2025年考研極限試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(f(x)=\sinx-x\)是關(guān)于\(x\)的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階但非等價(jià)無窮小D.等價(jià)無窮小答案：A2.已知\(\lim\limits_{x\to\infty}(\frac{x+a}{x-a})^x=4\)，則\(a\)的值為（）A.\(\ln2\)B.\(2\ln2\)C.\(\frac{1}{2}\ln2\)D.\(4\ln2\)答案：A3.極限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx-\sinx}{x^3}\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{4}\)D.\(\frac{1}{6}\)答案：A4.若\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)\)存在，\(\lim\limits_{x\tox_0}g(x)\)不存在，則（）A.\(\lim\limits_{x\tox_0}[f(x)+g(x)]\)一定不存在B.\(\lim\limits_{x\tox_0}[f(x)g(x)]\)一定不存在C.\(\lim\limits_{x\tox_0}\frac{f(x)}{g(x)}\)一定不存在D.\(\lim\limits_{x\tox_0}[f(x)-g(x)]\)一定存在答案：A5.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，與\(x\)等價(jià)無窮小的是（）A.\(\sin^2x\)B.\(\ln(1+x)\)C.\(1-\cosx\)D.\(e^{2x}-1\)答案：B6.極限\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2+2n+3}{2n^2-n+1}\)的值為（）A.\(0\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(1\)D.\(2\)答案：B7.設(shè)\(f(x)=\begin{cases}\frac{\sinx}{x},&x\neq0\\1,&x=0\end{cases}\)，則\(\lim\limits_{x\to0}f(x)\)（）A.等于\(0\)B.等于\(1\)C.不存在D.等于\(2\)答案：B8.極限\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln(1+e^x)}{x}\)的值為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(+\infty\)答案：B9.已知\(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=2\)，則\(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(2x)}{x}\)的值為（）A.\(2\)B.\(4\)C.\(6\)D.\(8\)答案：B10.極限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x\sinx}\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(3\)答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.下列極限正確的是（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)B.\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)C.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\)D.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\)答案：ABCD2.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，下列函數(shù)是無窮小的有（）A.\(x^2\)B.\(\sinx\)C.\(\ln(1+x)\)D.\(e^x-1\)答案：ABCD3.設(shè)\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=A\)，\(\lim\limits_{x\tox_0}g(x)=B\)，則（）A.\(\lim\limits_{x\tox_0}[f(x)+g(x)]=A+B\)B.\(\lim\limits_{x\tox_0}[f(x)-g(x)]=A-B\)C.\(\lim\limits_{x\tox_0}[f(x)g(x)]=AB\)D.當(dāng)\(B\neq0\)時(shí)，\(\lim\limits_{x\tox_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\)答案：ABCD4.下列關(guān)于無窮小與無窮大的說法正確的是（）A.無窮小與無窮大是互為倒數(shù)關(guān)系B.有限個(gè)無窮小的和是無窮小C.有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小D.無窮大與無窮大的乘積是無窮大答案：BCD5.極限\(\lim\limits_{x\toa}f(x)\)存在的充要條件是（）A.\(\lim\limits_{x\toa^-}f(x)\)存在B.\(\lim\limits_{x\toa^+}f(x)\)存在C.\(\lim\limits_{x\toa^-}f(x)=\lim\limits_{x\toa^+}f(x)\)D.\(f(x)\)在\(x=a\)處連續(xù)答案：ABC6.當(dāng)\(x\to+\infty\)時(shí)，下列函數(shù)極限為\(0\)的有（）A.\(\frac{1}{x}\)B.\(\frac{\sinx}{x}\)C.\(e^{-x}\)D.\(\frac{1}{x^2}\)答案：ABCD7.已知\(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=1\)，則（）A.\(f(0)=0\)B.\(\lim\limits_{x\to0}f(x)=0\)C.\(f(x)\)與\(x^2\)是等價(jià)無窮小D.\(f(x)\)是比\(x\)高階的無窮小答案：ABD8.下列極限運(yùn)算正確的是（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=2\)B.\(\lim\limits_{x\to\infty}(1-\frac{1}{x})^x=e^{-1}\)C.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan3x}{x}=3\)D.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x^3-1}=0\)答案：ABCD9.若\(f(x)\)在\(x=x_0\)處極限存在，則（）A.\(f(x)\)在\(x=x_0\)處有定義B.\(f(x)\)在\(x=x_0\)的某去心鄰域內(nèi)有定義C.\(f(x)\)在\(x=x_0\)處的左右極限都存在D.\(f(x)\)在\(x=x_0\)處的左右極限相等答案：BCD10.