23.3.3相似三角形的性質(zhì)第23章

圖形的相似【2025-2026學(xué)年華東師大版】數(shù)學(xué)

九年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********幻燈片1：封面標(biāo)題：23.3.3相似三角形的性質(zhì)副標(biāo)題：對(duì)應(yīng)成比例，性質(zhì)藏其中幻燈片2：復(fù)習(xí)回顧相似三角形的定義：三個(gè)角分別相等，三條邊成比例的兩個(gè)三角形。相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似。兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似。引入：我們已經(jīng)知道相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例，除此之外，相似三角形還有哪些特殊的性質(zhì)呢？比如對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、周長、面積等之間有什么關(guān)系？本節(jié)課將深入探究?；脽羝?：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比探究過程：已知\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比為\(k\)，即\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=k\)，\(\angleB=\angleE\)。分別作\(\triangleABC\)和\(\triangleDEF\)的高\(yùn)(AH\)、\(DG\)（\(H\)在\(BC\)上，\(G\)在\(EF\)上），則\(\angleAHB=\angleDGE=90^\circ\)。在\(\triangleABH\)和\(\triangleDEG\)中，\(\angleB=\angleE\)，\(\angleAHB=\angleDGE\)，所以\(\triangleABH\sim\triangleDEG\)（兩角分別相等）。因此\(\frac{AH}{DG}=\frac{AB}{DE}=k\)。性質(zhì)1：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比。幻燈片4：相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比探究過程：已知\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比為\(k\)，\(AM\)、\(DN\)分別是\(BC\)、\(EF\)邊上的中線（\(M\)是\(BC\)中點(diǎn)，\(N\)是\(EF\)中點(diǎn)）。則\(BM=\frac{1}{2}BC\)，\(EN=\frac{1}{2}EF\)，所以\(\frac{BM}{EN}=\frac{BC}{EF}=k\)。又因?yàn)閈(\angleB=\angleE\)，\(\frac{AB}{DE}=k\)，所以\(\triangleABM\sim\triangleDEN\)（兩邊成比例且夾角相等）。因此\(\frac{AM}{DN}=\frac{AB}{DE}=k\)。性質(zhì)2：相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比。幻燈片5：相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比探究過程：已知\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比為\(k\)，\(AQ\)、\(DR\)分別是\(\angleBAC\)、\(\angleEDF\)的角平分線。則\(\angleBAQ=\frac{1}{2}\angleBAC\)，\(\angleEDR=\frac{1}{2}\angleEDF\)，因?yàn)閈(\angleBAC=\angleEDF\)，所以\(\angleBAQ=\angleEDR\)。又因?yàn)閈(\angleB=\angleE\)，所以\(\triangleABQ\sim\triangleDER\)（兩角分別相等）。因此\(\frac{AQ}{DR}=\frac{AB}{DE}=k\)。性質(zhì)3：相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比?；脽羝?：相似三角形周長的比等于相似比推導(dǎo)過程：設(shè)\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比為\(k\)，則\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=k\)。所以\(AB=k\cdotDE\)，\(BC=k\cdotEF\)，\(AC=k\cdotDF\)。\(\triangleABC\)的周長\(C_1=AB+BC+AC=k(DE+EF+DF)\)。\(\triangleDEF\)的周長\(C_2=DE+EF+DF\)。因此\(\frac{C_1}{C_2}=k\)。性質(zhì)4：相似三角形周長的比等于相似比?；脽羝?：相似三角形面積的比等于相似比的平方推導(dǎo)過程：設(shè)\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比為\(k\)，對(duì)應(yīng)高分別為\(h_1\)、\(h_2\)，則\(\frac{h_1}{h_2}=k\)，\(\frac{BC}{EF}=k\)。\(\triangleABC\)的面積\(S_1=\frac{1}{2}\cdotBC\cdoth_1\)。\(\triangleDEF\)的面積\(S_2=\frac{1}{2}\cdotEF\cdoth_2\)。因此\(\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2}\cdotBC\cdoth_1}{\frac{1}{2}\cdotEF\cdoth_2}=\frac{BC}{EF}\cdot\frac{h_1}{h_2}=k\cdotk=k^2\)。性質(zhì)5：相似三角形面積的比等于相似比的平方?；脽羝?：例題1——利用對(duì)應(yīng)線段性質(zhì)求長度題目：已知\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比為\(2:3\)，\(\triangleABC\)中\(zhòng)(BC\)邊上的高為\(4\)，求\(\triangleDEF\)中\(zhòng)(EF\)邊上的高。解答過程：因?yàn)橄嗨迫切螌?duì)應(yīng)高的比等于相似比，設(shè)\(\triangleDEF\)中\(zhòng)(EF\)邊上的高為\(h\)。則\(\frac{4}{h}=\frac{2}{3}\)，解得\(h=6\)。結(jié)論：\(\triangleDEF\)中\(zhòng)(EF\)邊上的高為\(6\)?