高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省連云港市灌南縣2024-2025學年高二上學期11月期中考試數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.過點且傾斜角為90°的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為傾斜角為90°，所以該直線與x軸垂直，又過，所以直線方程為，即.故選：C2.若拋物線上的一點M到坐標原點O的距離為，則點M到該拋物線焦點的距離為（）A.3 B. C.2 D.1【答案】B【解析】設，M到坐標原點O的距離為，解得，故.點M到該拋物線焦點的距離為.故選：.3.已知直線過點，且在軸與軸上的截距互為相反數，則直線的方程為（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】設所求直線的橫截距為，當時，可設直線為，將點代入，可得，所以直線方程為，當時，可設直線為，將點代入，可得，所以直線方程為，綜上，直線的方程為或.故選：C.4.橢圓：左右焦點分別為、，焦距為2，直線經過交橢圓于兩點，若的周長為12，則橢圓標準方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由的周長為，得，又橢圓的焦距，則，所以，所以橢圓標準方程為.故選：D.5.已知動直線與圓（圓心為）交于點，，則弦最短時，的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據題意，圓可化為，其圓心為，半徑，動直線，即，恒過點.設，又由，則點在圓的內部，動直線與圓（圓心為）交于點，當為的中點，即與垂直時，弦最短，此時，弦的長度為，此時的面積，故選：D.6.已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】直線與直線平行，∴，解得，故直線為直線，化簡得，∴它們之間的距離為．故選：B．7.已知，直線：與：的交點在圓：上，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以直線恒過點，，所以直線恒過點，由兩條直線的方程可以判斷直線與直線互相垂直，因此點在以為直徑的圓上，線段中點為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，由已知條件可知點在圓：上，所以圓與圓相交或相切，，因此有，解得：，所以則的最大值是，故選：A8.如圖1所示，雙曲線具有光學性質：從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點.若雙曲線的左、右焦點分別為，，從發(fā)出的光線經過圖2中的，兩點反射后，分別經過點和，且，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，直線都過點，如圖，有，，設，則，顯然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令雙曲線半焦距為c，在中，，即，解得，所以E的離心率為.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是2B.經過點且在軸和軸上截距都相等直線方程為C.點關于直線的對稱點為D.過，兩點的直線方程為【答案】AC【解析】A，令得，令得，則直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積，故A正確；B，經過點且在軸和軸上截距都相等的直線還有過原點的直線，故B錯誤；C，設關于直線對稱點坐標為，則，解得，故C正確；D，兩點式使用的前提是，故D錯誤；故選：AC.10.若點為原點，且圓與圓沒有公共點，則圓的半徑可以是（）A.1 B.3 C.8 D.9【答案】AD【解析】由得的圓心，半徑，又，顯然點O在圓C外，由于圓O與圓C無公共點，則圓O與圓C可以外離，也可以內含，且圓C在圓O內，設圓O的半徑為R，于是或，即或，解得或，所以圓O的半徑可以是1或9，即AD滿足，BC不滿足.故選：AD11.已知雙曲線的左?右焦點分別為，過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，與軸相交于點的內切圓與邊相切于點．若，則下列說法正確的有（）A.雙曲線的漸近線方程為B.若直線與雙曲線有且僅有1個公共點，則C.的最小值為12D.的內切圓的圓心在定直線上【答案】ACD【解析】因為的內切圓與邊相切于點，如圖，由切線長定理可知，所以，所以，則雙曲線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，故A正確．對于B選項，由消去并化簡得注意到當時，方程有唯一解，即此時直線與雙曲線有且僅有一個公共點，所以B選項錯誤．對于選項，當垂直于軸時，PQ通徑，由雙曲線性質可知，通徑最短，所以PQ的最小值為，C選項正確．對于選項，如圖，設的內切圓圓心為，半徑為，設與圓分別相切于點，由切線長定理得，而，兩式相加得，所以是雙曲線的右頂點，所以軸，則圓心在直線上，故選項D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.請寫出一個焦點在軸，并與雙曲線有相同漸近線的雙曲線的方程：______.