第7章線段與角的畫法（典型30題專練）一．選擇題（共9小題）1．（2021秋?武漢期末）若∠A，∠B互為補角，且∠A＜∠B，則∠A的余角是（）A．（∠A+∠B） B．∠B C．（∠B﹣∠A） D．∠A【分析】根據(jù)互為補角的和得到∠A，∠B的關系式，再根據(jù)互為余角的和等于90°表示出∠A的余角，然后把常數(shù)消掉整理即可得解．【解答】解：根據(jù)題意得，∠A+∠B＝180°，∴∠A的余角為：90°﹣∠A＝﹣∠A，＝（∠A+∠B）﹣∠A，＝（∠B﹣∠A）．故選：C．【點評】本題主要考查了互為補角的和等于180°，互為余角的和等于90°的性質(zhì)，利用消掉常數(shù)整理是解題的關鍵．2．（2020春?浦東新區(qū)期末）如圖所示，點O在直線PQ上，OA是∠QOB的平分線，OC是∠POB的平分線，那么下列說法錯誤的是（）A．∠AOB與∠POC互余 B．∠POC與∠QOA互余 C．∠POC與∠QOB互補 D．∠AOP與∠AOB互補【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠QOA＝∠AOB＝∠BOQ，∠POC＝∠BOC＝∠POB，然后根據(jù)互為余角的兩個角的和等于90°，互為補角的兩個角的和等于180°對各選項分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：∵OA是∠QOB的平分線，∴∠QOA＝∠AOB＝∠BOQ，∵OC是∠POB的平分線，∴∠POC＝∠BOC＝∠POB，∵點O在直線PQ上，∴∠BOQ+∠POB＝180°，A、∠AOB+∠POC＝（∠BOQ+∠POB）＝×180°＝90°，所以，∠AOB與∠POC互余，說法正確，故本選項錯誤；B、∠POC+∠QOA＝（∠BOQ+∠POB）＝×180°＝90°，所以，∠POC與∠QOA互余，說法正確，故本選項錯誤；C、∠POC+∠QOB＝180°﹣∠BOC≠180°，所以，∠POC與∠QOB不互補，說法錯誤，故本選項正確；D、∠AOP+∠AOB＝∠AOP+∠AOQ＝180°，所以，∠AOP與∠AOB互補，說法正確，故本選項錯誤．故選：C．【點評】本題考查了余角和補角的定義，角平分線的定義，結合圖形求出各選項兩個角的和的度數(shù)是解題的關鍵．3．（2020春?浦東新區(qū)期末）如圖，四條表示方向的射線中，表示北偏東60°的是（）A． B． C． D．【分析】北偏東60°即由北向東偏60°，理解坐標上上北下南的表示方法．【解答】解：A中為南偏東60°，B中為北偏東60°，C中為北偏西30°，D中為北偏東30°，所以只有B符合題意，故選B．【點評】掌握方向角的表示方法．4．（2016?邯山區(qū)一模）如果從甲船看乙船，乙船在甲船的北偏東30°方向，那么從乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．南偏西30°方向 B．南偏西60°方向 C．南偏東30°方向 D．南偏東60°方向【分析】根據(jù)題意正確畫出圖形進而分析得出從乙船看甲船的方向．【解答】解：如圖所示：可得∠1＝30°，∵從甲船看乙船，乙船在甲船的北偏東30°方向，∴從乙船看甲船，甲船在乙船的南偏西30°方向．故選：A．【點評】此題主要考查了方向角，根據(jù)題意畫出圖形是解題關鍵．5．（2012?棗陽市模擬）已知∠1，∠2互為補角，且∠1＞∠2，則∠2的余角是（）A．（∠1+∠2） B．∠1 C．（∠1﹣∠2） D．∠2【分析】由已知∠1，∠2互為補角可知，∠1+∠2＝180°，求一個角的余角就是求90°與這個角的差．【解答】解：∵∠1，∠2互為補角∴∠1+∠2＝180°∴∠2的余角是90﹣∠2＝．故選：C．【點評】本題主要考查補角，余角的定義，是一道難度中等的題目，解決的關鍵是正確進行式子的變形．6．（2009?蕭山區(qū)校級模擬）利用一副三角板上已知度數(shù)的角，不能畫出的角是（）A．15° B．135° C．165° D．