；脽羝?：例題2——利用周長和面積性質(zhì)求解題目：兩個(gè)相似三角形的周長分別為\(18cm\)和\(27cm\)，且其中一個(gè)三角形的面積為\(48cm^2\)，求另一個(gè)三角形的面積。解答過程：相似三角形周長的比等于相似比，所以相似比\(k=\frac{18}{27}=\frac{2}{3}\)。面積比等于相似比的平方，即\(\frac{S_1}{S_2}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}\)。當(dāng)面積為\(48cm^2\)的三角形是較小三角形時(shí)，\(\frac{48}{S_2}=\frac{4}{9}\)，解得\(S_2=108cm^2\)。當(dāng)面積為\(48cm^2\)的三角形是較大三角形時(shí)，\(\frac{S_1}{48}=\frac{4}{9}\)，解得\(S_1=\frac{64}{3}cm^2\)。結(jié)論：另一個(gè)三角形的面積為\(108cm^2\)或\(\frac{64}{3}cm^2\)?；脽羝?0：例題3——綜合運(yùn)用相似三角形性質(zhì)題目：如圖，\(\triangleABC\sim\triangleADE\)，\(AB=5\)，\(AD=3\)，\(BC=7\)，\(\triangleABC\)的面積為\(25\)，求\(DE\)的長度和\(\triangleADE\)的面積。解答過程：相似比\(k=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{5}\)。因?yàn)閷?duì)應(yīng)邊的比等于相似比，所以\(\frac{DE}{BC}=k\)，即\(\frac{DE}{7}=\frac{3}{5}\)，解得\(DE=\frac{21}{5}=4.2\)。面積比等于相似比的平方，所以\(\frac{S_{\triangleADE}}{S_{\triangleABC}}=k^2=(\frac{3}{5})^2=\frac{9}{25}\)。因此\(S_{\triangleADE}=25\times\frac{9}{25}=9\)。結(jié)論：\(DE=4.2\)，\(\triangleADE\)的面積為\(9\)。幻燈片11：易錯(cuò)點(diǎn)分析混淆對(duì)應(yīng)線段的類型：錯(cuò)誤地認(rèn)為相似三角形中任意線段的比都等于相似比，實(shí)際上只有對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線等對(duì)應(yīng)線段的比才等于相似比，非對(duì)應(yīng)線段不滿足。例如，一個(gè)三角形的高與另一個(gè)三角形的中線的比不一定等于相似比。面積比與相似比的關(guān)系錯(cuò)誤：誤將面積比等于相似比，而忽略面積比是相似比的平方。例如，相似比為\(2:3\)時(shí)，面積比應(yīng)為\(4:9\)，而非\(2:3\)。對(duì)應(yīng)關(guān)系不明確：在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)，未明確對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)線段的關(guān)系，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。例如，\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，但誤將\(BC\)對(duì)應(yīng)\(DF\)，從而使對(duì)應(yīng)高的比計(jì)算錯(cuò)誤?；脽羝?2：課堂練習(xí)1——基礎(chǔ)應(yīng)用題目：（1）若兩個(gè)相似三角形的相似比為\(1:4\)，則它們對(duì)應(yīng)中線的比為______，面積比為______。（2）已知\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，\(S_{\triangleABC}:S_{\triangleDEF}=9:25\)，且\(\triangleABC\)的周長為\(18\)，則\(\triangleDEF\)的周長為______。答案：（1）\(1:4\)，\(1:16\)；（2）\(30\)?；脽羝?3：課堂練習(xí)2——綜合應(yīng)用題目：如圖，\(\triangleABC\sim\triangleA'B'C'\)，\(AD\)和\(A'D'\)分別是它們的對(duì)應(yīng)角平分線，已知\(AD=6\)，\(A'D'=8\)，\(\triangleABC\)的面積為\(45\)，求\(\triangleA'B'C'\)的面積。解答過程：相似比\(k=\frac{AD}{A'D'}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)。面積比\(\frac{S_{\triangleABC}}{S_{\triangleA'B'C'}}=k^2=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}\)。即\(\frac{45}{S_{\triangleA'B'C'}}=\frac{9}{16}\)，解得\(S_{\triangleA'B'C'}=80\)。答案：\(80\)?；脽羝?4：課堂小結(jié)相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比。周長的比等于相似比。面積的比等于相似比的平方。應(yīng)用要點(diǎn)：明確對(duì)應(yīng)關(guān)系，確保對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)線段準(zhǔn)確對(duì)應(yīng)。區(qū)分線段比與面積比的不同，牢記面積比是相似比的平方。結(jié)合相似三角形的判定定理，綜合解決幾何問題?；脽羝?5：布置作業(yè)基礎(chǔ)作業(yè)：兩個(gè)相似三角形的相似比為\(2:5\)，其中較大三角形的一條中線長為\(20\)，求較小三角形對(duì)應(yīng)中線的長。已知\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，\(\triangleABC\)的面積為\(12\)，\(\triangleDEF\)的面積為\(3\)，求它們的相似比和周長比。提升作業(yè)：如圖，在\(\triangleABC\)中，\(DE\parallelBC\)，\(DE=2\)，\(BC=5\)，\(\triangleADE\)的面積為\(4\)，求梯形\(DBCE\)的面積。求證：相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比（任選一種進(jìn)行證明）。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解判定兩個(gè)三角形相似的簡便方法有哪些？復(fù)習(xí)導(dǎo)入定義法平行法判定定理1、2、3.推進(jìn)新課在下圖中，△ABC

