16/16第3章圓錐曲線的方程章末測試（基礎(chǔ)）單選題1．已知雙曲線，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由可知，，且雙曲線焦點位于x軸上故該雙曲線的漸近線方程為，故答案為：C2．已知雙曲線：的離心率為，則的焦點坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意得，雙曲線：是焦點在軸的雙曲線，所以，，所以，解得，所以，所以焦點坐標(biāo)為.故答案為：D.3．已知實數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（）A．B．2C．或2D．或【答案】C【解析】∵實數(shù)成等比數(shù)列，∴m2=9，∴m=±3

①當(dāng)m=3時，圓錐曲線為橢圓，

其中a2=3，b2=1，c2=2，則離心率為；

②當(dāng)m=-3時，圓錐曲線為橢圓，

其中a2=1，b2=3，c2=4，則離心率為；故答案為：C.

4．已知拋物線，定點A(4，2)，F(xiàn)為焦點，P為拋物線上的動點，則的最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】如圖，

作PQ，AN與準(zhǔn)線x=-2垂直，垂足分別為Q，N，則|PQ|=|PF|，|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|≥|AN|=6，當(dāng)且僅當(dāng)Q，P，A三點共線即P到M重合時等號成立．故答案為：B．

5．雙曲線的左右焦點分別是，，直線與雙曲線在第一象限的交點為，在軸上的投影恰好是，則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)原點為，∵直線與雙曲線在第一象限的交點在軸上的投影恰好是，∴，且，∴，將代入到雙曲線方程，可得，解得，即，則，即，即，解得（舍負(fù)），故。故答案為：D.6．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線為，圓的圓心為，半徑，則圓心到漸近線的距離為所以弦長，化簡得：，即，解得，所以.故答案為：B7．已知雙曲線（）的左?右焦點分別為，，過點作一條漸近線的垂線，垂足為P若的面積為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．3 D．【答案】B【解析】設(shè)過右焦點且與漸近線垂直的直線為l，則直線l的方程為.由y=1ax，y=?a(x?c)，得，，即.則的面積為，∴，∴，∴。故答案為：B8．已知雙曲線的左?右焦點分別為，，過的直線與圓相切，且與雙曲線的左支交于點P.若，則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)過的直線與圓相切的切點為，則，所以，設(shè)，由于，所以，，所以在中，，所以由正弦定理得，所以，由雙曲線的定義知，所以，即，所以雙曲線的離心率為。故選：A二、多選題9．已知雙曲線的右焦點為F，過點F且斜率為2的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則雙曲線的離心率可以是（）A．2 B． C． D．3【答案】BCD【解析】∵雙曲線的漸近線方程為，由題意可知：，∴，，，，，．故答案為：BCD.10．已知拋物線的焦點為，斜率為的直線交拋物線于、兩點，則（）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為B．線段的中點在直線上C．若，則的面積為D．以線段為直徑的圓一定與軸相切【答案】BCD【解析】對于A選項，拋物線的準(zhǔn)線方程為，A不符合題意；對于B選項，設(shè)點、，設(shè)線段的中點為，則y12=4x1所以，，故，B對；對于C選項，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立y=x+by2=4x，可得，，解得，由韋達(dá)定理可得，，，解得，點到直線的距離為，故，C對；對于D選項，設(shè)線段的中點為，則，由拋物線的定義可得，即等于點到軸距離的兩倍，所以，以線段為直徑的圓一定與軸相切，D對.故答案為：BCD.11.已知橢圓的左、右兩個焦點分別為，，P為橢圓上一動點，，則下列結(jié)論正確的有（）A．的周長為8 B．的最大面積為C．存在點P使得 D．的最大值為5【答案】AB【解析】對A，由橢圓，可得的周長為：，A符合題意；對B，當(dāng)P為橢圓短軸頂點時，的面積最大，且最大面積為：，B符合題意；對C，當(dāng)P為橢圓短軸頂點時，為最大，此時，即為銳角，所以不存在點P使得，C不符合題意；對D，由橢圓，所以，又，所以，所以，D不符合題意.故答案為：AB.三、填空題12.已知直線l過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，，P為C的準(zhǔn)線上一點，則△ABP的面積為．【答案】9【解析】設(shè)拋物線的解析式，則焦點為，對稱軸為軸，準(zhǔn)線為，直線經(jīng)過拋物線的焦點，A，B是與的交點，又軸，，，又點在準(zhǔn)線上，過點P作l的垂線，垂直為D，，.故答案為：9.13.已知雙曲線的漸近線方程是，且雙曲線經(jīng)過點，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【解析】雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)雙曲線的方程為，代入，可得，則雙曲線的方程為.故答案為：14.已知，分別是雙曲線，的左、右焦點，雙曲線上有一點，滿足，且，則該雙曲線離心率的取值范圍是【答案】【解析】如示意圖，設(shè)，由雙曲線的定義可得：，而，由余弦定理：，于是.記，而，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，即。故答案為：。四、解答題15.已知拋物線C：的焦點與橢圓：的一個焦點重合．（1）求拋物線C的方程；（2）若直線l：交拋物線C于，兩點，O為原點，求證：．【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）解：∵橢圓：的焦點坐標(biāo)為，∴，即．∴拋物線C的方程為：（2）證明：聯(lián)立方程組x=my+4y2=4x消去x，整理得．∴∴，即，∴，∴16.已知拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線交于兩點.當(dāng)時，.（1）求的方程；（2）若關(guān)于軸的對稱點為，當(dāng)變化時，求證：直線過定點，并求該定點坐標(biāo).【答案】（1）（2）【解析】（1）解：直線l的斜率為k且過焦點，則直線l的方程為，當(dāng)k=1時，直線l的方程為，聯(lián)立方程組y2=2px，y=x?則，所以，，解得所以拋物線C的方程為（2）證明：設(shè)，直線PQ的斜率存在，，因為P，T關(guān)于x軸對稱，則，所以，直線TQ的方程為，即聯(lián)立方程組y2=8x，y=k(x?2直線TQ的方程為，即，令8(x+2)=0，17.已知點，圓：，點是圓上的動點，的垂直平分線與交于點，記的軌跡為．（1）求的方程；（2）設(shè)經(jīng)過點的直線與交于，兩點，求證：為定值，并求出該定值．【答案】（1）（2）-1【解析】（1）解：圓的圓心為，半徑，由點在的垂直平分線上，得，所以，所以的軌跡是以A，為焦點的橢圓，，，所以，，，所以的方程為（2）證明：①當(dāng)直線的斜率不存在時，易知，②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)：，，，則把代入得，顯然，有，，，所以，綜上所述，為定值-118.已知橢圓與拋物線有相同的焦點.（1）求橢圓的方程；（2）為坐標(biāo)原點，過焦點的直線交橢圓于，兩點，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（1）解：橢圓與拋物線有相同的焦點，即且，，橢圓的方程為：.（2）解：由（1）可知的坐標(biāo)為.顯然的斜率不為0.設(shè)直線的方程為：，設(shè)，.聯(lián)立，可得，恒成立，，，，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，面積的最大值為.19.已知橢圓的左右焦點為，且為長軸的一個四