100°【分析】用三角板畫出角，無非是用角度加減法．根據(jù)選項一一分析，排除錯誤答案．【解答】解：A、15°的角，45°﹣30°＝15°；B、135°的角，45°+90°＝135°；C、165°的角，90°+45°+30°＝165°；D、100°的角，無法用三角板中角的度數(shù)拼出．故選：D．【點評】用三角板直接畫特殊角的步驟：先畫一條射線，再把三角板所畫角的一邊與射線重合，頂點與射線端點重合，最后沿另一邊畫一條射線，標出角的度數(shù)．7．（2008?煙臺）如圖，小明從A處出發(fā)沿北偏東60°方向行走至B處，又沿北偏西20°方向行走至C處，此時需把方向調(diào)整到與出發(fā)時一致，則方向的調(diào)整應是（）A．右轉80° B．左轉80° C．右轉100° D．左轉100°【分析】本題考查了方向角有關的知識，若需要和出發(fā)時的方向一致，在C點的方向應調(diào)整為向右80度．【解答】解：60°+20°＝80°．由北偏西20°轉向北偏東60°，需要向右轉．故選：A．【點評】本題考查的是方向角，解答時要注意以北方為參照方向，進行角度調(diào)整．8．（2021秋?溫州期末）如圖，已知∠AOB：∠BOC＝2：3，∠AOC＝75°，那么∠AOB＝（）A．20° B．30° C．35° D．45°【分析】由∠AOB：∠BOC＝2：3，可得∠AOB＝∠AOC進而求出答案，做出選擇．【解答】解：∵∠AOB：∠BOC＝2：3，∠AOC＝75°，∴∠AOB＝∠AOC＝×75°＝30°，故選：B．【點評】本題考查角的有關計算，按比例分配轉化為∠AOB＝∠AOC是解答的關鍵．9．（2020秋?奉化區(qū)校級期末）已知線段AB＝8，延長線段AB至C，使得BC＝AB，延長線段BA至D，使得AD＝AB，則下列判斷正確的是（）A．BC＝AD B．BD＝3BC C．BD＝4AD D．AC＝6AD【分析】根據(jù)AB＝8，由線段的倍分關系求出BC，AD的長，進一步得到AC，BD的長，依此即可求解．【解答】解：如圖所示：∵AB＝8，BC＝AB，∴BC＝4，∵AD＝AB，∴AD＝2，∴AC＝AB+BC＝12，BD＝AD+AB＝10，∴BC＝2AD，BD＝2.5BC，BD＝5AD，AC＝6AD．故選：D．【點評】本題考查了兩點之間的距離的應用，主要考查學生的理解能力和計算能力，解此題的關鍵是求出BC，AD，AC，BD的長．二．填空題（共13小題）10．（2020春?浦東新區(qū)期末）如圖，已知線段AB＝8cm，AD＝1.5cm，D為線段AC的中點，則線段CB＝5cm．【分析】由D為AC的中點，可求得AC的長，再利用線段的和差可求得BC的長．【解答】解：∵D為線段AC的中點，∴AC＝2AD＝2×1.5cm＝3（cm），∵AB＝8cm，∴CB＝AB﹣AC＝8﹣3＝5（cm）．故答案為：5．【點評】本題主要考查線段的和差，利用線段的中點求得AC的長是解題的關鍵．11．（2021秋?和平縣期末）在直線MN上取A、B兩點，使AB＝10cm，再在線段AB上取一點C，使AC＝2cm，P、Q分別是AB、AC的中點，則PQ＝4cm．【分析】畫出大致示意圖進行解題即可【解答】解：如圖，∵AB＝10cm，P為AB的中點∴AP＝PB＝5cm∵AC＝2cm，∴CP＝3cm∵Q為AC的中點∴QC＝AQ＝1cm∴PQ＝QC+CP＝1+3＝4cm故答案為：4【點評】此題主要考查兩點間的距離（線段長度）計算，此類題目，通常利用圖形結合進行解題．12．（2020秋?長葛市期末）如圖，OM是∠AOB的平分線，∠AOB＝140°．∠AOD＝100°，那么∠DOM＝30度．【分析】根據(jù)角平分線的定義求出∠AOM，然后根據(jù)∠DOM＝∠AOD﹣∠AOM，代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．【解答】解：∵OM是∠AOB的平分線，∠AOB＝140°，∴∠AOM＝∠AOB＝140°＝70°，∵∠AOD＝100°，∴∠DOM＝∠AOD﹣∠AOM＝100°﹣70°＝30°．