高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇州市2025屆高三三模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足(2+i)z=1-i，則zA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】假設(shè)z=a+bi(a,b∈R所以2a-b=12b+a=-1，解得a=故z=15-35i，故選：A2．已知(x+y)n的展開(kāi)式中系數(shù)之和為64，則展開(kāi)式中x2yA．10 B．15 C．21 D．24【答案】B【解析】令x=y=1，可得所有系數(shù)和為2n，由題意2n=64(x+y)n展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k+1=C所以x2yn-2故選：B.3．某射擊運(yùn)動(dòng)員在男子10米氣步槍決賽中，最后10槍成績(jī)分別為10.9,10.7,10.4,10.0，10.5,9.8,10.7,9.9,10.5,10.6，則這10槍成績(jī)的上四分位數(shù)是（

）A．10.5 B．10.6 C．10.65 D．10.7【答案】D【解析】將這10次成績(jī)從小到大的順序排列如下：9.8，9.9，10.0，10.4，10.5，10.5，10.6，10.7，10.7，10.9，因?yàn)?0×75%=7.5，所以該組成績(jī)的上四分位數(shù)為排序后的第8個(gè)數(shù)字故選：D4．甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生站成一排，記“甲、乙相鄰”為事件A，“甲不站在兩端”為事件B，則P(B∣A)=（

）A．16 B．14 C．12【答案】D【解析】“甲、乙相鄰”，可將甲、乙看成一個(gè)整體，與丙、丁、戊全排列，同時(shí)甲、乙兩人之間也需要全排列.甲、乙兩人全排列的方法數(shù)為A2將甲、乙整體與丙、丁、戊全排列的方法數(shù)為A44所以事件A包含的基本事件數(shù)為A225名學(xué)生全排列的方法數(shù)為A55根據(jù)古典概型概率公式可得P(A)=48“甲、乙相鄰且甲不站在兩端”，當(dāng)甲、乙相鄰時(shí)，若甲不站在兩端，甲只能站在中間3個(gè)位置上，所以事件AB包含的基本事件數(shù)為3×2×A3則P(AB)=36根據(jù)條件概率公式P(B|A)=P(AB)P(A)，將P(A)=2P(B|A)=3故選：D.5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0)，若點(diǎn)P滿足|PA+PB|=2，則A．-3 B．0 C．1 D．4【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)Px,y，則PAPB=2-x,-y,因?yàn)閨PA+PB整理可得x2所以AP故選：A6．某廠生產(chǎn)一批圓臺(tái)形燈罩，燈罩的上、下底面都是空的，上、下底面的半徑之比為1:2，高為15cm，母線長(zhǎng)為25cm．現(xiàn)要對(duì)100個(gè)這樣的燈罩的內(nèi)、外表面都涂上一層防潮涂料，若每平方米需要100克涂料，則共需涂料（

）A．750π克 B．1500π克 C．3000π克 D【答案】C【解析】設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為rcm，則下底面半徑為2rcm，因?yàn)楦逤F=15cm，母線CA=25cm，所以由2r-r2得r=20cm，可得圓臺(tái)的側(cè)面積為2520+40所以100個(gè)燈罩內(nèi)、外表面面積為2×則共需涂料30π×100=3000π故選：C.7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)P(2,2)的直線l與拋物線y2=4x交于A,B兩點(diǎn)，若直線OA,OP,OB的斜率依此成等比數(shù)列，則l的斜率為（A．13 B．12 C．2 D【答案】A【解析】設(shè)l的方程為x=t(y-2)+2，Ay將直線方程代入拋物線方程得y2-4ty-8(1-t)=0，所以Δ=-4t2+4×8(1-t)=16因?yàn)閗OP2=kOAkOB故直線的斜率為13故選：A.8．已知數(shù)列an滿足a1=1,A．a(chǎn)n+1>aC．1013a2025<1【答案】C【解析】對(duì)于A，由an+1an=1-12an，得對(duì)于B，由a1=1，得a2=12，當(dāng)對(duì)于CD，由an+1an=1-1即1an+1-1a1a1=1，因此1an2025a2025<2025×22026，而2025×22026故選：C二、多選題9．記△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若b>c,cosB=6A．A=62BC．