歷年五一建模題目及答案一、單項(xiàng)選擇題1.已知函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+3\)，其對(duì)稱(chēng)軸方程為（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=2\)D.\(x=-2\)答案：A2.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)為第二象限角，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)答案：B3.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_3+a_7=10\)，則\(a_1+a_9\)的值為（）A.5B.10C.15D.20答案：B4.直線(xiàn)\(2x-y+1=0\)與圓\(x^2+y^2-2x=0\)的位置關(guān)系是（）A.相離B.相切C.相交且過(guò)圓心D.相交但不過(guò)圓心答案：D5.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(3,-4)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)的值為（）A.-5B.-2C.2D.5答案：A6.函數(shù)\(y=\log_2(x-1)\)的定義域?yàn)椋ǎ〢.\((1,+\infty)\)B.\([1,+\infty)\)C.\((2,+\infty)\)D.\([2,+\infty)\)答案：A7.某學(xué)校有100名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，平均分是63分，其中男生平均分是60分，女生平均分是70分，男生比女生多（）人A.20B.30C.40D.50答案：C8.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則\(\frac{1}{a}+\frac{1}\)的最小值為（）A.2B.4C.8D.16答案：B9.拋物線(xiàn)\(y^2=8x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.\((2,0)\)B.\((-2,0)\)C.\((4,0)\)D.\((-4,0)\)答案：A10.若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+2y=1\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值為（）A.\(3+2\sqrt{2}\)B.\(3-2\sqrt{2}\)C.\(1+\frac{2\sqrt{2}}{3}\)D.\(1-\frac{2\sqrt{2}}{3}\)答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(f(x)=x^3\)B.\(f(x)=\frac{1}{x}\)C.\(f(x)=e^x-e^{-x}\)D.\(f(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)答案：ABCD2.對(duì)于直線(xiàn)\(l\)和平面\(\alpha\)，\(\beta\)，下列命題中正確的是（）A.若\(l\parallel\alpha\)，\(l\parallel\beta\)，則\(\alpha\parallel\beta\)B.若\(l\perp\alpha\)，\(l\perp\beta\)，則\(\alpha\parallel\beta\)C.若\(l\subset\alpha\)，\(\alpha\perp\beta\)，則\(l\perp\beta\)D.若\(l\subset\alpha\)，\(\alpha\parallel\beta\)，則\(l\parallel\beta\)答案：BD3.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等比數(shù)列，其公比為\(q\)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若\(q\gt1\)，則\(\{a_n\}\)單調(diào)遞增B.若\(0\ltq\lt1\)，則\(\{a_n\}\)單調(diào)遞減C.若\(q\lt0\)，則\(\{a_n\}\)為擺動(dòng)數(shù)列D.\(a_{n+1}^2=a_n\cdota_{n+2}\)答案：CD4.已知圓\(C\)的方程為\(x^2+y^2-2x-4y+1=0\)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.圓\(C\)的圓心坐標(biāo)為\((1,2)\)B.圓\(C\)的半徑為\(2\)C.圓\(C\)被\(y\)軸截得的弦長(zhǎng)為\(2\sqrt{3}\)D.圓\(C\)上的點(diǎn)到直線(xiàn)\(x-y+1=0\)的最大距離為\(\sqrt{2}+2\)答案：BCD5.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(2,-2)\)，\(\overrightarrow{c}=(1,\lambda)\)，若\(\overrightarrow{c}\parallel(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow)\)，則\(\lambda\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.\(-\frac{2}{3}\)答案：A三、判斷題1.若直線(xiàn)\(l_1\)與\(l_2\)的斜率都存在且相等，則\(l_1\parallell_2\)。（）答案：錯(cuò)誤2.兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加法和減法是向量。（）答案：正確3.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_1\gt0\)，\(q\gt1\)，則\(\{a_n\}\)一定是遞增數(shù)列。（）答案：正確4.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）答案：錯(cuò)誤5.若直線(xiàn)\(l\)與平面\(\alpha\)內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)垂直，則\(l\perp\alpha\)。（）答案：錯(cuò)誤6.若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，則\(xy\)的最大值為\(\frac{1}{4}\)。（）答案：正確7.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）答案：錯(cuò)誤8.