故答案為：30．【點評】本題主要考查了角平分線的定義，是基礎題，熟記定義是解題的關鍵．13．（2020春?浦東新區(qū)期末）已知∠A＝30°45'，∠B＝30.45°，則∠A＞∠B．（填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】先統(tǒng)一單位，再比較大小即可求解．【解答】解：∵∠A＝30°45'＝30.75°，∠B＝30.45°，30.75°＞30.45°，∴∠A＞∠B．故答案為：＞．【點評】考查了度分秒的換算以及大小比較，注意1°＝60′．14．（2021秋?南川區(qū)期末）如圖，將一副三角板疊放在一起，使直角頂點重合于O，則∠AOC+∠DOB＝180°．【分析】因為本題中∠AOC始終在變化，因此可以采用“設而不求”的解題技巧進行求解．【解答】解：設∠AOD＝a，∠AOC＝90°+a，∠BOD＝90°﹣a，所以∠AOC+∠BOD＝90°+a+90°﹣a＝180°．故答案為：180°．【點評】本題考查了角度的計算問題，在本題中要注意∠AOC始終在變化，因此可以采用“設而不求”的解題技巧進行求解．15．（2021秋?東港區(qū)期末）已知一個角的補角比這個角的余角3倍大10°，則這個角的度數(shù)是50度．【分析】相加等于90°的兩角稱作互為余角，也作兩角互余．和是180°的兩角互為補角，本題實際說明了一個相等關系，因而可以轉化為方程來解決．【解答】解：設這個角是x°，則余角是（90﹣x）度，補角是（180﹣x）度，根據(jù)題意得：180﹣x＝3（90﹣x）+10解得x＝50．故填50．【點評】題目反映了相等關系問題，就可以利用方程來解決．16．（2018春?黃浦區(qū)期末）已知線段AB和CD，如果將CD移動到AB的位置，使點C與點A重合，CD與AB疊合，如果點D在AB的延長線上，那么AB＜CD．（填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】根據(jù)題意畫出符合已知條件的圖形，根據(jù)圖形即可比較線段AB和線段CD的大?。窘獯稹拷猓喝鐖D所示，AB＜CD，故答案為：＜．【點評】本題考查了比較兩線段的大小的應用，主要考查學生的觀察圖形的能力和理解能力．17．（2014秋?秦淮區(qū)期末）已知線段AB＝8cm，在直線AB上取一點C，使BC＝6cm，則線段AC的長為2或14cm．【分析】分類討論：點C在線段AB上，點C在線段AB的延長線上，根據(jù)線段的和差，可得答案．【解答】解：當點C在線段AB上時，由線段的和差，得AC＝AB﹣BC＝8﹣6＝2cm；當點C在線段AB的延長線上時，由線段的和差，得AC＝AB+BC＝8+6＝14cm；故答案為：2或14．【點評】本題考查了兩點間的距離，分類討論是解題關鍵，以防遺漏．18．（2015?建湖縣一模）如圖，將一副直角三角板疊在一起，使直角頂點重合于點O，則∠AOB+∠DOC＝180度．【分析】先利用∠AOD+∠COD＝90°，∠COD+∠BOC＝90°，可得∠AOD+∠COD+∠COD+∠BOC＝180°，而∠BOD＝∠COD+∠BOC，∠AOD+∠BOD＝∠AOB，于是有∠AOB+∠COD＝180°．【解答】解：如右圖所示，∵∠AOD+∠COD＝90°，∠COD+∠BOC＝90°，∠BOD＝∠COD+∠BOC，∠AOD+∠BOD＝∠AOB，∴∠AOD+∠COD+∠COD+∠BOC＝180°，∴∠AOD+2∠COD+∠BOC＝180°，∴∠AOB+∠COD＝180°．故答案是180．【點評】本題考查了角的計算、三角板的度數(shù)，注意分清角之間的關系．19．（2021秋?高新區(qū)期末）已知∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，則∠AOC＝20°或80°．【分析】本題是角的計算的多解問題，求解時要注意分情況討論，可以根據(jù)OC與∠AOB的位置關系分為OC在∠AOB的內(nèi)部和外部兩種情況求解．