§2.5函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用重點(diǎn)解讀函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，通過分析函數(shù)的性質(zhì)特點(diǎn)，結(jié)合圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，往往多種性質(zhì)結(jié)合在一起進(jìn)行考查.題型一函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性例1(2025·大連模擬)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)?x1，x2∈[0，＋∞)，當(dāng)x1>x2時(shí)，f(x1)－f(x2)>4(x1＋x2)(x1－x2)恒成立，f(2)＝16，則滿足f(m)≤4m2的實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

思維升華(1)解抽象函數(shù)不等式，先把不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))>f(h(x))，利用單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號(hào)“f”脫掉，得到具體的不等式(組).(2)比較大小，利用奇偶性把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，進(jìn)而利用其單調(diào)性比較大小.跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x＋1)是R上的偶函數(shù)，且f(x)在(－∞，1]上單調(diào)遞減，a＝f(－1)，b＝f(e2)，c＝f(2)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.a>b>c B.b>c>aC.a>c>b D.b>a>c題型二函數(shù)的奇偶性與周期性例2(多選)(2024·蘇州模擬)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x－2)＝f(x＋2)，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)＝2x－2，則()A.f(2024)＝－1B.f(x)的值域?yàn)閇－1，2]C.f(x)在[4，6]上單調(diào)遞減D.f(x)在[－6，6]內(nèi)有8個(gè)零點(diǎn)思維升華周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求函數(shù)值、比較大小等，常利用奇偶性和周期性將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)，或已知單調(diào)性的區(qū)間內(nèi)求解.跟蹤訓(xùn)練2(2025·襄陽(yáng)模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，則()A.f(6)<f(－7)<f

11B.f(6)<f

112<f(－7C.f(－7)<f

112<f(6D.f

112<f(－7)<f(6題型三函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性例3(多選)(2024·?？谀M)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足以下三個(gè)條件：①f(－x)＋f(x)＝0；②f(x)＝f(2－x)；③f(1)＝2，則下列說法正確的有()A.f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱B.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱C.f(x＋4)＝f(x)D.f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(17)＝10思維升華解決函數(shù)奇偶性與圖象的對(duì)稱性的綜合問題時(shí)，要注意把已知函數(shù)的奇偶性按定義轉(zhuǎn)化，再判斷函數(shù)圖象的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心；也可利用圖象變換關(guān)系得出函數(shù)圖象的對(duì)稱性.跟蹤訓(xùn)練3(多選)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(2－x)＋f(x)＝0，則下列命題成立的是()A.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1，0)對(duì)稱B.f(3)＝0C.函數(shù)f(x＋4)為奇函數(shù)D.函數(shù)f(x＋1)為奇函數(shù)題型四函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例4(多選)(2025·菏澤模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱，且?x∈R，都有f

x＋12＝f

32-x，定義在R上的函數(shù)f

'(x)為f(A.4為f(x)的一個(gè)周期 B.f(x)為偶函數(shù)C.f'(x)為偶函數(shù) D.f'12＝－f'思維升華函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性和單調(diào)性是函數(shù)的四大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命題，解題時(shí)，往往需要借助函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題.跟蹤訓(xùn)練4(多選)(2024·烏魯木齊模擬)已知f(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，滿足f(x－1)＝f(x＋3)，f(4－x)＝f(x)，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f(x)＝x2－x，則下列說法正確的是()A.f(x)的一個(gè)周期為4B.f(x)的圖象只關(guān)于直線x＝2對(duì)稱C.當(dāng)0≤x≤6時(shí)，函數(shù)f(x)有5個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)6≤x≤8時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為－12