b=3c D【答案】BD【解析】因?yàn)閏osB=64，B所以sinB=1-已知a=6sinA=又因?yàn)閟in2B=2sinB因?yàn)閎>c，所以B>C，且A+B+C=π，那么A=2B或A+2B=若A+2B=π，又A+B+C=π，則B=C，這與B>C矛盾，所以A=2B，故選項(xiàng)B正確，A由余弦定理可得：b2=(即12b2-32bc+因?yàn)閎>c，所以b=2c，故選項(xiàng)D正確，C錯(cuò)誤.故選：BD.10．某數(shù)學(xué)興趣小組研究發(fā)現(xiàn)，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y=1x的圖象是雙曲線C，記其焦點(diǎn)分別為M、N，若P為其圖象上任意一點(diǎn)，則（A．y軸是C的一條漸近線 B．點(diǎn)1,1是C的一個(gè)焦點(diǎn)C．PM-PN=22 D【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，反比例函數(shù)y=1x的兩條漸近線為x軸和y軸，對(duì)于D選項(xiàng)，反比例函數(shù)y=1x的兩條漸近線垂直，故雙曲線因此，雙曲線C的離心率為2，D對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，反比例函數(shù)y=1x的圖象分布在第一、三象限，且第一、三象限的角平分線方程為聯(lián)立y=1xy=x解得x=1所以，雙曲線C的一個(gè)頂點(diǎn)為1,1，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，雙曲線C的實(shí)半軸長(zhǎng)為a=0-1故PM-PN=2a=22故選：ACD.11．已知四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD,AD⊥CD,AC=4，四棱錐P-ABCD的外接球的球心為O．記四棱錐P-ABCD,O-ABCD的體積分別為V1,V2，三棱錐P-ACD,P-ABC的體積分別為A．AB⊥BPB．VC．VD．若二面角P-AB-C的平面角大小為45°，則V4【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由四棱錐P-ABCD有外接球，得四邊形ABCD有外接圓，由AD⊥CD，得AB⊥BC，由PC⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，得PC⊥AB，而PC∩BC=C，PC,BC?平面PBC，則AB⊥平面PBC，又PB?平面PBC，因此AB⊥BP，A正確；對(duì)于B，由PC⊥平面ABCD，得球心O到平面ABCD的距離等于12PC，因此V1對(duì)于C，B,D均在以線段AC為直徑的圓上，但△ACD,△ACB面積無(wú)任何關(guān)系，不能確定V1=2V對(duì)于D，由AB⊥BP,AB⊥BC，得∠PBC是二面角P-AB-C的平面角，即∠PBC=45則令PC=BC=a，AB=16-a=1當(dāng)且僅當(dāng)a2=32-2a2，即a=463時(shí)取等號(hào)，因此故選：ABD三、填空題12．函數(shù)f(x)=|sinx|+|cos【答案】π【解析】由誘導(dǎo)公式可知，f(x+π當(dāng)0<α<π2時(shí)，f(x+α)=|sin(x+α)|+|cos(x+α)|與故答案為：π13．若f(x)=x(lnx+a)在[1,e]上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)【答案】-2,-1【解析】由f(x)=x(lnx+a)，可得所以f(x)=x(lnx+a)在[1,e]上不單調(diào)，所以即lnx+a+1=0在1,e有解，即存在x∈1,又因?yàn)閥=-lnx-1在1,e所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是-2,-1.故答案為：-2,-1.14．已知數(shù)列an是公比不為1的等比數(shù)列，從a1,【答案】1【解析】從20項(xiàng)中任取4項(xiàng)，共有C20假設(shè)任取的4項(xiàng)為ai,a若這四項(xiàng)依然構(gòu)成等比數(shù)列，則i,j,k,l構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則滿足i+3d≤20，對(duì)公差d進(jìn)行一一列舉：當(dāng)d=1時(shí)，i的范圍是1≤i≤17，共有17種；當(dāng)d=2時(shí)，i的范圍是1≤i≤14，共有14種；當(dāng)d=3時(shí)，i的范圍是1≤i≤11，共有11種；當(dāng)d=4時(shí)，i的范圍是1≤i≤18，共有8種；當(dāng)d=5時(shí)，i的范圍是1≤i≤5，共有5種；當(dāng)d=6時(shí)，i的范圍是1≤i≤2，共有2種，所以共有17+14+11+8+5+2=57種情況，所以這四項(xiàng)依然構(gòu)成等比數(shù)列的概率為P=57故答案為：185四、解答題15．