【解答】解：當OC在∠AOB內(nèi)部，因為∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，所以∠AOC為20°；當OC在∠AOB外部，因為∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，所以∠AOC為80°；故∠AOC為20°或80°．【點評】本題只是說出了兩個角的度數(shù)，而沒有指出OC與∠AOB的位置關系，因此本題解題的關鍵是根據(jù)題意準確畫出圖形．20．（2019秋?高新區(qū)期末）已知線段AB＝5cm，點C在直線AB上，且BC＝3cm，則線段AC＝8或2cm．【分析】討論：當點C在線段AB上時，則AC+BC＝AB；當點C在線段AB的延長線上時，則AC﹣BC＝AB，然后把AB＝5cm，BC＝3cm分別代入計算即可．【解答】解：當點C在線段AB上時，則AC+BC＝AB，所以AC＝5cm﹣3cm＝2cm；當點C在線段AB的延長線上時，則AC﹣BC＝AB，所以AC＝5cm+3cm＝8cm．故答案為8或2．【點評】本題考查了兩點間的距離：連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離．21．（2019秋?紅河州期末）已知點A、B、C在同一直線上，AB＝8厘米，BC＝3AC，那么BC＝6或12厘米．【分析】用BC表示出AC，然后分點C在線段AB上和點C在線段BA的延長線上兩種情況，根據(jù)AB的長度列出方程求解即可．【解答】解：∵BC＝3AC，∴AC＝BC，如圖1，點C在線段AB上時，BC+BC＝8，解得BC＝6（厘米），如圖2，點C在線段BA的延長線上時，BC﹣BC＝8，解得BC＝12（厘米），綜上所述，BC＝6或12厘米．故答案為：6或12．【點評】本題考查了兩點間的距離，難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．22．（2018?浦東新區(qū)校級自主招生）陳老師從拉面的制作受到啟發(fā)，設計了一個數(shù)學問題：如圖，在數(shù)軸上截取從原點到1的對應點的線段AB，對折后（點A與B重合）再均勻地拉成1個單位長度的線段，這一過程稱為一次操作（如在第一次操作后，原線段AB上的和均變成，變成1，等）．那么在線段AB上（除A，B）的點中，在第n次操作后，恰好被拉到與1重合的點所對應的數(shù)為，，，…，．【分析】根據(jù)題意，列出數(shù)據(jù)，找出規(guī)律，列出通式即可．【解答】解：根據(jù)題意，得操作次數(shù)變化點重合點123411由上圖表格，可以推出第n次操作后，恰好被拉到與1重合的點所對應的數(shù)的通式為，．所以原題答案為，，…，．【點評】解答本題的難點是根據(jù)數(shù)據(jù)列出通式，方便比較數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，通過列表格的形式，可以直觀一些．三．解答題（共8小題）23．（2019秋?開遠市期末）已知∠1與∠2互余，且∠1的補角比∠2的2倍多25°，求∠1的大?。痉治觥扛鶕?jù)和為180度的兩個角互為補角；和為90度的兩個角互為余角解答即可．【解答】解：設∠1＝x°，則∠2＝（90﹣x）°，根據(jù)題意得：180﹣x＝2（90﹣x）+25，解得x＝25，∴∠1＝25°．【點評】本題主要考查了余角與補角的定義，主要記住互為余角的兩個角的和為90°；兩個角互為補和為180°．24．（2019秋?建水縣期末）借助一副三角板，可以得到一些平面圖形（1）如圖1，∠AOC＝75度．由射線OA，OB，OC組成的所有小于平角的和是多少度？（2）如圖2，∠1的度數(shù)比∠2度數(shù)的3倍還多30°，求∠2的度數(shù)；（3）利用圖3，反向延長射線OA到M，OE平分∠BOM，OF平分∠，請按題意補全圖（3），并求出∠EOF的度數(shù)．