和△A′B′C′是兩個(gè)相似三角形，相似比為k

，其中AD、A′D′分別為BC、B′C′邊上的高，那么AD、A′D′之間有什么關(guān)系？ABCDA′B′C′D′∵△ABC

和△A′B′C′都是直角三角形，且∠B=∠B′，∴△ABD

∽△A′B′D′，由此可以得出結(jié)論：相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比等于相似比.由此可以得出結(jié)論：相似三角形面積的比等于相似比的平方.思考如圖，△ABC

和△A′B′C′相似，AD、A′D′分別為對(duì)應(yīng)邊上的中線，BE、B′E′分別是對(duì)應(yīng)角的平分線，那么它們之間是否有與對(duì)應(yīng)邊上的高類似的關(guān)系？這兩個(gè)三角形的周長又是什么關(guān)系呢？ABCEDA′B′C′E′D′由此可以得出結(jié)論：相似三角形對(duì)應(yīng)角的平分線之比等于相似比.相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線之比等于相似比.相似三角形的周長之比等于相似比.ABCEDA′B′C′E′D′隨堂演練1.如圖，這是圓桌正上方的燈泡（看作一個(gè)點(diǎn)）發(fā)出的光線照射桌面后，在地面上形成陰影（圖形）的示意圖.已知桌面的直徑為1.2m，桌面距離地面為1m，若燈泡距離地面3m，則地面上陰影部分的面積為__________.運(yùn)用相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比.0.81πm2d=1.2md′h′hd′=1.8m.2.如圖，△ABC

中，BC=24cm，高AD=12cm，矩形EFGH

的兩個(gè)頂點(diǎn)E、F

在BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)G、H

分別在AC、AB

上，且EF∶EH=4∶3，求EF、EH

的長.解：在矩形EFGH

中，HG∥EF，即HG∥BC，∴△AHG

∽△ABC，設(shè)相似比為k

，又

EH⊥BC，

AD⊥BC，∴

EH∥AD，∴△BEH

∽△BDA.∴EH=12（1-k）.∵EF

:EH=4:3，∴24k:12（1-k）=4:3，∴k

=

0.4.∴EF=24k=9.6cm，EH=7.2cm.B返回返回7返回3．如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，DE∥BC，CF，EG分別是△ABC與△ADE的中線，已知AD∶DB＝4∶3，EG＝4，則CF＝________．4.[2024內(nèi)江中考]已知△ABC與△DEF相似，且相似比為1∶3，則△ABC與△DEF的周長之比是(

)A．1∶1B．1∶3

C．1∶6D．1∶9B返回D5．兩個(gè)相似三角形的最短邊長分別為5cm和3cm，它們的周長之差為12cm，則大三角形的周長為(

)A．14cmB．16cmC．18cmD．30cm返回返回6．已知△ABC∽△DEF，它們的周長分別為20和25，且BC＝5，DF＝4，求AC和EF的長．返回7.若兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比為1∶3，則這兩個(gè)相似三角形的面積比是________．1∶9返回128．[2024遼寧中考]如圖，AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)O，且△AOB與△DOC的面積比是1∶4，若AB＝6，則CD的長為________．返回9.在?ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的三等分點(diǎn)，連結(jié)BE，AC，BE與AC相交于點(diǎn)F，則S△AEF∶S△CBF＝________．10．[2025周口期中]如圖，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．(1)求證：△ABC∽△DEC；證明：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE＋∠ECA＝∠ACD＋∠ECA，即∠BCA＝∠ECD，又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC.返回(2)若S△ABC∶S△DEC＝9∶16，△ABC的周長為9，求△DEC的周長．返回B11．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，△ABC的角平分線AF交DE于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F.若AE＝