一、等腰三角形的核心特點(diǎn)（一）定義與基本要素等腰三角形是指有兩條邊長度相等的三角形，這兩條相等的邊稱為“腰”，第三條邊稱為“底邊”；兩腰所夾的角稱為“頂角”，腰與底邊所夾的兩個角稱為“底角”。（二）性質(zhì)定理1.等邊對等角：等腰三角形的兩個底角相等（簡記為“等邊對等角”）。例如：若△ABC中\(zhòng)(AB=AC\)，則\(\angleB=\angleC\)。2.三線合一：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（這條線也稱為“等腰三角形的對稱軸”）。幾何表達(dá)：若△ABC中\(zhòng)(AB=AC\)，\(AD\)平分\(\angleBAC\)，則\(AD\)同時垂直于\(BC\)且平分\(BC\)（即\(AD\perpBC\)，\(BD=DC\)）。3.軸對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸為頂角平分線（或底邊上的中線、底邊上的高）所在的直線，沿對稱軸折疊時，兩部分能完全重合。（三）判定方法1.定義判定：若一個三角形有兩條邊相等，則它是等腰三角形。2.等角對等邊：若一個三角形的兩個角相等，則這兩個角所對的邊也相等（簡記為“等角對等邊”）。例如：若△ABC中\(zhòng)(\angleB=\angleC\)，則\(AB=AC\)。二、等邊三角形的特點(diǎn)（特殊的等腰三角形）（一）定義與本質(zhì)等邊三角形是三條邊長度都相等的三角形，它是等腰三角形的特殊形式（腰與底邊長度相等的等腰三角形）。（二）性質(zhì)定理1.角度特性：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且每個角都等于\(60^\circ\)。幾何表達(dá)：若△ABC為等邊三角形，則\(\angleA=\angleB=\angleC=60^\circ\)。2.三線合一的強(qiáng)化：等邊三角形的任意一個角的平分線、對邊上的中線、對邊上的高完全重合，且每條線都同時具備這三個功能（由于三個角、三條邊都相等，三條“三線合一”的線將三角形分成六個全等的\(30^\circ-60^\circ-90^\circ\)直角三角形）。3.軸對稱性：等邊三角形是軸對稱圖形，且有三條對稱軸（每條對稱軸對應(yīng)一條角平分線、中線或高），沿任意一條對稱軸折疊，圖形都能完全重合。（三）判定方法1.定義判定：若一個三角形的三條邊都相等，則它是等邊三角形。2.三角相等判定：若一個三角形的三個內(nèi)角都相等，則它是等邊三角形（由三角形內(nèi)角和為\(180^\circ\)，可推出每個角為\(60^\circ\)）。3.特殊等腰判定：若一個等腰三角形有一個內(nèi)角為\(60^\circ\)，則它是等邊三角形（分兩種情況：頂角為\(60^\circ\)時，底角為\((180^\circ-60^\circ)\div2=60^\circ\)；底角為\(60^\circ\)時，頂角為\(180^\circ-2\times60^\circ=60^\circ\)，因此三個角都是\(60^\circ\)）。三、典型習(xí)題解析與思路點(diǎn)撥（一）等腰三角形角度計算例題1：等腰三角形的一個內(nèi)角為\(50^\circ\)，求另外兩個角的度數(shù)。思路分析：等腰三角形的內(nèi)角可能是頂角或底角，需分情況討論：情況1：若\(50^\circ\)為頂角，則底角為\((180^\circ-50^\circ)\div2=65^\circ\)，因此另外兩個角為\(65^\circ\)、\(65^\circ\)。情況2：若\(50^\circ\)為底角，則另一個底角也為\(50^\circ\)，頂角為\(180^\circ-50^\circ\times2=80^\circ\)，因此另外兩個角為\(50^\circ\)、\(80^\circ\)。總結(jié)：等腰三角形角度問題需注意“內(nèi)角是頂角還是底角”的分類討論，避免遺漏情況。（二）等腰三角形“三線合一”的應(yīng)用例題2：如圖，在△ABC中，\(AB=AC\)，\(AD\perpBC\)于點(diǎn)\(D\)，若\(BC=10\)，求\(BD\)的長度。