【分析】（1）結合圖形，計算即可；（2）根據(jù)題意列方程即可得到結論；（3）根據(jù)題意分別求出∠BOD和∠COD的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義計算即可．【解答】解：（1）∵∠BOC＝30°，∠AOB＝45°，∴∠AOC＝75°，∴∠AOC+∠BOC+∠AOB＝150°；答：由射線OA，OB，OC組成的所有小于平角的和是150°；故答案為：75；（2）設∠2＝x，則∠1＝3x+30°，∵∠1+∠2＝90°，∴x+3x+30°＝90°，∴x＝15°，∴∠2＝15°，答：∠2的度數(shù)是15°；（3）如圖所示，∵∠BOD＝180°﹣45°＝135°，∠COD＝180°﹣15°＝165°，∵OE為∠BOD的平分線，OF為∠COD的平分線，∴∠DOF＝∠COD＝82.5°，∠DOE＝∠DOB＝67.5°，∴∠EOF＝∠DOF﹣∠DOE＝15°．【點評】本題考查的是角的計算、角平分線的定義，掌握角平分線的定義、根據(jù)圖形正確列出算式是解題的關鍵．25．（2020春?浦東新區(qū)期末）一個角的補角比它的余角的3倍多30°，求這個角的度數(shù)．【分析】設這個角為x，則補角為（180°﹣x），余角為（90°﹣x），再由補角比它的余角的3倍多30°，可得方程，解出即可．【解答】解：設這個角為x，則補角為（180°﹣x），余角為（90°﹣x），由題意得，180°﹣x＝3（90°﹣x）+30°，解得：x＝60．即這個角的度數(shù)是60°．【點評】本題考查了余角和補角的知識，解答本題的關鍵是掌握互余的兩角之和為90°，互補的兩角之和為180°．26．（2021秋?舞陽縣期末）（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板畫出？在①135°，②120°，③75°，④25°中，小明同學利用一副三角板畫不出來的特殊角是④；（填序號）（2）在探究過程中，愛動腦筋的小明想起了圖形的運動方式有多種．如圖①，他先用三角板畫出了直線EF，然后將一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB）的頂點與60°角（∠COD）的頂點互相重合，且邊OA、OC都在直線EF上．固定三角板COD不動，將三角板AOB繞點O按順時針方向旋轉一個角度α，當邊OB與射線OF第一次重合時停止．①當OB平分∠EOD時，求旋轉角度α；②是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求旋轉角度α；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)一副三角板中的特殊角，運用角的和與差的計算，只要是15°的倍數(shù)的角都可以畫出來；（2）①根據(jù)已知條件得到∠EOD＝180°﹣∠COD＝180°﹣60°＝120°，根據(jù)角平分線的定義得到∠EOB＝∠EOD＝×120°＝60°，于是得到結論；②當OA在OD的左側時，當OA在OD的右側時，列方程即可得到結論．【解答】解：（1）∵135°＝90°+45°，120°＝90°+30°，75°＝30°+45°，∴只有25°不能寫成90°、60°、45°、30°的和或差，故畫不出；故選④；（2）①∵∠COD＝60°，∴∠EOD＝180°﹣∠COD＝180°﹣60°＝120°，∵OB平分∠EOD，∴∠EOB＝∠EOD＝×120°＝60°，∵∠AOB＝45°，∴α＝∠EOB﹣∠AOB＝60°﹣45°＝15°；②當OA在OD的左側時，如圖②，則∠AOD＝120°﹣α，∠BOC＝135°﹣α，∵∠BOC＝2∠AOD，∴135°﹣α＝2（120°﹣α），∴α＝105°；當OA在OD的右側時如圖③，則∠AOD＝α﹣120°，∠BOC＝135°﹣α，∵∠BOC＝2∠AOD，∴135°﹣α＝2（α﹣120），∴α＝125°，綜上所述，當α＝105°或125°時，存在∠BOC＝2∠AOD．