課時(shí)5離散型隨機(jī)變量及其概率分布、期望與方差一、課標(biāo)要求1．了解離散型隨機(jī)變量的概念，理解離散型隨機(jī)變量分布列.2．理解取有限值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念和意義；3．會(huì)求離散型隨機(jī)變量的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，并能解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題．二、知識(shí)梳理1．隨機(jī)變量的有關(guān)概念(1)隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，我們稱(chēng)X為隨機(jī)變量．(2)離散型隨機(jī)變量：可能取值為有限個(gè)或可以______________的隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)①eqp\s\do1(i)(i＝1，2，…，n)的取值范圍是_______；②eqp\s\do1(1)＋eqp\s\do1(2)＋…＋eqp\s\do1(n)＝_______．3．兩點(diǎn)分布已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X01P1－pp其中0＜p＜1，則稱(chēng)離散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布．其中p＝P(X＝1)稱(chēng)為成功概率．4．離散型隨機(jī)變量的均值與方差離散型隨機(jī)變量X的分布列如下：Xeqx\s\do1(1)eqx\s\do1(2)…eqx\s\do1(n)Peqp\s\do1(1)eqp\s\do1(2)…eqp\s\do1(n)(1)均值(期望)稱(chēng)E(X)＝_____________________為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱(chēng)期望．均值的意義是反映了離散型隨機(jī)變量取值的______________．(2)方差稱(chēng)D(X)＝_____________________為隨機(jī)變量X的方差．稱(chēng)eq\r(D(X))為隨機(jī)變量X的______________，記為σ(X)．方差和的標(biāo)準(zhǔn)差意義是度量隨機(jī)變量X取值與其均值E(X)的______________．【拓展知識(shí)】1．均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝______________(a，b為常數(shù))．(2)D(aX＋b)＝______________(a，b為常數(shù))．2．均值與方差的關(guān)系D(X)＝xeq\o(\s\up1(2),\s\do1(1))eqp\s\do1(1)＋xeq\o(\s\up1(2),\s\do1(2))eqp\s\do1(2)＋…＋xeq\o(\s\up1(2),\s\do1(n))eqp\s\do1(n)－（E(X)）eq\s\up1(2)＝E(Xeq\s\up1(2))－（E(X)）eq\s\up1(2)．三、基礎(chǔ)回顧1．判斷正誤.(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)某個(gè)試驗(yàn)，離散型隨機(jī)變量的取值可能有明確的意義，也可能不具有實(shí)際意義． ()(2)離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1． ()(3)隨機(jī)變量的方差刻畫(huà)了隨機(jī)變量取值偏離均值的程度，方差越小，偏離程度越?。?()(4)均值與方差都是從整體上刻畫(huà)離散型隨機(jī)變量的情況，因此它們是一回事． ()2．某位射箭運(yùn)動(dòng)員命中目標(biāo)的環(huán)數(shù)X的分布列如下：X678910P0.050.150.25ab如果命中9環(huán)或10環(huán)為優(yōu)秀，那么他一次射擊成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率是 ()A．0.35 B．0.20 C．0.55 D．0.83．(多選題)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下：X1234P0.2a0.40.1則下列結(jié)論正確的有()A．a(chǎn)＝0.3B．E(X)＝2.4 C．D(X)＝1.84 D．E(2X－1)＝3.84．在單項(xiàng)選擇題中，每道題有四個(gè)選項(xiàng)，其中僅有一個(gè)選項(xiàng)正確．如果從四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選一個(gè)，那么選對(duì)的概率為0.25．若選對(duì)得分X＝_______，選錯(cuò)得分Y＝_______，則隨機(jī)選擇時(shí)得分的均值為0．四、考點(diǎn)掃描考點(diǎn)一分布列的性質(zhì)例1（1）（2024·江蘇鎮(zhèn)江市揚(yáng)中市模擬）隨機(jī)變量X的取值為0，1，2，若P(X＝0)＝eq\f(1,5)，E(X)＝1，則D(2X－1)＝ ()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5) C．eq\f(3,5) D．eq\f(8,5)（2）（多選題）（2024·河南洛陽(yáng)市聯(lián)考）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下：X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量Y滿(mǎn)足Y＝2X＋1，則下列結(jié)果正確的有()A．q＝0.1B．E(X)＝2，D(X)＝1.4C．E(X)＝2，D(X)＝1.8D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2規(guī)律方法：對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布如下(其中0<p<1)，D(X)表示X的方差，則當(dāng)p從0增大到1時(shí)，下列結(jié)論正確的是()X012Peq\f(1－p,2)eq\f(1,2)eq\f(p,2)A．D(X)增大 B．D(X)減小C．D(X)先減后增 D．D(X)先增后減(2)設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為P(X＝k)＝eq\f(a,k＋1)(k＝1,2,5)，a∈R，E(X)，D(X)分別為隨機(jī)變量X的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是()A．P(0<X<3.5)＝eq\f(2,3)B．E(3X＋2)＝7C．D(X)＝2D．D(3X＋1)＝6考點(diǎn)二概率分布列例2（2024·北京卷）已知某險(xiǎn)種的保費(fèi)為0.4萬(wàn)元，前3次出險(xiǎn)每次賠付0.8萬(wàn)元，第4次賠付0.6萬(wàn)元.賠償次數(shù)01234單數(shù)800100603010在總體中抽樣100單，以頻率估計(jì)概率：（1）求隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次的概率；（2）①毛利潤(rùn)是保費(fèi)與賠償金額之差．設(shè)毛利潤(rùn)為X，試估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望；②若未賠償過(guò)的保單下一保險(xiǎn)期的保費(fèi)下降4%，已賠償過(guò)的增加20%．試估計(jì)保單下一保險(xiǎn)期毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了12元，然后發(fā)給朋友A，如果A猜中，A將獲得紅包里的所有金額；如果A未猜中，A將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友B，如果B猜中，A，B平分紅包里的金額；如果B未猜中，B將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友C，如果C猜中，A，B和C平分紅包里的金額；如果C未猜中，紅包里的錢(qián)將退回小李的賬戶(hù)，設(shè)A，B，C猜中的概率分別為eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，且A，B，C是否猜中互不影響．(1)求A恰好獲得4元的概率；(2)設(shè)A獲得的金額為X元，求X的分布列．考點(diǎn)三期望、方差在決策問(wèn)題中的應(yīng)用例3（2024·全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷）某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成員為0分；若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段，由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分.該隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨(dú)立．（1）若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分的概率．（2）假設(shè)，①為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率較大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽？②為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望較大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽？規(guī)律方法：對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練某知識(shí)競(jìng)賽共有兩道不定項(xiàng)選擇題，每小題有4個(gè)