27/271.4空間向量的應(yīng)用（精講）考點(diǎn)一法向量的求法【例1-1】若在直線上，則直線的一個(gè)方向向量為（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵在直線上，∴直線的一個(gè)方向向量，又∵，∴是直線的一個(gè)方向向量．故選：D．【例1-2】如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求下列平面的一個(gè)法向量：(1)平面ABCD；(2)平面；(3)平面．【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，因?yàn)槠矫妫詾槠矫娴囊粋€(gè)法向量，所以平面的一個(gè)法向量為，(2)設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，(3)設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以，令，則所以平面的一個(gè)法向量為【一隅三反】1．直線的一個(gè)方向向量為（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】直線的一個(gè)法向量為，設(shè)直線一個(gè)方向向量為，則有，故只有D滿足條件.故選：D.2．過(guò)空間三點(diǎn)，，的平面的一個(gè)法向量是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】，．設(shè)平面的法向量為．由題意知，，所以，解得，令，得平面的一個(gè)法向量是．故選：A3．如圖在長(zhǎng)方體中，，，，M是的中點(diǎn)．以D為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．(1)求平面的法向量；(2)求平面的法向量．【答案】(1)(2)【解析】(1)因?yàn)閥軸垂直于平面，所以是平面的一個(gè)法向量．(2)因?yàn)?，，，M是的中點(diǎn)，所以M，C，的坐標(biāo)分別為，，．因此，．設(shè)是平面的法向量，則，．所以所以取，則，．于是是平面的一個(gè)法向量．考點(diǎn)二空間向量證平行【例2-1】已知長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)S、P在棱、上，且，，點(diǎn)R、Q分別為AB、的中點(diǎn)．求證：直線直線．【解析】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以、與的方向?yàn)閤、y與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．則、、、、、、、，由題意知、、、，∴，．∴，又，不共線，∴.【例2-2】已知正方體中，棱長(zhǎng)為2a，M是棱的中點(diǎn).求證：平面.【解析】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以?與的方向?yàn)閤?y與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.則???????，M是棱的中點(diǎn)得，.設(shè)面的一個(gè)法向量為，，，則令，則.又，因?yàn)槠矫?，所以平?【一隅三反】1．已知正方體中，M與N分別是棱與對(duì)角線的中點(diǎn)．求證：，并且．【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則,,,;因?yàn)?，且，所以，并且?．已知正方體中，棱長(zhǎng)為2a，M是棱的中點(diǎn).求證：平面.【解析】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以?與的方向?yàn)閤?y與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.則???????，M是棱的中點(diǎn)得，.設(shè)面的一個(gè)法向量為，，，則令，則.又，因?yàn)槠矫?，所以平?3．如圖，已知棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點(diǎn)，求證：平面∥平面.【解析】由正方體的棱長(zhǎng)為4，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，,,,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即，令，解得所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即，令，解得所以所以∴平面∥平面.考點(diǎn)三空間向量證垂直【例3-1】已知向量，分別為直線方向向量和平面的法向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．B．C．1D．2【答案】C【解析】由題意得：，所以，解得：故選：C【例3-2】如圖，在正方體中，O是AC與BD的交點(diǎn)，M是的中點(diǎn)．求證：平面MBD．【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，則，，，由于，所以平面.【一隅三反】1．如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．//B．C．//平面D．平面【答案】B【解析】在正四棱柱中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則，，，對(duì)于A，顯然與不共線，即與不平行，A不正確；對(duì)于B，因，則，即，B正確；對(duì)于C，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，因此與不垂直，即不平行于平面，C不正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，與不共線，即不垂直于平面，D不正確.故選：B2．如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求證：直線A1C⊥平面BDD1B1.【答案】證明見解析【解析】設(shè)，，，則為空間的一個(gè)基底且，，.因?yàn)锳B＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，所以，.在平面BDD1B1上，取、為基向量，則對(duì)于面BDD1B1上任意一點(diǎn)P，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(λ,μ)，使得.所以，.所以是平面BDD1B1的法向量．所以A1C⊥平面BDD1B1.3．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面四邊形ABCD為直角梯形，，，，，Q為PD的中點(diǎn)．求證：．【解析】證明：由題意，在四棱錐中，平面ABCD，底面四邊形ABCD為直角梯形，．以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系：則，，，，．因?yàn)镼為PD的中點(diǎn)，所以，所以，，所以，所以．考點(diǎn)四空間向量求空間角【例4】（多選）已知三棱錐的底面是正三角形，則下列各選項(xiàng)正確的是（