【點評】本題考查了解得計算，特殊角，角平分線的定義，正確的理解題意是解題的關鍵．27．（2021春?浦東新區(qū)月考）如圖，已知B、C在線段AD上．（1）圖中共有6條線段；（2）若AB＝CD．①比較線段的大?。篈C＝BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；②若BD＝4AB，BC＝12cm，求AD的長．【分析】（1）根據(jù)圖形依次數(shù)出線段的條數(shù)即可；（2）①根據(jù)等式的性質(zhì)即可得到答案；②依據(jù)線段的和差關系進行計算，即可得出AD的長；【解答】解：（1）圖中有線段：AB、BC、CD、AC、BD、AD，共6條，故答案為：6．（2）①∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，故答案為：＝．②∵BD＝4AB，AB＝CD，∴BC＝3AB，∵BC＝12，∴AB＝4，∴AD＝AB+BD＝4+4×4＝20（cm），【點評】本題主要考查了線段的長度計算和線段中點的性質(zhì)，關鍵是掌握線段的和、差、倍、分及計算方法．28．（2010秋?瑞金市期末）如圖，P是定長線段AB上一點，C、D兩點分別從P、B出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線AB向左運動（C在線段AP上，D在線段BP上）（1）若C、D運動到任一時刻時，總有PD＝2AC，請說明P點在線段AB上的位置；（2）在（1）的條件下，Q是直線AB上一點，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值．（3）在（1）的條件下，若C、D運動5秒后，恰好有，此時C點停止運動，D點繼續(xù)運動（D點在線段PB上），M、N分別是CD、PD的中點，下列結論：①PM﹣PN的值不變；②的值不變，可以說明，只有一個結論是正確的，請你找出正確的結論并求值．【分析】（1）根據(jù)C、D的運動速度知BD＝2PC，再由已知條件PD＝2AC求得PB＝2AP，所以點P在線段AB上距離A的處；（2）由題設畫出圖示，根據(jù)AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，從而求得PQ與AB的關系；（3）當點C停止運動時，有，從而求得CM與AB的數(shù)量關系；然后求得以AB表示的PM與PN的值，所以．【解答】解：（1）根據(jù)C、D的運動速度知：BD＝2PC∵PD＝2AC，∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP，∴點P在線段AB上的處；（2）如圖：∵AQ﹣BQ＝PQ，∴AQ＝PQ+BQ；又AQ＝AP+PQ，∴AP＝BQ，∴，∴．當點Q'在AB的延長線上時AQ'﹣AP＝PQ'所以AQ'﹣BQ'＝PQ＝AB所以＝1；（3）②．理由：當CD＝AB時，點C停止運動，此時CP＝5，AB＝30①如圖，當M，N在點P的同側時MN＝PN﹣PM＝PD﹣（PD﹣MD）＝MD﹣PD＝CD﹣PD＝（CD﹣PD）＝CP＝②如圖，當M，N在點P的異側時MN＝PM+PN＝MD﹣PD+PD＝MD﹣PD＝CD﹣PD＝（CD﹣PD）＝CP＝∴＝＝當點C停止運動，D點繼續(xù)運動時，MN的值不變，所以，＝．【點評】本題考查了比較線段的長短．利用中點性質(zhì)轉化線段之間的倍分關系是解題的關鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性．同時，靈活運用線段的和、差、倍、分轉化線段之間的數(shù)量關系也是十分關鍵的一點．29．（2021秋?河口縣期末）已知一個角的補角是這個角的余角的3倍，求這個角．【分析】根據(jù)互余的兩角之和為90°，互補的兩角之和為180°，表示出余角和補角