第九章計數原理與概率課時1兩個計數原理與排列組合二、知識梳理1．m＋nm×n2．一定順序組3．排列個數組合個數n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)eq\f(n!,(n－m)!) n(n－1)(n－2)×…×2×1 eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m)) eq\f(n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),m!) eq\f(n!,m!(n－m)!) 114．(1)(2)Ceq\o\al(m,n＋1)【拓展知識】1．（3）捆綁（4）插空（5）除序（6）選排2．（2）有無排列組合3．eqm\s\do1(1)＋eqm\s\do1(2)＋…＋eqm\s\do1(n) eqm\s\do1(1)·eqm\s\do1(2)…eqm\s\do1(n)三、基礎回顧1．(1)√【解析】分類加法計數原理中，各類中的方法相互獨立，每種方法都可以做完這件事．所以正確．(2)×【解析】兩個排列中的元素相同，順序可能不同，因此不一定是同一個排列．所以錯誤．(3)×【解析】排列數的意義是“從3個不同的元素中取2個元素，并排列”．所以錯誤．(4)×【解析】因為Ceq\o(\s\up1(3),\s\do1(5))＝Ceq\o(\s\up1(n),\s\do1(5))，所以n＝2或3．所以錯誤．2．D【解析】每種顏色的色號均為0～255，即紅、綠、藍三種基本顏色的色號均有256種選擇，所以在電腦上可配成的顏色種數為256eq\s\up1(3)．故選D．3．B【解析】完成選做題，要分成三步：第一步，在第1題的4個小題中選做3小題，有Ceq\o(\s\up1(3),\s\do1(4))種做法；第二步，在第2題的3個小題中選做2小題，有Ceq\o(\s\up1(2),\s\do1(3))種做法；第三步，在第3題的2個小題中選做1小題，有Ceq\o(\s\up1(1),\s\do1(2))種做法；所以不同的選做法共有Ceq\o(\s\up1(3),\s\do1(4))Ceq\o(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o(\s\up1(1),\s\do1(2))＝24(種)．故選B.4．BCD【解析】Aeq\o(\s\up1(2),\s\do1(5))＝20；eq\f(A\o(\s\up1(3),\s\do1(5)),A\o(\s\up1(3),\s\do1(3)))＝Ceq\o(\s\up1(3),\s\do1(5))＝10；Ceq\o(\s\up1(2),\s\do1(4))＋Ceq\o(\s\up1(3),\s\do1(4))＝Ceq\o(\s\up1(3),\s\do1(5))＝10；Ceq\o(\s\up1(3),\s\do1(6))－Ceq\o(\s\up1(3),\s\do1(5))＝Ceq\o(\s\up1(2),\s\do1(5))＝10.故選BCD．5．eq\f(n(n－1),2)；n(n－1)【解析】線段的兩端點沒有順序，所以取2個點形成的線段數是Ceq\o(\s\up1(2),\s\do1(n))；有向線段的起點和終點是有順序的，所以取2個點形成的有向線段數是Aeq\o(\s\up1(2),\s\do1(n))．四、考點掃描例1（1）B【解析】分兩類：甲第一次踢給乙時，滿足條件的有3種傳遞方式(如圖)，同理，甲先傳給丙時，滿足條件的也有3種傳遞方式．由分類加法計數原理可知，共有3＋3＝6(種)傳遞方式．故選B.（2）B【解析】分兩類：①第一道工序安排甲時有1×1×4×3＝12(種)；②第一道工序不安排甲時有1×2×4×3＝24(種)．所以共有12＋24＝36(種)．故選B.（3）24；112【解析】由題意知，選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，則第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選，第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選，所以共有種選法；每種選法可標記為，分別表示第一、二、三、四列的數字，則所有的可能結果為：，，，，所以選中的方格中，的4個數之和最大，為.故為：24；112.對點訓練（1）C【解析】根據分類加法計數原理，分成原位大三和弦、原位小三和弦兩類，然后分類求解．原位大三和弦滿足：k－j＝3且j－i＝4，即k＝i＋7，j＝i＋4，所以i可取1到5的整數，即原位大三和弦的個數為5．原位小三和弦滿足：k－j＝4且j－i＝3，即k＝i＋7，j＝i＋3，所以i可取1到5的整數，即原位小三和弦的個數為5．根據分類加法計數原理，原位大三和弦與原位小三和弦的個數之和為5＋5＝10．故選C．（2）A【解析】根據題意知，需分四步進行，每一步中每名同學都有數學、物理、化學三種科目可報，所以共有（種）.故選A.例2【解】(1)插空法：分兩步第一步：排無要求的元素,4名男運動員排成一排，有Aeq\o(\s\up1(4),\s\do1(4))種排法．第二步：將要求不相鄰的元素插入,4名男運動員之間和兩端有5個空位，從中選3個，把3名女運動員排進去，有Aeq\o(\s\up1(3),\s\do1(5))種排法．所以女運動員都不相鄰共有Aeq\o(\s\up1(4),\s\do1(4))·Aeq\o(\s\up1(3),\s\do1(5))＝1440(種)不同排法．男、女隊長為特殊元素，左、右兩端為特殊位置,依據男隊長所在的位置，分成兩類：第一類：男隊長排在右端，此時分兩步完成,第一步：排男隊長,將男隊長排在的在右端，有1種排法．第二步：排除男隊長外的所有運動員，此時女隊長不可能在右端了，將女隊長與其余5名運動員一起排，有Aeq\o(\s\up1(6),\s\do1(6))種排法．所以男隊長排在右端的有1×Aeq\o(\s\up1(6),\s\do1(6))種排法．