）A．與平面所成角的最大值為B．與平面所成角的最小值為C．若平面平面，則二面角的最小值為D．若、都不小于，則二面角為銳二面角【答案】AC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影點(diǎn)為，取的中點(diǎn)，連接、、、，設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為，則，平面，所以，直線與平面所成角為，平面，平面，則，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，，平面，平面，，所以，二面角的平面角為，，所以，，則，即當(dāng)平面平面時(shí)，取得最大值，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，與平面所成角的最大值為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接、，則，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，平面，平面，，，，平面，平面，，所以，二面角的平面角為，平面，平面，，因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)平面平面時(shí)，則二面角的最小值為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，則二面角的平面角為，設(shè)，，，，，，取，則，此時(shí)為鈍角，即二面角為鈍二面角，D錯(cuò).故選：AC.【一隅三反】1．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，為正三角形，且側(cè)面底面，為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的大小；(3)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)60°(3)【解析】(1)證明：連接，與交于，則為的中點(diǎn)，又分別為的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面.(2)設(shè)是的中點(diǎn)，連接，∵是正方形，為正三角形，∴.又∵面面，交線為，∴平面.以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，∴，，設(shè)平面的法向量為，則，令.則，得.設(shè)直線與平面所成角為，∴，即直線與平面所成角的正弦值，故所求角大小為60°.(3)由（2）可知，設(shè)平面的法向量為，則，令.則，，.設(shè)面與面夾角為，∴，∴面與面夾角的余弦值為.2．在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，分別是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明：取的中點(diǎn)，連接，，又是的中點(diǎn)，所以，且．因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以且，所以，且．因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以且，所以四邊形是平行四邊形，故．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?2)因?yàn)槠矫?，四邊形是矩形，所以，，兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示）．設(shè)，所以，．因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，，，所以，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由即令，則，，所以．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由即令，則，，所以．所以．由圖知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．3．如圖，在三棱臺(tái)中，，，，側(cè)棱平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明：因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，，，平面，所以平面．又平面，所以．又因?yàn)椋?，所以，所以．又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面?2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．因?yàn)?，，所以，，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，且，，，，因?yàn)樗粤?，則，，所以．又因?yàn)樗粤?，則，，所以．所以．設(shè)二面角的大小為，則，所以二面角的正弦值為．考點(diǎn)五空間向量求距離【例5】在如圖所示的五面體中，面是邊長(zhǎng)為2的正方形，面，，且，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】(1)證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，顯然平面的法向量可以為，所以，即，又平面，所以平面；(2)解：因?yàn)椋?，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，顯然平面的法向量可以為，設(shè)二面角為，由圖可知二面角為鈍角，則，所以二面角的余弦值為；(3)解：由（2）知平面的法向量為，又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則所以點(diǎn)到平面的距離；【一隅三反】1．（2021·廣東·廣州市玉巖中學(xué)高二期中）如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，F(xiàn)，G分別是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)C到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明：以D為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有設(shè)平面的一個(gè)法向量為則即令，則所以，平面的一個(gè)法向量為，所以所以面，(2)解：，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有即，令，則所以平面的一個(gè)法向量為，又所以點(diǎn)C到平面的距高2．如圖，在三棱柱中，平面ABC，D，E，F(xiàn)分別為，AC，的中點(diǎn)，，．(1)求證：AC⊥平面BEF；(2)求點(diǎn)D與平面的距離；(3)求二面角的正弦值【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】(1)由于是的中點(diǎn)，所以，由于分別是的中點(diǎn)，所以,所以平面，所以，由于，所以平面.(2)由（1）可知兩兩相互垂直，以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，，所以到平面的距離為.(3)平面的法向量為，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).設(shè)二面角的二面角為，由圖可知，為鈍角，所以，.3．如圖，在三棱錐中，平面ABQ，，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，，PD與EQ交于點(diǎn)G，PC與FQ交于點(diǎn)H，連接GH．(1)求證：；(2)求平面PAB與平面PCD所成角的余弦值；(3)求點(diǎn)A到平面PCD的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【解析】(1)因?yàn)镈，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，所以EFAB，DCAB，所以EFDC．又因?yàn)镋F平面PCD，DC?平面PCD，所以EF平面PCD．又因?yàn)镋F?平面EFQ，平面EFQ平面PCD＝GH，所以EFGH，又因?yàn)镋FAB，所以ABGH.(2)因?yàn)?，PB⊥平面ABQ，所以BA，BQ，BP兩兩垂直．以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA，BQ，BP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由，則，所以，.設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為，則可取設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為＝(x，y，z)，由，，得，取z＝1，得＝(0，2，1)．所以cos〈〉＝，所以平面PAB與平面PCD所成角的余弦值為．(3)由點(diǎn)到平面的距離公式可得，即點(diǎn)A到平面PCD的距離為.1.4空間向量的應(yīng)用（精練）1法向量的求法11．已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)，，平面的一個(gè)法向量為，則（