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,（1）求a3（2）求S3n解：（1）因?yàn)镾n-1所以當(dāng)n=2時(shí)，S=3a因?yàn)閍1=1,a當(dāng)n=3時(shí)，S2=3a1+3（2）因?yàn)镾n-1+所以Sn+所以②—①可得Sn+2-S所以用n+3代換n可得an+3所以an+3這說(shuō)明數(shù)列a3k-2a1+a2所以S3n16．現(xiàn)有甲、乙兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)一批零件，甲生產(chǎn)出的零件內(nèi)徑X（單位：mm）服從正態(tài)分布N(10,1)，乙生產(chǎn)出的零件內(nèi)徑Y(jié)（單位：mm）服從正態(tài)分布N(8,4)．（1）若甲、乙在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率分別為0.1,0.2，且兩臺(tái)機(jī)器工作狀態(tài)相互獨(dú)立．設(shè)一天內(nèi)發(fā)生故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)為Z，求Z的分布列；（2）若生產(chǎn)出的零件內(nèi)徑小于8mm，則每件虧損2元；若內(nèi)徑大于10mm，則每件虧損8元；其余尺寸的零件，則每件獲利20元．已知每天每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)出一千件零件，試比較哪一臺(tái)臺(tái)機(jī)器每天生產(chǎn)出的零件的平均利潤(rùn)更大．參考數(shù)據(jù)：若ξ~Nμ,σ2解：（1）Z表示一天內(nèi)發(fā)生故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)，Z的可能取值為0，1，2.P(Z=0)：表示甲、乙兩臺(tái)機(jī)器都不發(fā)生故障，因?yàn)榧住⒁覂膳_(tái)機(jī)器工作狀態(tài)相互獨(dú)立，根據(jù)獨(dú)立事件概率公式，可得P(Z=0)=(1-0.1)×(1-0.2)=0.9×0.8=0.72.P(Z=1)：表示甲發(fā)生故障乙不發(fā)生故障或者甲不發(fā)生故障乙發(fā)生故障，可得P(Z=1)=0.1×(1-0.2)+(1-0.1)×0.2=0.1×0.8+0.9×0.2=0.08+0.18=0.26.P(Z=2)：表示甲、乙兩臺(tái)機(jī)器都發(fā)生故障，根據(jù)獨(dú)立事件概率公式，可得P(Z=2)=0.1×0.2=0.02.所以Z的分布列為：（2）甲機(jī)器：已知甲生產(chǎn)出的零件內(nèi)徑X~N(10,1)，則μ1=10，P(X<P(X>P(8≤X≤10)=0.955÷2=0.4775.每臺(tái)機(jī)器每天生產(chǎn)1000件零件，則甲機(jī)器每天生產(chǎn)出的零件的平均利潤(rùn)為：1000×[0.0225×(-2)+0.5×(-8)+0.4775×20]=1000×(-0.045-4+9.55)=1000×5.505=5505（元）.乙機(jī)器：已知乙生產(chǎn)出的零件內(nèi)徑Y(jié)~N(8,4)，則μ2=8，P(Y<P(Y>P(8≤Y≤10)=0.683÷2=0.3415.則乙機(jī)器每天生產(chǎn)出的零件的平均利潤(rùn)為：1000×[0.5×(-2)+0.1585×(-8)+0.3415×20]=1000×(-1-1.268+6.83)=1000×4.562=4562（元）.因?yàn)?505>456217．如圖，已知四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為直角梯形，AD=2BC=2CD=2，AP⊥PD，平面ABCD⊥平面PAD.（1）求證：平面ABP⊥平面PCD；（2）求二面角B-PD-C的正弦值的取值范圍．（1）證明：在直角梯形ABCD中，CD⊥AD，又因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD=AD，CD?平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，因?yàn)镻A?平面PAD，所以CD⊥PA，又因?yàn)镻A⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD?平面PCD，所以PA⊥平面PCD，因?yàn)镻A?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD.（2）解：分別取PD、AD的中點(diǎn)M、O，連接BM、OM、OB，如下圖所示：因?yàn)镺、M分別為AD、PD的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥PD，在直角梯形ABCD中，CD⊥AD，則BC//因?yàn)镺為AD的中點(diǎn)，AD=2BC，故OD//BC，所以四邊形OBCD為矩形，故OB//因?yàn)镃D⊥平面PAD，所以O(shè)B⊥平面PAD，因?yàn)镻D?平面PAD，所以PD⊥OB，因?yàn)镺B、OM?平面OBM，OB∩OM=O，所以PD⊥平面OBM.因?yàn)锽M?平面OBM，所以PD⊥BM，所以二面角B-PD-A的平面角為∠BMO，因?yàn)镃D⊥平面PAD，CD?平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD，所以二面角B-PD-C是二面角B-PD-A的余角，因此二面角B-PD-C的正弦值等于cos∠BMO因?yàn)閠an∠BMO=因?yàn)椤螧MO∈0,π2，故∠BMO∈綜上所述，二面角B-PD-C正弦值的取值范圍是0,218．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-1,0),F2(1,0)，直線l（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）E為線段AB（不含端點(diǎn)）上任一點(diǎn)，射線OE與C交于點(diǎn)P，與直線x=4交于點(diǎn)Q．①若OP⊥AB，求|AB|+|OP|②若E為線段AB的中點(diǎn)，判斷并證明Q與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系．解：（1）因?yàn)镕2(1,0)，所以c=1，由題得|AB|=2所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）①當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，不合題意.當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)Ax1,y1由x=my+1,3x2所以Δ=36所以|y所以|AB|=m因?yàn)镺P⊥AB，所以直線OP的方程為y=-mx，代入C的標(biāo)準(zhǔn)方程中得xP2=所以|AB|+|OP|當(dāng)且僅當(dāng)4m2+3=3此時(shí)|AB|+|OP|2的最小值為因?yàn)?>487，所以|AB|+|OP|②當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，O,E重合，不合題意。當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，直線l的方程設(shè)為x=my+1，因?yàn)镋為AB中點(diǎn)，所以Ex又x124所以kAB?kOE=-令x=4，得Q(4,-3m)，由①可知y1所以QA==-9所以∠AQB為銳角，所以點(diǎn)Q在以AB19．已知函數(shù)f(x)=1（1）若a=2，解關(guān)于x的不等式g(x)+x>ln（2）證明：關(guān)于x的方程f(x)=g(x)有且僅有一個(gè)實(shí)根；（3）證明：g(g(t))=t的充要條件是g(t)=t．（1）解：a=2，令h(x)=g(x)+x=e因?yàn)閤+ln(x+1)和ex因?yàn)閔(ln2)=ln3，所以h(x)>ln（2）證明：令m(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(e由f'(x)=x當(dāng)x∈(0,1+52)時(shí)，f'(x)<0，當(dāng)則f(x)在(0,1+52（?。┊?dāng)x∈(0,1+52因?yàn)閒(x)-f(e-x)=0令φ(x)=xex-1，顯然φ(x)單調(diào)遞增，且φ(0)=-1<0所以φ(x)=0在x∈(0,1)上有唯一解，即f(x)=g(x)有唯一實(shí)根．（ⅱ）當(dāng)x∈(1+52令t(x)=ex-x-1，因?yàn)閠'(x)=所以t(x)>t(1)>0，即ex>x+1，所以所以m(x)=1x+綜上所述，f(x)=g(x)有唯一實(shí)根．（3）證明：先證必要性：因?yàn)間(g(t))=t，所以g(g(t))+g(t)=g(t)+t，即h(g(t))=h(t)，因?yàn)閔(x)=g(x)+x單調(diào)遞增，所以g(t)=t．再證充分性：因?yàn)間(t)=t，所以g(g(t))=g(t)=t，即g(g(t))=t．綜上所述，命題得證．江蘇省蘇州市2025屆高三三模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足(2+i)z=1-i，則zA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】假設(shè)z=a+bi(a,b∈R所以2a-b=12b+a=-1，解得a=故z=15-35i，故選：A2．已知(x+y)n的展開(kāi)式中系數(shù)之和為64，則展開(kāi)式中x2yA．10 B．15 C．21 D．24【答案】B【解析】令x=y=1，可得所有系數(shù)和為2n，由題意2n=64(x+y)n展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k+1=C所以x2yn-2故選：B.3．某射擊運(yùn)動(dòng)員在男子10米氣步槍決賽中，最后10槍成績(jī)分別為10.9,10.7,10.4,10.0，10.5,9.8,10.7,9.9,10.5,10.6，則這10槍成績(jī)的上四分位數(shù)是（

