專(zhuān)題6.9平面向量及其應(yīng)用全章十一大基礎(chǔ)題型歸納（基礎(chǔ)篇）【人教A版（2019）】題型1題型1向量的幾何表示與向量的模1．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如果一架飛機(jī)向東飛行200km，再向南飛行300km，記飛機(jī)飛行的路程為s，位移為a，那么（）A．s>|a| C．s=|a| D．s與【解題思路】直接利用向量的摸和路程的定義的應(yīng)用即可求解.【解答過(guò)程】如果一架飛機(jī)向東飛行200km，再向南飛行300km，記飛機(jī)飛行的路程為s=200+300=500km,|a|=200故選:A.2．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若a是任一非零向量，b是單位向量，下列各式：①|(zhì)a|>|b|；②a//b；③|aA．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④【解題思路】根據(jù)向量模的概念可判斷①；利用向量共線(xiàn)的定義可判斷②；利用向量模的概念可判斷③、④；根據(jù)單位向量的概念可判斷⑤.【解答過(guò)程】①｜a｜＞｜b｜不正確，a是任一非零向量，模長(zhǎng)是任意的，故不正確；②a∥b，則a與b為共線(xiàn)向量，故不正確；③|a④｜b｜=1，故正確；⑤aa是單位向量，b故選：D.3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，某人從點(diǎn)A出發(fā)，向西走了200m后到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了2003m到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東走了200m到達(dá)D點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)D點(diǎn)在(1)作出AB、BC、CD（圖中1個(gè)單位長(zhǎng)度表示100m）；(2)求DA的模．【解題思路】（1）根據(jù)行走方向和單位長(zhǎng)度即可確定各點(diǎn)在坐標(biāo)系中的位置，即可做出所有向量；（2）由題意可知，四邊形ABCD是平行四邊形，則可求得DA的模.【解答過(guò)程】（1）根據(jù)題意可知，B點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(?2,0)，又因?yàn)镈點(diǎn)在B點(diǎn)的正北方，所以CD⊥BD，又CB=2003，所以DB=2002，即D、C兩點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為即可作出AB、BC、CD如下圖所示.（2）如圖，作出向量DA，由題意可知，CD//AB且所以四邊形ABCD是平行四邊形，則DA=所以DA的模為20034．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在如圖所示的坐標(biāo)紙（規(guī)定小方格的邊長(zhǎng)為1）中，用直尺和圓規(guī)畫(huà)出下列向量：（1）|OA|=4,點(diǎn)A在點(diǎn)（2）|OB|=22,點(diǎn)B在點(diǎn)O（3）|OC|=2,點(diǎn)C在點(diǎn)O南偏西【解題思路】（1）按照題意要求畫(huà)圖即可；（2）按照題意要求畫(huà)圖即可；（3）按照題意要求畫(huà)圖即可；【解答過(guò)程】解：如圖.題型2題型2向量相等或共線(xiàn)的判斷1．（2023下·黑龍江哈爾濱·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，則以圖中點(diǎn)A、B、C、D、E、F、O中的任意一點(diǎn)為始點(diǎn)，與始點(diǎn)不同的另一點(diǎn)為終點(diǎn)的所有向量中，除向量OA外，與向量OA共線(xiàn)的向量共有（

）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【解題思路】根據(jù)共線(xiàn)向量的定義與正六邊形的性質(zhì)直接得出.【解答過(guò)程】圖中與OA共線(xiàn)的向量有：AO,故選：D.2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，等腰梯形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)P，點(diǎn)E、F分別在兩腰AD、BC上，EF過(guò)點(diǎn)P，且EF//

A．AD=BC C．PE=PF 【解題思路】由梯形的幾何性質(zhì)可判斷AB選項(xiàng)；推導(dǎo)出P為EF的中點(diǎn)，可判斷CD選項(xiàng).【解答過(guò)程】在等腰梯形ABCD中，AD、BC不平行，AC、BD不平行，AB均錯(cuò)；因?yàn)锳B//CD，則DPPB=CD即BDPD=AC∵EF//AC，則PEAB=PDBD=所以，EP=故選：D.3．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）已知O為正六邊形ABCDEF的中心，在圖所標(biāo)出的向量中：

