§6.6數(shù)列求和(二)課標要求掌握錯位相減法求和、裂項相消法求和等幾種常見的求和方法.1.錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導的.2.裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.常見的裂項技巧①1n(n②1n(n③1(2n-1)(2④1n+n⑤1n1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)當n≥2時，1n2-1＝(2)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，則有1anan(3)通項是等差數(shù)列乘以等比數(shù)列的求和利用錯位相減法，即把和的等式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比得到一個新的等式，再把兩式相減即可求和.()(4)若Sn＝a+2a2+3a3+…+nan，只要把等號兩邊同時乘a即可根據(jù)錯位相減法求得Sn.()2.化簡式子11×3+13×5+15×A.20222025 B.20242025 C.101120253.(2024·蘇州統(tǒng)考)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，an＝1n+n+1，若Sn＝8，則nA.77 B.78C.79 D.804.Sn＝12+24+38+…+n2A.2n-nC.2n-n謹防兩個易誤點(1)裂項時注意是否還有系數(shù)及是否前后相鄰的項相消.(2)錯位相減后構(gòu)造的等比數(shù)列的項數(shù)是否是n項.題型一裂項相消法求和例1(2024·菏澤模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－2(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若bn＝log2a2n－1，cn＝1bnbn+1，記{cn}的前n項和為Tn，求證：13思維升華裂項相消法的原則及規(guī)律(1)裂項原則一般是前面裂幾項，后面就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止.(2)消項規(guī)律消項后前面剩幾項，后面就剩幾項，前面剩第幾項，后面就剩倒數(shù)第幾項.跟蹤訓練1(2025·廈門模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2＝2a1＝4，當n∈N*，且n≥2時，Sn+1＝3Sn－2Sn－1.(1)證明：數(shù)列{an}為等比數(shù)列；(2)設bn＝an(an-1)(an+1-1)，求數(shù)列{題型二錯位相減法求和例2(2024·全國甲卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知4Sn＝3an+4.(1)求{an}的通項公式；(2)設bn＝(－1)n－1nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.思維升華(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，常采用錯位相減法.(2)用錯位相減法求和時，應注意：在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準確地寫出“Sn－qSn”的表達式.跟蹤訓練2(2024·湛江統(tǒng)考)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的首項a1＝13，1a2(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)已知數(shù)列{nan}的前n項和為Sn，證明：Sn<43

答案精析落實主干知識2.①1n－1n+1②④n自主診斷1.(1)×(2)×(3)√(4)×2.D[11×3+13×5＝121-11215-＝121-3.D[依題意，an＝1＝n+1所以Sn＝2－1+3－2+…+n+1由Sn＝n+1－1＝8解得n＝80.]4.B[由Sn＝12+222+323+…得12Sn＝122+223+…+n①－②得12Sn＝12+122+123+…+∴Sn＝2n+1探究核心題型例1(1)解由Sn＝2an－2，①當n＝1時，S1＝2a1－2＝a1，解得a1＝2，當n≥2時，Sn－1＝2an－1－2，②①－②，得an＝2an－1，∴數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，∴an＝a12n－1＝2n.(2)證明由(1)知a2n－1＝22n－1，∴bn＝log2a2n－1＝2n－1，bn+1＝2n+1.則cn＝1b故Tn＝1＝12∵0<14n+2≤16，∴13≤跟蹤訓練1(1)證明當n≥2時，Sn+1＝3Sn－2Sn－1?Sn+1－Sn＝2(Sn－Sn－1)，即an+1＝2an，又a2＝2a1＝4，故an+1＝2an對任意n∈N*都成立，且a1＝2，所以數(shù)列{an}是首項、公比均為2的等比數(shù)列.(2)解由(1)知an＝2n，則bn＝2＝12所以Tn＝1－13+13－17+…+12n例2解(1)當n＝1時，4S1＝4a1＝3a1+4，解得a1＝4.當n≥2時，4Sn－1＝3an－1+4，所以4Sn－4Sn－1＝4an＝3an－3an－1，即an＝－3an－1，而a1＝4≠0，故an≠0，故anan-1＝－3(n所以數(shù)列{an}是以4為首項，－3為公比的等比數(shù)列，所以an＝4·(－3)n－1.(2)bn＝(－1)n－1·n·4·(－3)n－1＝4n·3n－1，所以Tn＝b1+b2+b3+…+bn＝4·30+8·31+12·32+…+4n·3n－1，故3Tn＝4·31+8·32+12·33+…+4n·3n，所以－2Tn＝4·30+4·31+4·32+…+4·3n－1－4n·3n＝4·1-3n1-3－4＝2(3n－1)－4n·3n＝(2－4n)·3n－2，所以Tn＝(2n－1)·3n+1.跟蹤訓練2(1)解設數(shù)列{an}的公比為q.因為1a2+所