思路分析：由\(AB=AC\)可知△ABC是等腰三角形，\(AD\perpBC\)，根據(jù)“三線合一”，\(AD\)既是高也是中線，因此\(BD=DC=\frac{BC}{2}\)。解題過程：∵\(yùn)(AB=AC\)，\(AD\perpBC\)（已知），∴\(BD=DC\)（等腰三角形三線合一：底邊上的高也是底邊上的中線）。又∵\(yùn)(BC=10\)，∴\(BD=10\div2=5\)。（三）等邊三角形的證明與性質(zhì)應(yīng)用例題3：如圖，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點(diǎn)\(B\)、\(C\)、\(D\)在同一直線上，求證：\(AE=BD\)。思路分析：要證\(AE=BD\)，可通過證明\(\triangleACE\cong\triangleBCD\)（SAS）來實(shí)現(xiàn)，需利用等邊三角形的邊相等、角相等的性質(zhì)。證明過程：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形（已知），∴\(AC=BC\)，\(CE=CD\)（等邊三角形三邊相等），\(\angleACB=\angleDCE=60^\circ\)（等邊三角形內(nèi)角為\(60^\circ\)）?！郳(\angleACB+\angleACE=\angleDCE+\angleACE\)（等式性質(zhì)），即\(\angleBCD=\angleACE\)。在△ACE和△BCD中：\(AC=BC\)（已證），\(\angleACE=\angleBCD\)（已證），\(CE=CD\)（已證），∴\(\triangleACE\cong\triangleBCD\)（SAS）。∴\(AE=BD\)（全等三角形對應(yīng)邊相等）。（四）綜合應(yīng)用題例題4：在△ABC中，\(AB=AC\)，\(\angleBAC=120^\circ\)，\(D\)為\(BC\)的中點(diǎn)，\(DE\perpAB\)于\(E\)，求證：\(BE=3AE\)。思路分析：連接\(AD\)，利用等腰三角形“三線合一”得\(AD\perpBC\)且平分\(\angleBAC\)，再結(jié)合角度計算（\(\angleBAD=60^\circ\)），推出△ADE為\(30^\circ-60^\circ-90^\circ\)三角形，進(jìn)而通過邊長關(guān)系證明。證明過程：1.連接\(AD\)，∵\(yùn)(AB=AC\)，\(D\)為\(BC\)中點(diǎn)（已知），∴\(AD\perpBC\)，\(\angleBAD=\angleCAD=\frac{\angleBAC}{2}=60^\circ\)（等腰三角形三線合一，頂角平分線）。2.∵\(yùn)(DE\perpAB\)（已知），∴\(\angleAED=90^\circ\)，在\(\text{Rt}\triangleADE\)中，\(\angleADE=90^\circ-\angleBAD=30^\circ\)，∴\(AD=2AE\)（直角三角形中\(zhòng)(30^\circ\)角對的直角邊是斜邊的一半）。3.在△ABD中，\(\angleBAD=60^\circ\)，\(\angleADB=90^\circ\)，∴\(\angleB=30^\circ\)，∴\(AB=2AD\)（直角三角形中\(zhòng)(30^\circ\)角對的直角邊是斜邊的一半）。4.由\(AD=2AE\)，得\(AB=2\times(2AE)=4AE\)，又∵\(yùn)(BE=AB-AE\)，∴\(BE=4AE-AE=3AE\)。四、總結(jié)與學(xué)習(xí)建議等腰三角形的核心是“邊等→角等”或“角等→邊等”的轉(zhuǎn)化，“三線合一”是解決等腰三角形中線段、角度問題的關(guān)鍵工具；等邊三角形作為特殊的等腰三角形，兼具等腰三角形的所有性質(zhì)，且三個角均為\(60^\circ\)，常與全等三角形結(jié)合考查。學(xué)習(xí)時建議：1.熟練掌握“等邊對等