(1)試找出與FE共線(xiàn)的向量；(2)確定與FE相等的向量；(3)OA與BC相等嗎？【解題思路】（1）（2）（3）根據(jù)給定條件，利用正六邊形的性質(zhì)，結(jié)合共線(xiàn)向量、相等向量的意義判斷作答.【解答過(guò)程】（1）由O為正六邊形ABCDEF的中心，得與FE共線(xiàn)的向量有BC和OA.（2）由于BC與FE長(zhǎng)度相等且方向相同，所以BC=（3）顯然OA//BC，且OA=BC，但4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，四邊形ABCD為正方形，BDCE為平行四邊形，

(1)與AB模長(zhǎng)相等的向量有多少個(gè)？(2)寫(xiě)出與AB相等的向量有哪些？(3)與AB共線(xiàn)的向量有哪些？(4)請(qǐng)列出與EC相等的向量．【解題思路】（1）（2）（3）（4）根據(jù)平面幾何的性質(zhì)及相等向量、共線(xiàn)向量的定義判斷即可.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，BDCE為平行四邊形，所以AB=BE=BC=AD=DC，所以與AB模長(zhǎng)相等的向量有BE、BA、EB、DC、CD、AD、DA、BC、CB共9個(gè).（2）與AB相等的向量有BE、DC.（3）與AB共線(xiàn)的向量有DC，BE，CD，EB，BA，EA，AE.（4）因?yàn)锽DCE為平行四邊形，所以CE//DB且所以與EC相等的向量為BD.題型3題型3平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算1．（2023·云南·高二學(xué)業(yè)考試）化簡(jiǎn)AC?BD+CD?ABA．AB B．DA C．BC D．0【解題思路】利用向量的加減運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可.【解答過(guò)程】AC?BD+CD?AB故選：D.2．（2023下·天津?qū)氎妗じ咭恍？茧A段練習(xí)）3aA．5a B．5b C．?5a【解題思路】根據(jù)向量運(yùn)算加減法的運(yùn)算公式，即可求解.【解答過(guò)程】根據(jù)向量運(yùn)算公式可知，3a故選：B.3．（2023下·新疆·高一?？计谥校┗?jiǎn)下列各向量的表達(dá)式：(1)AB+(2)(AB(3)(AC【解題思路】根據(jù)平面向量的加法運(yùn)算和減法運(yùn)算法則可求出結(jié)果.【解答過(guò)程】（1）AB+（2）(AB?=CB（3）(AC+=BC4．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）化簡(jiǎn)：(1)53(2)13(3)x+ya【解題思路】根據(jù)平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算求解即可.【解答過(guò)程】（1）53（2）13a?2（3）x+ya題型4題型4由平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算求參數(shù)1．（2023上·遼寧朝陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在梯形ABCD中，AB=4DC，AC+AB=xA．5 B．6 C．－5 D．－6【解題思路】根據(jù)向量的線(xiàn)性表示即可求解.【解答過(guò)程】因?yàn)锳B=4所以AC+所以x?y=1??5故選：B.2．（2023上·江蘇南通·高三海門(mén)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在梯形ABCD中，E是CD中點(diǎn)，BC=2AD，設(shè)BE=λBA+μBC，則A．53 B．52 C．2 【解題思路】根據(jù)圖形進(jìn)行向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可.【解答過(guò)程】BE=∴λ+μ=1故選：D.3．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在△ABC中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且CP=23CA+13CB，Q是BC中點(diǎn)，AQ與CP交點(diǎn)為

