課時10立體幾何的綜合應(yīng)用一、課標(biāo)要求1．掌握線面、面面平行與垂直的判斷與性質(zhì)定理，并運(yùn)用于證明平行與垂直關(guān)系.2．會求簡單幾何體的表面積和體積；3．能用向量方法證明空間線面位置關(guān)系、計算空間角和距離．二、知識梳理1．立體幾何中證明平行關(guān)系的常用方法(1)證明線線平行的常用方法：①利用平行公理，即證明兩直線同時和第三條直線平行；②利用平行四邊形進(jìn)行轉(zhuǎn)換；③利用三角形中位線定理證明；④利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理證明．證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證明線線平行；②利用面面平行的性質(zhì)定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證明面面平行．證明面面平行的方法：證明面面平行，依據(jù)判定定理，只要找到一個平面內(nèi)兩條相交直線與另一個平面平行即可，從而將證明面面平行轉(zhuǎn)化為證明線面平行，再轉(zhuǎn)化為證明線線平行．2．立體幾何中證明垂直關(guān)系的常用方法(1)證明線線垂直的常用方法：①利用特殊平面圖形的性質(zhì)，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到線線垂直；②利用勾股定理逆定理；③利用線面垂直的性質(zhì)，即要證明線線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在平面即可．(2)證明線面垂直的常用方法：①利用線面垂直的判定定理，把線面垂直的判定轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；②利用面面垂直的性質(zhì)定理，把證明線面垂直轉(zhuǎn)化為證明面面垂直；③利用常見結(jié)論，如兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面等．(3)證明面面垂直的方法：證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個面過另一個面的一條垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中點(diǎn)、高線或添加輔助線解決．3．向量法證明與計算問題(1)加強(qiáng)對空間向量概念及空間向量運(yùn)算律的理解，掌握空間向量的加、減法，數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算等．(2)掌握各種角與向量之間的關(guān)系，并會應(yīng)用．(3)掌握利用向量法求線線角、線面角、二面角的方法．三、基礎(chǔ)回顧1．判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）（1）有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.（）（2）有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.（）（3）菱形的直觀圖仍是菱形.（）（4）兩個球的體積之比等于它們的半徑之比的平方.（）2．在三棱錐S－ABC中，已知∠SAB＝∠ABC＝eq\f(π,2)，SB＝4，SC＝2eq\r(13)，AB＝2，BC＝6，則三棱錐S－ABC的體積是()A.4 B.6 C.4eq\r(3) D.6eq\r(3)3．（多選題）下列說法正確的有()A．若a·b<0，則〈a，b〉是鈍角B．若a為直線l的方向向量，則λa(λ∈R)也是直線l的方向向量C．若eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up9(→))，則eq\o(CD,\s\up9(→))＝2eq\o(DB,\s\up9(→))D．在三棱錐P－ABC中，若eq\o(PA,\s\up9(→))·eq\o(BC,\s\up9(→))＝0，eq\o(PC,\s\up9(→))·eq\o(AB,\s\up9(→))＝0，則eq\o(PB,\s\up9(→))·eq\o(AC,\s\up9(→))＝04．（2024·江蘇海安中學(xué)檢測）如圖，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1為平行四邊形，E為棱AB的中點(diǎn)，eq\o(AF,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up9(→))，eq\o(AG,\s\up9(→))＝2，AC1與平面EFG交于點(diǎn)M，則eq\f(AM,AC1)＝．四、考點(diǎn)掃描考點(diǎn)一綜合法證明空間平行、垂直例1如圖，已知四棱錐．（1）若底面為菱形，，，求證：；（2）若底面為平行四邊形，為棱的中點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)，過和點(diǎn)的平面與平面的交線為，求證：．考點(diǎn)二坐標(biāo)法證明空間平行、垂直例2如圖，在四棱錐P－ABCD中，已知PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，B＝C＝90°，AB＝4，CD＝1，點(diǎn)M在棱PB上，且PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°的角．求證：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD．對點(diǎn)訓(xùn)練如圖，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2eq\r(5)，AA1＝eq\r(7)，E和F分別為BC和A1C的中點(diǎn)．求證：(1)EF∥平面A1B1BA；(2)平面AEA1⊥平面BCB1.考點(diǎn)三空間角的計算例3（2024·北京卷）如圖，已知四棱錐P-ABCD，，，，，E是上一點(diǎn)，且．（1）若F是PE中點(diǎn)，證明：平面．（2）若平面，求平面與平面夾角的余弦值．對點(diǎn)訓(xùn)練(2024·福建福州市高三校聯(lián)考期末)如圖，在三棱臺ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝2B1C1＝4，D是棱AC的中點(diǎn)，E是棱BC上的動點(diǎn)．(1)若AB1∥平面DEC1，試確定E的位置；(2)已知CC1⊥平面ABC，且AB⊥BC1.設(shè)直線BC1與平面DEC1所成的角為θ，試在(1)的條件下，求sinθ的最大值．考點(diǎn)四空間距離的計算例4如圖，在四棱錐P-ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD為菱形，邊長為2，PC⊥BD，PA＝PC，且∠ABC＝60°，異