個整體，用新未知數(shù)代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題簡單化，明朗化．【例題】11.按要求解方程（1）（直接開平方法）；（2）（配方法）；（3）（公式法）（4）（因式分解法）（5）（換元法）12.請用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）（2）（3）（4）【練經(jīng)典】13.用配方法解方程，配方后得到的方程是（）A B.C. D.（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）14.在分式方程中，設(shè)，可得到關(guān)于y的整式方程為（）A. B. C. D.15.我們規(guī)定一種新運算“★”，其意義為，已知，則x的值為（）A.或 B.或 C.或 D.或16.解方程（1）（2）（3）（4）（5）一元二次方程根的判別式（1）一元二次方程判別式的值與根的情況；一元二次方程根的情況判別式的值的特征有兩個不相等的實數(shù)根有兩個相等的實數(shù)根有兩個的實數(shù)根沒有實數(shù)根（2）一元二次方程根的判別式的應(yīng)用應(yīng)用類型解題方法不解方程，判斷根的情況計算的值，根據(jù)判別式的值與0的大小來判斷已知根的情況，求方程中參數(shù)的值或取值范圍根據(jù)根的情況確定判別式的值與0的大小關(guān)系，利用建立參數(shù)的方程或不等式求解實際應(yīng)用在實際問題中列出一元二次方程，利用根的判別式判定方程的解的情況，再判斷實際問題中的事件是否能夠發(fā)生【例題】（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）17.關(guān)于x的一元二次方程根的情況，下列說法中正確的是（）A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根 D.無法確定18.已知關(guān)于x的方程，則①無論k取何值，方程一定無實數(shù)根；②時，方程只有一個實數(shù)根；③且時，方程有兩個實數(shù)根；④無論k取何值，方程一定有兩個實數(shù)根．上述說法正確的個數(shù)是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個19.已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若該方程有一個根小于0，求k取值范圍．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）20.如圖，老李想用長為的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈，并在邊上留一個寬的門（建在處，另用其他材料）．（1）當(dāng)羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640的羊圈？（2）羊圈的面積能達到嗎？如果能，請你給出設(shè)計方案；如果不能，請說明理由．【練經(jīng)典】21.關(guān)于x的方程根的情況是（）A.沒有實數(shù)根 B.有兩個不相等實數(shù)根C.有兩個相等實數(shù)根 D.只有一個實數(shù)根22.關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值可能是（）A.0 B.2 C.4 D.6（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）23.關(guān)于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，則m的值是______．24.已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：無論為任意實數(shù)，方程總有實數(shù)根．（2）若這個方程的根的判別式的值等于1，求的值．【練易錯】易錯點：忽略導(dǎo)致錯誤25.關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是_____一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（1）兩類方程中根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，，（2）以為根的一元二次方程為：；（3）根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用應(yīng)用類型解題方法已知一元二次方程，求根的代數(shù)式的值根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系計算兩根的和與兩根的積，把代數(shù)式變形后再代入求值，有時也需要把兩根代入方程得到兩個等式來求解已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系建立另一根和參數(shù)的方程組，解方程組已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程計算兩根的和與兩根的積，再根據(jù)寫出方程實際應(yīng)用根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系計算兩根的和與兩根的積，結(jié)合實際問題計算【例題】26.設(shè)是方程的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．27.已知關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若，求的值．28.已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若方程的一個根為，求方程的另一根和的值．（3）當(dāng)時，若另一個一元二次方程的兩個根分別是這個方程兩個根的3倍，求另一個方程．