A．12 B．23 C．34【解題思路】根據(jù)CP=23CA+13CB得到【解答過(guò)程】

∵CP=∴CP?∴AP=13AB，即過(guò)點(diǎn)Q作PC的平行線(xiàn)交AB于D，∵Q是BC中點(diǎn)，∴QD=12PC，且D從而QD=2PM，∴PC=4PM，∴CM=3又CM=tCP，則故選：C．4．（2023上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上，且AE=2EC，點(diǎn)F為線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，記EF=λAB+μADλ,μ∈A．?56 B．?16 C．【解題思路】通過(guò)向量的線(xiàn)性運(yùn)算化簡(jiǎn)向量即可求解.【解答過(guò)程】EF=EA+AF=?所以λ+μ=?5故選：A.題型5題型5向量數(shù)量積的計(jì)算1．（2023上·山東濰坊·高三校考期中）已知|a|=8,|b|=6,aA．?243 B．24 C．243【解題思路】利用平面向量的數(shù)量積公式求解.【解答過(guò)程】解：因?yàn)閍=8,所以a?故選：A.2．（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）在△ABC中，BC=2,∠BAC=π3，點(diǎn)P滿(mǎn)足2PA+PBA．?34 B．?14 C．【解題思路】先確定P點(diǎn)的位置，然后根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算、圓的軌跡以及圓的幾何性質(zhì)求得PB?【解答過(guò)程】設(shè)BC中點(diǎn)為M，由題可知：PA=?所以P為AM的中點(diǎn)，故：PB=PM由∠BAC=π3，知點(diǎn)P的軌跡是以BC為弦，圓周角為π3由圓的性質(zhì)可知，當(dāng)AM⊥BC時(shí)，|AM|最大；此時(shí)△ABC是等邊三角形，|AM|=3，PB故選：B.3．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知向量a與b的夾角為120°，且|a(1)a→(2)(a【解題思路】(1)利用向量數(shù)量積的定義直接求解即可.(2)利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律，求解即可.【解答過(guò)程】（1）由已知得a（2）(a4．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）已知a=10，b=12，a與b的夾角為(1)a?(2)3a(3)3b【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義計(jì)算即可；（2）根據(jù)數(shù)量積的定義和運(yùn)算律計(jì)算即可；（3）根據(jù)數(shù)量積的定義和運(yùn)算律計(jì)算即可.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閍=10，b=12，a與b的夾角為所以a（2）(3（3）因?yàn)?3所以(3b題型6題型6平面向量基本定理及其應(yīng)用1．（2023上·江蘇淮安·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上，且2AE=EC，若AD=a，BE=b，則A．12a?34b B．1【解題思路】先以AB,AC為基底表示出AD和BE，然后消去【解答過(guò)程】因?yàn)辄c(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)，2AE=EC，

所以AD=12AB+即AB=故選：A.2．（2023下·河北衡水·高一校考期中）如圖所示，平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，AE=EO，若DE=λAB+μADλ,μ∈

A．1 B．?12 C．?2【解題思路】由已知結(jié)合向量的線(xiàn)性表示及平面向量基本定理即可求解.【解答過(guò)程】因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，AE=EO所以DE=因?yàn)镈E=λAB+μ則λ+μ=?1故選：B.3．（2023下·浙江金華·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AQ=QC，AR=13AB，BQ與CR相交于點(diǎn)I，(1)用AB和AC分別表示BQ和CR；(2)如果AI=AB+λBQ=【解題思路】（1）利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算直接求解即可；（2）將（1）中結(jié)論代入（2）中條件，然后利用平面向量基本定理列方程求解即可.【解答過(guò)程】（1）BQ=∵AR∴CR（2）AI=AI=由平面向量基本定理得1?λ=μ3λ4．（2023下·河南南陽(yáng)·高一校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，CD=2

