高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省嘉祥教育集團2024-2025學年高一下學期期中質量監(jiān)測數(shù)學試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求）1.已知向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，且，所以，解得.故選：A2.化簡的結果是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由二倍角公式：.故選：C3.為得到函數(shù)的圖象，只需把余弦曲線上的所有點的（）A.向左平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】C【解析】余弦曲線上的所有點的向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，故選：C.4.若為單位向量，，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】因為，為單位向，所以，即，所以，所以.故選：D5.在中，，則（）A.5 B.3或5 C.4 D.2或4【答案】B【解析】由余弦定理，得，即，即，解得或5，經(jīng)檢驗，均滿足題意.故選：B.6.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，則.故選：A7.筒車亦稱“水轉筒車”，是一種以水流作動力，取水灌田的工具”．如圖，一個半徑為4米的筒車按逆時針方向每分鐘轉一圈，筒車的軸心O距離水面的高度為2米．在筒車轉動的一圈內，盛水筒P距離水面的高度不低于4米的時間為（）A.9秒 B.12秒 C.15秒 D.20秒【答案】D【解析】根據(jù)題意，以為坐標原點，平行于水面的直線為軸，垂直于水面的直線為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，則，則，所以，如圖，盛水筒距離水面的高度為時，分別在點處，則由對稱性可得，則，因筒車按逆時針方向每分鐘轉1圈，所以筒車轉1圈的時間為60秒，由上分析，盛水桶距離水面的高度不低于的時間為圓周，所以盛水筒距離水面的高度不低于的時間為秒.故選：D.8.如圖，在中，是的中點，在邊上，，與交于點，若，則的值是（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】因為在上，所以與共線，設，因為，所以，又D是BC的中點，所以，所以，，，所以，所以，即，所以，故，所以，故選：C二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中有多項符合題目要求．全部選對的得全部分，部分選對的得部分分，有錯選的得0分）9.下列說法錯誤的是（）A.B.若向量與共線，則存在唯一的實數(shù)使C.若非零向量，滿足，則與的夾角為60D.若非零向量，滿足，則【答案】ABC【解析】對于：當時，與共線，時，與共線，而與不一定共線，所以不一定成立，故錯誤；對于：若，時，向量與共線，但不存在實數(shù)使；當時，向量與共線，但實數(shù)不唯一，任意實數(shù)都能使成立.故錯誤；對于：，則以為三邊的三角形為等邊三角形，則與的夾角為，所以與的夾角為，故錯誤；對于：，則，則，，即，故正確.故選：.10.已知函數(shù)，則（）A. B.≤C.在，上單調遞增 D.若為偶函數(shù)，則的最小值為【答案】ABD【解析】對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，由，得，所以的單調遞增區(qū)間為，故在上單調遞減，在上單調遞增，故C錯誤；對于D，，為偶函數(shù)，所以，即，所以的最小值為，故D正確；故選：ABD11.記△ABC中三個內角所對邊分別為．如圖，分別是函數(shù)與直線的兩個交點，其中，則（）A.B.面積的最大值為C.周長的取值范圍為D.若為銳角三角形，則的取值范圍為【答案】BCD【解析】由圖可得，而，故，注意到或，.由題可得，則.對于A，，故A錯誤；對于B，，由余弦定理，，由基本不等式，，當且僅當取等號.則，故B正確；對于C，，因，則，結合和差化積公式，則，因，則，因在上單調遞增，在上單調遞減，則，故C正確；對于D，，因是銳角三角形，，則.,其中，，又.因，則，又，則在上單調遞增，在上單調遞減，.因，，則.則，因，則.故，故D正確.故選：BCD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知兩點，點在直線上，且滿足，則點的坐標為_______．【答案】【解析】由點，可得，設，因為，可得，所以，可得，解得，所以點的坐標為.故答案為：.13.若，，則_______．【答案】【解析】由題可得，因，因在上單調遞增，則.故答案為：.14.在中，已知，則的最大值為______．【答案】【解析】由得，即，又由余弦定理得：，化簡得：，，當且僅當時，等號成立，將代入中，可得，滿足任意兩邊之和大于第三邊，故有最小值，且為銳角，此時，，由于在上單調遞減，在上單調遞增，故有最大值，最大值為．故答案為：四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知，且與的夾角為．（1）求；（2）若向量與不能作為平面向量的一組基底，求實數(shù)的值．解：（1）由，且與的夾角為，得，.（2）由向量與不能作為平面向量的一組基底，得與共線，則存在實數(shù)，使得，而與不共線，于是，解得，所以實數(shù)的值為.16.已知，，．x