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，與\(x^2\)是同階無窮小的有（）A.\(1-\cosx\)B.\(\sin^2x\)C.\(x\ln(1+x)\)D.\(e^{x^2}-1\)答案：ABCD三、判斷題1.若\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=A\)，\(\lim\limits_{x\tox_0}g(x)=B\)，且\(A\gtB\)，則在\(x_0\)的某去心鄰域內(nèi)有\(zhòng)(f(x)\gtg(x)\)。（）答案：對(duì)2.無窮小是一個(gè)非常小的數(shù)。（）答案：錯(cuò)3.若\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=0\)，\(\lim\limits_{x\tox_0}g(x)=\infty\)，則\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)g(x)=0\)。（）答案：錯(cuò)4.函數(shù)\(f(x)\)在\(x=x_0\)處極限存在，則\(f(x)\)在\(x=x_0\)處一定連續(xù)。（）答案：錯(cuò)5.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(\sinx\)與\(x\)是等價(jià)無窮小。（）答案：對(duì)6.極限\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=1\)。（）答案：對(duì)7.若\(f(x)\)在\(x=x_0\)處左極限和右極限都存在，則\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)\)存在。（）答案：錯(cuò)8.當(dāng)\(x\to+\infty\)時(shí)，\(e^x\)是比\(x^n\)（\(n\)為正整數(shù)）更高階的無窮大。（）答案：對(duì)9.無窮大與有界函數(shù)的和是無窮大。（）答案：對(duì)10.若\(\lim\limits_{x\tox_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1\)，則\(f(x)\)與\(g(x)\)是等價(jià)無窮小。（）答案：錯(cuò)四、簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述極限的定義。答案：極限是描述函數(shù)在某一過程中變化趨勢(shì)的概念。以\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=A\)為例，對(duì)于任意給定的正數(shù)\(\varepsilon\)，總存在正數(shù)\(\delta\)，使得當(dāng)\(0\lt|x-x_0|\lt\delta\)時(shí)，都有\(zhòng)(|f(x)-A|\lt\varepsilon\)，就稱常數(shù)\(A\)為函數(shù)\(f(x)\)當(dāng)\(x\tox_0\)時(shí)的極限。其他極限過程如\(x\to\infty\)等也有類似嚴(yán)格定義。2.說明無窮小的性質(zhì)。答案：無窮小有以下性質(zhì)：有限個(gè)無窮小的和是無窮小；有限個(gè)無窮小的積是無窮小；有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。例如，當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(x\)是無窮小，\(\sin\frac{1}{x}\)是有界函數(shù)，則\(x\sin\frac{1}{x}\)也是無窮小。這些性質(zhì)在極限運(yùn)算中非常重要，可幫助簡(jiǎn)化計(jì)算和判斷極限情況。3.怎樣判斷兩個(gè)無窮小是否為等價(jià)無窮??？答案：判斷兩個(gè)無窮小\(\alpha(x)\)和\(\beta(x)\)是否為等價(jià)無窮小，需計(jì)算極限\(\lim\limits_{x\tox_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}\)（\(x_0\)為極限過程）。若該極限值為\(1\)，則\(\alpha(x)\)和\(\beta(x)\)是等價(jià)無窮?。蝗魳O限值為非零常數(shù)\(C\)，則它們是同階無窮?。蝗魳O限值為\(0\)，則\(\alpha(x)\)是比\(\beta(x)\)高階的無窮小；若極限為\(\infty\)，則\(\alpha(x)\)是比\(\beta(x)\)低階的無窮小。4.簡(jiǎn)述極限運(yùn)算法則。答案：極限運(yùn)算法則包含多個(gè)方面。若\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=A\)，\(\lim\limits_{x\tox_0}g(x)=B\)，則\(\lim\limits_{x\tox_0}[f(x)\pmg(x)]=A\pmB\)；\(\lim\limits_{x\tox_0}[f(x)g(x)]=AB\)；當(dāng)\(B\neq0\)時(shí)，\(\lim\limits_{x\tox_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\)。對(duì)于冪指函數(shù)等也有相應(yīng)法則，這些法則為極限計(jì)算提供了基本方法，應(yīng)用時(shí)需注意極限存在的條件。五、討論題1.討論極限在數(shù)學(xué)分析中的重要地位及應(yīng)用。答案：極限在數(shù)學(xué)分析中處于核心地位。它是定義導(dǎo)數(shù)、積分等重要概念的基礎(chǔ)。導(dǎo)數(shù)定義為函數(shù)在某點(diǎn)的極限，積分也是通過極限來精確描述面積、體積等。在應(yīng)用方面，極限用于研究函數(shù)的連續(xù)性、漸近線等性質(zhì)。比如分析函數(shù)圖像趨勢(shì)時(shí)，極限可確定水平、垂直漸近線位置。在實(shí)際問題中，如物理上的瞬時(shí)速度、化學(xué)反應(yīng)速率等都通過極限來準(zhǔn)確刻畫，為解決各類問題提供有力工具。2.結(jié)合實(shí)例說明等價(jià)無窮小在極限計(jì)算中的應(yīng)用及注意事項(xiàng)。答案：等價(jià)無窮小在極限計(jì)算中能簡(jiǎn)化運(yùn)算。例如計(jì)算\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2+x}\)，當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(\sinx\)與\(x\)等價(jià)無窮小，原式可化為\(\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{x^2+x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x+1}=1\)。但使用時(shí)要注意只能在乘除運(yùn)算中替換，加減運(yùn)算中一般不能隨意替換。如計(jì)算\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx-\tanx}{x^3}\)，若直接用等價(jià)無窮小\(\sinx\simx\)，\(\tanx\simx\)替換會(huì)得錯(cuò)誤結(jié)果，需用泰勒公式等方法求解。3.探討數(shù)列極限與函數(shù)極限