(1)用AB，AD表示AC，BE；(2)若點(diǎn)M滿(mǎn)足AM=?12AB+34【解題思路】（1）利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算和基本定理求解即可.（2）利用三點(diǎn)共線(xiàn)的判定證明即可.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)镃D=2AC=ABBE=?=?=?2AB（2）由AM=?可得AM=?所以2AM=?AB+3AE所以B，M，E三點(diǎn)共線(xiàn).題型7題型7平面向量線(xiàn)性運(yùn)算、數(shù)量積的坐標(biāo)表示1．（2023下·廣東佛山·高一?？茧A段練習(xí)）已知向量a=1,?1，b=?1,2，則A．1,2 B．1,0 C．?1,?2 D．?1,2【解題思路】根據(jù)平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算法則計(jì)算可得.【解答過(guò)程】因?yàn)閍=1,?1，b=故選：B.2．（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）已知向量a=1,3,b=A．10 B．18 C．?7,8 D．?4,14【解題思路】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可.【解答過(guò)程】因?yàn)橄蛄縜=所以a+故選:A.3．（2023下·黑龍江牡丹江·高一?？计谀┮阎矫嫦蛄縜=(1)求2a(2)求a→【解題思路】（1）先計(jì)算2a（2）由數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閍=所以2a所以2a（2）因?yàn)閍=所以a→4．（2023下·新疆喀什·高一校考期末）已知a=2,3，b=(1)2a(2)a?(3)a+【解題思路】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【解答過(guò)程】（1）原式=2（2）原式=（3）a+b=題型8題型8用向量解決平面幾何中的垂直問(wèn)題1．（2023上·廣東佛山·高二校考期中）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A?1,0，B1,0，C12,A．等腰三角形 B．直角三角形C．斜三角形 D．等腰直角三角形【解題思路】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求得AC?BC=0【解答過(guò)程】易知AC=可得AC?BC=32所以可得△ABC的形狀是直角三角形.故選：B.2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在四邊形ABCD中，若AB+CD=A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形【解題思路】依據(jù)向量相等的幾何意義和向量數(shù)量積的幾何意義去判斷四邊形的形狀.【解答過(guò)程】由AB+CD=0，可得AB=又由AC?BD=0，可得AC⊥BD故選：D.3．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在△ABC中，AB=AC=1，對(duì)任意x∈R，有AB+x（1）求角A；（2）若AD=13AB，AE=23AC，且【解題思路】（1）將不等式AB+xAC≥AB?12AC兩邊平方可得x2（2）將AP、BE用AB、AC表示，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算得出AP?【解答過(guò)程】（1）AB+xAC≥等價(jià)于1+x2+2x所以Δ=2因?yàn)?cosA?12≥0，所以cosA=（2）先證明結(jié)論：已知O為直線(xiàn)l外一點(diǎn)，R、S、T為直線(xiàn)l上三個(gè)不同的點(diǎn)，若OT=xOR+yOS因?yàn)镽、S、T為直線(xiàn)l上三個(gè)不同的點(diǎn)，則ST//可設(shè)ST=xSR，即OT?所以，x+y=x+1?x本題中，由（1）知，△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，AB?因?yàn)镻在CD上，設(shè)AP=λ又因?yàn)镻在BE上，所以AP=μ所以13λAB+1?λ因?yàn)锳P=17所以AP?BE=?1故AP⊥BE，得證.4．（2023下·山東濟(jì)南·高一?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A0,b，B?a,0，Ca,0(且ab≠0)，D為AB的中點(diǎn)，E為△ACD的重心，F(xiàn)(1)求重心E的坐標(biāo)；(2)用向量法證明：EF⊥CD．【解題思路】（1）求出D的坐標(biāo)，根據(jù)重心坐標(biāo)公式即可求出E的坐標(biāo)；（2）求出F的坐標(biāo)，證明CD?【解答過(guò)程】（1）如圖，∵A0,b，B?a,0，∴D?a2（2）CD=易知△ABC的外心F在y軸上，可設(shè)為0,y．由AF=CF，得∴y=b2?∴EF=∴CD→∴CD⊥EF，即題型9題型9用向量解決物理中的相關(guān)問(wèn)題1．（2023下·河南開(kāi)封·高二校考期中）平面上三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3作用于一點(diǎn)且處于平衡狀態(tài)，F(xiàn)1=1N，F(xiàn)2=2N，A．3N B．4N C．5N 【解題思路】根據(jù)平衡狀態(tài)，求得F3【解答過(guò)程】由題意得F3所以F3故選：C.2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在水流速度10km/h的自西向東的河中，如果要使船以103km/h的速度從河的南岸垂直到達(dá)北岸，則船出發(fā)時(shí)行駛速度的方向和大小為（A．北偏西30°，20km/h B．北偏西60°C．北偏東30°，102km/h D．北偏東【解題思路】作出示意圖，計(jì)算出船的航行速度以及船的行駛方向與正北方向間的夾角，由此可得出結(jié)論.【解答過(guò)程】如圖，船從點(diǎn)O出發(fā)，沿OC方向行駛才能垂直到達(dá)對(duì)岸，OA=10，OB=103，則OC因?yàn)椤螧OC為銳角，故∠BOC=30故船以20km/h的速度，以北偏西30故選：A.3．（2023下·陜西咸陽(yáng)·高一?？茧A段練習(xí)）已知兩個(gè)力F1=5i+3j,F2=?2i+j,F1(1)F1(2)F1,F【解題思路】（1）根據(jù)題意，求出位移AB，結(jié)合功的計(jì)算公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，求出合力F，結(jié)合功的計(jì)算公式，即可求解.【解答過(guò)程】（1）根據(jù)題意，F(xiàn)1=5i+3j故F1對(duì)該質(zhì)點(diǎn)做的功W1=F2對(duì)該質(zhì)點(diǎn)做的功W2=（2）根據(jù)題意，F(xiàn)1，F(xiàn)2的合力故F1，F(xiàn)2的合力F對(duì)該質(zhì)點(diǎn)做的功W=F4．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，一艘船從長(zhǎng)江南岸點(diǎn)A出發(fā)，以23