（1）將函數(shù)化簡為的形式并用五點法畫出在上簡圖；（2）求函數(shù)取得最大值時所組成的集合，并試從向量數(shù)量積坐標表示的角度，結合數(shù)量積的定義解釋的最大值為2．解：（1）由題意，，列表如下：作圖如下：（2）令，，解得，故函數(shù)取得最大值時所組成的集合為.因為，當且僅當時等號成立，此時與同向，夾角為0，則函數(shù)的最大值為2．17.已知函數(shù)．（1）求的定義域，并化簡函數(shù)；（2）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的最小值．解：（1）的定義域由滿足及的值組成，即及，所以及，得，，因此．在前提下，化簡函數(shù)=．（2）對任意，不等式≤恒成立，恒成立．而當時，，所以實數(shù)m的最小值為3．18.如圖，和與存在對頂角，且，，，且．（1）求的大小；（2）證明：為中點；（3）若，求的長．解：（1）,化簡得：.在中，由正弦定理得：,由余弦定理可得：，故.（2）設，，則，.在中，由余弦定理得：.在中，由余弦定理得：.由，所以.化簡得：，故為中點.（3）如圖：過點做，交與.則.由（）.所以，又，所以.所以.所以，又，.所以.由于所以.又，所以，所以.所以.即.在中，根據(jù)正弦定理，可得：.19.聲音的本質是介質振動形成的波，其基本特性可分解為三個正弦函數(shù)參數(shù)：頻率決定音高（單位Hz），振幅對應響度（dB），相位差反映波形偏移．復雜聲波通過傅里葉變換可展開為多個幅度、頻率各異的正弦波疊加，如樂器聲包含基頻與泛音列的正弦組合．請根據(jù)你所學的研究一個函數(shù)的性質，探究諧音函數(shù)的性質，請補充解答完整：函數(shù)的自變量x的取值范圍是R．顯然有，函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱.（1）函數(shù)的一個周期為，簡要說明理由；（2）求出函數(shù)的零點；（3）對稱軸的定義：?若存在直線，使得對任意，有，則稱函數(shù)關于直線對稱．試判斷函數(shù)?有無對稱軸？若有，求出對稱軸方程并證明；若無，說明理由．解：（1）的周期分別為、、，其最小公倍數(shù)為．?驗證?：．所以，函數(shù)的一個周期為．（2）因為＞0，所以令，得，因此，，所以函數(shù)的零點?為，．（3）假設存在對稱軸，展開方程?,將條件代入函數(shù)，利用三角恒等式展開各項：，，整理后方程變?yōu)椋鹤髠葴p去右側得：由于等式需對任意成立，故所有系數(shù)必須為零．令各項系數(shù)為零：?①，解得（為整數(shù)）．②，解得．（為整數(shù)）③，解得．（為整數(shù)）上述三個條件需同時滿足，，，為整數(shù)，顯然?無共同解?；?結論?：函數(shù)沒有對稱軸?.四川省嘉祥教育集團2024-2025學年高一下學期期中質量監(jiān)測數(shù)學試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求）1.已知向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，且，所以，解得.故選：A2.化簡的結果是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由二倍角公式：.故選：C3.為得到函數(shù)的圖象，只需把余弦曲線上的所有點的（）A.向左平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】C【解析】余弦曲線上的所有點的向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，故選：C.4.若為單位向量，，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】因為，為單位向，所以，即，所以，所以.故選：D5.在中，，則（）A.5 B.3或5 C.4 D.2或4【答案】B【解析】由余弦定理，得，即，即，解得或5，經(jīng)檢驗，均滿足題意.故選：B.6.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，則.故選：A7.筒車亦稱“水轉筒車”，是一種以水流作動力，取水灌田的工具”．