1/22025-2026學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考卷全解全析（考試時(shí)間：120分鐘，分值：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：北師大版2019必修第一冊(cè)第一章預(yù)備知識(shí)。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知全集，集合，?UB=4，則（

）A． B． C． D．1.【答案】D【解析】已知全集，集合，?UB=4，則.故選：D.2．如果，是實(shí)數(shù)，那么“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2.【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，滿足，而，則充分性不成立；當(dāng)時(shí)，若，則，所以，而，則；若，則，所以，而，則，則必要性成立．所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B.3．已知且，則下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．3.【答案】D【解析】A：當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；B：當(dāng)時(shí)，滿足，但不成立，故B錯(cuò)誤；C：當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；D：由，得，故D正確.故選：D.4．設(shè)集合為非空集合，且，若，則，滿足上述條件的集合的個(gè)數(shù)為（

）A．12 B．15 C．31 D．324.【答案】B【解析】∵，∴滿足“，則”的的集合是的子集，但3和24，4和18，6和12，8和9需同時(shí)出現(xiàn)，∴將集合看作有4個(gè)元素，求其非空子集個(gè)數(shù)為：.故選：B.5．下列函數(shù)中，最小值為的是（

）A． B．C．， D．5.【答案】D【解析】對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，，不符合要求，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由得顯然不成立，所以等號(hào)取不到，即的最小值不是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，最小值不是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，易知，，則，當(dāng)即或時(shí)，有最小值，即有最小值，故D對(duì).故選：D.6．設(shè)是不小于的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，則的最大值為（

）A．6 B．8 C．10 D．126.【答案】C【解析】由題設(shè)，可得，結(jié)合已知有，且，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值10.故選：C.7．已知，，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．7.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，又，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，三個(gè)等號(hào)可同時(shí)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故選：A.8．設(shè)，若關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)解恰有3個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．8.【答案】C【解析】關(guān)于的不等式，而，由原不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，得，解不等式，得，因此原不等式解集中的3個(gè)整數(shù)是，則，即，于是，又，因此，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．命題“存在，使得”為假命題的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．9.【答案】CD【解析】存在，使得為真時(shí)，當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，有，解得，當(dāng)時(shí)，存在，使得；所以存在，使得為真時(shí)，，命題“存在，使得”為假命題時(shí)，時(shí)，不一定成立，不合題意；時(shí)，不一定成立，不合題意；時(shí)，必成立，反之時(shí)，推不出，符合題意；時(shí)，必成立，反之時(shí)，推不出，符合題意；命題“存在，使得”為假命題的一個(gè)充分不必要條件是，；故選：CD.10．已知關(guān)于的不等式的解集為，則（