(1)試用向量表示江水速度、船速以及該船實(shí)際航行的速度；(2)求船實(shí)際航行速度的大小與方向（方向用與江水速度間的夾角表示）．【解題思路】（1）直接利用向量加法的平行四邊形法則作圖即可；（2）利用勾股定理求解船速的實(shí)際大小，在求解直角三角形即可得方向.【解答過(guò)程】（1）如圖所示，AD表示船速，AB表示水速，以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，則AC表示該船實(shí)際航行的速度；

（2）由題意AB⊥AD，在Rt△ABC中，AB則AC=22+2所以船實(shí)際航行速度的大小為4km/h，方向與江水速度間的夾角為60°題型10題型10余弦定理解三角形1．（2023下·河南駐馬店·高一校聯(lián)考期中）在△ABC中，若a2+b2?A．30° B．45° C．60° D．120°【解題思路】根據(jù)題意，利用余弦定理求得cosC=【解答過(guò)程】因?yàn)閍2+b因?yàn)?°<C<180°，所以C=60°.故選：C.2．（2023下·寧夏石嘴山·高一校考期中）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a=3，且cosA=13，bc=9A．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】由余弦定理變形得到cosA=【解答過(guò)程】cosA=即b+c2?2×9故選：A.3．（2023上·山西晉城·高二校考階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，根據(jù)下列條件解三角形：(1)已知b=3，c=1，A=60°，求(2)已知a=31，b=5，c=6，求A【解題思路】（1）利用余弦定理可求得a的值；（2）利用余弦定理求出cosA的值，結(jié)合角A的取值范圍可求得角A【解答過(guò)程】（1）解：在△ABC中，b=3，c=1，A=60由余弦定理可得a=b（2）解：在△ABC中，a=31，b=5，c=6由余弦定理可得cosA=因?yàn)?°<A<1804．（2023上·上海靜安·高三?？计谥校┰凇鰽BC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且2cos(1)求角A的大小;(2)若a=3,b+c=3，求b和【解題思路】（1）根據(jù)二倍角公式可得4cos2A?4（2）由已知條件結(jié)合余弦定理得到c2?3c+2=0，得到最終結(jié)果.【解答過(guò)程】（1）∵2∴22∴可得4cos化簡(jiǎn)得2cos∴解得:cosA=12，∵∴A=π（2）由題意可得：b+c=3，可得：b=3?c，又由a2=b2+c2?2bccos32可得：c2?3c+2=0，解得c=1或c=2所以b=2,c=1或b=1,c=2.題型11題型11正弦定理解三角形1．（2023下·河南開(kāi)封·高一校聯(lián)考期