第二類：男隊長不排在右端，此時分三步完成,第一步：排男隊長,除去左、右兩端的位置，男隊長可排在中間5個位置，有Aeq\o(\s\up1(1),\s\do1(5))種排法．第二步：排女隊長,除去右端和男隊長的位置，還有5個位置可用來排女隊長，有Aeq\o(\s\up1(1),\s\do1(5))種排法．第三步：排其余運動員將余下的5名運動員排在剩下的5個位置，有Aeq\o(\s\up1(5),\s\do1(5))種排法．所以男隊長不排在右端有Aeq\o(\s\up1(1),\s\do1(5))××Aeq\o(\s\up1(5),\s\do1(5))種排法．所以男隊長不站左端，女隊長不站右端有1×Aeq\o(\s\up1(6),\s\do1(6))＋Aeq\o(\s\up1(1),\s\do1(5))×Aeq\o(\s\up1(1),\s\do1(5))×Aeq\o(\s\up1(5),\s\do1(5))＝3720(種)排法．(3)除序法第一步：將所有元素排成一排,不考慮男隊長和女隊長的順序要求，所以7名運動員排成一排，有Aeq\o(\s\up1(7),\s\do1(7))種排法．第二步：除序在其余運動員位置和順序均確定的情況下，男、女隊長之間有Aeq\o(\s\up1(2),\s\do1(2))種排法，這當中只有男隊長在女隊長左邊一種是符合要求，所以男隊長在女隊長前占總數的eq\f(1,A\o(\s\up1(2),\s\do1(2)))．所以男隊長必須排在女隊長前面共有Aeq\o(\s\up1(7),\s\do1(7))·eq\f(1,A\o(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝2520(種)不同排法．【對點訓練】（1）B【解析】先排A，B兩道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，則在第2，3，4道程序選兩個放A，B，共有Aeq\o\al(2,3)種放法；再排剩余的3道程序，共有Aeq\o\al(3,3)種放法.則共有Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36(種)放法.故選B.C【解析】由于數字，，，，，，中有兩個相同的數字，則進行隨機排列可以得到的不同個數有，而只有小數點前兩位為，或14時，排列后得到的數字不大于，故不大于的不同個數有種，所以得到的數字大于的不同個數有（種）.故選C.ACD【解析】由題可知，不同的擺放方法共有Aeq\o\al(5,5)＝120(種)，故A正確；若要求“水塔”和“土塔”不相鄰，則不同的擺放方法共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)＝72(種)，故C正確，B不正確；若要求“水塔”和“土塔”相鄰，且“水塔”不擺兩端，則不同的擺放方法共有2Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝36(種)，故D正確．故選ACD.例3（1）64【解析】（1）當從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有（種）.當從8門課中選修3門.①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有（種）；②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有（種）；綜上所述，不同的選課方案共有（種）.（2）36【解析】小明有4種選擇.①小華與小明選擇不同，個結果；②小華與小明有門相同，有個結果..對點訓練（1）D【解析】根據分層抽樣的定義知初中部共抽取，高中部共抽取，根據組合公式和分步計數原理則不同的抽樣結果共有種.故選D.（2）5；10【解析】4個1和2個0隨機排成一行，可利用插空法．先4個1排成一行，產生5個空；若2個0相鄰，則有5(種)排法．若2個0不相鄰，則有＝10(種)排法．例4(1)B【解析】不妨記五名志愿者為.假設連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服務，共有（種）方法.同理：連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務，也各有12種方法.所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務的選擇種數有（種）.故選B.（2）114【解析】5個人住3個房間，每個房間至少住1人，則有(3，1，1)和(2，2，1)兩種，當為(3，1，1)時，有Ceq\o\al(3,5)·Aeq\o\al(3,3)＝60(種)，A，B住同一房間有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝18(種)，故有60－18＝42(種)；當為(2，2，1)時，有eq\f(Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,3),Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝90(種)，A，B住同一房間有Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)＝18(種)，故有90－18＝72(種)，根據分類加法計數原理可知，共有42＋72＝114(種).對點訓練（1）C【解析】首先，確定相同得讀物，共有種情況.然后，兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有種.根據分步乘法公式則共有（種）.故選C.288【解析】首先討論Aa相鄰，剩下的4個字母排列有如下情況：bcBC、cbCB、bCBc、CbcB、BcbC、cBCb、BCbc、CBcb共8種可能．任取8種中