）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，所以，則，解得，故選：C.2．在直三棱柱中，以下向量可以作為平面ABC法向量的是(

)A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖，∵、、均垂直于平面ABC，故選項(xiàng)D中可以作為平面ABC的法向量．故選：D．3．已知正方體，分別寫出對(duì)角面和平面的一個(gè)法向量．【答案】平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為；【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則、、、、，所以，，，設(shè)面的法向量為，所以，令，則，，所以，即平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，所以平面的一個(gè)法向量為；4．已知，，．(1)寫出直線BC的一個(gè)方向向量；(2)寫出平面ABC的一個(gè)法向量．【答案】(1)；(2).【解析】(1)因?yàn)?，，所以，所以直線BC的一個(gè)方向向量為.(2)因?yàn)?，，，所以，，設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，所以，所以平面ABC的一個(gè)法向量為.2空間向量證平行21．已知直線的方向向量，平面的一個(gè)法向量為，則線面的位置關(guān)系是（

）A．平行B．在平面內(nèi)C．垂直D．平行或在平面內(nèi)【答案】D【解析】由題可知：，故直線平行或在平面內(nèi).故選：D.2．如圖，在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M，N分別是該正方體六個(gè)面的中心，求證：平面平面HMN．【解析】由題意知，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，得，所以，即，又平面HMN，平面HMN，所以平面HMN，平面HMN，又平面EFG，平面EFG，，所以平面EFG平面HMN.3．如圖，在正方體中，棱長(zhǎng)為2，M，N分別為，AC的中點(diǎn)，證明：.【解析】連接,如圖，由正方體知四邊形是正方形，且M是的中點(diǎn)，所以，即是的中點(diǎn)，又N是AC的中點(diǎn)，所以.4．如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相交于AD，點(diǎn)M，N分別在對(duì)角線BD，AE上，且，．求證：平面CDE．【解析】證明：因?yàn)镸在BD上，且，所以．同理．又，所以，.又與不共線，所以，，共面．因?yàn)镸N不在平面CDE內(nèi)，所以平面CDE．5．如圖，在正方體中，點(diǎn)M，N分別在線段，上，且，，P為棱的中點(diǎn)．求證：．【解析】證明：．因?yàn)椋?，所以，，．又因?yàn)镻為中點(diǎn)，所以，從而與為共線向量．因?yàn)橹本€MN與BP不重合，所以．6．如圖，在四棱錐中，平面ABCD．，四邊形ABCD滿足，，，點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，求證：平面PAB．【解析】證明：因?yàn)槠矫鍭BCD，所以，．又，所以PA，AB，AD兩兩垂直．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，．因?yàn)辄c(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，所以，故．又，，所以．所以，，為共面向量．又平面PAB，所以平面PAB．7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點(diǎn)M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°角.求證：CM∥平面PAD.【解析】證明：由題意知，CB，CD，CP兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.因?yàn)镻C⊥平面ABCD，所以∠PBC為PB與平面ABCD所成的角，所以∠PBC＝30°.因?yàn)镻C＝2，所以BC＝2，PB＝4，所以D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，所以＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，＝.設(shè)＝(x，y，z)為平面PAD的一個(gè)法向量，由得取y＝2，得x＝－，z＝1，所以＝(－，2,1)是平面PAD的一個(gè)法向量.因?yàn)?，所以?又平面PAD，所以CM∥平面PAD.8．如圖，已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是AD1，BD，B1C的中點(diǎn)，利用向量法證明：（1）MN∥平面CC1D1D；（2）平面MNP∥平面CC1D1D．【解析】（1）證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).由正方體的性質(zhì)，知AD⊥平面CC1D1D，所以＝(2，0，0)為平面CC1D1D的一個(gè)法向量.由于＝(0，1，－1)，則＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以⊥.又MN?平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D.（2）證明：因?yàn)椋?2，0，0)為平面CC1D1D的一個(gè)法向量，由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)，則，即＝(2，0，0)也是平面MNP的一個(gè)法向量，所以平面MNP∥平面CC1D1D.9．四邊形為正方形，平面，，.求證：平面.【解析】如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，為x軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，則，所以時(shí)平面的一個(gè)法向量，又因?yàn)椋?，即且平面，所以平?10．如圖，在四棱錐O﹣ABCD中，OA⊥底面ABCD，且底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，且OA＝2，M，N分別為OA，BC的中點(diǎn)．求證：直線MN∥平面OCD；【解析】分別以AB、AD、AO為x、y、z軸，建立如圖坐標(biāo)系可得B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），O（0，0，2），M（0，0，1），N（2，1，0）∴（2，1，﹣1），（0，﹣2，2），（2，0，0），（2，0，0），（0，1，0）設(shè)平面OCD的法向量為（x，y，z），由，得取y＝1，得z＝1，x＝0，所以平面OCD的法向量為（0，1，1），∴?2×0+1×1+（﹣1）×1＝0，可得⊥又∵M(jìn)N?平面OCD，∴直線MN∥平面OCD.11．如圖，在正方體中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，若平面，試確定點(diǎn)的位置，并說(shuō)明理由．【答案】點(diǎn)是線段的中點(diǎn)；理由見解析．【解析】設(shè)，因?yàn)槠矫妫源嬖趯?shí)數(shù)，，使得．①又，②比較①②，可知，即，即點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．3空間向量證垂直31．已知平面的法向量為，，則直線與平面的位置關(guān)系為（