直線(xiàn)\(x=a\)與函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象一定有交點(diǎn)。（）答案：錯(cuò)誤9.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(m+n=p+q\)，則\(a_m+a_n=a_p+a_q\)。（）答案：正確10.函數(shù)\(f(x)=\lnx+2x-6\)在區(qū)間\((2,3)\)內(nèi)有零點(diǎn)。（）答案：正確四、簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其推導(dǎo)過(guò)程。答案：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為\(a_n=a_1+(n-1)d\)，其中\(zhòng)(a_1\)為首項(xiàng)，\(d\)為公差。推導(dǎo)過(guò)程：設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的首項(xiàng)為\(a_1\)，公差為\(d\)，則\(a_2=a_1+d\)，\(a_3=a_2+d=a_1+2d\)，以此類(lèi)推，可得\(a_n=a_1+(n-1)d\)。2.求函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)在區(qū)間\([0,3]\)上的最值。答案：對(duì)函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)進(jìn)行配方可得\(y=(x-1)^2+2\)。當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(y\)取得最小值\(2\)；當(dāng)\(x=3\)時(shí)，\(y=3^2-2\times3+3=6\)，所以最大值為\(6\)。3.解不等式\(x^2-3x-4\lt0\)。答案：將不等式\(x^2-3x-4\lt0\)因式分解為\((x-4)(x+1)\lt0\)，則其解集為\(-1\ltx\lt4\)。4.已知直線(xiàn)\(l\)的方程為\(2x-y+1=0\)，圓\(C\)的方程為\(x^2+y^2-2x=0\)，求直線(xiàn)\(l\)被圓\(C\)截得的弦長(zhǎng)。答案：先將圓\(C\)的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程\((x-1)^2+y^2=1\)，圓心坐標(biāo)為\((1,0)\)，半徑\(r=1\)。根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，可得圓心到直線(xiàn)\(l\)的距離\(d=\frac{|2\times1-0+1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{3}{\sqrt{5}}\)。則弦長(zhǎng)為\(2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{1-(\frac{3}{\sqrt{5}})^2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)。五、討論題1.討論等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)差異。答案：等差數(shù)列的性質(zhì)主要有：若\(m,n,p,q\inN^+\)，\(m+n=p+q\)，則\(a_m+a_n=a_p+a_q\)；通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)是關(guān)于\(n\)的一次函數(shù)形式。等比數(shù)列的性質(zhì)主要有：若\(m,n,p,q\inN^+\)，\(m+n=p+q\)，則\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q\)；通項(xiàng)公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)是關(guān)于\(n\)的指數(shù)函數(shù)形式。兩者在性質(zhì)上有明顯差異，等差數(shù)列注重項(xiàng)與項(xiàng)之間的和差關(guān)系，等比數(shù)列注重項(xiàng)與項(xiàng)之間的積商關(guān)系。2.討論函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。答案：如果函數(shù)\(f(x)\)在某區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\gt0\)，那么函數(shù)\(f(x)\)在該區(qū)間上單調(diào)遞增；如果函數(shù)\(f(x)\)在某區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\lt0\)，那么函數(shù)\(f(x)\)在該區(qū)間上單調(diào)遞減。導(dǎo)數(shù)的正負(fù)決定了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)為正，函數(shù)遞增；導(dǎo)數(shù)為負(fù)，函數(shù)遞減。這是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的基本方法。3.討論直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的判定方法。答案：直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系可通過(guò)比較圓心到直線(xiàn)的距離\(d\)與圓的半徑\(r\)的大小來(lái)判定。當(dāng)\(d\gtr\)時(shí)，直線(xiàn)與圓相離；當(dāng)\(d=r\)時(shí)，直線(xiàn)與圓相切；當(dāng)\(d\ltr\)時(shí)，直線(xiàn)與圓相交。通過(guò)計(jì)算圓心到直線(xiàn)的距離公式\(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)（其中\(zhòng)((x_0,y_0)\)為圓心坐標(biāo)，\(Ax+By+C=0\)為直線(xiàn)方程），可以方便地進(jìn)行位置關(guān)系的判定。4.討論向量在幾何中的應(yīng)用。答案：向量在幾何中有廣泛的應(yīng)用，比如可以用向量表示直線(xiàn)的方向，通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)研究直線(xiàn)的平行、垂直等關(guān)系；向量可以用來(lái)表示