如圖，一個半徑為4米的筒車按逆時針方向每分鐘轉一圈，筒車的軸心O距離水面的高度為2米．在筒車轉動的一圈內，盛水筒P距離水面的高度不低于4米的時間為（）A.9秒 B.12秒 C.15秒 D.20秒【答案】D【解析】根據(jù)題意，以為坐標原點，平行于水面的直線為軸，垂直于水面的直線為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，則，則，所以，如圖，盛水筒距離水面的高度為時，分別在點處，則由對稱性可得，則，因筒車按逆時針方向每分鐘轉1圈，所以筒車轉1圈的時間為60秒，由上分析，盛水桶距離水面的高度不低于的時間為圓周，所以盛水筒距離水面的高度不低于的時間為秒.故選：D.8.如圖，在中，是的中點，在邊上，，與交于點，若，則的值是（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】因為在上，所以與共線，設，因為，所以，又D是BC的中點，所以，所以，，，所以，所以，即，所以，故，所以，故選：C二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中有多項符合題目要求．全部選對的得全部分，部分選對的得部分分，有錯選的得0分）9.下列說法錯誤的是（）A.B.若向量與共線，則存在唯一的實數(shù)使C.若非零向量，滿足，則與的夾角為60D.若非零向量，滿足，則【答案】ABC【解析】對于：當時，與共線，時，與共線，而與不一定共線，所以不一定成立，故錯誤；對于：若，時，向量與共線，但不存在實數(shù)使；當時，向量與共線，但實數(shù)不唯一，任意實數(shù)都能使成立.故錯誤；對于：，則以為三邊的三角形為等邊三角形，則與的夾角為，所以與的夾角為，故錯誤；對于：，則，則，，即，故正確.故選：.10.已知函數(shù)，則（）A. B.≤C.在，上單調遞增 D.若為偶函數(shù)，則的最小值為【答案】ABD【解析】對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，由，得，所以的單調遞增區(qū)間為，故在上單調遞減，在上單調遞增，故C錯誤；對于D，，為偶函數(shù)，所以，即，所以的最小值為，故D正確；故選：ABD11.記△ABC中三個內角所對邊分別為．如圖，分別是函數(shù)與直線的兩個交點，其中，則（）A.B.面積的最大值為C.周長的取值范圍為D.若為銳角三角形，則的取值范圍為【答案】BCD【解析】由圖可得，而，故，注意到或，.由題可得，則.對于A，，故A錯誤；對于B，，由余弦定理，，由基本不等式，，當且僅當取等號.則，故B正確；對于C，，因，則，結合和差化積公式，則，因，則，因在上單調遞增，在上單調遞減，則，故C正確；對于D，，因是銳角三角形，，則.,其中，，又.因，則，又，則在上單調遞增，在上單調遞減，.因，，則.則，因，則.故，故D正確.故選：BCD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知兩點，點在直線上，且滿足，則點的坐標為_______．【答案】【解析】由點，可得，設，因為，可得，所以，可得，解得，所以點的坐標為.故答案為：.13.若，，則_______．【答案】【解析】由題可得，因，因在上單調遞增，則.故答案為：.14.在中，已知，則的最大值為______．【答案】【解析】由得，即，又由余弦定理得：，化簡得：，，當且僅當時，等號成立，將代入中，可得，滿足任意兩邊之和大于第三邊，故有最小值，且為銳角，此時，，由于在上單調遞減，在上單調遞增，故有最大值，最大值為．故答案為：四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知，且與的夾角為．（1）求；（2）若向量與不能作為平面向量的一組基底，求實數(shù)的值．解：（1）由，且與的夾角為，得，.（2）由向量與不能作為平面向量的一組基底，得與共線，則存在實數(shù)，使得，而與不共線，于是，解得，所以實數(shù)的值為.16.已知，，．x

（1）將函數(shù)化簡為的形式并用五點法畫出在上簡圖；（2）求函數(shù)取得最大值時所組成的集合，并試從向量數(shù)量積坐標表示的角度，結合數(shù)量積的定義解釋的最大值為2．解：（1）由題意，，列表如下：作圖如下：（2）令，，解得，故函數(shù)取得最大值時所組成的集合為.因為，當且僅當時等號成立，此時與同向，夾角為0，則函數(shù)的最大值為2．17.已知函數(shù)．（1）求的定義域，并化簡函數(shù)；（2）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的最小值．解：（1）的定義域由滿足及的值組成，即及，所以及，得，，因此．在前提下，化簡函數(shù)=．（2）對任意，不等式≤恒成立，恒成立．而當時，，所以實數(shù)m的最小值為3．18.如圖，和與存在對頂角，且，，，且．（1）求的大??；（2）證明：為中點；（3）若，求的長．解：（1）,化簡得：.在中，由正弦定理得：,由余弦定理可得：，故.（2）設，，則，