）A．B．C．D．或【答案】B【解析】因?yàn)?，即與平行，所以直線與平面垂直.故選：B2．在正方體中，E，F(xiàn)，G分別是，的中點(diǎn)，則（

）A．平面B．平面C．平面D．平面【答案】A【解析】取、、的中點(diǎn)分別記為、、，連接、、、，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得面即為平面，對(duì)于A：如圖，，平面，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B：如圖，在平面中，，則平面，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C、D：如圖，平面，因?yàn)檫^(guò)平面外一點(diǎn)作（）僅能作一條垂線垂直該平面，故C、D錯(cuò)誤；其中平面可按如下證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，，，，所以，，，所以，，即，，又，平面，所以平面；故選：A3．（多選）給出下列命題，其中是真命題的是（

）A．若直線的方向向量，直線的方向向量，則與垂直B．若直線的方向向量，平面的法向量，則C．若平面，的法向量分別為，，則D．若存在實(shí)數(shù)使則點(diǎn)共面【答案】AD【解析】對(duì)于A：因?yàn)橹本€的方向向量，直線的方向向量，且，所以，所以與垂直.故A正確；對(duì)于B：因?yàn)橹本€的方向向量，平面的法向量，且，所以不成立.故B不正確；對(duì)于C：因?yàn)槠矫妫姆ㄏ蛄糠謩e為，，且，所以不垂直，所以不成立.故C不正確；對(duì)于D：若不共線，則可以取為一組基底，由平面向量基本定理可得存在實(shí)數(shù)使則點(diǎn)共面；若共線，則存在實(shí)數(shù)使所以共線，則點(diǎn)共面也成立.綜上所述：點(diǎn)共面.故D正確.故選：AD4．（多選）給定下列命題，其中正確的命題是（