【練經(jīng)典】（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）29.一元二次方程的兩根為，則的值為（）A. B. C.3 D.30.關(guān)于x的一元二次方程兩個實數(shù)根的倒數(shù)和為1，則（）A.或0 B.2或0 C.2 D.031.以方程的兩根的倒數(shù)為根的一元二次方程是______．32.已知關(guān)于x的方程有兩實數(shù)根，，（1）若，求k的值．（2）是否存在實數(shù)k滿足，若存在請求出k的值，若不存在請說明理由．【練易錯】易錯點：忽略導(dǎo)致錯誤33.已知關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根為、，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.一元二次方程的應(yīng)用（1）主要類型中的等量關(guān)系類型基本等量關(guān)系增長率（下降率）問題，分別為變化前、后的量，為增長率（或下降率）每每問題，為關(guān)聯(lián)量，每降1，增加，每降后，的積為傳播問題，每輪1人傳人，2輪后共人（2）一元二次方程的根有兩個，需要檢驗根的合理性．【例題】（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）34.據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的《2022年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》顯示，2020年和2022年全國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元．設(shè)2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，依題意可列方程為（）A. B.C. D.35.如圖，在一張長寬分別為和的長方形紙板上剪去四個邊長為的小正方形，并用它做成一個無蓋的小長方體盒子，若要使長方體盒子的底面積為，求x的值，根據(jù)題意，可列得的方程為（）A B.C. D.36.廣東春季是流感的高發(fā)時期，某校4月初有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共25人患流感，假設(shè)每輪傳染中平均每人傳染x人，則可列方程（）A. B. C. D.37.一款服裝每件進價為80元，銷售價為120元時，每天可售出20件．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件服裝降價1元，那么平均每天可多售出2件．（1）設(shè)每件服裝降價x元，則每天銷售量增加________件，每件服裝盈利________元（用含x的代數(shù)式表示）；（2）在讓利于顧客的情況下，每件服裝降價多少元時，商家平均每天能盈利1200元？【練經(jīng)典】（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）38.某縣年人均可支配收入為萬元，年達到萬元，若年至年間每年人均可支配收入的增長率都為，則下面所列方程正確的是（）A. B.C. D.39.某機械廠七月份生產(chǎn)零件50萬個，第三季度生產(chǎn)零件196萬個．設(shè)該廠八、九月份平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是A.50（1+x2）=196 B.50+50（1+x2）=196C.50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D.50+50（1+x）+50（1+2x）=19640.某學(xué)習(xí)小組的成員互贈新年賀卡，共用去90張賀卡，則該學(xué)習(xí)小組成員的人數(shù)是______．41.某家電超市銷售一款智能水壺，平均每天可售出件，每件贏利元，為了擴大銷售，增加贏利，盡快減少庫存，超市決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件水壺每降價元，超市平均每天可多售出件，若超市銷售水壺平均每天要贏利元，每件水壺應(yīng)降價多少元？新考法【新定義小練】42.對于實數(shù)a，b定義運算“※”為，例如．若關(guān)于x的方程沒有實數(shù)根，則m的值可以是（）A.3 B.2 C.1 D.043.定義[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，如，，，則方程的解為___．44.如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，研究發(fā)現(xiàn)了此類方程的一般性結(jié)論：設(shè)其中一根為t，則另一個根為2t，因此，所以有；我們記“”即時，方程為倍根方程；下面我們根據(jù)此結(jié)論來解決問題：（1）若是倍根方程，求的值；（2）關(guān)于x的一元二次方程是倍根方程，且點在一次函數(shù)的圖像上，求此倍根方程的表達式．45.我們給出定義：若關(guān)于x的一元二次方程（a≠0）的兩個實數(shù)根為，（），分別以，為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)得到點M（，），則稱點M為該一元二次方程的衍生點．（1）若方程為，該方程的衍生點M為．（2）若關(guān)于x的一元二次方程的衍生點為M，過點M向x軸和y軸作垂線，兩條垂線與坐標(biāo)軸恰好圍成一個正方形，求m的值．（3）是否存在b，c，使得不論k（k≠0）為何值，關(guān)于x方程的衍生點M始終在直線y＝kx+2（k+3）的圖象上，若有請求出b，c的值，若沒有說明理由．【閱讀探究類小練】46.綜合與探究：如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根比另一個根大1，那么稱這樣的方程是“鄰根方程”，例如：一元二次方程的兩個根是，，則方程：是“鄰根方程”．（1）通過計算，判斷以下方程是否是“鄰