）A．有最大值 B．C． D．的解集為10.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以，，二次函?shù)的圖象開口向下，因此有最大值，故A正確；對(duì)于BC，，3是關(guān)于的一元二次方程的兩根，則，所以，，則，故B正確，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，不等式即為，即，即，解得（舍去）或，所以，故D正確；故選：ABD.11．已知，為正實(shí)數(shù)，且，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最大值為11.【答案】ABD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，由，且，為正實(shí)數(shù)，則，即，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，不等式取得等號(hào)，即的最大值為．故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由，且，為正實(shí)數(shù)，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，不等式取得等號(hào)，即的最小值為．故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由，且，為正實(shí)數(shù)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，不等式取等號(hào)，所以的最小值為．故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，結(jié)合選項(xiàng)C有，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，不等式取等號(hào)，所以的最大值為．故選項(xiàng)D正確．故選：ABD．第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)a的值為.12.【答案】或或【解析】集合，由可得，若，，滿足，若，，若，則或得或．綜上，實(shí)數(shù)a的取值為或0或1．故答案為：或0或1．13．若正實(shí)數(shù)滿足不等式組，則的大小關(guān)系為（按由小到大排列）13.【答案】【解析】由不等式組及均為正實(shí)數(shù)，得，則，即，所以.故答案為：.14．如圖，地在自西向東的一條直線鐵路上，在距地的B地有一金屬礦，地到該鐵路的距離．現(xiàn)擬定在之間的地修建一條公路到地，即修建一條的運(yùn)輸路線．若公路運(yùn)費(fèi)是鐵路運(yùn)費(fèi)的倍，則當(dāng)?shù)氐降氐木嚯x為時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最低．14．【答案】【解析】設(shè)當(dāng)?shù)氐降氐木嚯x為時(shí)，鐵路每公里運(yùn)費(fèi)為，公路每公里運(yùn)費(fèi)為．由題意得，則總運(yùn)費(fèi)，要使總費(fèi)用最低，只需最小即可．設(shè)，則，得，則，得．當(dāng)時(shí)，總費(fèi)用最低，則，得，所以當(dāng)?shù)氐降氐木嚯x為時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最低．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）（1）已知集合，，若，求實(shí)數(shù)，的值.（2）已知集合或，，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.15．（13分）【解析】（1）由已知，得或.當(dāng)時(shí)，解得或；當(dāng)時(shí)，解得或.又由集合中元素的互異性，得或.（2）因?yàn)?，所以，利用?shù)軸表示，如圖所示，或則或，解得或，所以的取值范圍是或.16．（15分）已知集合，集合.(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)命題，命題，若命題是命題的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.16．（15分）【解析】（1）由題意可知，又，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，可得，則有或，解得或，因?yàn)椋瑒t.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為或.（2）因?yàn)槊}是命題的必要不充分條件，則B?A，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，則，解得.檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，?A，合乎題意；當(dāng)時(shí)，?A，合乎題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.17．（15分）如圖，設(shè)矩形的周長為，把△ABC沿向折疊，折過去后交于點(diǎn)，設(shè)，.（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）設(shè)△CPB'的面積為S，求17．（15分）【解析】（1）如圖，由矩形的周長為，，可知，.，，，∴Rt.在Rt△ADP中，由勾股定理得，即，解得.（2）如圖，由矩形的周長為，可知，，，，，∴Rt.在Rt△ADP中，由勾股定理得，即，解得，所以.所以△CPB'.由基本不等式與不等式的性質(zhì)，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，△CPB'的面積最大，面積的最大值為.18．（17分）設(shè)函數(shù).（1）若關(guān)于x的不等式有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）解關(guān)于x的不等式：，；（3）若對(duì)任意的，不等式，(且)恒成立，求的最大值.18．（17分）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由原不等式可得，顯然有解，滿足題意；當(dāng)時(shí)，不等式無解，則，即，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為且.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為?1，（2）由，可得，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，由，解得當(dāng)時(shí)，不等式可化為，①當(dāng)時(shí)，即，解得；②當(dāng)，即時(shí)，解得或；③當(dāng)，即時(shí)，解得或.綜上所述，當(dāng)時(shí)不等式的解集為，當(dāng)時(shí)不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.（3）由可得，由不等式恒成立知，，所以，所以，令，因?yàn)椋?所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，也即時(shí)等號(hào)成立.綜上，的最大值為.19．（17分）設(shè)為實(shí)數(shù)，集合.（1）若，求；（2）若，求滿足的條件；（3）設(shè)，，且集合均恰有兩個(gè)元素，求三元數(shù)對(duì).19．（17分）【解析】（1）若，則方程為，即，解得或.；（2）由題意知，.，是方程的根，即，解得.由，集合有且僅有一個(gè)元素，即方程有且僅有一個(gè)根，①若是方程的根，則，且，解得；②若不是方程的根，則方程無實(shí)數(shù)根，則；綜上所述，或.（3），，若，，，則，又，，所以有，解得.驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，，不滿足集合恰有兩個(gè)元素，故；若，由，，則，，又，則，又，所以，即.由，則,即,解得.驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，也不滿足集合恰有兩個(gè)元素，故；由上可知，且.則，且方程與有相同的判別式，即兩方程根的個(gè)數(shù)相同.由集合均恰有兩個(gè)元素，則.，因?yàn)?，則是方程或的根.由，且，則是方程或的根.①當(dāng)時(shí)，是方程的根，，則，又，則，由，則是方程的根，則.（i）若，聯(lián)立解得.驗(yàn)證：當(dāng)，，時(shí)，，，滿足題意；（ii）若，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，又，則方程的兩根必為和.故由韋達(dá)定理得，解得；驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，，，