答案精析例1[－2，2]解析因?yàn)閷?duì)?x1，x2∈[0，＋∞)，當(dāng)x1>x2時(shí)，f(x1)－f(x2)>4(x1＋x2)(x1－x2)恒成立，即f(x1)－f(x2)>4(x12所以f(x1)－4x12>f(x2)－4令g(x)＝f(x)－4x2，則當(dāng)x1>x2≥0時(shí)，g(x1)>g(x2)，所以函數(shù)g(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，所以對(duì)任意的x∈R，g(－x)＝f(－x)－4(－x)2＝f(x)－4x2＝g(x)，所以函數(shù)g(x)為R上的偶函數(shù)，且g(2)＝f(2)－4×22＝16－16＝0，由f(m)≤4m2，可得f(m)－4m2≤0，即g(m)≤g(2)，即|m|≤2，解得－2≤m≤2，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為[－2，2].跟蹤訓(xùn)練1D[因?yàn)楹瘮?shù)f(x＋1)是R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x＋1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(－∞，1]上單調(diào)遞減，所以f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，因?yàn)閍＝f(－1)＝f(3)，b＝f(e2)，c＝f(2)，e2>3>2，所以f(e2)>f(3)>f(2)，即b>a>c.]例2AB[函數(shù)f(x)滿足f(x－2)＝f(x＋2)，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是一個(gè)周期為4的周期函數(shù)，對(duì)于A，f(2024)＝f(506×4)＝f(0)＝－1，所以A正確；對(duì)于B，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)＝2x－2單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)的值域?yàn)閇－1，2]，由于函數(shù)是偶函數(shù)，所以f(x)在[－2，0]上的值域也為[－1，2]，又f(x)是一個(gè)周期為4的周期函數(shù)，所以f(x)的值域?yàn)閇－1，2]，所以B正確；對(duì)于C，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)＝2x－2單調(diào)遞增，又f(x)的一個(gè)周期是4，所以f(x)在[4，6]上單調(diào)遞增，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令f(x)＝2x－2＝0，得x＝1，所以f(1)＝f(－1)＝0，由于f(x)的一個(gè)周期為4，所以f(5)＝f(－5)＝0，f(3)＝f(－3)＝0，所以f(x)在[－6，6]內(nèi)有6個(gè)零點(diǎn)，所以D錯(cuò)誤.]跟蹤訓(xùn)練2B[∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是一個(gè)周期為4的周期函數(shù)，∴f(6)＝f(2)＝－f(0)＝f(0)，f(－7)＝f(1)，f

112＝f

＝－f

-12＝f

又當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，∴f(0)<f

12<f(1)即f(6)<f

112<f(－7)例3ABC[∵f(－x)＋f(x)＝0，f(x)的定義域?yàn)镽，∴f(x)為奇函數(shù)，又∵f(x)＝f(2－x)，∴f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝1.A選項(xiàng)，∵f(x)＝f(2－x)，∴－f(x)＝－f(2－x)，∴f(－x)＝f(x－2)，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱，故A正確；C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)分析可知，f(x－2)＝－f(x)，∴f(x－4)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，故C正確；B選項(xiàng)，方法一∵f(－x)＋f(x)＝0，∴f(－x)＋f(4＋x)＝0，∴f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱.方法二∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，0)對(duì)稱，又f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∴f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱，故B正確；D選項(xiàng)，∵f(1)＝2，f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(4)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(17)＝4[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＝2，故D錯(cuò)誤.]跟蹤訓(xùn)練3ABD[因?yàn)閒(2－x)＋f(x)＝0，所以f(2－x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，又f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1，0)對(duì)稱，且f(－1)＝0，A選項(xiàng)正確；因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，又函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，所以f(x)的一個(gè)周期為4，所以f(3)＝f(－1)＝0，B選項(xiàng)正確；因?yàn)榕己瘮?shù)f(x)的一個(gè)周期為4，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x＋4)為偶函數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；f(x＋1)的圖象可以由f(x)的圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則f(x＋1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，0)對(duì)稱，f(x＋1)為奇函數(shù)，D選項(xiàng)正確.]例4ACD[由f

x＋12＝f

32-x，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，又函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱，所以f(x由函數(shù)f(x)的對(duì)稱性可知，f(－x)＝－f(x＋4)，又周期為4，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；因?yàn)閒(－x)＝－f(x)，兩邊求導(dǎo)可得－f'(－x)＝－f'(x)，即f'(－x)＝f'(x)，所以f'(x)為偶函數(shù)，故C正確；因?yàn)閒(x＋1)＝f(1－x)，則f'(x＋1)＝－f'(1－x)，令x＝－12，則f

'12＝－f

'32，故D跟蹤訓(xùn)練4AC[由