課時4利用導數(shù)研究三次函數(shù)1．【答案】A【解析】，解得或，當，解得或，，當，解得，故函數(shù)在和上單調遞增，在上單調遞減，故函數(shù)的極大值為.故選A.2.【答案】C【解析】由題意得f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<－2；令f′(x)<0，得－2<x<2，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為(－∞，－2)，(2，＋∞)，單調遞減區(qū)間為(－2,2)，所以函數(shù)的極大值為f(－2)＝0，極小值為f(2)＝－32，當x→－∞時，f(x)<0，當x→＋∞時，f(x)>0，所以函數(shù)的零點個數(shù)為2.故選C.3.【答案】D【解析】當a>0時，根據題意畫出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖①所示，觀察可知b>a.圖①當a<0時，根據題意畫出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖②所示，觀察可知a>b.

圖②綜上，可知必有ab>a2成立.故選D.4.【答案】C【解析】由題意得f′(x)＝3x2＋2bx＋1，函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋x恰有三個單調區(qū)間，則函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋x有兩個極值點，即f′(x)＝3x2＋2bx＋1的圖象與x軸有兩個交點，則判別式Δ＝4b2－12>0，解得b>eq\r(3)或b<－eq\r(3).所以實數(shù)b的取值范圍為(－∞，－eq\r(3))∪(eq\r(3)，＋∞)．故選C.5.【答案】C【解析】由圖象可知f(x)的圖象經過點(1，0)與(2，0)，x1，x2是f(x)的極值點，所以1＋b＋c＝0，8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2，x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的兩根，所以x1＋x2＝2，x1x2＝eq\f(2,3)，所以xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－2×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3).故選C.6.【答案】D【解析】因為f(x)＝x(x＋a)2，所以f′(x)＝(x＋a)2＋2x(x＋a)＝(x＋a)(3x＋a)，由函數(shù)f(x)＝x(x＋a)2在x＝1處有極大值，可得f′(1)＝(1＋a)(3＋a)＝0，解得a＝－1或a＝－3，當a＝－1時，f′(x)＝(x－1)(3x－1)，當x∈時，f′(x)<0，當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)在上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增，所以f(x)在x＝1處取得極小值，不符合題意；當a＝－3時，f′(x)＝(x－3)(3x－3)，當x∈(－∞，1)時，f′(x)>0，當x∈(1，3)時，f′(x)<0，f(x)在(－∞，1)上單調遞增，在(1，3)上單調遞減，所以f(x)在x＝1處有極大值，符合題意.綜上，a＝－3.故選D.7.【答案】AD【解析】f′(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以f(x)在R上單調遞增，所以f(x)不存在極值點，故B錯誤，D正確；f′(1)＝0，故A正確；f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋x＝0，得x(x2－3x＋3)＝0，x2－3x＋3＝0中，Δ＝9－12<0，所以x2－3x＋3>0恒成立，即方程只有一個實數(shù)根，即x＝0，故C錯誤.故選AD.8.【答案】BC【解析】由題意得，f′（x）=3x2﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2），所以當x＜1或x＞2時，f′（x）＞0，當1＜x＜2時，f′（x）＜0，所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（﹣∞，1），（2，+∞），減區(qū)間是（1，2），所以函數(shù)的極大值是f（1）=，函數(shù)的極小值是f（2）=2﹣abc，因為a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，所以a＜1＜b＜2＜c，f（1）＞0且f（2）＜0，解得2＜，所以f（0）=﹣abc＜0，則f（0）f（1）＜0，f（0）f（2）＞0.故選BC．9.【答案】ABD【解析】對定義域為R，關于原點對稱，令，可得，可得，令，可得，即，故是奇函數(shù)，A正確；對B：令，可得（2）（1），又（1），則（2），由為奇函數(shù)可得（2），故B正確；對C：由A知，，又（1），對，當時，；當時，（1），故在（1）時，不是單調增函數(shù)，故C錯誤；對D：在R上任取，令，則，由題可知，，又，故，即，，故在R上單調遞增，即在R上單調遞增，故D正確．故選ABD． 10.【答案】(－∞，－eq\r(6))∪(eq\r(6)，＋∞)【解析】f′(x)＝3x2－2ax＋2，由題意知f′(x)有兩個變號零點，所以Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，解得a>eq\r(6)或a<－eq\r(6).11.【答案】(eq\r(3,24)，＋∞)【解析】因為f′(x)＝x2－ax，設切點為(t，f(t))，切線方程為y＝(t2－at)·(x－t)＋eq\f(1,3)t3－eq\f(a,2)t2＋1，代入(0，2)化簡可得eq\f(2,3)t3－eq\f(a,2)t2＋1＝0，設g(t)＝eq\f(2,3)t3－eq\f(a,2)t2＋1，令g′(t)＝0，有t1＝0，t2＝eq\f(a,2)＞0.因為過點(0，2)可作曲線y＝f(x)的三條不同切線，所以g(t)＝0有三個不同的根，故解得a＞eq\r(3,24)，所以實數(shù)a的取值范圍是(eq\r(3,24)，＋∞).12.【答案】2【解析】因為為定點，為定值，所以兩點關于點對稱，由可得，設，令，解得，所以根據三次函數(shù)的對稱中心的二階導數(shù)為0可得是三次函數(shù)的對稱中心，所以，即.13.【解】（1）因為，所以，因為在處取得極值，所以．經驗證符合題意.（2）設切點坐標為，由，得，所以方程為，將代入切線方程，得．令，則，則，解得．當或時，，所以在，上單調遞增；當時，，所以在上單調遞減．所以的極大值為，的極小值為．因為有三條切線，所以方程有三個不同的解，與的圖象有三個不同的交