）A．10.5 B．10.6 C．10.65 D．10.7【答案】D【解析】將這10次成績(jī)從小到大的順序排列如下：9.8，9.9，10.0，10.4，10.5，10.5，10.6，10.7，10.7，10.9，因?yàn)?0×75%=7.5，所以該組成績(jī)的上四分位數(shù)為排序后的第8個(gè)數(shù)字故選：D4．甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生站成一排，記“甲、乙相鄰”為事件A，“甲不站在兩端”為事件B，則P(B∣A)=（

）A．16 B．14 C．12【答案】D【解析】“甲、乙相鄰”，可將甲、乙看成一個(gè)整體，與丙、丁、戊全排列，同時(shí)甲、乙兩人之間也需要全排列.甲、乙兩人全排列的方法數(shù)為A2將甲、乙整體與丙、丁、戊全排列的方法數(shù)為A44所以事件A包含的基本事件數(shù)為A225名學(xué)生全排列的方法數(shù)為A55根據(jù)古典概型概率公式可得P(A)=48“甲、乙相鄰且甲不站在兩端”，當(dāng)甲、乙相鄰時(shí)，若甲不站在兩端，甲只能站在中間3個(gè)位置上，所以事件AB包含的基本事件數(shù)為3×2×A3則P(AB)=36根據(jù)條件概率公式P(B|A)=P(AB)P(A)，將P(A)=2P(B|A)=3故選：D.5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0)，若點(diǎn)P滿足|PA+PB|=2，則A．-3 B．0 C．1 D．4【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)Px,y，則PAPB=2-x,-y,因?yàn)閨PA+PB整理可得x2所以AP故選：A6．某廠生產(chǎn)一批圓臺(tái)形燈罩，燈罩的上、下底面都是空的，上、下底面的半徑之比為1:2，高為15cm，母線長(zhǎng)為25cm．現(xiàn)要對(duì)100個(gè)這樣的燈罩的內(nèi)、外表面都涂上一層防潮涂料，若每平方米需要100克涂料，則共需涂料（

）A．750π克 B．1500π克 C．3000π克 D【答案】C【解析】設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為rcm，則下底面半徑為2rcm，因?yàn)楦逤F=15cm，母線CA=25cm，所以由2r-r2得r=20cm，可得圓臺(tái)的側(cè)面積為2520+40所以100個(gè)燈罩內(nèi)、外表面面積為2×則共需涂料30π×100=3000π故選：C.7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)P(2,2)的直線l與拋物線y2=4x交于A,B兩點(diǎn)，若直線OA,OP,OB的斜率依此成等比數(shù)列，則l的斜率為（A．13 B．12 C．2 D【答案】A【解析】設(shè)l的方程為x=t(y-2)+2，Ay將直線方程代入拋物線方程得y2-4ty-8(1-t)=0，所以Δ=-4t2+4×8(1-t)=16因?yàn)閗OP2=kOAkOB故直線的斜率為13故選：A.8．已知數(shù)列an滿足a1=1,A．a(chǎn)n+1>aC．1013a2025<1【答案】C【解析】對(duì)于A，由an+1an=1-12an，得對(duì)于B，由a1=1，得a2=12，當(dāng)對(duì)于CD，由an+1an=1-1即1an+1-1a1a1=1，因此1an2025a2025<2025×22026，而2025×22026故選：C二、多選題9．記△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若b>c,cosB=6A．A=62BC．b=3c D【答案】BD【解析】因?yàn)閏osB=64，B所以sinB=1-已知a=6sinA=又因?yàn)閟in2B=2sinB因?yàn)閎>c，所以B>C，且A+B+C=π，那么A=2B或A+2B=若A+2B=π，又A+B+C=π，則B=C，這與B>C矛盾，所以A=2B，故選項(xiàng)B正確，A由余弦定理可得：b2=(即12b2-32bc+因?yàn)閎>c，所以b=2c，故選項(xiàng)D正確，C錯(cuò)誤.故選：BD.10．