【答案】（答案不唯一）【解析】設所求雙曲線的方程為，因為所求雙曲線的焦點在y軸上，所以，則可取，所以所求雙曲線的方程為（答案不唯一）.故答案為：（答案不唯一）13.若直線與曲線恰有一個公共點，則的取值范圍為______.【答案】【解析】由得，表示以為圓心，以為半徑的半圓，其圖象如下：由圖像可得，當直線過點C0,1時，直線與曲線恰有一個公共點，此時；當直線過點A0,-1時，直線與曲線恰有兩個公共點，此時；當直線與半圓切于半圓的右側時，只需圓心到直線的距離等于半徑，即，且，解得，因此，由圖像可得，為使直線與曲線恰有一個公共點，實數b的取值范圍為.故答案為：.14.已知橢圓的左、右頂點分別為，動點均在橢圓上，是坐標原點，記和的斜率分別為；與的面積分別為.若，則的最大值為____________.【答案】【解析】由橢圓的方程可得，不妨設點第一象限，點在第二象限，設直線的方程為，代入橢圓方程可得，解得（舍去），所以，因為和的斜率，所以，則直線的方程為，代入橢圓方程得，解得（舍去），所以，則，當且僅當，即時，等號成立，即的最大值為，由橢圓及直線的對稱性，滿足條件時的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.平行四邊形中，已知，，.（1）求直線的方程；（2）求中邊上的高所在直線的方程.解：（1）設，因為，所以，即，所以，所以直線的方程為，即.（2）因為，所以中邊上的高所在直線的方程為，即.16.已知圓過兩點，且圓心在直線上.（1）求該圓的方程；（2）求過點的直線被圓截得弦長最大時的直線的方程.解：（1）因為圓過兩點，，設的中點為，則，因為，所以中垂線方程為，即又因為圓心在直線上，解得，圓心，，故圓的方程為.（2）因為直線被圓截得的弦長最大時是過圓心的直線，所以直線過點，由過點，的斜率為，所以直線的方程為，故直線的方程為.17.已知動點與點的距離比其到直線的距離小1.（1）求動點的軌跡方程；（2）求點與點的距離的最小值，并指出此時的坐標.解：（1）由題意知，動點到的距離與它到的距離小1即與到直線的距離相等，所以動點M的軌跡為以為焦點、以直線為準線的拋物線，因此動點的軌跡方程為.（2）設，由兩點間的距離公式得：，當，即時，，即當或時，點與點的距離最小，最小值為.18.已知圓C：，直線l過定點．（1）若直線l與圓C相切，求直線l的方程；（2）若直線l與圓C相交于P，Q兩點，求的面積的最大值，并求此時直線l的方程．解：（1）①若直線l1的斜率不存在，則直線l1：x＝1，符合題意.②若直線l1斜率存在，設直線l1的方程為，即．由題意知，圓心（3，4）到已知直線l1的距離等于半徑2，即：，解之得.所求直線l1的方程是x=1或.(2)直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0,設直線方程為，則圓心到直線l1的距離又∵△CPQ的面積＝∴當d＝2時，S取得最大值2.∴＝2∴k＝1或k＝7所求直線l1方程為x－y－1＝0或7x－y－7＝0.19.已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓的方程；（2），為橢圓上兩個不同的點，且，①求證：直線恒過定點，并求出該定點的坐標；②過點作直線的垂線，垂足為，求的最大值.（1）解：由題意知，故，即，又因為橢圓過點，所以，解得，所以橢圓的方程為:.（2）①證明：設，，，(i)當直線斜率不存在時，設，聯(lián)立得，，解得(舍)或，此時.(ii)當直線斜率存在時，設，聯(lián)立得，.又，，整理得，將代入整理得，，或，當時，，過點，不成立；當時，，則過定點，綜上所述，過定點.②解：過定點，，即在以為直徑的圓上，圓心為的中點，半徑，.江蘇省連云港市灌南縣2024-2025學年高二上學期11月期中考試數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.過點且傾斜角為90°的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為傾斜角為90°，所以該直線與x軸垂直，又過，所以直線方程為，即.故選：C2.若拋物線上的一點M到坐標原點O的距離為，則點M到該拋物線焦點的距離為（）A.3 B. C.2 D.1【答案】B【解析】設，M到坐標原點O的距離為，解得，故.點M到該拋物線焦點的距離為.故選：.3.已知直線過點，且在軸與軸上的截距互為相反數，則直線的方程為（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】設所求直線的橫截距為，當時，可設直線為，將點代入，可得，所以直線方程為，當時，可設直線為，將點代入，可得，所以直線方程為，綜上，直線的方程為或.故選：C.4.橢圓：左右焦點分別為、，焦距為2，直線經過交橢圓于兩點，若的周長為12，則橢圓標準方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由的周長為，得，又橢圓的焦距，則，所以，所以橢圓標準方程為.故選：D.5.已知動直線與圓（圓心為）交于點，，則弦最短時，的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據題意，圓可化為，其圓心為，半徑，動直線，即，恒過點.設，又由，則點在圓的內部，動直線與圓（圓心為）交于點，當為的中點，即與垂直時，弦最短，此時，弦的長度為，此時的面積，故選：D.6.