）A．若，分別是平面，的法向量，則B．若，分別是平面，的法向量，則C．若是平面的法向量，且向量是平面內(nèi)的直線的方向向量，則D．若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直【答案】ACD【解析】對(duì)A，若，分別是平面，的法向量，則，故A正確B錯(cuò)誤；對(duì)C，若是平面的法向量，則與平面的任意直線的方向向量均垂直，所以，故C正確；對(duì)D，若兩個(gè)平面垂直時(shí)，它們的法向量垂直是真命題，所以它的逆否命題“若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直”也是真命題，故D正確.故選：ACD.5．（多選）已知分別為直線的方向向量（不重合），分別為平面的法向量（不重合），則下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．B．C．D．【答案】BD【解析】因?yàn)?，分別為直線，的方向向量，不重合），則，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；則，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，分別為平面，的法向量，不重合），則，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；則，故選項(xiàng)D正確．故選：BD．6．（多選）已知直線l的方向向量為，平面的法向量為，則能使的是（

）A．B．C．D．【答案】BC【解析】因?yàn)橹本€l的方向向量為，平面的法向量為，要使，只需∥.對(duì)于A：.因?yàn)?，所以、不平?故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：.因?yàn)椋浴?故B正確；對(duì)于C：.因?yàn)?，所以?故C正確；對(duì)于D：.因?yàn)?，所以、不平?故D錯(cuò)誤；故選：BC.7．如圖，在正方體中，和相交于點(diǎn)O，求證：．【解析】證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則、、、，所以，，所以，所以，即8．如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)．求證：平面MND⊥平面PCD；【解析】∵PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AB、AD、AP兩兩互相垂直，如圖所示，分別以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），M（1，0，0），N（1，1，1），∴（0，1，1），（﹣1，1，﹣1），（0，2，﹣2）設(shè)（x，y，z）是平面MND的一個(gè)法向量，可得，取y＝﹣1，得x＝﹣2，z＝1，∴（﹣2，﹣1，1）是平面MND的一個(gè)法向量，同理可得（0，1，1）是平面PCD的一個(gè)法向量，∵?2×0+（﹣1）×1+1×1＝0，∴，即平面MND的法向量與平面PCD的法向量互相垂直，可得平面MND⊥平面PCD.10．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：A1E⊥BD；（2）若平面A1BD⊥平面EBD，試確定E點(diǎn)的位置．【答案】（1）證明見解析；（2）E為CC1的中點(diǎn).【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．設(shè)E(0，a，e)(0≤e≤a)．（1）＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)，＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，∴，即A1E⊥BD；（2）設(shè)平面A1BD，平面EBD的法向量分別為＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)．∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e)∴，，，.∴,取x1＝x2＝1，得＝(1，－1，－1)，＝(1，－1，)．由平面A1BD⊥平面EBD得⊥.∴2－＝0，即e＝.∴當(dāng)E為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面A1BD⊥平面EBD.11．如圖，四棱錐中，底面，，，，是的中點(diǎn)．求證：（1）；（2）平面．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】方法一

（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，所以，所以．（2）由（1），得，，．設(shè)向量是平面的法向量，則，即，取，則，所以，所以，所以平面．方法二