某數(shù)學(xué)興趣小組研究發(fā)現(xiàn)，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y=1x的圖象是雙曲線C，記其焦點(diǎn)分別為M、N，若P為其圖象上任意一點(diǎn)，則（A．y軸是C的一條漸近線 B．點(diǎn)1,1是C的一個(gè)焦點(diǎn)C．PM-PN=22 D【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，反比例函數(shù)y=1x的兩條漸近線為x軸和y軸，對(duì)于D選項(xiàng)，反比例函數(shù)y=1x的兩條漸近線垂直，故雙曲線因此，雙曲線C的離心率為2，D對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，反比例函數(shù)y=1x的圖象分布在第一、三象限，且第一、三象限的角平分線方程為聯(lián)立y=1xy=x解得x=1所以，雙曲線C的一個(gè)頂點(diǎn)為1,1，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，雙曲線C的實(shí)半軸長(zhǎng)為a=0-1故PM-PN=2a=22故選：ACD.11．已知四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD,AD⊥CD,AC=4，四棱錐P-ABCD的外接球的球心為O．記四棱錐P-ABCD,O-ABCD的體積分別為V1,V2，三棱錐P-ACD,P-ABC的體積分別為A．AB⊥BPB．VC．VD．若二面角P-AB-C的平面角大小為45°，則V4【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由四棱錐P-ABCD有外接球，得四邊形ABCD有外接圓，由AD⊥CD，得AB⊥BC，由PC⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，得PC⊥AB，而PC∩BC=C，PC,BC?平面PBC，則AB⊥平面PBC，又PB?平面PBC，因此AB⊥BP，A正確；對(duì)于B，由PC⊥平面ABCD，得球心O到平面ABCD的距離等于12PC，因此V1對(duì)于C，B,D均在以線段AC為直徑的圓上，但△ACD,△ACB面積無(wú)任何關(guān)系，不能確定V1=2V對(duì)于D，由AB⊥BP,AB⊥BC，得∠PBC是二面角P-AB-C的平面角，即∠PBC=45則令PC=BC=a，AB=16-a=1當(dāng)且僅當(dāng)a2=32-2a2，即a=463時(shí)取等號(hào)，因此故選：ABD三、填空題12．函數(shù)f(x)=|sinx|+|cos【答案】π【解析】由誘導(dǎo)公式可知，f(x+π當(dāng)0<α<π2時(shí)，f(x+α)=|sin(x+α)|+|cos(x+α)|與故答案為：π13．若f(x)=x(lnx+a)在[1,e]上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)【答案】-2,-1【解析】由f(x)=x(lnx+a)，可得所以f(x)=x(lnx+a)在[1,e]上不單調(diào)，所以即lnx+a+1=0在1,e有解，即存在x∈1,又因?yàn)閥=-lnx-1在1,e所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是-2,-1.故答案為：-2,-1.14．已知數(shù)列an是公比不為1的等比數(shù)列，從a1,【答案】1【解析】從20項(xiàng)中任取4項(xiàng)，共有C20假設(shè)任取的4項(xiàng)為ai,a若這四項(xiàng)依然構(gòu)成等比數(shù)列，則i,j,k,l構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則滿足i+3d≤20，對(duì)公差d進(jìn)行一一列舉：當(dāng)d=1時(shí)，i的范圍是1≤i≤17，共有17種；當(dāng)d=2時(shí)，i的范圍是1≤i≤14，共有14種；當(dāng)d=3時(shí)，i的范圍是1≤i≤11，共有11種；當(dāng)d=4時(shí)，i的范圍是1≤i≤18，共有8種；當(dāng)d=5時(shí)，i的范圍是1≤i≤5，共有5種；當(dāng)d=6時(shí)，i的范圍是1≤i≤2，共有2種，所以共有17+14+11+8+5+2=57種情況，所以這四項(xiàng)依然構(gòu)成等比數(shù)列的概率為P=57故答案為：185四、解答題15．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,（1）求a3（2）求S3n解：（1）因?yàn)镾n-1所以當(dāng)n=2時(shí)，S=3a因?yàn)閍1=1,a當(dāng)n=3時(shí)，S2=3a1+3（2）因?yàn)镾n-1+所以Sn+所以②—①可得Sn+2-S所以用n+3代換n可得an+3所以an+3這說(shuō)明數(shù)列a3k-2a1+a2所以S3n16．