已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】直線與直線平行，∴，解得，故直線為直線，化簡得，∴它們之間的距離為．故選：B．7.已知，直線：與：的交點在圓：上，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以直線恒過點，，所以直線恒過點，由兩條直線的方程可以判斷直線與直線互相垂直，因此點在以為直徑的圓上，線段中點為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，由已知條件可知點在圓：上，所以圓與圓相交或相切，，因此有，解得：，所以則的最大值是，故選：A8.如圖1所示，雙曲線具有光學性質：從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點.若雙曲線的左、右焦點分別為，，從發(fā)出的光線經過圖2中的，兩點反射后，分別經過點和，且，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，直線都過點，如圖，有，，設，則，顯然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令雙曲線半焦距為c，在中，，即，解得，所以E的離心率為.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是2B.經過點且在軸和軸上截距都相等直線方程為C.點關于直線的對稱點為D.過，兩點的直線方程為【答案】AC【解析】A，令得，令得，則直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積，故A正確；B，經過點且在軸和軸上截距都相等的直線還有過原點的直線，故B錯誤；C，設關于直線對稱點坐標為，則，解得，故C正確；D，兩點式使用的前提是，故D錯誤；故選：AC.10.若點為原點，且圓與圓沒有公共點，則圓的半徑可以是（）A.1 B.3 C.8 D.9【答案】AD【解析】由得的圓心，半徑，又，顯然點O在圓C外，由于圓O與圓C無公共點，則圓O與圓C可以外離，也可以內含，且圓C在圓O內，設圓O的半徑為R，于是或，即或，解得或，所以圓O的半徑可以是1或9，即AD滿足，BC不滿足.故選：AD11.已知雙曲線的左?右焦點分別為，過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，與軸相交于點的內切圓與邊相切于點．若，則下列說法正確的有（）A.雙曲線的漸近線方程為B.若直線與雙曲線有且僅有1個公共點，則C.的最小值為12D.的內切圓的圓心在定直線上【答案】ACD【解析】因為的內切圓與邊相切于點，如圖，由切線長定理可知，所以，所以，則雙曲線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，故A正確．對于B選項，由消去并化簡得注意到當時，方程有唯一解，即此時直線與雙曲線有且僅有一個公共點，所以B選項錯誤．對于選項，當垂直于軸時，PQ通徑，由雙曲線性質可知，通徑最短，所以PQ的最小值為，C選項正確．對于選項，如圖，設的內切圓圓心為，半徑為，設與圓分別相切于點，由切線長定理得，而，兩式相加得，所以是雙曲線的右頂點，所以軸，則圓心在直線上，故選項D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.請寫出一個焦點在軸，并與雙曲線有相同漸近線的雙曲線的方程：______.【答案】（答案不唯一）【解析】設所求雙曲線的方程為，因為所求雙曲線的焦點在y軸上，所以，則可取，所以所求雙曲線的方程為（答案不唯一）.故答案為：（答案不唯一）13.若直線與曲線恰有一個公共點，則的取值范圍為______.【答案】【解析】由得，表示以為圓心，以為半徑的半圓，其圖象如下：由圖像可得，當直線過點C0,1時，直線與曲線恰有一個公共點，此時；當直線過點A0,-1時，直線與曲線恰有兩個公共點，此時；當直線與半圓切于半圓的右側時，只需圓心到直線的距離等于半徑，即，且，解得，因此，由圖像可得，為使直線與曲線恰有一個公共點，實數b的取值范圍為.故答案為：.14.已知橢圓的左、右頂點分別為，動點均在橢圓上，是坐標原點，記和的斜率分別為；與的面積分別為.若，則的最大值為____________.【答案】【解析】由橢圓的方程可得，不妨設點第一象限，點在第二象限，設直線的方程為，代入橢圓方程可得，解得（舍去），所以，因為和的斜率，所以，則直線的方程為，代入橢圓方程得，解得（舍去），所以，則，當且僅當，即時，等號成立，即的最大值為，由橢圓及直線的對稱性，滿足條件時的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.平行四邊形中，已知，，.（1）求直線的方程；（2）求中邊上的高所在直線的方程.解：（1）設，因為，所以，即，所以，所以直線的方程為，即.（2）因為，所以中邊上的高所在直線的方程為，即.16.已知圓過兩點，且圓心在直線上.（1）求該圓的方程；（2）求過點的直線被圓截得弦長最大時的直線的方程.解：（1）因為圓過兩點，，設的中點為，則，因為，所以中垂線方程為，即又因為圓心在直線上，解得，圓心，，故圓的方程為.（2）因為直線被圓截得的弦長最大時是過圓心的直線，所以直線過點，由過點，的斜率為，所以直線的方程為，故直線的方程為.17.已知動點與點的距離