（1）∵底面，∴．又，，∴平面．∵平面，∴．（2）∵底面，∴．又，，∴平面，∴．由題可得，由是的中點(diǎn)，∴．又，，∴平面，∴．∵，，，∴平面．12．如圖所示，已知和都是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且，．求證：平面．【解析】不妨設(shè)，則，由空間向量數(shù)量積的定義可得，因?yàn)榍?，所以，，所以，，，又因?yàn)椋?，因此，平?4空間向量求空間角41．在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC，M、N分別為AC、AB的中點(diǎn)，則異面直線PN和BM所成角的余弦值為（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，，則，，設(shè)異面直線PN和BM所成角為，則.故選：B.2．如圖，在三棱柱中，，．(1)證明：平面平面．(2)設(shè)P是棱的中點(diǎn)，求AC與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)設(shè)．在四邊形中，∵，，連接，∴由余弦定理得，即，∵，∴．又∵，∴，，∴平面，∵平面，∴平面平面．(2)取AB中點(diǎn)D，連接CD，∵，∴，由（1）易知平面，且．如圖，以B為原點(diǎn)，分別以射線BA，為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，則，，，，，．，，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，則取，，，AC與平面所成角的正弦值為．3．如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭侨忮F的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，，所以所以，即，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面(2)解：過(guò)點(diǎn)作，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，又，所以，則，，所以，所以，，，，所以，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；所以設(shè)二面角為，由圖可知二面角為鈍二面角，所以，所以故二面角的正弦值為；4．如圖，斜三棱柱中，為正三角形，為棱的中點(diǎn)，平面．(1)證明：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)在正中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫妫矫嫠砸驗(yàn)?，，均在平面?nèi)，所以平面(2)因?yàn)槠矫妫裕?，，兩兩相互垂直．以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)椋渣c(diǎn)，，，所以，，從而，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則記直線與平面所成角為．則，所以，直線與平面所成角的正弦值為．5．如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，M為線段PC的中點(diǎn)，，N為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)．(1)證明：平面平面(2)當(dāng)點(diǎn)N在線段BC的何位置時(shí)，平面MND與平面PAB所成銳二面角的大小為30°？指出點(diǎn)N的位置，并說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見解析(2)點(diǎn)N在線段BC的中點(diǎn)【解析】(1)證明：因?yàn)榈酌鍭BCD，底面ABCD，所以，因?yàn)?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，，所以，因?yàn)樵谥?，，M為線段PC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋云矫?，因?yàn)槠矫?，所以平面平面?2)當(dāng)點(diǎn)N在線段BC的中點(diǎn)時(shí)，平面MND與平面PAB所成銳二面角的大小為30°，理由如下：因?yàn)榈酌?，平面，所以，因?yàn)?，所以兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，設(shè)，則，設(shè)為平面的法向量，則，令，則，設(shè)為平面的法向量，則，令，則，因?yàn)槠矫鍹ND與平面PAB所成銳二面角的大小為30°，所以，化簡(jiǎn)得，得，所以當(dāng)點(diǎn)N在線段BC的中點(diǎn)時(shí)，平面MND與平面PAB所成銳二面角的大小為30°6．如圖1，在邊上為4的菱形中，，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，，．沿將翻折到的位置，連接，，，得到如圖2所示的五棱錐．(1)在翻折過(guò)程中是否總有平面平面？證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)四棱錐體積最大時(shí)，求直線和平面所成角的正弦值；(3)在（2）的條件下，在線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角余弦值的絕對(duì)值為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)在翻折過(guò)程中總有平面平面，證明見解析(2)(3)存在且為線段的中點(diǎn)【解析】(1)在翻折過(guò)程中總有平面平面，證明如下：∵點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，又，∴，且是等邊三角形，∵是的中點(diǎn)，∴，∵菱形的對(duì)角線互相垂直，∴，∴，∵，平面，平面，∴平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．(2)由題意知，四邊形為等腰梯形，且，，，所以等腰梯形的面積，要使得四棱錐體積最大，只要點(diǎn)到平面的距離最大即可，∴當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離的最大值為，此時(shí)四棱錐體積的最大值為，直線和平面所成角的為，連接，在直角三角形中，，，由勾股定理得：.．(3)假設(shè)符合題意的點(diǎn)存在．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，由（2）知，，又，且，平面，平面，平面，故平面的一個(gè)法向量為，設(shè)（），∵，，故，∴，，平面的一個(gè)法向量為，則，，即令，所以，則平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的平面角為，則，解得：，故符合題意的點(diǎn)存在且為線段的中點(diǎn)．5空間向量求距離51．如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為矩形，M為CD中點(diǎn)，連接BM，CE交于點(diǎn)F，G為△ABE的重心．(1)證明：平面ABC(2)已知平面ABC⊥BCDE，平面ACD⊥平面BCDE，BC=3，CD=6，當(dāng)平面GCE與平面ADE所成銳二面角為60°時(shí)，求G到平面ADE的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)延長(zhǎng)EG交AB于N，連接NC,因?yàn)镚為△ABE的重心，所以點(diǎn)N為AB的中點(diǎn)，且,因?yàn)?故,所以,故，故,而平面ABC，平面ABC,故平面ABC；(2)由題意知，平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC平面BCDE=BC，,平面BCDE，故平面ABC,平面ABC,則,同理，又平面BCDE,所以平面BCDE，以C為原點(diǎn)，以CB,CD,CA所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)G到平面BCDE的距離為，則，故,設(shè)平面GCE的法向量為，則，即，取，則即，設(shè)平面ADE的法向量為，則，即，取，則，則，所以，解得，又，故點(diǎn)G到平面ADE的距離為.2.已知