現(xiàn)有甲、乙兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)一批零件，甲生產(chǎn)出的零件內(nèi)徑X（單位：mm）服從正態(tài)分布N(10,1)，乙生產(chǎn)出的零件內(nèi)徑Y(jié)（單位：mm）服從正態(tài)分布N(8,4)．（1）若甲、乙在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率分別為0.1,0.2，且兩臺(tái)機(jī)器工作狀態(tài)相互獨(dú)立．設(shè)一天內(nèi)發(fā)生故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)為Z，求Z的分布列；（2）若生產(chǎn)出的零件內(nèi)徑小于8mm，則每件虧損2元；若內(nèi)徑大于10mm，則每件虧損8元；其余尺寸的零件，則每件獲利20元．已知每天每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)出一千件零件，試比較哪一臺(tái)臺(tái)機(jī)器每天生產(chǎn)出的零件的平均利潤(rùn)更大．參考數(shù)據(jù)：若ξ~Nμ,σ2解：（1）Z表示一天內(nèi)發(fā)生故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)，Z的可能取值為0，1，2.P(Z=0)：表示甲、乙兩臺(tái)機(jī)器都不發(fā)生故障，因?yàn)榧?、乙兩臺(tái)機(jī)器工作狀態(tài)相互獨(dú)立，根據(jù)獨(dú)立事件概率公式，可得P(Z=0)=(1-0.1)×(1-0.2)=0.9×0.8=0.72.P(Z=1)：表示甲發(fā)生故障乙不發(fā)生故障或者甲不發(fā)生故障乙發(fā)生故障，可得P(Z=1)=0.1×(1-0.2)+(1-0.1)×0.2=0.1×0.8+0.9×0.2=0.08+0.18=0.26.P(Z=2)：表示甲、乙兩臺(tái)機(jī)器都發(fā)生故障，根據(jù)獨(dú)立事件概率公式，可得P(Z=2)=0.1×0.2=0.02.所以Z的分布列為：（2）甲機(jī)器：已知甲生產(chǎn)出的零件內(nèi)徑X~N(10,1)，則μ1=10，P(X<P(X>P(8≤X≤10)=0.955÷2=0.4775.每臺(tái)機(jī)器每天生產(chǎn)1000件零件，則甲機(jī)器每天生產(chǎn)出的零件的平均利潤(rùn)為：1000×[0.0225×(-2)+0.5×(-8)+0.4775×20]=1000×(-0.045-4+9.55)=1000×5.505=5505（元）.乙機(jī)器：已知乙生產(chǎn)出的零件內(nèi)徑Y(jié)~N(8,4)，則μ2=8，P(Y<P(Y>P(8≤Y≤10)=0.683÷2=0.3415.則乙機(jī)器每天生產(chǎn)出的零件的平均利潤(rùn)為：1000×[0.5×(-2)+0.1585×(-8)+0.3415×20]=1000×(-1-1.268+6.83)=1000×4.562=4562（元）.因?yàn)?505>456217．如圖，已知四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為直角梯形，AD=2BC=2CD=2，AP⊥PD，平面ABCD⊥平面PAD.（1）求證：平面ABP⊥平面PCD；（2）求二面角B-PD-C的正弦值的取值范圍．（1）證明：在直角梯形ABCD中，CD⊥AD，又因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD=AD，CD?平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，因?yàn)镻A?平面PAD，所以CD⊥PA，又因?yàn)镻A⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD?平面PCD，所以PA⊥平面PCD，因?yàn)镻A?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD.（2）解：分別取PD、AD的中點(diǎn)M、O，連接BM、OM、OB，如下圖所示：因?yàn)镺、M分別為AD、PD的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥PD，在直角梯形ABCD中，CD⊥AD，則BC//因?yàn)镺為AD的中點(diǎn)，AD=2BC，故OD//BC，所以四邊形OBCD為矩形，故OB//因?yàn)镃D⊥平面PAD，所以O(shè)B⊥平面PAD，因?yàn)镻D?平面PAD，所以PD⊥OB，因?yàn)镺B、OM?平面OBM，OB∩OM=O，所以PD⊥平面OBM.因?yàn)锽M?平面OBM，所以PD⊥BM，所以二面角B-PD-A的平面角為∠BMO，因?yàn)镃D⊥平面PAD，CD